小问题大用处：高中数学小问题集中营之必修一：函数性质：专题六 分段函数

 

一、问题的提出

2016年北京高考数学试卷有如下一道题：设函数.（1）若,则的最大值为__________；（2）若无最大值,则实数的取值范围是__________.该题以分段函数为载体,考查函数性质,有很好地区分度,由于分段函数问题常涉及到分类讨论思想,它在理解和掌握函数的定义、函数的性质等知识的程度的考查上是很好的载体, 因此成为近几年高考数学考试中的热点问题.

 

二、问题的探源

分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内,  有不同的对应法则的函数,它是一类表达形式特殊的函数. .分段函数:定义域中各段的x与y的对应法则不同,函数式是分两段或几段给出的. 它是一个函数,而不是几个函数．

与分段函数有关的问题主要有：

(1) 定义域：各段函数定义域的并集．

(2) 值域：各段函数值域的并集．

(3)求值： 利用分段函数的定义可以由自变量的值去求对应的函数的值,反之也可以根据给出的函数值求出对应的自变量的值.注意：只有满足它的自变量的范围才能用与之对应的解析式.求分段函数的函数值时,首先应确定自变量在定义域中所在的范围,然后按相应的对应法则求值.若f（x）是分段函数,要求f{f[f（a）]}需确定f[f（a）]的取值范围,为此又需f（a）确定取值范围,然后根据其所在定义域代入相应的解析式,逐步求解.
(4)分段函数的单调性：分段函数的单调性,首先应该判断各段函数的单调性,若每一段函数单调性一致,再判断分界点处函数值的关系,符合单调性定义,则该函数在整个定义域上单调递增或递减,不符合,则必须分开说明单调性．

(5)分段函数的奇偶性：先看定义域是否关于原点对称,不对称就不是奇(偶)函数,再由x＞0,－x＜0,分别代入各段函数式计算f(x)与f(－x)的值,若有f(x)＝－f(－x),当x＝0有定义时f(0)＝0,则f(x)是奇函数；若有f(x)＝f(－x),则f(x)是偶函数．

⑹分段函数求最值时,应先求出每一定义域对应的解析式的最大（小）值,然后加以比较,最大（小）的即为

该分段函数的最大（小）值.

 

三、问题的佐证

1.分段函数的定义域和值域

【例1】求函数的定义域、值域.

【解析】作图,  利用“数形结合”易知的定义域为,  值域为.

2.分段函数的函数值

【例2】已知函数求.

3.分段函数的最值

【例3.】求函数的最小值

【解析】（方法1）　先求每个分段区间上的最值,后比较求值.

当时,此时显然有

当时,此时

当时,=此时无最大值.比较可得当=1时,

（方法2）利用函数的单调性

由函数解析式可知,在上是单调递增的,在上也是递增的,而在上是递减的,

由的连续性可知当=1时有最大值4

（方法3）利用图像,数形结合求得

作函数=的图像（图1）,

显然当=1时.

说明：分段函数的最值常用以上三种方法求得.

4．分段函数的解析式

【例4】在同一平面直角坐标系中,  函数和的图象关于直线对称,  现将

的图象沿轴向左平移2个单位,  再沿轴向上平移1个单位,  所得的图象是由两条线段组成的折线（如图所示）,  则函数的表达式为（  ）