培优点01 求数列通项公式（12大题型）讲义-2025-2026学年高二数学新教材同步配套培优讲义与精练（人教A版选择性必修第二册）

本讲义聚焦“求数列通项公式”核心知识点，系统梳理观察法、公式法、累加法、累乘法及构造法等方法，通过12类题型从基础到复杂递进，构建完整学习支架。 资料以方法分类清晰、题型覆盖全面为特色，结合例题与变式培养学生推理能力（数学思维）和抽象能力（数学眼光），过关测试助力巩固，课中辅助教学实施，课后帮助学生查漏补缺。

培优点01 求数列通项公式 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 5 题型一：直接法 5 题型二：累加法 5 题型三：累乘法 6 题型四：递推式为 7 题型五：递推式为 7 题型六：递推式为 8 题型七：递推式为 9 题型八：递推式为 9 题型九：递推式为 10 题型十：已知求 11 题型十一：前n项积 12 题型十二：其它复杂型 12 03 过关测试 15 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 题型一：直接法 【例1】（2025·高二·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·高二·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2025·高二·河北·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2025·高二·陕西西安·月考）数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 题型二：累加法 【例2】（2025·高二·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·湖南长沙·一模）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·高二·福建宁德·期中）若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型三：累乘法 【例3】（2025·高二·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·高二·广东·期中）设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·高二·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2025·高二·河南南阳·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 题型四：递推式为 【例4】（2025·高二·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 【变式4-1】（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【变式4-2】（2025·高二·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【变式4-3】（2025·高一·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 题型五：递推式为 【例5】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 【变式5-1】（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【变式5-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 题型六：递推式为 【例6】（2025·高三·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【变式6-1】（2025·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【变式6-2】（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，，则 ． 【变式6-3】（2025·高三·河南新乡·期中）在数列中，，，则 . 题型七：递推式为 【例7】（2025·高二·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【变式7-1】（2025·高二·江苏盐城·月考）已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 . 【变式7-2】（2025·高二·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【变式7-3】（2025·高二·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 题型八：递推式为 【例8】已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【变式8-1】已知数列满足，，，求的通项公式． 【变式8-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 题型九：递推式为 【例9】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【变式9-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【变式9-2】（2025·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 题型十：已知求 【例10】（2025·高三·宁夏银川·期中）（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式. 【变式10-1】（2025·高二·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【变式10-2】（2025·高二·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，求的通项公式. 【变式10-3】（2025·高二·重庆·月考）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【变式10-4】（2025·高二·江苏·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 题型十一：前n项积 【例11】（2025·高二·四川成都·月考）设数列的前项之积为，满足，则（ ） A． B． C． D． 【变式11-1】（2025·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【变式11-2】（2025·高二·江苏盐城·期末）设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 题型十二：其它复杂型 【例12】（2025·高二·上海·期末）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已知棱长为1的正四面体，，，…，在线段上，且. 现过点作平行于直线和的平面，记该平面截正四面体的截面的周长为，则 ． 【变式12-1】（2025·高二·全国·竞赛）已知圆心在轴正半轴上的一系列相外切的圆的圆心的坐标为，且满足，第个圆的圆心横坐标为，这个圆的面积之比为，记，则 . 【变式12-2】（2025·高二·广东·期末）如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设是第行数字1的个数，是第行数字2的个数，则 ， . 【变式12-3】（2025·高二·全国·单元测试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是同余方程组问题.现有这样一个问题：将2至2021这2020个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 . 1．（2025·高三·广东·月考）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 2．（2025·高二·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 3．（2025·高二·湖北黄石·月考）已知数列满足，则的通项公式为 . 4．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 5．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足：，对，都有，求出数列的通项公式． 6．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 7．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 8．（2025·高三·云南昆明·月考）已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 9．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的最大的的值. 10．（2025·高二·河北石家庄·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列为单调递减数列，且，求实数的取值范围. 11．（2025·高二·广东·期末）记为数列的前项积，为数列的前项和，且是以为首项，为公差的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优点01 求数列通项公式 目录 01 方法总结 2 02 题型归纳 5 题型一：直接法 5 题型二：累加法 6 题型三：累乘法 8 题型四：递推式为 10 题型五：递推式为 11 题型六：递推式为 12 题型七：递推式为 14 题型八：递推式为 15 题型九：递推式为 17 题型十：已知求 18 题型十一：前n项积 21 题型十二：其它复杂型 22 03 过关测试 25 类型Ⅰ 观察法： 已知数列前若干项，求该数列的通项时，一般对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项． 类型Ⅱ 公式法： 若已知数列的前项和与的关系，求数列的通项可用公式构造两式作差求解． 用此公式时要注意结论有两种可能，一种是“一分为二”，即分段式；另一种是“合二为一”，即和合为一个表达，（要先分和两种情况分别进行运算，然后验证能否统一）． 类型Ⅲ 累加法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相加，可得： ①若是关于的一次函数，累加后可转化为等差数列求和； ② 若是关于的指数函数，累加后可转化为等比数列求和； ③若是关于的二次函数，累加后可分组求和； ④若是关于的分式函数，累加后可裂项求和． 类型Ⅳ 累乘法： 形如型的递推数列（其中是关于的函数）可构造： 将上述个式子两边分别相乘，可得： 有时若不能直接用，可变形成这种形式，然后用这种方法求解． 类型Ⅴ 构造数列法： （一）形如（其中均为常数且）型的递推式： （1）若时，数列{}为等差数列； （2）若时，数列{}为等比数列； （3）若且时，数列{}为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造等比数列来求．方法有如下两种： 设，展开移项整理得，与题设比较系数（待定系数法）得，即构成以为首项，以为公比的等比数列．再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （二）形如型的递推式： （1）当为一次函数类型（即等差数列）时： 设，通过待定系数法确定的值，转化成以为首项，以为公比的等比数列，再利用等比数列的通项公式求出的通项整理可得 （2）当为指数函数类型（即等比数列）时： 递推公式为（其中p，q均为常数）或（其中p，q， r均为常数）时，要先在原递推公式两边同时除以，得：，引入辅助数列（其中），得：再应用类型Ⅴ㈠的方法解决． （3）当为任意数列时，可用通法： 在两边同时除以可得到，令，则，在转化为类型Ⅲ（累加法），求出之后得． 类型Ⅵ 对数变换法： 形如型的递推式： 在原递推式两边取对数得，令得：，化归为型，求出之后得（注意：底数不一定要取10，可根据题意选择）． 类型Ⅶ 倒数变换法： 的递推式，也可采用取倒数方法转化成形式，化归为型求出的表达式，再求． 题型一：直接法 【例1】（2025·高二·贵州黔西·期末）数列，，，，，的一个通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】数列前5项均为分数，其分子是从1开始的正奇数，分母比对应分子多2， 则第项的分子为，对应的分母为， 所以 故选：B. 【变式1-1】（2025·高二·河北石家庄·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数列，可以写成， 所以可得到该数列的一个通项公式. 故选：A 【变式1-2】（2025·高二·河北·月考）观察数列的特点，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题中数字可知分子按照的规律排列，符合的规律， 分母为分子的平方减去1，即， 因此可得. 故选：A 【变式1-3】（2025·高二·陕西西安·月考）数列的一个通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数列， 对于A选项，，当时，，不满足题意，A选项错误； 对于B选项，，当时，，不合题意，B选项错误； 对于C选项，，满足，符合题意，C选项正确； 对于D选项，，当时，，不合题意，D选项错误； 故选：C. 题型二：累加法 【例2】（2025·高二·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 【变式2-1】（2025·湖南长沙·一模）在数列中，，，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】在数列中，由，得， 则当时， ， 因此，显然满足上式， 所以. 故选：C 【变式2-2】（2025·高二·福建宁德·期中）若数列中，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则得， 因此有， 于是有. 故选：B 【变式2-3】（2025·高二·江苏苏州·期中）已知在数列中，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】，， 当时，， 当时，满足， ，. 故选：C. 题型三：累乘法 【例3】（2025·高二·重庆·月考）在数列中，若，，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题设，，则，，， 当时，，，，，，， 所以，且， 显然均满足上式，所以. 故选：C 【变式3-1】（2025·高二·广东·期中）设直线与轴的交点的横坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令，可得， 所以 ． 故选：C． 【变式3-2】（2025·高二·广东深圳·月考）在数列中，，，则数列的通项公式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因，则 ， 当时，符合题意，故数列的通项公式为. 故选：C. 【变式3-3】（2025·高二·河南南阳·月考）已知数列的项满足，而，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 则，，，，，， 累乘可得， 所以，又，所以， 经检验时也成立， 所以. 故选：B 题型四：递推式为 【例4】（2025·高二·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则 【答案】57 【解析】在数列中，由，得，而， 因此数列是首项为2，公比为2的等比数列，，， 所以. 故答案为：57 【变式4-1】（2025·山东泰安·模拟预测）数列满足， 且，的前项和为，则满足不等式的的最大值是 . 【解析】，，且， 是以为首项, 为公比的等比数列.   ,  . , ，即， , , 的最大值是. 故答案为：5. 【变式4-2】（2025·高二·湖北·期中）数列中，，，则通项 ． 【解析】数列中，由，得，而， 因此数列是首项为，公比为3的等比数列，则， 所以. 故答案为： 【变式4-3】（2025·高一·上海普陀·期末）设数列满足，且，则数列的通项公式为 . 【解析】. ，则数列是以3为首项，3为公比的等比数列. ，所以. 故答案为： 题型五：递推式为 【例5】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 【解析】由，可得， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 故答案为：. 【变式5-1】（2025·高二·甘肃平凉·月考）已知，当时，，则的通项公式为 【解析】由于当时，①， 故设，即②， 由①，②对照可得，，解得， 即， 又，则是以3为首项，为公比的等比数列， 故，则 故答案为： 【变式5-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，则 ． 【解析】解法一 由，可设， 其中为常数，整理得， 故，得， 所以． 又，所以是各项均为0的常数列， 故，即； 解法二  由，得， 两式相减得． 令，则， 则，又， 所以，即，又， 所以是首项为3，公差为2的等差数列，所以； 解法三  由得， 即，，…， ， 所以， 所以，所以． 当时也符合上式． 综上所述，． 故答案为：. 题型六：递推式为 【例6】（2025·高三·广东广州·期末）已知数列满足，，，则数列的通项公式为 ． 【解析】由，，，可得， 所以是以3为首项、3为公比的等比数列，所以， 则，； 故答案为：. 【变式6-1】（2025·高二·全国·专题练习）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【解析】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式6-2】（2025·高三·全国·专题练习）在数列中，，，则 ． 【解析】将两边同时除以，得，即． 由等差数列的定义知，数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故． 故答案为：. 【变式6-3】（2025·高三·河南新乡·期中）在数列中，，，则 . 【解析】由，得. 由，得，则， 所以. 所以数列是首项为，公比为的等比数列. 所以. 所以. 故答案为：. 题型七：递推式为 【例7】（2025·高二·河南南阳·期中）已知数列中，，且，则 ． 【解析】由，可得，即， 又， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即，所以． 故答案为： 【变式7-1】（2025·高二·江苏盐城·月考）已知数列的首项,且,则满足条件的最大整数 . 【解析】因为，所以，所以， 所以数列是等比数列，首项为,公比为， 所以,即， 所以 ， 而当时，单调递增， 又因为,且， 所以满足条件的最大整数. 故答案为：2024. 【变式7-2】（2025·高二·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【解析】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 故答案为：19． 【变式7-3】（2025·高二·全国·单元测试）已知数列满足，，，则 . 【解析】数列中，，，显然，取倒数得， 即，则数列是首项为1，公差为4的等差数列， 因此，所以. 故答案为：. 题型八：递推式为 【例8】已知数列中，，且满足．设，. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的通项公式； 【解析】（1）∵，，∴， ∵，∴， 又，∴数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，. （2）∵， ∴当时， ，又也满足上式， 所以. 【变式8-1】已知数列满足，，，求的通项公式． 【解析】因为，所以， 又， 所以数列是首项为，公比为的等比数列． 所以， 所以当时， ， 又当时，，符合上式， 所以对于任意正整数n都有． 【变式8-2】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，且，求数列的通项公式． 【解析】因为， 所以，即， 又， 所以是以3为首项，3为公比的等比数列， 所以，即， 左右同除得：， 所以，即， 又， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则，所以. 题型九：递推式为 【例9】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【解析】设，令得：，解得：； ，化简得：， 所以，从而，又， 所以是首项为，公差为1的等差数列，故， 所以． 故答案为： 【变式9-1】（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，则 ． 【解析】设，令得：，解得：； ，化简得，， 所以，从而， 故， 又，所以是首项和公差均为的等差数列， 从而，故． 故答案为： 【变式9-2】（2025·湖南益阳·一模）已知数列中，，，若，则数列的前项和 . 【解析】由，有， ，两式相除得到， 所以是以为公比，为首项的等比数列， 所以，则， 所以， 所以. 故答案为：. 题型十：已知求 【例10】（2025·高三·宁夏银川·期中）（1）已知数列的前项和为，且，求数列的通项公式； （2）已知数列的首项，且满足（），数列的通项公式. 【解析】（1）因为， 当时，可得，解得； 当时，可得，则，即； 可知数列是首项为2，公比为2的等比数列，所以． （2）由，得，，且， 所以数列是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即. 【变式10-1】（2025·高二·江苏泰州·月考）设正项数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)设，记数列的前项和，求证： 【解析】（1）当时，由，得，，得， 又，，且，作差得， 所以，，则且， 故数列是公差为1的等差数列，故数列的通项公式为； （2） ∴. 又，所以. 【变式10-2】（2025·高二·海南省直辖县级单位·月考）已知数列的前项和为，求的通项公式. 【解析】当时，； 当时，. 因为不满足上式， 所以. 【变式10-3】（2025·高二·重庆·月考）已知数列的前项和为，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和． 【解析】（1）因为数列的前项和为，，， 当时，由可得， 上述两个等式作差得， 即，所以， 所以数列是首项为，公差为的等差数列，故. （2）， 当且时，，且， 当且时，. 综上所述，. 【变式10-4】（2025·高二·江苏·期末）已知数列满足． (1)求的通项公式； (2)已知，求数列的前n项和． 【解析】（1）数列中，， 当时，， 两式相减得， 解得， 当时，，满足上式， 所以的通项公式为. （2）由（1）知，，， ，则， 两式相减得， 所以. 题型十一：前n项积 【例11】（2025·高二·四川成都·月考）设数列的前项之积为，满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，，所以， 当时，， 可得，即，即， 即，所以是首项为3，公差为2的等差数列， 所以， 所以，所以. 故选：. 【变式11-1】（2025·贵州贵阳·三模）设数列的前项之积为，满足，则（    ） A． B．4049 C． D． 【答案】C 【解析】因为，所以， 所以，所以，所以是公差为的等差数列， 因为，所以， 所以，所以， 故选：C. 【变式11-2】（2025·高二·江苏盐城·期末）设数列的前项积为，满足，则（    ） A．175 B．185 C． D． 【答案】A 【解析】因为，当时，解得， 当时，所以，则， 所以，又，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以. 故选：A 题型十二：其它复杂型 【例12】（2025·高二·上海·期末）正四面体是由四个全等正三角形围成的空间封闭图形，且所有棱长都相等.已知棱长为1的正四面体，，，…，在线段上，且. 现过点作平行于直线和的平面，记该平面截正四面体的截面的周长为，则 ． 【解析】设为靠近的第个等分点， 过作平行于的平面分别交，，于，，，如图， 因为平面，且平面平面，所以， 同理，，， 则，故四边形为平行四边形． 又为靠近的第个等分点，且， 故． 故四边形的周长． 所以为常数列，即， 则 故答案为： 【变式12-1】（2025·高二·全国·竞赛）已知圆心在轴正半轴上的一系列相外切的圆的圆心的坐标为，且满足，第个圆的圆心横坐标为，这个圆的面积之比为，记，则 . 【解析】由题意圆心坐标满足 又个圆的面积之比为， 所以半径为； 又，而， 所以， 所以. 故答案为： 【变式12-2】（2025·高二·广东·期末）如图所示的数阵由数字1和2构成，将上一行的数字1变成1个2，数字2变成2个1，得到下一行的数据，形成数阵，设是第行数字1的个数，是第行数字2的个数，则 ， . 【解析】由题意可知：，且， 则，可得，， 所以. 故答案为：16；. 【变式12-3】（2025·高二·全国·单元测试）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是同余方程组问题.现有这样一个问题：将2至2021这2020个整数中被5除余1且被7除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则此数列的项数为 . 【解析】被5除余1且被7除余1的数就是被35除余1的数，故. 由可得n可取的最大整数为57， 故此数列的项数为57. 故答案为：57 1．（2025·高三·广东·月考）在数列中，，且，则的通项公式为 ． 【解析】因为，设，其中、， 整理可得， 所以，，解得，所以，， 且，所以，数列是首项为，公比也为的等比数列， 所以，，解得. 故答案为：. 2．（2025·高二·全国·单元测试）已知数列满足，且，则数列的通项公式为 ． 【解析】因为数列满足，且，则， ，， 以此类推可知，对任意的，， 在等式两边取倒数可得，则， 所以数列是首项为，公差为的等差数列. 所以，，所以，. 故答案为：. 3．（2025·高二·湖北黄石·月考）已知数列满足，则的通项公式为 . 【解析】对两边取倒数得，即， 当时，，，，，， 将以上各式累加得，又， 所以，所以，当时，也满足，所以. 故答案为： 4．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足（）且，求数列的通项公式． 【解析】，设，故，所以， 解得，所以， 所以为公比为4的等比数列，且，所以， 故. 5．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足：，对，都有，求出数列的通项公式． 【答案】 【解析】略 6．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列满足，，求出数列的通项公式. 【解析】因为，令，即，得，，故，因为，所以，所以数列是首项为，公比为3的等比数列，得，所以. 7．（2025·高三·全国·专题练习）已知数列中，，求数列的通项公式． 【解析】由，得，即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 8．（2025·高三·云南昆明·月考）已知数列{}的首项 且满足 (1)求数列{}的通项公式； (2)求数列{}的前n项和Sn. 【解析】（1）由于，则， 化简得， 又，则是以为首项，为公比的等比数列， 得，所以． （2）由(1)得，，则，则 ，① ，② ①②，得 化简后得 ． 9．（2025·高二·江苏苏州·月考）已知数列的前项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)求使得不等式成立的最大的的值. 【解析】（1）因为，所以当时，， 两式作差得，，即， 当时，，得， 则由以上递推关系可知，，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； （2）由（1）可知，， 则， 因，则，即， 则，则， 因，则， 使得不等式成立的最大的的值为. 10．（2025·高二·河北石家庄·月考）记为数列的前项和，已知. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设数列为单调递减数列，且，求实数的取值范围. 【解析】（1）由，得， 当时，， 两式相减得， 整理得，而，因此， 即，则是以13为首项，为公差的等差数列， 所以. （2）由（1）得：. 由，得，解得， 则当时，； 当时，， 所以数列的前项和. （3）由（1）知，则为单调递减数列， 由，得， 则，即，依题意，对恒成立， 而单调递增，，当且仅当时取等号，因此， 所以实数的取值范围为. 11．（2025·高二·广东·期末）记为数列的前项积，为数列的前项和，且是以为首项，为公差的等差数列． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【解析】（1）由题意可得，则， 由等差数列的通项公式可得，即． 当时，， 且符合上式，故． （2）由（1）可知：， 故． 28 / 40 学科网（北京）股份有限公司 $