专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、极值与最值8大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、 极值与最值8大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 切线方程及其求参 题型02 公切线问题 题型03 具体函数的单调性、极值最值 题型04 利用导数求含参可分离函数的单调性 题型05 利用导数求含参不可分离函数的单调性 题型06 二阶导 题型07 由函数单调性求参数 题型08 由极值极值点、最值求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：由切线方程求参数 能利用切点在曲线上、切线斜率等于导数值这两个条件，建立方程（组）求解参数 高频考点，常以选择题、填空题或解答题第一问出现，易错点在于忽略切点同时满足曲线和切线方程 题型02：公切线问题 能解决两个函数存在公共切线的问题，通过设两个切点、联立方程求解参数或判断存在性 难度中上，常作为小题压轴或解答题中间步骤，关键点在于正确表达两条切线相同并消去切点 题型03：具体函数的单调性、极值最值 能通过求导、解不等式确定具体函数（无参数）的单调区间、极值与闭区间上的最值 基础综合考点，要求步骤规范（求导、解不等式、列表），易错点在于忘记定义域或导数分母不为零 题型04：利用导数求含参可分离函数的单调性 能对含参函数进行参变分离，将参数与变量分开，转化为讨论不含参函数的单调性问题 中档考点，考查转化思想，注意分离后参数与变量的范围限制，简化分类讨论 题型05：利用导数求含参不可分离函数的单调性 能直接对含参函数求导，通过分类讨论参数的不同取值范围，确定导函数符号，从而得到单调区间 高频压轴考点，分类讨论的完整性与区间合并是难点，易错点在于讨论不全面或忽略参数边界 题型06：二阶导 能正确计算二阶导数，并利用二阶导符号判断函数图象的凹凸性，辅助研究极值、拐点 常以小题或大题中间步骤出现，考查对导数深层意义的理解，易与一阶导应用混淆 题型07：由函数单调性求参数 能根据函数在给定区间上单调（增、减或非单调），转化为导函数恒成立或存在零点问题，求参数范围 重要考点，常结合分离参数或分类讨论，易错点在于等号是否可取（如单调递增时导数≥0） 题型08：由极值极值点、最值求参数 能利用极值点处导数为零、极值定义或最值条件（已知最值或最值位置），建立方程（组）或不等式求解参数 高频考点，需结合单调性讨论，注意验证极值点两侧导数符号变化，最值需比较端点与极值点 知识点1 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点2 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点3 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点4 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 ， ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点5 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点6 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 ； （2）将函数的各 与 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点7二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 题型一 切线方程及其求参 解｜题｜技｜巧 已知切线方程（或斜率、切点坐标等），利用“切点既在曲线上又在切线上”和“导数等于切线斜率”建立方程组。若切点未知，设切点横坐标为 ，表达出切点坐标和斜率，再根据已知条件（如切线过某点、与某直线平行/垂直）列方程求解参数。 【典例1】（24-25高二下·广西梧州·期末）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【变式1】（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式2】（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型二 公切线问题 解｜题｜技｜巧 分别设两曲线的切点为 和 ，由斜率相等得 ，再由同一条直线得 （或利用切线方程截距相等）。联立解出 及参数。注意可能两切点重合的情况。 【典例1】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______． 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）直线与函数和的图象都相切，则________ 【变式2】（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 题型三 具体函数的单调性、极值最值 解｜题｜技｜巧 先求定义域，再求导并令导数为零，划分区间列表，判断各区间导数的正负，从而确定单调递增/递减区间。极值点出现在导数变号处，最值需比较极值与区间端点值（闭区间）或求极限（开区间）。 【典例1】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上存在零点，求的取值范围. 【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【变式1】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【变式2】（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 题型四 利用导数求含参可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 若参数能完全分离到导数符号之外（例如 或 ），则单调性由 的符号以及参数的取值共同决定。一般先求 的正负区间，再结合参数范围分类讨论。 【典例1】（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【典例2】（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【变式1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【变式2】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，函数. (1)若2是的极值点，求的值和该极值； (2)讨论函数单调性. 【变式3】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知函数，， (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 题型五 利用导数求含参不可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 参数无法简单分离时，需对导数表达式进行结构分析（如二次型、分式型、指对型）。分类讨论的依据：最高次项系数是否为零、判别式的符号、根的大小比较、分母的正负等。最终列出不同参数区间下的单调区间。 【典例1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【变式1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数有两个极值点，，，证明：. 【变式2】（24-25高二下·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)当时，，求a的取值范围． 题型六 二阶导 解｜题｜技｜巧 二阶导 用于判断函数的凹凸性： 时函数下凸（凹向上）， 时上凸（凹向下）。拐点处 且两侧变号。另外，若一阶导为零且二阶导不为零，可判定极值类型（正为极小，负为极大）。在不等式证明中常通过二阶导分析一阶导的单调性。 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【变式2】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 题型七 由函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 已知 在区间 上单调递增（减），转化为 （）在 上恒成立，且不在任何子区间恒为零。常用分离参数法或直接求最值（如 或 ）。注意端点是否包含及等号成立时的验证。 【典例1】（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·河南信阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 题型八 由极值、极值点、最值求参数 解｜题｜技｜巧 由极值点求参数： 且 处导数变号，列方程解参数后验证变号条件。 由极值（函数值）求参数：极值点处函数值为已知，结合 联立求解。 由最值求参数：根据参数对单调性的影响分类讨论，得到最值表达式（含参），令其等于已知最值，解出参数，注意检查最值点是否在区间内。 【典例1】（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【变式2】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数 (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 7．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 9．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)当时，证明：在R上单调递减. (2)若有两个极值点，，且，求m的取值范围. 11．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，求曲线过点的切线方程； (3)若存在三个不同的零点，且，证明：. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 导数与切线方程、导数与单调性（含二阶导）、 极值与最值8大题型（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 切线方程及其求参 题型02 公切线问题 题型03 具体函数的单调性、极值最值 题型04 利用导数求含参可分离函数的单调性 题型05 利用导数求含参不可分离函数的单调性 题型06 二阶导 题型07 由函数单调性求参数 题型08 由极值极值点、最值求参数 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：由切线方程求参数 能利用切点在曲线上、切线斜率等于导数值这两个条件，建立方程（组）求解参数 高频考点，常以选择题、填空题或解答题第一问出现，易错点在于忽略切点同时满足曲线和切线方程 题型02：公切线问题 能解决两个函数存在公共切线的问题，通过设两个切点、联立方程求解参数或判断存在性 难度中上，常作为小题压轴或解答题中间步骤，关键点在于正确表达两条切线相同并消去切点 题型03：具体函数的单调性、极值最值 能通过求导、解不等式确定具体函数（无参数）的单调区间、极值与闭区间上的最值 基础综合考点，要求步骤规范（求导、解不等式、列表），易错点在于忘记定义域或导数分母不为零 题型04：利用导数求含参可分离函数的单调性 能对含参函数进行参变分离，将参数与变量分开，转化为讨论不含参函数的单调性问题 中档考点，考查转化思想，注意分离后参数与变量的范围限制，简化分类讨论 题型05：利用导数求含参不可分离函数的单调性 能直接对含参函数求导，通过分类讨论参数的不同取值范围，确定导函数符号，从而得到单调区间 高频压轴考点，分类讨论的完整性与区间合并是难点，易错点在于讨论不全面或忽略参数边界 题型06：二阶导 能正确计算二阶导数，并利用二阶导符号判断函数图象的凹凸性，辅助研究极值、拐点 常以小题或大题中间步骤出现，考查对导数深层意义的理解，易与一阶导应用混淆 题型07：由函数单调性求参数 能根据函数在给定区间上单调（增、减或非单调），转化为导函数恒成立或存在零点问题，求参数范围 重要考点，常结合分离参数或分类讨论，易错点在于等号是否可取（如单调递增时导数≥0） 题型08：由极值极值点、最值求参数 能利用极值点处导数为零、极值定义或最值条件（已知最值或最值位置），建立方程（组）或不等式求解参数 高频考点，需结合单调性讨论，注意验证极值点两侧导数符号变化，最值需比较端点与极值点 知识点1 导数的几何意义 就是曲线在点（也称处）处的切线的 斜率 ，从而根据直线的点斜式方程可知，切线的方程是 ． 知识点2 导函数与原函数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 ＞0 f(x)在(a，b)上单调递增 ＜0 f(x)在(a，b)上单调递减 ＝0 f(x)在(a，b)上是常数函数 知识点3 利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导函数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性. [常用结论] 1.若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则x∈(a，b)时，恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则x∈(a，b)时，恒成立. 2.若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则x∈(a，b)时，＞0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则x∈(a，b)时，＜0有解. 知识点4 极值的定义 极大值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 大 ， 0 .而且在点附近的左侧 0，右侧 0.我们把叫做函数的极大值点，叫做函数的极大值. 极小值：函数在点的函数值比它在点附近其他点的函数值都 小 ， 0 ；而且在点附近的左侧 0，右侧 0，我们把叫做函数的极小值点，叫做函数的极小值. 求可导函数的极值的步骤 （1）确定函数的定义域，求导数； （2）求方程 的根； （3）列表； （4）利用与随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点5 极值与导数的关系 是极值点 是极值点，即：是为极值点的必要非充分条件 知识点6 函数的最值与导数 设函数在上连续，在内可导，求在上的最大值与最小值的步骤如下： （1）求函数在内的 极值 ； （2）将函数的各 极值 与 端点 处的函数值、比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 知识点7二阶导的定义 定义 1 : 若函数的导函数在点处可导, 则称在点的导数为在点 的二阶导数, 记作, 同时称在点为二阶可导. 定义 2: 若在区间上每一点都二阶可导, 则得到一个定义在上的二阶可导函数, 记作 题型一 切线方程及其求参 解｜题｜技｜巧 已知切线方程（或斜率、切点坐标等），利用“切点既在曲线上又在切线上”和“导数等于切线斜率”建立方程组。若切点未知，设切点横坐标为 ，表达出切点坐标和斜率，再根据已知条件（如切线过某点、与某直线平行/垂直）列方程求解参数。 【典例1】（24-25高二下·广西梧州·期末）曲线在处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将代入曲线方程求得切点坐标，利用导数的几何意义求解切线斜率，利用直线方程点斜式求解即可. 【详解】因为，所以，所以． 又当时，，故切点坐标为，所以切线方程为． 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知直线是函数在某点处的切线，则实数的值为（    ） A．1 B．-1 C． D． 【答案】D 【分析】设切点坐标，根据导数的几何意义，可得切点坐标，再代入切线方程即可． 【详解】由题可得，设切点坐标为， 则， 所以，，，故D正确. 故选：D. 【变式1】（24-25高二下·河南焦作·期末）过点且与曲线相切的直线方程为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】设切点为，利用切点坐标表示出切线方程，然后代入点，求出即可得解. 【详解】设切点为，因为，所以， 所以曲线在点处的切线方程为， 又该切线经过点，所以， 整理得，解得或， 所以切线方程为或. 故选：C 【变式2】（24-25高二下·江苏镇江·期末）若曲线有两条过坐标原点的切线，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标为，根据导数的几何意义表示出切线方程，结合切线方程过原点且有两解即可求解. 【详解】设切点坐标为，， 所以切线斜率为， 所以切线方程为， 又切线过坐标原点， 所以， 整理得， 又曲线有2条过原点的切线，所以该方程有2个实数解， 所以，解得或. 故选：. 题型二 公切线问题 解｜题｜技｜巧 分别设两曲线的切点为 和 ，由斜率相等得 ，再由同一条直线得 （或利用切线方程截距相等）。联立解出 及参数。注意可能两切点重合的情况。 【典例1】（24-25高二下·江苏盐城·期末）已知直线为曲线与的公共切线，则直线的方程可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数求出两条曲线的切线方程，再利用公共切线可解出切点，进而求得切线的方程. 【详解】设直线与曲线的切点坐标为，直线与曲线的切点坐标为， 直线方程为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， ，，直线的方程为， 又，直线的方程化简为， 直线为曲线与的公共切线， ①，②， 由①得，两边取对数得，，， 代入②中得，，即， 解得或， 当时，，，直线的方程为； 当时，，，直线的方程为； 根据选项可知直线的方程可以为. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·广东深圳·期末）直线与函数和的图象都相切，则______． 【答案】 【分析】设直线与函数图象的切点为，设直线与函数图象的切点为，利用导数的几何意义可得出关于直线的两种形式，求出、的值，可得出、的值，即可得出结果. 【详解】设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 设直线与函数图象的切点为， 又，所以，直线的方程可表示为， 即，故， 所以，由可得， 所以，解得，故， 则，故. 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·江苏淮安·阶段检测）直线与函数和的图象都相切，则________ 【答案】 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 【变式2】（25-26高二下·四川成都·期中）若直线与曲线相切于点P，与曲线相切于点Q，则__________． 【答案】 【分析】对两个曲线函数求导，设出切点坐标，根据导数的几何意义列出方程，进而计算即可. 【详解】对曲线函数求导得，对曲线函数求导得， 设切点，， 因为直线与曲线相切于点P，所以. 因为直线与曲线相切于点Q，所以. 所以，得到， 化简得，解得，所以. 题型三 具体函数的单调性、极值最值 解｜题｜技｜巧 先求定义域，再求导并令导数为零，划分区间列表，判断各区间导数的正负，从而确定单调递增/递减区间。极值点出现在导数变号处，最值需比较极值与区间端点值（闭区间）或求极限（开区间）。 【典例1】（24-25高二下·云南玉溪·期末）已知函数. (1)讨论函数的单调性； (2)若在上存在零点，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，分类讨论得的单调性； （2）利用导数，结合单调性和极值使在上存在零点，得到答案. 【详解】（1）的定义域为，                ，             当时，由得，或，由，得； 当时，恒成立； 当时，由，得或，由，得. 综上可得，当时，在上为增函数； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）令，，即，             令，，    ，          当时，由，单调递减， 当时，由，单调递增， ，，，                在上存在零点，即为，即， 综上可得，的取值范围为. 【典例2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知函数． (1)求函数的单调区间和极值． (2)若对恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）利用导数与函数单调性之间的关系可求得函数的增区间和减区间，即求得函数的极大值和极小值； （2）利用导数求出函数在区间上的最小值，可得出，由此可解得实数的取值范围. 【详解】（1）因为，则， 令，可得或，列表如下： 增 极大值 减 极小值 增 所以，函数的增区间为、，减区间为， 函数的极大值为，极小值为. （2）由（1）可知，函数在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 且，， 故当时，， 因为对恒成立，则，解得， 因此，实数的取值范围是. 【变式1】（24-25高二下·辽宁·期末）已知函数． (1)求曲线在处的切线方程； (2)求的极值． 【答案】(1) (2)极小值为，无极大值 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义可得切线方程； （2）求导，根据导数可判断函数单调性，进而可得极值. 【详解】（1）由已知， 则， 则，且， 所以切线方程为， 即； （2）由（1）知， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故的极小值为，无极大值. 【变式2】（24-25高二下·山东聊城·期末）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若时，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)增区间是和，减区间是； (2) 【分析】（1）利用导数确定单调区间； （2）分离参数后，构造新函数，由导数求得新函数的最值后得结论. 【详解】（1）时，，， 或， 当或时，，当时，， 所以增区间是和，减区间是； （2）， 不等式为， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以， 所以，即取值范围是. 题型四 利用导数求含参可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 若参数能完全分离到导数符号之外（例如 或 ），则单调性由 的符号以及参数的取值共同决定。一般先求 的正负区间，再结合参数范围分类讨论。 【典例1】（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用导数分和两种情况讨论导数正负得出函数的单调区间； （2）由题设，，并用导数研究的单调性和极值，即可证. 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 【典例2】（24-25高二下·重庆沙坪坝·期末）已知函数， (1)若曲线与轴相切，求实数的取值； (2)讨论函数的单调区间． 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）设切点为，求导得，解得，，分类讨论可求得的值； （2）先对函数求导，首先分，两种情况，令，求得方程的根，进而分，和三种情况讨论导数的正负，从而可得函数的单调区间. 【详解】（1）设切点为，则切线斜率为， 因为曲线与轴相切，则， 当时，解得，切点为，即，解得（舍去）； 当时，解得或， 当时，切点为，即，解得， 当时，切点为，即，解得， 综上，或； （2）， 当时，令，可得， 若，，所以在上单调递减， 若，，所以在上单调递增， 当时，令，得或． ①当时，恒成立，所以在上单调递增． ②当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区问为，单调递减区间为． ③当时，，由，得或； 由，得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为． 综上所述， 当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，在上单调递增； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为． 【变式1】（24-25高二下·湖北武汉·期末）已知函数． (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求的导数，再利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线的点斜式方程求解即可. （2）对分类讨论，确定导数符号，得出单调性. 【详解】（1）当时，，求导得， 则，又，所以切线方程为，即. （2）函数的定义域为， 求导得， 当时，有恒成立，函数在单调递减； 当时，由，得，函数在上单调递减； 由，得，函数在上单调递增， 所以当时，函数在单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【变式2】（24-25高二下·黑龙江牡丹江·期末）已知，函数. (1)若2是的极值点，求的值和该极值； (2)讨论函数单调性. 【答案】(1)， (2)答案见解析 【分析】（1）由2是的极值可得，从而得，再经检验即可求解； （2）由题意可得，分别讨论当，当，当的三种情况，即可求解. 【详解】（1）由题意得 2是的极值点， ，即. 经检验符合题意，极值. （2）由题意知：定义域为，， 令，解得：，； ①当，即时，若，；若，； 在，上单调递减，在上单调递增； ②当，即时，且不恒等于，在上单调递减； ③当，即时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在，上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 当，在，上单调递减，在上单调递增. 【变式3】（24-25高二下·湖北襄阳·期末）已知函数，， (1)讨论的单调性； (2)当时，若恒成立，求b的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得，对分类讨论即可得对应的单调性； （2）由题意恒成立，构造函数，只需利用导数求导的最小值即可得解. 【详解】（1）由已知， 当时，，所以当时，单调递减，当时，单调递增； 当时，由，得或， 当即时，在上单调递增， 当时，时，在上单调递减， 和时，在单调递增； 当时，时，在上单调递减， 和时，在上单调递增. 综上可得：①时，在单调递减，在上单调递增； ②时，在上单调递增； ③时，在上单调递减，在上单调递增； ④时，在上单调递减，在上单调递增； （2）当时，若恒成立，即恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，又， 所以存在唯一的，使得， 当时，，即，则在上单调递减， 当时，，即，则在上单调递增， 则. 又因 设，则，易知在上单调递增， 所以，得故， 因此，故b的取值范围为. 题型五 利用导数求含参不可分离函数的单调性 解｜题｜技｜巧 参数无法简单分离时，需对导数表达式进行结构分析（如二次型、分式型、指对型）。分类讨论的依据：最高次项系数是否为零、判别式的符号、根的大小比较、分母的正负等。最终列出不同参数区间下的单调区间。 【典例1】（24-25高二下·安徽合肥·期末）已知函数． (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，无极大值. (2)答案见解析. 【分析】（1）时，求导，利用导数分析函数单调性确定极值即可. （2）求导，利用判别式讨论的零点，根据零点分析的符号即可得到单调性. 【详解】（1），， ， 则时，，单调递减，时，，单调递增， 所以，无极大值. （2）定义域为，， 当，即时，，在单调递增， 当且，即时， 此时只有一个解， 所以时，，单调递减， 时，，单调递增， 当时，有两个解， 所以和时，，单调递增， 时，，单调递减， 综上，当时，在单调递增； 当，在和单调递增， 在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增. 【变式1】（24-25高二下·安徽安庆·期末）已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若函数有两个极值点，，，证明：. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）当时，，利用导数求出处的斜率，从而可求切线方程； （2）由，分情况讨论，，再结合导数即可求解； （3）设是的极大值点，是的极小值点，要证要证，只要证，即等价于，令，设，再结合导数求出，从而可求解. 【详解】（1）由题意可知的定义域为， 当时，，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为：，即. （2）， ①当，因为，恒成立，所以在上单调递减； ②当，令，即，因为， 若时，得，，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 若时，，则恒成立，则在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，有两个极值点， 其中是的极大值点，是的极小值点，且，，所以， 要证，只要证， 由， 代入可得，原式， 令，设， 所以，即， 则在上单调递增，所以， 则，即， 所以原不等式成立. 【变式2】（24-25高二下·重庆·期末）已知函数． (1)讨论函数的单调性． (2)当时，，求a的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【分析】（1）求导，分和讨论导数的正负得解； （2）由题，问题转化为，当时，上式对恒成立，当时，上式转化为恒成立，令，易判断是偶函数，只需对恒成立即可，构造函数利用导数证明，即可得解. 【详解】（1）由，则，， 令， 当时，有，即，所以在R上单调递减； 当时，，， 方程的两根为，，且， 当和时，，即， 当时，，即， 所以在和上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，在R上单调递减； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，，， 所以不等式，即， 两边取对数可得， 当时，上式对恒成立， 当时，上式转化为恒成立， 令，由，知是偶函数， 所以只需对恒成立即可， 令，， 则， 令，则， ，则，故，则， 所以在上单调递减，故，即， 所以在上单调递减， 所以，则，对， 所以， 即可. 所以的取值范围为. 题型六 二阶导 解｜题｜技｜巧 二阶导 用于判断函数的凹凸性： 时函数下凸（凹向上）， 时上凸（凹向下）。拐点处 且两侧变号。另外，若一阶导为零且二阶导不为零，可判定极值类型（正为极小，负为极大）。在不等式证明中常通过二阶导分析一阶导的单调性。 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）已知函数． (1)讨论在其定义域上的单调性； (2)当时，若，求实数的取值范围． 【答案】(1)所以在和上单调递减； (2) 【分析】（1）利用二次求导判断的单调性得出，即即可； （2）把问题转化为在上恒成立，分和两种情况讨论，时符合题意，时导出矛盾即可求解. 【详解】（1）的定义域为， ， 令，则， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以，则有，所以在和上单调递减； （2）当时， 等价于， 即，令， 则， ①若，则，在上单调递减，所以，满足题意； ②若，令，得， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以， 令，， 是减函数，又，所以，与条件矛盾，舍去. 综上所述，的取值范围是． 【变式1】（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)若，求曲线在处的切线方程； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围； (3)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）利用二阶导，对分类讨论即可； （3）求出，让其大于等于零即可求出的范围. 【详解】（1）时，，， 所以，， 所以曲线在处的切线方程为. （2）由题知的定义域为，， 令，则. ①当时，，函数单调递增，又， 所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意. ②当时，. （ⅰ）当，时，令，得； 令，得，故函数在上单调递增，在上单调递减，又由，所以， 即，函数单调递减，所以不是函数的极小值点. （ii）当，时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极小值点，满足题意. （ⅲ）当，时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增，所以是函数的极大值点，不满足题意. 综上，的取值范围为. （3）①当时，， 当时，有，，，所以，不合题意. ②当时，由（2）知函数在上单调递减，在上单调递增， 若恒成立，只需，解得. 故的取值范围为. 【变式2】已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)判断是否存在，使得的最小值为，并说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，设，得到，求得的单调性，得出，再结合和，两种情况讨论，即可求解； （2）由（1）得到，假设存在满足条件的，进而得到，设，求得，再设，利用导数求得在上单调递增，进而得到答案. 【详解】（1）由 得，. 设，则， 当时，单调递减，当时，单调递增， 所以，即， 若，则，，在上单调递增， 若，则当时，单调递减， 当时，单调递增. 综上，当时在上单调递增；当时在（0，a）上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）知，当时在上单调递减，在上单调递增， 所以. 假设存在满足条件的，则，即 又，所以，所以， 设，则， 因为， 所以在上单调递减，所以， 设，则，所以在上单调递增， 所以，故，与矛盾， 所以不存在，使得的最小值为. 题型七 由函数单调性求参数 解｜题｜技｜巧 已知 在区间 上单调递增（减），转化为 （）在 上恒成立，且不在任何子区间恒为零。常用分离参数法或直接求最值（如 或 ）。注意端点是否包含及等号成立时的验证。 【典例1】（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 【典例2】（24-25高二下·北京·期末）若函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由题意得在上有解，进而得到在上有解，再利用导数工具求出函数的最小值即可得解. 【详解】由题得在上有解， 即在上有解， 因为， 所以当时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以实数的取值范围是. 故选：A 【变式1】（24-25高二下·河南信阳·期末）已知函数在区间上单调递减，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题可转化成在上恒成立，通过参变分离结合利用导数求函数的值域求解. 【详解】由题意，在上恒成立， 即在上恒成立． 设，，， 所以，函数在是单调递减， ，．． 故的最大值为. 故选：A． 【变式2】（24-25高二下·安徽合肥·期末）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】可知在区间上有解，,等价于在区间上有解，结合存在性问题分析求解即可. 【详解】由，得， 若在区间上存在单调递减区间， 则在区间上有解， 可得在区间上有解， 又因为在区间上单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围是. 故选：D． 题型八 由极值、极值点、最值求参数 解｜题｜技｜巧 由极值点求参数： 且 处导数变号，列方程解参数后验证变号条件。 由极值（函数值）求参数：极值点处函数值为已知，结合 联立求解。 由最值求参数：根据参数对单调性的影响分类讨论，得到最值表达式（含参），令其等于已知最值，解出参数，注意检查最值点是否在区间内。 【典例1】（2025·四川成都·二模）若函数有极值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对函数求导，设，，分，结合导数分析求解即可. 【详解】由，， 则， 令，， 则， 当时，恒成立，则， 即函数在上单调递增，此时函数无极值，不符合题意； 当时，令，得， 当时，，则，得函数在上单调递减， 又时，；时，， 所以存在，使得，则函数存在极值； 当时，， 则时，；时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则， 设，，则， 当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又，且时，， 则时，，此时函数无极值，不符合题意； 当时，，且时，；时，， 此时函数存在极值. 综上所述，的取值范围为. 故选：A. 【点睛】方法点睛：解决函数有极值问题，解决的方法是要保证其导数有变号零点. 【典例2】（24-25高二下·福建厦门·期末）已知函数在区间上存在最大值与最小值，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对求导，求出导数为0的的值，分析的单调性，得出极值点，极值，并计算取得极值的其它点，从而得到的取值范围. 【详解】，令，解得或，易知： 在区间上单调递减，在区间上单调递增，在区间上单调递减， 故的极小值为，极大值为， 所以， 由可得，，解得或， 由可得，，解得或， 所以，， 因此，即. 故选：B． 【变式1】（24-25高二下·福建漳州·期末）若函数在处有极小值，则实数的值为（ ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】借助极值点定义可得，即可得或，再分类进行讨论排除极大值情况即可得. 【详解】， ，解得：或； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极小值，符合题意； 当时，， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减， 在处取得极大值，不合题意； 综上所述：. 故选：A. 【变式2】（24-25高二下·江西上饶·期末）已知函数没有极值，则实数m的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，求得，由函数没有极值，得到，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数没有极值，可得， 即，可得，解得， 所以实数的取值范围为. 故选：A. 期末基础通关练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数，则在处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，利用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】，， 在处的切线方程为. 故选：D. 2．（24-25高二下·新疆·期末）若函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意得在上恒成立，再次转化为在上恒成立，从而可求出的取值范围. 【详解】由，得， 因为函数在上单调递增， 所以在上恒成立， 即在上恒成立，所以， 即的取值范围为. 故选：C 3．（24-25高二下·广西百色·期末）已知函数． (1)求的单调区间； (2)求在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1)减区间，增区间 (2)最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出导函数，解不等式，即可. （2）结合（1）可知单调性，进而求最值. 【详解】（1），若，则，若，则， 所以的减区间为，增区间为. （2）由（1）可得，当时，单调递减，当，单调递增， 因为，，， 故当时，最大值为，最小值为. 4．（24-25高二下·海南省直辖县级单位·期末）已知函数． (1)求的导数； (2)求的单调区间． 【答案】(1)； (2)单调递增区间为，无递减区间 【分析】（1）利用求导法则计算即可； （2）先求定义域，利用根的判别式得到导函数大于0恒成立，故得到函数单调区间. 【详解】（1）； （2）定义域，令，即，即， ，其中判别式，故恒成立， 单调递增区间为，无递减区间. 5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）已知函数 (1)若，求的极小值； (2)当时，求的单调递增区间. 【答案】(1)； (2)，. 【分析】（1）求定义域，求导，得到单调性和极值情况； （2）求导，得到导数的零点或，因为，所以，从而求出函数单调递增区间. 【详解】（1）当时，，定义域为R，， 令得，令得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，极小值为； （2）， 令得或， 因为，所以， 令得或， 所以的单调递增区间为，. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（24-25高二下·广东广州·期末）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）求导，分解因式，进而分，可确定单调性； （2）由题意可求得，进而证明，令，利用导数可证结论. 【详解】（1）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在单调递增； 时，在单调递减； 综上所述，当时，在单调递减； 当时，在单调递减，在单调递增． （2）由（1）可得，当时，， 即证，即证， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减， ，即， . 7．（24-25高二下·江西九江·期末）已知函数． (1)直线在处与函数相切，求实数的值； (2)若在上单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【分析】(1)根据导数的几何意义，求得函数在处的切线斜率，并根据切点是函数图象与切线的交点，可求得实数a，b的值. (2)根据函数在上单调，得或在上恒成立，从而列出关于的不等式，求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：因为函数，所以. 所以. 所以函数在处的切线的斜率为. 由题可知：就是函数在处的切线方程.所以,所以 又切线过点,所以即所以 所以 （2）解:因为在上单调，或在上恒成立. 因为，且恒成立，所以或在上恒成立， 所以或在上恒成立.所以或. 所以的取值范围是： 8．（25-26高三上·北京·阶段检测）已知函数. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出切点坐标及切线斜率即可求得切线方程； （2）求导，分，两种情况，根据导数与单调性的关系求解. 【详解】（1）若，则，， ，，则切线方程为； （2）函数的定义域为. . 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 当时，令，解得. － 0 ＋ 单调递减 极小值 单调递增 综上，当时，的单调递减区间是，单调递增区间是； 当时，的单调递减区间是，单调递增区间是. 9．（24-25高二下·吉林长春·期末）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)当时，若的最大值为4，求的值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）先求出切点，再结合导数的几何意义求出斜率，最后得到切线方程即可. （2）先求出，进而结合因式分解法判断，再利用余弦函数的性质求解单调区间即可. （3）先利用换元法得到，再针对参数范围讨论的单调性，进而结合最大值为4建立方程，求解的值即可. 【详解】（1）当时，， 而，则切点为，可得， 由斜率的几何意义得斜率为，故切线方程为. （2）因为， 所以， 故， 令，则， 因为，所以，， 可得，令，， 令，， 故的单调递增区间是， 单调递减区间是. （3）令，则可化为， 而，由题意得，故， 令，解得，下面我们讨论和的大小关系， 当时，解得，此时在上单调递减， 此时的最大值为， 令，则， 此时，故恒成立，则在上单调递增， 则，可得的最大值不可能为，故排除， 当时，解得，令，， 令，，故在上单调递增，在上单调递减， 则的最大值为， 得到，解得. 期末综合拓展练（测试时间：20分钟） 10．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知函数. (1)当时，证明：在R上单调递减. (2)若有两个极值点，，且，求m的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）经过两次求导即可证明的单调性； （2）有两个极值点，，即至少有两个实数根，通过讨论的正负，利用导数判断函数的单调性和极值得到的两根的范围，再利用即可得到，最后利用即可求解. 【详解】（1）当时，，则， 令，得. 令，得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 在处取得极大值，即最大值， 且， ，，即，故在R上单调递减； （2），， 有两个极值点，，至少有两个实数根. 设，则， 当时，，则只有一个实数根，不合题意，舍去； 当时，，则在R上单调递增， 则至多只有一个实数根，不合题意，舍去； 当时，令，解得， 当，，在上单调递增， 当，，在上单调递减， 在处取得极大值，且， 至少有两个实数根，至少有两个实数根， ，解得， ，，，，， 的两根中有一根在内，有一根在内. 若，则，这与矛盾，舍去. ，且， ，， 由，得恒成立， ， 由，得，解得， 由，， 令，，得， 则在上单调递增，，且， ，则， 又，且，的取值范围为. 11．（24-25高二下·山东威海·期末）已知函数. (1)讨论的单调性； (2)当，时，求曲线过点的切线方程； (3)若存在三个不同的零点，且，证明：. 【答案】(1)答案见解析 (2)或. (3)证明见解析 【分析】（1）分类讨论计算导数正负得出函数单调性； （2）先求出导函数，计算得出函数的切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （3）法一：设及零点再化简计算证明等式；法二：设零点得出，再化简证明；法三：设零点得出，再化简证明； 【详解】（1）， ①当时，， 所以的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； ③当时，令，解得或，令，解得； 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）当，时，，则， 设切点为， 则切线的斜率， 所以切线方程为 又因为经过点， 所以， 即，整理得， 解得或， 所以过点的切线方程为或. （3）法一：若存在三个不同的零点， 则可设， 整理得， 所以. 因为，所以， 所以，可得. 法二：若存在三个不同的零点， 因为，可设，，， 则，，， 化简可得，， 两式相减可得， 所以， 所以，可得. 法三：若存在三个不同的零点， 则，，， 两两相减可得，， 因为，所以，， 两式相减可得， 所以， 因为，所以. 所以，可得. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $