5.2.3 简单复合函数的导数-【金版新学案】2025-2026学年高中数学选择性必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦简单复合函数的导数这一核心知识点，先通过实例辨析复合函数与非复合函数概念，明确复合函数构成，再推导“y'ₓ=y'ᵤ·u'ₓ”的求导法则，最后结合切线问题及潮水高度、质点运动等实际情境应用，构建从概念理解到法则掌握再到实际应用的学习支架。 该资料以问题驱动探究，如通过“y=ln(2x-1)与y=(2x-1)lnx”对比培养逻辑推理，结合“y=sin2x”推导求导法则提升数学运算，利用潮水高度模型强化应用意识。课中辅助教师引导学生层层深入，课后通过对点练和任务再现帮助学生巩固知识、查漏补缺。

5.2.3　简单复合函数的导数 学习目标 1.了解复合函数的概念，理解函数复合的过程，掌握复合函数的求导法则，培养逻辑推理的核心素养. 2.能够利用复合函数的求导法则，并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数的求导(仅限于形如y＝f(ax＋b)的导数)，提升数学运算的核心素养. 3.能利用复合函数的导数解决与切线有关的问题及实际问题，提升数学运算的核心素养. 任务一　复合函数的概念 (阅读教材P78－79，完成探究问题1) 问题1.函数y＝ln(2x－1)和y＝(2x－1)ln x分别是如何构成的？ 提示：y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占据”了对数函数y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，这里有代入、代换的思想，则函数y＝ln(2x－1)是由内层函数为幂函数的线性组合和外层函数为对数函数复合而成，是复合函数.而函数y＝(2x－1)ln x不是复合函数，它只是两个函数相乘的关系，没有代入、代换的意思. 复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). [微提醒]　内、外层函数通常为基本初等函数. 指出下列函数是怎样复合而成的. (1)y＝(3＋5x)2； (2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x； (4)y＝102x＋3. 解：(1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的. (2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合而成的. (3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的. (4)y＝102x＋3是由函数y＝10u，u＝2x＋3复合而成的. 学生用书⬇第90页 判断复合函数的复合关系的一般方法 　　从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本初等函数为主体形式，各层的中间变量结构也是基本初等函数关系.这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本初等函数. 对点练1.(1)函数y＝sin(2x－1)如果看成复合函数y＝f(φ(x))，下列式子正确的是(　　) A.φ(x)＝2x B.φ(x)＝sin x C.φ(x)＝2x－1 D.φ(x)＝sin(2x－1) (2)(多选)下列哪些函数是复合函数(　　) A.y＝log2(2x＋1) B.y＝2x2－ C.y＝2ln x D.y＝cos 答案：(1)C　(2)ACD 解析：(1)y＝sin(2x－1)是由函数y＝sin u和u＝2x－1复合而成，可见φ(x)＝2x－1.故选C. (2)根据复合函数的定义，选ACD. 任务二　复合函数的求导法则 (阅读教材P79－80，完成探究问题2) 问题2.如何求函数y＝sin 2x的导数？ 提示：y＝2sin xcos x，由两个函数相乘的求导法则可知：y'＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；从整体上来看，外层函数是基本初等函数y＝sin u，它的导数y'＝cos u，内层函数是幂函数的线性组合u＝2x，它的导数是u'＝2，发现y'x＝y'u·u'x. 复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y'x＝y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. [微提醒]　(1)中间变量的选择应是基本初等函数的结构.(2)求导由外向内，并保持对外层函数求导时，内层不变的原则.(3)求每层函数的导数时，注意分清是对哪个变量求导. (链教材P79例6)求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝sin； (3)y＝log2(2x－1)； (4)y＝e3x＋2. 解：(1)y＝可以看作函数y＝ u－4和u＝1－3x的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(u－4)'·(1－3x)'＝－4u－5(－3)＝. (2)y＝sin可以看作函数y＝sin u和u＝2x＋的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(sin u)'·'＝2cos u＝2cos . (3)y＝log2(2x－1)可以看作函数y＝log2u和u＝2x－1的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝y'u·u'x＝(log2u)'·(2x－1)'＝·2＝＝. (4)y＝e3x＋2可以看作函数y＝eu和u＝3x＋2的复合函数. 根据复合函数的求导法则，有y'x＝(eu)'·(3x＋2)'＝3eu＝3e3x＋2. 复合函数求导的步骤 [注意]　注意正确判断复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的. 学生用书⬇第91页 对点练2.求下列函数的导数： (1)y＝； (2)y＝e－xsin 2x； (3)y＝ln －1； (4)y＝cos(－2x)＋32x＋1. 解：(1)因为y＝， 所以y'＝＝. (2)y'＝－e－xsin 2x＋2e－xcos 2x ＝e－x(2cos 2x－sin 2x). (3)因为y＝ln －1＝ln (2x＋1)－1， 所以y'＝××(2x＋1)'＝. (4)y'＝2sin(－2x)＋(2x＋1)'32x＋1ln 3 ＝－2sin 2x＋2·32x＋1ln 3. 任务三　复合函数的导数的应用 角度1　与切线有关的问题 (1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是(　　) A. B.2 C.3 D.0 (2)设曲线y＝eax在点(0，1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，求a的值. 答案：(1)A 解析：(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行.因为y'＝，所以y'＝＝2，解得x0＝1，所以y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1，0).所以切点(1，0)到直线2x－y ＋3＝0的距离为d＝＝，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是.故选A. (2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0，1)处的切线的斜率为f'(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f'(0)＝2. 因为f(x)＝eax，所以f'(x)＝(eax)'＝eax·(ax)'＝aeax， 所以f'(0)＝ae0＝a，故a＝2. [变式探究](变条件，变设问)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最短距离为2”，求m的值. 解：设切点P(x0，y0)，则y'＝＝2， 所以x0＝1，即切点P(1，0)， 所以＝2，解得m＝8或－12(舍). 即实数m的值为8. 角度2　复合函数的导数的实际应用 (链教材P80例7)在一天24小时内某港口的潮水的高度近似满足关系s(t)＝3sin(t＋)(0≤t≤24)，其中s的单位是m，t的单位是h，求函数在t＝18 h时的导数，并解释它的实际意义. 学生用书⬇第92页 解：s'(t)＝3cos(t＋)·(t＋)'＝cos(t＋)，将t＝18代入s'(t)，得s'(18)＝cos(×18＋)＝.s'(18)表示当t＝18 h时，潮水的高度上升的速度为 m/h. 1.求复合函数图象的切线的方法 (1)先判断已知点是否为切点，若不为切点，需先设切点的坐标. (2)再求出复合函数的导数，代入切点坐标求得切线的斜率，表示出切线的点斜式方程，进一步求解. 2.将复合函数的求导与导数的实际意义结合，旨在巩固函数在某点处的导数，反映了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 对点练3.质点M按规律s(t)＝(2t＋1)2 做直线运动(位移单位：m，时间单位：s)，则质点M在t＝2时的瞬时速度为　　　　m/s. 答案：20 解析：因为s(t)＝(2t＋1)2，所以s'(t)＝2(2t＋1)×2＝8t＋4，则质点在t＝2时的瞬时速度为s'(2)＝8×2＋4＝20(m/s). 对点练4.已知函数f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x，f'(x)是f(x)的导函数，且a＝f'，求曲线y＝e3x在x＝a处的切线方程. 解：由f(x)＝3x＋cos 2x＋sin 2x， 得f'(x)＝3－2sin 2x＋2cos 2x， 则a＝f'＝3－2sin ＋2cos ＝1. 由y＝e3x得y'＝3e3x，所以k＝y'｜x＝1＝3e3. 又x＝1时，y＝e3， 所以所求切线方程为y－e3＝3e3(x－1)， 即3e3x－y－2e3＝0. 任务 再现 1.复合函数的概念.2.复合函数的求导法则.3.复合函数的导数的应用 方法 提炼 公式法、转化法 易错 警示 求复合函数的导数时不能正确分解函数；求导时不能分清是对哪个变量求导；计算结果复杂化 1.对于函数y＝log2，下列说法正确的是(　　) A.不是复合函数 B.是复合函数，可以看成由y＝log2和u＝x这两个基本初等函数复合而成 C.是复合函数，可以看成由y＝和u＝log2x这两个基本初等函数复合而成 D.是复合函数，可以看成由y＝log2u和u＝这两个基本初等函数复合而成 答案：D 解析：根据复合函数的概念可知D正确. 2.已知函数f(x)的导数为f'(x)，则f(3x)的导数为(　　) A.f'(3x) B.3f'(3x) C.3f'(x) D.3＋f'(x) 答案：B 解析：由复合函数的求导公式得，f(3x)的导数为3f'(3x).故选B. 3.曲线y＝cos(2x＋)在x＝处的切线的斜率为(　　) A.2 B.－2 C.1 D.－1 答案：B 解析：由题意得y'＝－2sin(2x＋)，所以当x＝时，y'＝－2，即曲线y＝cos(2x＋)在x＝处的切线的斜率为－2.故选B. 4.某市在一次降雨过程中，降雨量y(单位：mm)与时间t(单位：min)的函数关系可近似地表示为y＝f(t)＝，则在时刻t＝40 min的降雨强度为(　　) A.20 mm/min B.400 mm/min C. mm/min D. mm/min 答案：D 解析：由f(t)＝，得f'(t)＝·(10t)'＝，所以f'(40)＝＝. 学科网（北京）股份有限公司 $