专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、极值与最值（12大题型）（期末复习专项训练）高二年级数学下学期人教A版

**基本信息** 聚焦导数核心应用，以“概念-切线-单调性-极值最值”为逻辑链条，覆盖12类期末高频题型，通过分层训练提升数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |导数概念及计算|9小题|定义、运算及物理意义|导数基础，支撑后续应用| |切线方程|7+10+10小题|求切线、参数求解、公切线|导数几何意义的递进考查| |导函数与原函数图象|8小题|单调性与极值的图象识别|数形结合理解导数性质| |单调性|8+7+4小题|具体函数、含参可分离/不可分离|从具体到抽象的推理训练| |二阶导|3小题|高阶导数应用|深化导数工具性理解| |极值与最值|8+8+5小题|参数求解与范围确定|导数应用的综合提升|

专题03 导数与切线方程、导数与单调性 （含二阶导）、极值与最值 题型1 导数的概念及基本计算 题型7 利用导数求含参可分离函数的单调性（重点） 题型2 求切线方程（常考点） 题型8 利用导数求含参不可分离函数的单调性（难点） 题型3 由切线求参数（常考点） 题型9 二阶导 题型4 公切线问题（难点） 题型10 由函数单调性求参数（重点） 题型5 导函数与原函数的图象关系 题型11 由极值和极值点求参数 题型6 具体函数的单调性、极值最值（重点） 题型12 由最值求参数 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数的概念及基本计算（共9小题） 1．（24-25高二下·福建·期末）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 2．（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B．1 C．6 D．12 4．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 5．（24-25高二下·青海西宁·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式，则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 多选题 7．（24-25高二下·河南驻马店·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高二下·江西景德镇·期末）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 9．（24-25高二下·浙江杭州·期末）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型二 求切线方程（共7小题） 10．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 11．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 12．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 14．（24-25高二下·河南信阳·期末）曲线在处的切线方程为______． 15．（24-25高二下·贵州毕节·期末）曲线在点处的切线方程为________． 16．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 题型三 由切线求参数（共10小题） 17．（24-25高二下·陕西汉中·期末）曲线在处的切线斜率为2，则（    ） A． B．1 C．0 D． 18．（24-25高二下·湖北武汉·期末）若直线是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 19．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．1 D．2 20．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知函数的图象在点处的切线方程为，则实数的值为_________. 21．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 22．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 23．（24-25高二下·广东深圳·期末）设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 24．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 25．（24-25高二下·山东济南·期末）过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______． 26．（24-25高二下·湖北荆州·期末）过点可以作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型四 公切线问题（共10小题） 27．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________． 28．（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则_____. 29．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段检测）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数________. 30．（24-25高二下·山东潍坊·月考）若两曲线与存在公切线，则的范围是_____________________ 31．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为________． 32．（24-25高二上·江苏淮安·月考）直线与函数和的图象都相切，则________ 33．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______． 34．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则______. 35．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 36．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为______． 题型五 导函数与原函数的图象关系（共8小题） 37．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 38．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 39．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的增区间是和 B．有4个极值点 C．的减区间是和和 D．极大值点和极小值点的个数相同 40．（24-25高二下·四川成都·月考）已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．有3个极大值点 C． D．可以同时小于0 多选题 41．（24-25高二下·广东江门·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D． 42．（24-25高二下·福建漳州·期末）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 43．（24-25高二下·福建福州·期中）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 44．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 题型六 具体函数的单调性、极值最值（共8小题） 45．（24-25高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 46．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 47．（24-25高二下·新疆和田·阶段检测）已知函数． (1)判断函数的单调性 (2)求函数在区间上的最值． 48．（24-25高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 49．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知函数. (1)当时，证明：是减函数； (2)若曲线在点处的切线经过点，求函数的最小值. 50．（24-25高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 51．（22-23高二下·广东佛山·月考）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 52．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最小值和最大值； (3)写出不等式的解集．（不用说明理由） 题型七 利用导数求含参可分离函数的单调性（共7小题） 53．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 54．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 55．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数 (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间. 56．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 57．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 58．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 59．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 题型八 利用导数求含参不可分离函数的单调性（共4小题） 60．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 61．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 62．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 63．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，，（）. (1)函数在处切线方程，求的值. (2)设， ①若，以参数讨论函数的单调性； ②若，有两个极值点，，求的范围. 题型九 二阶导（共3小题） 64．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 65．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 66．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 题型十 由函数单调性求参数（共8小题） 67．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 68．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 69．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 70．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 71．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 72．（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 73．（24-25高二下·重庆城口·月考）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 74．（24-25高二下·湖北咸宁·月考）已知函数，若的单调减区间为，则实数______． 题型十一 由极值和极值点求参数（共8小题） 75．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 76．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 77．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 78．（24-25高二下·河北衡水·期末）若函数的极大值点与其一个零点重合，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 79．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 80．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 81．（24-25高二下·北京房山·期末）已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 82．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是______. 题型十二 由最值求参数（共5小题） 83．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 84．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 85．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 86．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 87．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是__________. $专题03 导数与切线方程、导数与单调性 （含二阶导）、极值与最值 题型1 导数的概念及基本计算 题型7 利用导数求含参可分离函数的单调性（重点） 题型2 求切线方程（常考点） 题型8 利用导数求含参不可分离函数的单调性（难点） 题型3 由切线求参数（常考点） 题型9 二阶导 题型4 公切线问题（难点） 题型10 由函数单调性求参数（重点） 题型5 导函数与原函数的图象关系 题型11 由极值和极值点求参数 题型6 具体函数的单调性、极值最值（重点） 题型12 由最值求参数 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 导数的概念及基本计算（共9小题） 1．（24-25高二下·福建·期末）已知函数在处可导，且，则（   ） A． B． C．4 D．8 【答案】D 【分析】根据导数的定义及极限的简单运算计算即可. 【详解】由，得，可得. 故选：D. 2．（24-25高二下·辽宁·期末）若，则（ ） A． B． C．1 D．3 【答案】D 【分析】根据导数的定义可直接得解. 【详解】根据导数的定义，. 故选：D. 3．（24-25高二下·甘肃白银·期末）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B．1 C．6 D．12 【答案】D 【分析】求导计算即可. 【详解】因为， 所以在处的瞬时变化率为12. 故选：D 4．（24-25高二下·吉林·期末）函数在区间上的平均变化率为（   ） A．5 B．6 C．7 D．10 【答案】A 【分析】根据平均变化率公式计算可得. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：A 5．（24-25高二下·青海西宁·期末）一质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）满足关系式，则质点在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据瞬时速度的定义，对求导代入计算即得. 【详解】由题知，当时，， 故质点在时的瞬时速度为. 故选：B. 6．（24-25高二下·四川绵阳·期末）某质点沿直线运动，位移（单位：m）与时间（单位：s）之间的关系为：，则该质点在内的平均速度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由平均速度的定义求解即可. 【详解】由题意可得平均速度是. 故选：A 多选题 7．（24-25高二下·河南驻马店·期末）下列求导运算不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据导函数四则运算法则和复合函数求导法则对选项一一判断，得到答案 【详解】A选项，，故，A错误； B选项，，B正确； C选项，，C错误； D选项，，D错误. 故选：ACD 8．（24-25高二下·江西景德镇·期末）下列求导正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】ACD 【分析】根据基本函数导数公式及运算法则，复合函数的求导判断各个选项即可. 【详解】对于A，若，则，故A正确； 对于B，若，则，故B错误； 对于C，若，则，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：ACD. 9．（24-25高二下·浙江杭州·期末）下列导数计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】由基本初等函数的法则即可判断选项A，C；由复合函数的求导法则即可判断选项B，D. 【详解】由对数函数的求导法则可得，故选项A正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项B错误； 由基本初等函数的法则可知，故选项C正确； 令，则，，， 由复合函数的求导法则可得，故选项D正确. 故选：ACD. 题型二 求切线方程（共7小题） 10．（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 11．（24-25高二下·陕西铜川·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出导函数，再点斜式写出切线方程即可. 【详解】因为，所以， 而， 因此曲线在点处的切线方程为， 即. 故选：A. 12．（24-25高二下·安徽芜湖·期末）曲线在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求导函数即可求出，再利用点斜式即可求出切线方程. 【详解】由得， 则在点处的切线斜率为， 又，则切线方程为，即. 故选：B 13．（24-25高二上·江苏南京·期末）已知函数，则的图象在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对求导，得，利用导数的几何意义得到切线的斜率，再利用点斜式，即可求解. 【详解】因为， 则， 所以， 又，所以的图象在处的切线方程为，即， 故选：A. 14．（24-25高二下·河南信阳·期末）曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】记，，，又， 曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： 15．（24-25高二下·贵州毕节·期末）曲线在点处的切线方程为________． 【答案】 【分析】求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，得解. 【详解】设，则，故斜率， 所以曲线在点处的切线方程为，即． 故答案为：． 16．（24-25高二下·江西吉安·期末）已知过原点的直线与函数的图像相切，则直线的方程为__________. 【答案】 【分析】首先讨论当时，去绝对值得到函数的解析式，然后求导求出切线斜率，然后将点代入得到切线方程，最后根据函数是偶函数，可求出时的切线方程，从而得到答案. 【详解】当时，，设切点为， 则切线斜率为，那么切线方程为， 将代入方程中解得，故切线方程为； 由于为偶函数，其图像关于轴对称， 故当时，切线方程为. 综上可知，切线方程为和. 故答案为：. 题型三 由切线求参数（共10小题） 17．（24-25高二下·陕西汉中·期末）曲线在处的切线斜率为2，则（    ） A． B．1 C．0 D． 【答案】D 【分析】先根据导数的求导法则求出导函数，再根据导数的几何意义可得. 【详解】由，得曲线在处的切线斜率为，得. 故选：D 18．（24-25高二下·湖北武汉·期末）若直线是曲线的切线，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数几何意义，求导且导数值为2，从而得到切点，代入到曲线中，即可求参数. 【详解】根据题意，， 所以切点为，所以. 故选：C. 19．（24-25高二下·安徽阜阳·期中）已知曲线在处的切线方程为，则（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】求导，可得切点坐标为，切线斜率，结合题意列式求解即可. 【详解】因为，， 当时，则， 即切点坐标为，切线斜率， 由题意可得：，解得. 故选：A. 20．（24-25高二下·重庆长寿·期末）已知函数的图象在点处的切线方程为，则实数的值为_________. 【答案】/ 【分析】设点，根据导数几何意义进行求解即可. 【详解】由，得， 设点，根据导数几何意义得，解得， 代入函数，得， 又点在切线上，代入得，解得. 故答案为：. 21．（24-25高二上·北京密云·期末）曲线在点处的切线与直线平行，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用切线与直线平行得到切线的斜率，再利用导数求出在点处的导数值利从而求出结果. 【详解】令则直线的斜率为 则. 故选：B. 22．（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义表示出切线方程，结合切线方程过原点且有两解即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 23．（24-25高二下·广东深圳·期末）设曲线在处的切线与垂直，则（   ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】先对曲线进行求导，将代入导函数中求出切线斜率，在根据切线与已知直线垂直的关系列出方程求解即可. 【详解】因为，所以， 所以曲线在处的切线斜率为：， 由直线的斜率为：， 又因为曲线在处的切线与垂直， 所以， 所以， 故选：C. 24．（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 25．（24-25高二下·山东济南·期末）过点可以作曲线的三条切线，则实数a的取值范围是_______． 【答案】 【分析】设点为曲线上的一点，求得切线方程为，由切线过点，得到，令，求得，得出函数的单调性和极值，作出函数的图象，结合图象，即可求解. 【详解】设点为曲线上的一点，则， 又由，所以，即切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为， 因为切线过点，可得，即， 令，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则当时，取得极小值，当时，取得极大值， 又因为， 当时，恒成立，且时，， 作出函数的图象，如图所示， 当时，函数的图象与直线在上有3个交点， 即过点的切线有3条，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 26．（24-25高二下·湖北荆州·期末）过点可以作3条直线与函数的图象相切，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，利用求导写出切线方程，将代入并将其转化成，设，判断其在上的单调性，得到函数的极值与图象趋势，作出图象，由与有3个交点即可求得参数范围. 【详解】设过点的直线与函数的图象相切于， 对函数求导，，则切线方程为：， 将代入得：，化简：， 设，则， 当或时，，故在和上单调递减； 当时，，故在上单调递增； 故极小值为，极大值为， 因，当时，作出的示意图.    由题意，直线与的图象有3个公共点等价于． 故选：D. 题型四 公切线问题（共10小题） 27．（24-25高二下·广东深圳·阶段检测）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则______________． 【答案】2 【分析】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为，由题意即可得解出即可. 【详解】设直线与曲线的切点为，与曲线的切点为， 则由，，即， 故答案为：2. 28．（24-25高二下·四川绵阳·阶段检测）若直线既与曲线相切，又与曲线相切，则_____. 【答案】/ 【分析】由导数几何意义列式求解即可. 【详解】设与和的切点分别为， 由导数的几何意义可得，得， 再由切点也在各自的曲线上，可得，联立上述式子解得， 从而得出. 故答案为： 29．（24-25高二下·陕西咸阳·阶段检测）曲线在处的切线也是曲线的切线，则实数________. 【答案】 【分析】求出在处的切线方程，设出的切点联立方程组可解得. 【详解】对于，当时，又，所以， 切线斜率为，切点为； 则曲线在处的切线为， 令，则，设切点， 由，解得. 故答案为： 30．（24-25高二下·山东潍坊·月考）若两曲线与存在公切线，则的范围是_____________________ 【答案】. 【分析】根据一元函数导数求切线的方法，设出两条曲线的切线，根据两条切线的斜率和截距分别相当，列出方程组，即可求出的范围. 【详解】对求导，，设切点，则切线方程为：, 化简得. 对求导，，设切点， 则切线方程为：，化简得. 则根据公切线可列方程组，消去得到， 化简得. 令，求导， 当时，，解得， 当时，，解得， 当时，，解得， 可知在上单调递增，在上单调递减，在出取得最大值， ，值域为， 所以的范围是, 故答案为：. 31．（24-25高二下·湖北孝感·月考）已知函数，，若过点的直线与曲线和均相切，则实数的值为________． 【答案】1 【分析】分别求出过点的切线方程，进而得出，再代入化简即可得出，构造函数求其零点即可. 【详解】因为，所以， 因为点在曲线上， 所以曲线在点处的切线方程为，① 设过点的直线与曲线相切于点， 因为，所以， 因此直线的方程为， 而直线过点，所以，即， 因此直线的方程为，② 又因为曲线在点处的切线与直线重合， 则①与②为同一条直线，即，因此且， 将，代入，得． 令，则， 因此当时，；当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，因此， 所以函数有唯一的零点，因此方程有唯一的解，即实数的值为. 故答案为：1 32．（24-25高二上·江苏淮安·月考）直线与函数和的图象都相切，则________ 【答案】 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 33．（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______． 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 34．（24-25高二下·四川绵阳·期中）已知直线既是函数的切线也是二次函数的切线，则______. 【答案】/ 【分析】设出切点，利用导数几何意义得到方程组，求出，. 【详解】设直线与函数相切于点， 与相切于点， 其中，， 故且，， 联立与得，解得，故， 又，故，即， 化简得 将代入中得 ，解得. 故答案为： 35．（24-25高二下·山东临沂·期中）已知曲线与有公共切线，求实数a的取值范围是______ 【答案】 【分析】由题意可知在存在公切线，由同一条切线的斜率相等，截距相等可将问题转化为方程在上有解，构造函数，利用导数求得的值域，结合题干条件可求得实数a的取值范围. 【详解】由题意可知在上分别存在两个点，使得在处的切线与在处的切线为同一条直线， 因为，由同一条切线的斜率相等可得， 由同一条切线的截距相等，可得， 即， 将斜率相等的表达式代入可得， 即方程在上有解， 令，则， 令，得，当时，；当时，， 且当时，；当时，， 所以存在极大值同时也是最大值，所以的值域为， 若方程在上有解，则， 又，所以. 故答案为：. 36．（24-25高二下·江西景德镇·期末）若曲线与曲线有公切线，则实数的最大值为______． 【答案】/ 【分析】根据导数的几何意义求出两曲线在切点的切线方程，可得，整理得，利用导数研究函数的单调性求出得出结果即可. 【详解】令，则，令，则， 设在曲线上的切点为，则切线斜率为， 在曲线上的切点为，切线斜率为， 所以切线方程分别为、， 即、， 有，整理得， 设，则， 令，令， 故函数在上单调递增，在上单调递减， 则在上，如图， 由图可知，即k的最大值为. 故答案为： 题型五 导函数与原函数的图象关系（共8小题） 37．（24-25高二下·湖北省直辖县级单位·期中）函数的大致图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据图象可知的符号，故可得的解集. 【详解】由图可知当时，，当时，， 所以的解集为． 故选：A 38．（24-25高二下·江西·期末）若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合图象，利用导数与函数单调性间的关系，得和时，的取值范围，即可求解. 【详解】由图可知的减区间为，，增区间为， 所以当时，，当时，， 又由图知，当时，，当时，， 所以的解集为， 故选：B. 39．（24-25高二下·江西赣州·期末）已知的导函数的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．的增区间是和 B．有4个极值点 C．的减区间是和和 D．极大值点和极小值点的个数相同 【答案】A 【分析】根据图像得函数的单调性，进而得函数的极值，逐一判断即可. 【详解】由图可知的增区间为和，减区间为和，故A正确，C错误， 所以有3个极值点分别是，故B错误，极大值点为，极小值点为，故D错误. 故选：A. 40．（24-25高二下·四川成都·月考）已知是定义域为的函数的导函数，的图象如图所示，且有3个零点，则下列结论正确的是（    ） A．在单调递增 B．有3个极大值点 C． D．可以同时小于0 【答案】C 【分析】根据的图象，得到的单调性，再逐一分析即可. 【详解】由题图知，在和上单调递减，在和上单调递增， 所以有2个极小值点和1个极大值点，故A错误，B错误， 又因为有3个零点，则的极大值必大于等于0，故C正确， 若同时小于0，则，结合， 至多有2个零点，不符合题意，故D错误. 故选：C. 多选题 41．（24-25高二下·广东江门·期末）定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在处取得极大值 D． 【答案】AD 【分析】根据函数的单调性与导数值的正负关系可判断A和B，根据函数的极值点和导数的关系可判断C，根据函数的单调性与导数值的正负关系及函数单调性的概念可判断D. 【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确； 当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误； 由在区间上单调递增，可知函数在处取不到极大值，故C错误； 在区间上，故函数在区间上单调递减，所以，故D正确. 故选：AD. 42．（24-25高二下·福建漳州·期末）如图是导数的图象，对于下列四个判断，其中正确的判断是（ ） A．在上是增函数； B．当时，取得极小值； C．在上是增函数、在上是减函数； D．当时，取得极小值． 【答案】BC 【分析】根据图象可得出在各个区间上的符号即可逐项分析求解. 【详解】由导函数的图象可得： 单调递减 极小值 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 A：由表格可知：在区间上单调递减，故A不正确； B：是的极小值点，故B正确； C：在区间上是减函数，在区间上是增函数，故C正确； 时,，所以不是极小值，故D不正确． 综上可知：只有BC正确． 故选：BC． 43．（24-25高二下·福建福州·期中）若函数的导函数图象如图所示，则（    ） A．的解集为 B．函数有一个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 【答案】BD 【分析】根据所给函数图象可求得的单调性，结合图象可判断A错误，得出原函数的单调性可知B正确，C错误，再由极值点定义可得D正确. 【详解】对于A，由图象可知当时，可得图象为单调递减的， 由图可知时，，即A错误； 对于B，由图象可得时，时， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数有一个极值点，可得B正确； 对于C，由B选项分析可知，函数的单调递增区间为，即C错误； 对于D，由B选项分析可知，是函数的极小值点，可得D正确. 故选：BD 44．（24-25高二下·江苏·阶段检测）已知函数与其导函数的部分图象如图所示，若函数，则下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递增 C．当时，函数有极小值 D．当时，函数有极小值 【答案】AC 【详解】根据函数，有导函数， 根据图可知的分布如图所示： 当时，导函数，函数，因此导函数， 因此函数在单调递增，故A正确； 当时，，因此，所以， 函数在单调递减，故B错误； 当时，，因此， 根据图可知当时，导函数， 当时，导函数， 因此在单调递增，在单调递减， 因此是函数的极小值点，因此当时，函数有极小值，故C正确； 当时，，所以，由图可知当时，， 所以，所以， 所以在单调递增，所以当时，函数有极大值，故D错误. 题型六 具体函数的单调性、极值最值（共8小题） 45．（24-25高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)减区间，增区间 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【详解】（1），若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. （2）由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 46．（24-25高二上·宁夏石嘴山·期末）已知函数. (1)求的图象在点处的切线方程； (2)求函数的极值； 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求出，求导，得到，由导数几何意义得到切线方程； （2）求定义域，求导，得到函数单调性，从而求出极值. 【详解】（1）， ， 故的图象在点处的切线为， 即； （2）的定义域为， 由（1）知， 令得，令得， 故函数在上单调递减，在上单调递增， 故在上取得极小值，极小值为，无极大值； 47．（24-25高二下·新疆和田·阶段检测）已知函数． (1)判断函数的单调性 (2)求函数在区间上的最值． 【答案】(1)答案见解析； (2)最大值、最小值分别为、. 【分析】（1）应用导数研究函数的单调性即可； （2）根据（1）所得的单调性求区间端点值、极值，并比较大小，即可得最值. 【详解】（1）由题设， 当或时，，则在、上单调递增， 当时，，则在上单调递减； （2）由（1）知，、上单调递增，上单调递减， 又，，，， 所以函数在区间上的最大值、最小值分别为、. 48．（24-25高二下·北京·期中）已知曲线在点处的切线为. (1)求切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)在上单调递减，在和上单调递增. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再利用直线的点斜式方程即可求得切线方程； （2）由导函数符号解不等式即可判断得出函数的单调性. 【详解】（1）易知，则其斜率为； 又，所以切线方程为， 即切线的方程为. （2）令， 解得，即可得在上单调递减， 令， 解得或，即可得在和上单调递增； 综上可得，在上单调递减，在和上单调递增. 49．（24-25高二下·新疆巴音郭楞·期末）已知函数. (1)当时，证明：是减函数； (2)若曲线在点处的切线经过点，求函数的最小值. 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）求导，分析导函数的符合即可证函数单调性； （2）根据导数的几何意义，可求切线方程，继而求得，再利用导数确定函数的单调性，根据单调性确定最小值即可. 【详解】（1）证明：，， ，，， 所以在定义域上是减函数. （2）的定义域为， ，， 所以在点的切线方程为，， 又过点，所以， 即，（负根舍去）， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 故函数的最小值为. 50．（24-25高二下·天津·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用函数求导，由导函数的正负即可求得函数的单调区间； （2）利用（1）的结论，可判断函数在区间上的单调性，代入端点值计算函数值，比较大小即得函数最大值. 【详解】（1）由求导得：， 由可得，由可得或， 故函数的单调递减区间为，单调递增区间为和； （2）由（1）已得函数在上单调递减，在上单调递增， 因，则函数在上单调递减，在上单调递增， 又， 故当时，函数取得最大值为. 51．（22-23高二下·广东佛山·月考）已知函数. (1)求的单调递增区间； (2)求在上的值域. 【答案】(1)的单调递增区间为，； (2). 【分析】（1）求导后，根据导数的正负可求出函数的单调区间； （2）根据导数与函数最值的关系结合条件即得. 【详解】（1）因为， 所以， 由，可得或， ，的变化情况如下： 2 + 0 0 + 递增 递减 递增 所以函数的单调递增区间为，； （2）由（1）知，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 所以为极大值点，为极小值点，又，，，， 所以在上的值域为. 52．（24-25高二下·北京丰台·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求在区间上的最小值和最大值； (3)写出不等式的解集．（不用说明理由） 【答案】(1) (2)最小值为-2，最大值为2 (3)或 【分析】（1）计算，然后根据点斜式求出方程即可； （2）利用导数判断函数单调性，然后计算； （3）根据（2）的结果，判断函数的单调性，然后计算可得，，判断即可. 【详解】（1），又， 所以曲线在处的切线方程为； （2）令得，， 当变化时，的变化情况如下表： 1 - 0 + -2 又， 所以在区间上的最小为-2，最大值为2． （3）由（2）可知，函数在单调递增，在单调递减， ，， 所以不等式的解集为或 题型七 利用导数求含参可分离函数的单调性（共7小题） 53．（24-25高二下·广东·月考）已知函数，其中． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）对函数求导，分类讨论当，，，四种情况，通过确定导函数的正负即可判断出函数的单调性. 【详解】（1）当时，，，则切点坐标为． 又因为，， 所以在处的切线方程为． （2）由函数求导可得 ． 定义域为， 则①当时，由得， 当或时，，当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在上单调递减； ②当时，，在上单调递增； ③当时，由得， 当或时，， 当时，， 故在上单调递增，在单调递增，在单调递减； ④当时，由得， 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在递增，上递减，递增； 当时，在上递增； 当时，在递增，递减，递增； 当时，在递减，递增． 54．（24-25高二下·安徽滁州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若函数的最小值为2，求实数的值． 【答案】(1)答案见解析 (2)或 【分析】（1）由题意得，分别讨论，，的情况，即可求解； （2）由（1）可得当时函数有最小值，从而可求解. 【详解】（1）由题意得的定义为，且， 当时，恒成立，此时在上单调递减； 当时，令，则或， 当时，则，当时，，此时在上单调递减； 当时，当时，，当时，， 此时在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）由（1）可得当时，为减函数则无最小值，所以， 当时，即时，取得极小值也是最小值， 所以，解得或， 故函数的最小值为，实数的值为或. 55．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数 (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）求定义域，求导，得到单调性和极值情况； （2）求导，得到导数的零点或，因为，所以，从而求出函数单调递增区间. 【详解】（1）当时，，定义域为R，， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为； （2）， 令得或， 因为，所以， 令得或， 所以的单调递增区间为，. 56．（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 57．（25-26高三上·北京·月考）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标及切线斜率即可求得切线方程； （2）求导，分，两种情况，根据导数与单调性的关系求解. 【详解】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 58．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 59．（24-25高二上·江苏镇江·期末）已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直. (1)求b； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上单调递减，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义，可得在处切线的斜率，根据两直线垂直，斜率的关系，即可得答案. （2）求得的解析式，分别讨论、、和四种情况，判断的正负，可得的单调性，综合分析，即可得答案. （3）由题意得在上恒成立，根据x的范围及函数的性质，即可得答案. 【详解】（1）由题意，则， 又切线与直线垂直，所以，解得. （2）因为，故， 则， 当时，，令，解得， 故在上，，则单调递增， 在上，，则单调递减； 当时，令有，且， 故在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减； 当时，恒成立，在单调递减； 当时，在上，，单调递减， 在上，单调递增， 在上，，单调递减. 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在，上单调递减； 当时，在单调递减，无单调递增区间； 当时， 在上单调递增，在，上单调递减. （3）由题意，， 所以在上恒成立， 因为时，，所以只需在上恒成立即可， 即在上恒成立即可，所以， 所以a的取值范围为. 题型八 利用导数求含参不可分离函数的单调性（共4小题） 60．（24-25高二下·贵州贵阳·期末）已知函数. (1)若函数在点处的切线与轴平行，求； (2)若，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)函数在上单调递减，在上单调递增 【分析】（1）利用导数的几何意义，在点处的切线与轴平行，即代入即可求解； （2）确定函数定义域，求导确定导函数的零点，根据导数确定函数单调性即可. 【详解】（1）由题可知函数定义域为，， 由于函数在点处的切线与轴平行， 所以，即，所以. （2）由（1）可知函数定义域为， ， 令，恒成立， 令，解得（舍去）或， 若，，单调递减； 若，，单调递增. 61．（24-25高二下·福建莆田·期末）已知函数. (1)讨论的单调性： (2)若有两个极值点，，求证：. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先求出函数的导数，通过讨论的范围，确定导函数的符号，从而判断函数的单调性； （2）表示出，通过求导进行证明． 【详解】（1）由，， 则， 不妨设， 则关于的方程的判别式， 当时，，，故， 函数在上单调递增； 当时，，方程有两个不相等的正根，， 且，， 当时，， 当时，， 在和上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在，上单调递增， 在单调递减； 当时，在上单调递增. （2）由（1）知当且仅当时，有极大值和极小值， 且，是方程的两个正根，，， ， 令， 当时，， 则在内单调递减， 故，则． 62．（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值. (2)答案见解析. 【分析】（1）时，求导，利用导数分析函数单调性确定极值即可. （2）求导，利用判别式讨论的零点，根据零点分析的符号即可得到单调性. 【详解】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 63．（24-25高二下·新疆乌鲁木齐·期末）已知函数，，（）. (1)函数在处切线方程，求的值. (2)设， ①若，以参数讨论函数的单调性； ②若，有两个极值点，，求的范围. 【答案】(1)； (2)①答案见解析；②. 【分析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义，结合给定切线求出的值. （2）①求出及导数，再分类求出其单调性；②把代入，求出导数，结合极值点及韦达定理列式求出范围. 【详解】（1）函数，求导得，则，而， 由函数在处切线方程，得，所以. （2）①当时，函数定义域为， 求导得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，方程，， 当时，，恒成立，，函数在上单调递增； 当时，由，解得， 当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. ②当时，，求导得， 由有两个极值点，得是方程的两个不等正实根， ，，则， 因此，，令函数， 求导得，函数在上单调递增，，即， 所以的取值范围是. 题型九 二阶导（共3小题） 64．（2025·浙江·三模）已知函数． (1)若曲线在处的切线过点，求实数a的值； (2)当时，证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义在某一点处的导数即为在这点处的切线斜率求解切线方程，再将代入方程，即可求出实数a的值. （2）二次求导，利用导数判断函数的单调性，写出函数的最小值，判断最小值大于即可得证. 【详解】（1）函数的定义域为，，所以， 又， 所以在处的切线方程为， 将点代入得，解得． （2）证明：，设，则， 因为，所以当时，，即单调递减； 当时，，即单调递增； 时，，即， ，， 所以当时，. ，， 所以存在唯一的，使得，即， 且当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以当时，函数在处取得极小值，即为最小值， 所以， 因为，所以，故， 则，得证． 65．（23-24高二下·山东临沂·期中）已知函数， (1)当时，讨论的单调性； (2)若任意，，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)函数在上单调递减. (2). 【分析】（1）利用二次导数判断函数的单调性； （2）首先由单调性判断函数的最小值，转化为，再利用参变分离，转化为求函数的最值，即可求解. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则， 令，解得， ，解得. ∴函数在上单调递增，在上单调递减， ∴当时，函数取得最大值， ∴， ∴， ∴函数在上单调递减. （2）易知在上单调递增 ∴任意，都有， ∵任意，，都有恒成立 ∴在上恒成立， 当时，不等式可化为，恒成立， 当时，， 令，， 则， ∵当时，，即， ∴当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增， ∴当时，函数取得最小值，∴， 综上，实数的取值范围是. 66．（25-26高三·北京·二轮复习）已知函数． (1)当时，求在处的切线方程； (2)当时，求的极值点. 【答案】(1)； (2)极大值点为，无极小值点. 【分析】（1）对函数求导，根据导数的几何意义求出切线方程即可； （2）先对求导，然后令，进一步求导判断单调性，进而得出极值点. 【详解】（1）因为时，所以，求导得. 所以，又， 所以在处的切线方程为，即. （2）因为，所以，函数的定义域为， 所以， 令，则，解得. 令，求导得. 因为，所以，所以在上单调递减，且. 所以当，，当，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上取极大值，所以极大值点为，无极小值点. 题型十 由函数单调性求参数（共8小题） 67．（24-25高二下·重庆·月考）已知函数在区间上是减函数，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，恒成立.从而得到，恒成立，再根据的单调性求解即可. 【详解】因为，函数在区间上是减函数， 所以，恒成立. 所以，恒成立. 设，， 因为对称轴为，所以在为增函数， 所以，所以. 故选：C 68．（2025高三·全国·专题练习）已知函数在上存在单调递减区间，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，只需存在区间，使得当时，，根据导数的零点大小分，和讨论求解. 【详解】由题意得， 要使在上存在单调递减区间，只需存在区间，使得当时，， 当时，，显然不存在满足条件的区间； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得； 当时，的解集为，因为， 所以要使在上存在单调递减区间，则，解得. 综上，的取值范围为. 故选：A. 69．（24-25高二下·江西南昌·期中）若函数在区间上不单调，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意转化为导数在上有变号零点，列出不等式求解. 【详解】，令， 因为函数在区间上不单调， 所以在上有变号零点， 即，解得， 故选：C 70．（24-25高二下·吉林四平·期中）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，求得，转化为恒成立，令，得到，结合二次函数的性质，列出不等式组，即可求解. 【详解】由函数， 可得， 因为在上单调递增，有恒成立， 整理为， 令，可得， 由二次函数的单调性，则满足，可得， 即实数的取值范围为. 故选：D. 71．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得在上恒成立，即，令，求出即可得出答案. 【详解】因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 所以，因为在上单调递增， 所以，所以. 故选：B. 72．（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 73．（24-25高二下·重庆城口·月考）已知函数，若在内不单调，则实数的取值范围是______________． 【答案】 【分析】求出函数的导数，由在内不单调知在内有实数根且无重根，再通过分类讨论结合二次方程根的分布求得实数的范围. 【详解】由，得， 因为在内不单调，所以在内有实数根且无重根. 若在内有且只有一个实数根，的图象如图， 则， 即，显然不等式无解；    若在内有两个不相等的实数根，的图象如图， 则，即，解得. 综上，实数的取值范围是    故答案为：． 74．（24-25高二下·湖北咸宁·月考）已知函数，若的单调减区间为，则实数______． 【答案】1 【分析】单调区间的端点值为导数的零点，即可求得； 【详解】函数， 则， 若的单调减区间为， 则的解集为， 所以，则，检验符合， 故答案为：1. 题型十一 由极值和极值点求参数（共8小题） 75．（24-25高二下·贵州安顺·期末）若函数有两个极值，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】问题转化为有两个变号零点，即有两个不同正根，利用判别式求解即可. 【详解】由题可知：， 因为函数有两个极值， 所以有两个变号零点， 即有两个不同正根， 因为,所以方程化为有两个不同正根， 所以且, 可得，即实数的取值范围为. 故选：B 76．（24-25高二下·贵州毕节·期末）已知函数的一个极值点为3，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．是函数的极小值点 【答案】B 【分析】根据极值点的定义得到，然后用导数研究原函数的单调性判断即可. 【详解】由，所以， 由题可知：， 当时，， 令，则；令，则或. 所以函数在单调递增，在单调递减. 对A，所以在处取得极小值，，错误； 对B，，所以，正确； 对C，当时，，所以错误； 对D，是函数的极大值点，错误； 故选：B 77．（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 78．（24-25高二下·河北衡水·期末）若函数的极大值点与其一个零点重合，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】求出函数地零点，再求出导数，并由在各零点处的导数值为0求出，然后验证即可. 【详解】依题意，函数的零点为， 求导得， 当为极大值点时，，解得或； 当为极大值点时，，解得； 当为极大值点时，，解得， 若，，当或时，； 当时，，则为极大值点，符合题意，， 若，，当或时，； 当时，，则为极小值点，不符合题意， 所以. 故选：B 79．（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 80．（24-25高二上·江苏泰州·期末）已知函数既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，问题化为至少有两个变号零点，导数求的极值列出不等式求参数范围. 【详解】对函数求导得，，令， 则， 当或时，，则在和上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 且时时， 要使函数既有极大值又有极小值， 即至少有两个变号零点，所以至少有两个变号零点， 所以. 故选：A. 81．（24-25高二下·北京房山·期末）已知在处有极大值，则实数的取值范围是_____. 【答案】 【分析】求导得，对分类讨论得对应的单调性、极大值情况即可求解. 【详解】由题意， 已知在处有极大值， 所以是的变号零点， 显然， 若，则， ，， 所以此时在单调递增，在单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时，或，， 所以此时在上单调递增，在上单调递减， 即此时在处有极大值，故满足题意， 当时， （i）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极大值，故满足题意， （ii）当时，，等号成立当且仅当， 此时在上单调递减， 即此时在处无极大值，故不满足题意， （iii）当时，，或， 此时在上单调递减，在上单调递增， 即此时在处有极小值，故不满足题意， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 82．（25-26高二上·江苏·期末）已知函数在处取得极大值，则实数的值是______. 【答案】3 【分析】对函数求导，得，由题意得到或，将和分别代入导函数，用导数的方法判断函数单调性，确定在处的极值，即可得出结果. 【详解】由得， 因为函数在处取得极大值， 所以是方程的根，因此或，即或； ①若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极小值，不符合题意； ②若，则， 当时，，则单调递增； 当时，，则单调递减； 当时，，则单调递增； 此时函数在处取得极大值，符合题意； 故答案为：3. 题型十二 由最值求参数（共5小题） 83．（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，且在区间内存在最小值，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求导，利用导数几何意义得到方程，求出，进而得到函数单调性，在处取得极小值，且计算出，要想在区间上存在最小值，需满足，从而得到答案. 【详解】，由题意得，解得， ，， 令得或，令得， 故在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又，令， 即，变形得到，即， 故或，即， 要想在区间上存在最小值，需满足， 解得. 故选：C 84．（24-25高二下·上海·阶段检测）已知函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导研究函数的单调性，结合即可得出范围. 【详解】由得， 则得或；得， 则在和上单调递增，在上单调递减， 又， 则在区间上有最大值时有，， 得， 则实数的取值范围是. 故选：B 85．（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 86．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知函数，当时，的最小值为4，实数a的值为______. 【答案】 【分析】根据题意，求得，分和，两种情况讨论，求得函数的单调性与最小值，列出方程，即可求解. 【详解】由函数，可得， ①当时，恒成立，单调递减， 此时，解得，不满足； ②当时，令解得， （i）当时， 当时，单调递减，当时，单调递增， 此时，解得，满足； （ii）当时，在上 ，单调递减， 此时，解得，不满足， 综上可得：综上所述， 故答案为：. 87．（24-25高二上·上海闵行·期末）已知函数，且在区间上的最大值为3，无最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值，结合题意可得且，即可求解. 【详解】由题意知，， 令或， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值为，极小值为，且， 又在上的最大值为3，无最小值， 所以，解得，所以， 令，解得或，所以， 所以. 故答案为： $