专题01 导数概念与导数的运算法则讲义【4大题型】-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第二册

专题01导数概念与导数的运算法则 〉题型预览 题型一 平均变化率与瞬时变化率 题型二 导数定义与极限运算 题型三 导数的四则运算 题型四 复合函数的导数 〉知识清单 函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数了)在区间k,x,】上的平均变化率为：，)，表示为函数f)从x到飞的平 X2-x1 的变化率，若设△x=,-x,Ay=)F/c)则平均变化率为g=5)--G+4-/① △x 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出△y=f(x2)-f(x)和△x=x2-x ②作商：对所求得的差作商，即=)-f) △x x2-x1 瞬时变化率 1、瞬时变化率的定义 定义式 lim △y =lim f(x,+△r)-f(x) △x→0△xAr→0 △x 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 2、导数的定义 函数f(x)在x=x处瞬时变化率是lim Ay=lim Ar-0△x f八x,+△)-f八x。,我们称它为函数y=f八x)在x=xo处的 △x 数起作/}或y甲广是-1+ 3、定义法求导数步骤： ①求函数的增量：△y=f(x+△x)-f(x): ②求平均变化率： =fx,+△)-f(x) △x △x ③求极限，得导数：f'(x)=lim Ay=lim f(x。+△r)-f(xo) △r→0△x△r-→0 △x 基本初等函数的导数公式 1/8 原函数 导函数 f(x)=C(C为常数) f'(x)=0 f(x)=x" f'(x)=nx"- f(x)=sinx f'(x)=cosx f(x)=cosx f(x)=-sinx f(x)=a" f'(x)=a*Ina f(x)=e* f'(x)=e" f(x)=log。' f)=1 na f(x)=Inx M()-1 f(x)= f'(x)=2N 1 /(x)=1 f)=-交 1 导数的四则运算法则 1、两个函数(x)和g(x)的和（或差）的导数法则： [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x) 2、对于两个函数f(x)和g(x)的乘积（或商）的导数，有如下法则： [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x); f(x) fxg)-fx)g田(g(x)≠0). g(x) [g(x)]2 3、由函数的乘积的导数法则可以得出[cf(x]'=cf(x)+cf'(x)=cf'(x), 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即[cfx]=cf() 复合函数的导数 复合函数y=f(g(x》的导数和函数y=f(0),u=g()的导数间的关系为'片=，即y对x的导数等于y对 u的导数与u对x的导数的乘积 〉题型突破 题型一平均变化率与瞬时变化率 2/8 1.(25-26高二下·河南信阳·月考)函数f(x=在区间1,4上的平均变化率为() A.4 B. C. D 2.(25-26高二下.安徽安庆月考)函数f(x)=x2-3Vx在区间[1,4上的平均变化率为 3.(25-26高二下山东青岛月考)（多选）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示， 给出下列四个选项： 位移 0 专名时间 其中正确的选项有() A.汽车在[0，]时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B.汽车在4,2]时间段内不断加速行驶； C.汽车在[t2,]时间段内不断减速行驶： D.汽车在，时刻的瞬时速度小于t4时刻的瞬时速度 4.(25-26高二下·全国·课后作业)现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为 35 nmile/h,A地至B地之间的航行距离约为500 amile,每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时 的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元. (1)把全程运输成本y(元)表示为速度x(mile/h)的函数y=f(x); (2)求x从10变到20时，全程运输成本y关于速度x的平均变化率； (3)求f'(10)并解释它的实际意义. 题型二导数定义与极限运算 525-26高=二下福建器期)已知x是定义在R上的可导函数，若m22+4-则f川2)=( △x A3 1 B.-1 D.1 6.(25-26高二下.江苏苏州月考)设f(x)是可导函数，且1im A￥30 f0+3A)-f0=2,则f'①=（） △x A.2 B C.6 D.-2 7.(25-26高二下·上海徐汇期中)已知函数y=∫(x)的定义域为R,且y=f'(x为y=∫(x)的导函数，f(x)在 x=2处可导，若m2+-2-1,则f川2)= 2h 3/8 8.(21-22高二下·江苏苏州期中)设f(x)是可导函数，且lim f1-3△)-f0=2,则f'0)=（) △r-0 △x A.2 C.-1 D.-2 9.(25-26高二上河北石家庄期末)已知函数f(x的导函数为f'x),若1im f-5+Ax-f-51=5,则 △x f'(-5= 10.(25-26高二下·河南焦作·期中)（多选）下列求导数运算正确的是() A.(e")=e" B.(log;x)'=1 xIn5 C.(2x+sinx)=6x2+cosx D 2 2(x-ln2) x2In 2 11. (25-26高二下·河南南阳·期中)（多选)下列求函数的导数正确的是() B.（x3-2+1=3x2-2rln2 C.(xsinx)'=sinx+xcosx D. hx._1-nx x x 12.(25-26高二下·福建福州期中)已知函数f(x)=six+2,则其导函数f'(x=() A.cosx+(In 2).2* B.cosx+x.2- C.-cosx+x.2- D.-cosx+(In 2).2* 题型三导数的四则运算 13.(25-26高二下·安徽合肥期中)下列导数运算正确的是()· A.(logx)'=-1 x.In3 B.(2）=2 C.(sinx)=-cosx 日 14.(25-26高二下·广西桂林月考)求下列函数的导数： (1)fx)=x2-3x+1: 2f=x: x (3)f(x)=xcosx. 15.(25-26高二下·内蒙古包头月考)求下列已知函数的导函数： (1)f(x)=3+x2; 4/8 (2)f(x)=cos'x-sin'x; (3)y=(x+(x+2)(x+3. 题型四复合函数的导数 16.(25-26高二下·重庆期中)下列求导正确的是() A.(in B. C.(xe*)=(x+1)e D.(cos3x)=-sin3x 17.(25-26高二下·北京房山期中)下列求导运算错误的是() A.(x+lmr)'=1+ B.(e C.(xsinx)=sinx+xcosx Dm2r+-sm2r+君 18.(25-26高三·全国.三轮复习)求下列复合函数的导数： 0--2可e*(x>): ②f=h2+x+(x-l明. 19.(25-26高二下广东揭阳·月考)求下列函数的导数. (1)y=x Inx (2)y=x+1 ti 8)y=co2x+骨到 20.(25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考)求下列函数的导数. (1)f(x)=x2-2x-4Inx; (2)y=ln(6x+4 21.(25-26高二下·四川雅安·月考)求下列函数的导数. 1 (1)y=-+3x. (2)y=x4-3x2-5x+6: (3)y=ne*+x2); 5/8 >强化训练 1.(25-26高二下河南焦作期中)函数f(x)=+1在区间0,1上的平均变化率为() A.2 B.1 C. D. 2.(24-25高二上·北京朝阳·期末)建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效 益己知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量W与时间t的关系如下图所示 W个 甲水库 乙水库 乙水库 甲水库 0 t 下列叙述中正确的是() A.在0，这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B.在[，2]这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C.甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在2时刻蓄水量的瞬时变化率 D.乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在，时刻蓄水量的瞬时变化率 3.(25-26高二下河南开封月考)下列求导运算正确的是() B.（x2-cosx=2x+sinx C.(x)=x" D.2月 4.(25-26高二下河南焦作期中)已知函数f(x=e,则1i f1+A)-四=() △r→( △x A.0 B.月 C.e D.2e 5.(25-26高二下·山东青岛月考)下列函数的求导正确的是() A.（x2）=-2x B. C.eo）=eo D.(xcosx)=cosx+xsinx 6.(2526高二下-江西赣州期中)若函数f)满足f0=m,imf0+A)-f0-A0=6,则m=() △x A.3 B.-12 C.-3 D.12 6/8 7.(25-26高二下·江苏无锡期中)（多选）下列函数的导数运算正确的是() B.（V2x+1 1 A.(xe*)'=e*+xe* 2V2x+1 C. sinx D.[lg(2x'- 1 cos2x In10 8. (25-26高二下·浙江·期中)（多选)下列函数求导运算正确的是() A.(e*)=e" B.(n对= C.(sin2x)=cos2x D.(tanx)'=1 cosx 9.(25-26高二下·陕西渭南期中)（多选）如图所示的是物体甲、乙在时间0到4范围内运动路程s的变化情况， 下列说法正确的是() % 5 以甲 S1 So to A.在。时刻，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 B.在，到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 C.在。时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D.在0到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 10.(25-26高二下·全国·课堂例题)函数y=f(x)=3x+1在点x=2处的瞬时变化率为 11.(25-26高二下·江苏扬州·月考)若函数f(x=x2-cx在区间[1,3]上的平均变化率为-1，则c等于 12.(25-26高二下江西吉安期中)已知函数y=f(x)在x=x,处的导数为1，则1im f(+△x-f(x 2△x 13.(25-26高二下·河南洛阳·月考)求下列各函数的导数： ①y=4x+1 (2)y=e*sinx ③)y=hx (4)y=cos(2x+5) 14.(25-26高二下·山东菏泽·月考)求下列函数的导数： 7/8 (1)y=2sinx +3* (2)y=x2.cosx 8 (4)y=(1-2x 8/8 专题01 导数概念与导数的运算法则 题型预览 题型一 平均变化率与瞬时变化率 题型二 导数定义与极限运算 题型三 导数的四则运算 题型四 复合函数的导数 知识清单 函数的平均变化率 1、定义：一般地，函数在区间上的平均变化率为：，表示为函数从到的平 均变化率，若设,则平均变化率为 2、求函数的平均变化率通常用“两步”法： ①作差：求出和 ②作商：对所求得的差作商，即. 瞬时变化率 1、瞬时变化率的定义 定义式 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 2、导数的定义 函数在处瞬时变化率是，我们称它为函数在处的导数,记作. 3、定义法求导数步骤： ① 求函数的增量：； ② 求平均变化率：； ③ 求极限，得导数：. 基本初等函数的导数公式 原函数 导函数 (为常数) 导数的四则运算法则 1、两个函数和的和（或差）的导数法则： . 2、对于两个函数和的乘积（或商）的导数，有如下法则： ； . 3、由函数的乘积的导数法则可以得出， 也就是说，常数与函数的积的导数，等于常数与函数的导数的积，即 复合函数的导数 复合函数的导数和函数，的导数间的关系为，即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 题型突破 题型一 平均变化率与瞬时变化率 1．（25-26高二下·河南信阳·月考）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数，有，，即， 所以函数在区间上的平均变化率为. 2．（25-26高二下·安徽安庆·月考）函数在区间上的平均变化率为______． 【答案】4 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 3．（25-26高二下·山东青岛·月考）（多选）一辆汽车在笔直的公路上行驶，位移关于时间的函数图象如图所示，给出下列四个选项： 其中正确的选项有（   ） A．汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同； B．汽车在时间段内不断加速行驶； C．汽车在时间段内不断减速行驶； D．汽车在时刻的瞬时速度小于时刻的瞬时速度. 【答案】ABC 【详解】时间段内是直线，斜率不变，故汽车在时间段内每一时刻的瞬时速度相同， 故A正确； 时间段内，切线斜率逐渐增大，故汽车在时间段内不断加速行驶， 故B正确； 时间段内，切线斜率逐渐减小，故汽车在时间段内不断减速行驶， 故C正确； 汽车在时刻的瞬时速度大于，在内，位移不变，故时刻的瞬时速度为， 故D错误. 4．（25-26高二下·全国·课后作业）现有一批货物由海上从A地运往B地，已知轮船的最大航行速度为地至B地之间的航行距离约为，每小时的运输成本由燃料费用和其余费用组成，轮船每小时的燃料费用与轮船速度的平方成正比（比例系数为0.6），其余费用为每小时960元． (1)把全程运输成本y（元）表示为速度的函数； (2)求从变到时，全程运输成本关于速度的平均变化率； (3)求并解释它的实际意义． 【答案】(1) (2) (3)，表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元 【分析】（1）依题意可得轮船每小时的燃料费和总共行驶时间，进而列出函数解析式； （2）根据平均变化率的定义进行求解； （3）求出导函数，再代值计算，最后根据瞬时变化率的意义解释. 【详解】（1）依题意得，函数的定义域为，． （2）， ． （3）， ． 表示当速度时，速度每增加，全程运输成本减少4500元． 题型二 导数定义与极限运算 5．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知是定义在上的可导函数，若，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【详解】 . 6．（25-26高二下·江苏苏州·月考）设是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】由导数的定义，， 已知，故. 7．（25-26高二下·上海徐汇·期中）已知函数的定义域为，且为的导函数，在处可导，若，则______． 【答案】 【分析】利用导数的定义求解即可. 【详解】，解得. 8．（21-22高二下·江苏苏州·期中）设是可导函数，且，则（    ） A．2 B． C．-1 D．-2 【答案】B 【详解】 ，即 . 9．（25-26高二上·河北石家庄·期末）已知函数的导函数为，若，则________. 【答案】5 【分析】根据导数的定义直接求解. 【详解】. 故答案为：5 10．（25-26高二下·河南焦作·期中）（多选）下列求导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据基本初等函数的导数及导数的求导法则逐项求导判断. 【详解】因为为常数，所以，A错误； ，B正确； ，C正确； ，D错误． 11．（25-26高二下·河南南阳·期中）（多选）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B， ，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 12．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数，则其导函数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由求导公式：，. 所以. 题型三 导数的四则运算 13．（25-26高二下·安徽合肥·期中）下列导数运算正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据初等函数的导数公式逐一判断即可. 【详解】对于A，，故正确； 对于B，，故错误； 对于C，，故错误； 对于D，，故错误. 14．（25-26高二下·广西桂林·月考）求下列函数的导数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【分析】借助导数运算法则及基本初等函数导数公式计算即可得. 【详解】（1）； （2）； （3）. 15．（25-26高二下·内蒙古包头·月考）求下列已知函数的导函数： (1)； (2)； (3). 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）. （3）方法一： . 方法二： 因为， 所以. 题型四 复合函数的导数 16．（25-26高二下·重庆·期中）下列求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，因为是常数，所以，所以A错误； 对于B，因为，所以B错误； 对于C，因为，所以C正确； 对于D，因为，所以D错误. 17．（25-26高二下·北京房山·期中）下列求导运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接根据导数的四则运算及复合函数的导数运算可得. 【详解】选项A：根据加法求导法则，​，故A正确； 选项B：根据商的求导法则，，故B正确； 选项C：根据乘积求导法则，，故C正确； 选项D：根据复合函数求导，设， 则，故D错误. 18．（25-26高三·全国·三轮复习）求下列复合函数的导数： (1)（）； (2)． 【答案】(1)（） (2) 【详解】（1）因为， ， 所以（）． （2）因为， 所以． 19．（25-26高二下·广东揭阳·月考）求下列函数的导数. (1) (2)； (3). 【答案】(1). (2) (3). 【详解】（1）. （2）. （3）. 20．（25-26高二下·海南省直辖县级单位·月考）求下列函数的导数． (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意知. （2）函数可以看作函数和的复合函数， 根据复合函数的求导法则，有， 即. 21．（25-26高二下·四川雅安·月考）求下列函数的导数． (1)． (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）. （2）， （3）令，则， ． 强化训练 1．（25-26高二下·河南焦作·期中）函数在区间上的平均变化率为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】应用平均变化率定义计算求解. 【详解】函数在区间上的平均变化率为． 2．（24-25高二上·北京朝阳·期末）建设大型水库可实现水资源的合理分配和综合利用，提高水资源的社会经济效益.已知一段时间内，甲，乙两个水库的蓄水量与时间的关系如下图所示. 下列叙述中正确的是（    ） A．在这段时间内，甲，乙两个水库蓄水量的平均变化率均大于0 B．在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率大于乙水库蓄水量的平均变化率 C．甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 D．乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率 【答案】D 【详解】根据题意，利用瞬时变化率与平均变化率，结合图象分析判断，即可求解. 【解答过程】对A：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于， 乙水库的蓄水量的平均变化率大于，所以A错误； 对B：由图可知，在这段时间内，甲水库蓄水量的平均变化率小于，乙水库蓄水量的平均变化率大于， 故甲水库蓄水量的平均变化率小于乙水库蓄水量的平均变化率，所以B错误； 对C：由图可知，甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于， 乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于， 故甲水库在时刻蓄水量的瞬时变化率小于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以C错误； 对D：由图可知，乙水库在时刻蓄水量上升比在时刻蓄水量上升快， 故乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率大于乙水库在时刻蓄水量的瞬时变化率，所以D正确. 故选：D. 3．（25-26高二下·河南开封·月考）下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：，故A错误； 选项B：由，故B正确； 选项C：由，故C错误； 选项D：由，故D错误． 4．（25-26高二下·河南焦作·期中）已知函数，则（    ） A．0 B． C．e D．2e 【答案】A 【分析】应用导函数定义及商的导数法则计算求解. 【详解】，则． 5．（25-26高二下·山东青岛·月考）下列函数的求导正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】选项A：，A错误； 选项B：化简得，求导得，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误. 6．（25-26高二下·江西赣州·期中）若函数满足，，则（   ） A．3 B． C． D．12 【答案】A 【分析】根据导数的定义求解． 【详解】 ， 所以． 7．（25-26高二下·江苏无锡·期中）（多选）下列函数的导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：. 正确. 选项B：. 原式错误. 选项C：.原式错误. 选项D :. 正确. 8．（25-26高二下·浙江·期中）（多选）下列函数求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【详解】对于A，因为，所以A正确， 对于B，因为，所以B正确， 对于C，因为，所以C错误， 对于D，因为，所以D正确. 9．（25-26高二下·陕西渭南·期中）（多选）如图所示的是物体甲、乙在时间到范围内运动路程的变化情况，下列说法正确的是（   ） A．在时刻，甲的瞬时速度小于乙的瞬时速度 B．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 C．在时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度 D．在到范围内，甲的平均速度大于乙的平均速度 【答案】BCD 【详解】瞬时速度为曲线的切线斜率，在时刻，甲的瞬时速度大于乙的瞬时速度，故A错误，C正确； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，，所以，即甲的平均速度大于乙的平均速度，故B正确； 在到范围内，甲的平均速度为，乙的平均速度为， 因为，所以，即甲的平均速度大于乙的平均速度，故D正确. 10．（25-26高二下·全国·课堂例题）函数在点处的瞬时变化率为________． 【答案】3 【分析】利用瞬时变化率的定义即可求解. 【详解】，则， 所以当趋于0时，趋于3． 故答案为：3 11．（25-26高二下·江苏扬州·月考）若函数在区间上的平均变化率为，则等于___________. 【答案】 【分析】根据函数的平均变化率的公式，求解即可. 【详解】在区间上的平均变化率为 ，故 12．（25-26高二下·江西吉安·期中）已知函数在处的导数为，则________． 【答案】/0.5 【详解】根据导数的定义，函数在处的导数为，所以所求式子为. 13．（25-26高二下·河南洛阳·月考）求下列各函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1） （2） （3） （4）令，则. 14．（25-26高二下·山东菏泽·月考）求下列函数的导数： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）. （2）. （3）. （4）. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $