精品解析：北京交通大学附属中学2025-2026学年第二学期期中练习七年级数学

北京交大附中2025-2026学年第二学期期中练习 初一数学 考生须知 1．本题共6页，共三部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据点的横纵坐标符号即可判断． 【详解】解：点的横坐标，纵坐标， 符合第四象限点的坐标特征，即点在第四象限． 2. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，最后所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查点的平移的坐标变化规律．根据点的平移规律，向右平移时横坐标增加，纵坐标不变． 【详解】解：点向右平移2个单位，平移后点坐标为， 故选：B． 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 无限小数一定是无理数 B. 两个无理数的和一定是无理数 C. 的平方根是 D. 64的立方根是 【答案】C 【解析】 【分析】根据无理数、平方根、立方根的定义，逐一判断选项即可得到正确答案． 【详解】解：选项A：无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，只有无限不循环小数才是无理数，该项错误． 选项B：举反例，和都是无理数，，是有理数，该项错误． 选项C：，，即的平方根是，该项正确． 选项D：，64的立方根是4，不是，该项错误． 4. 如图，点A，C，E在同一条直线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A. ∠1＝∠4 B. ∠3＝∠4 C. ∠1＝∠2 D. ∠D+∠ACD＝180° 【答案】C 【解析】 【分析】先确定两角的位置关系，再直接利用平行线的判定进行逐一判断即可． 【详解】解：A. 与直线AB与AC被直线BC所截的同旁内角，是不能判断两直线平行，故选项A错误； B. 与直线BD与AC被直线BC所截的内错角，利用内错角相等，两直线平行，即可判断出BD∥AC，但不是AB∥CD，故选项B错误； C.∠1与∠2是直线AB与DC被直线BC所截的内错角，∠1＝∠2能判断直线AB∥CD，故选项C正确 ； D. 与直线BD与AC被直线DC所截的同旁内角，，利用同旁内角互补，两直线平行，即可判断出BD∥AC，但不是AB∥CD，故选项D错误． 故选C． 【点睛】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定定理，关键在于找准两个角之间的位置关系． 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集是解题的关键． 先解不等式，再把其解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， ， ， 把不等式的解集在数轴上表示如下： 故选：A． 6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？”设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，则列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意找出两个等量关系：5个大容器容量加1个小容器容量等于3，1个大容器容量加5个小容器容量等于2，据此列方程组即可． 【详解】解：根据大容器5个，小容器1个，总容量为3斛可得  ， 根据大容器1个，小容器5个，总容量为2斛可得 ， 所以可列方程组为． 7. 若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则在下列结论中，正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了根据数轴判断式子的正负，根据数轴可知：，，则，，故A，选项错误，B选项错误，由可得出可判断C，由不等式的性质可判断D． 【详解】解：根据数轴可知：，， 则，，故A选项错误,B选项错误， ∵， ∴， ∴，故选项C正确． ，， ∴，， ∴，故D选项错误， 故选：C 8. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查算术平方根的应用，实数与数轴，解题的关键是根据正方形的面积求出．先根据正方形的面积求出正方形的边长，即可求出，根据点A表示的数为1，且点E在点A的左侧，即可求出E点所表示的数． 【详解】解： 正方形的面积为3， ， ， ， 点A表示的数为1，且点E在点A的左侧， 点所表示的数为 . 故选：A. 9. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质推出，，由三角形内角和定理求出的度数，即可得到的度数. 本题考查平行线的性质，三角形内角和定理，关键是由平行线的性质推出，． 【详解】解: ， ， ， ， ， ． 故选：． 10. 两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（ ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据表格给出的解确定方程①的表达式，整理得到和，再根据时恒成立的条件，推导得到的取值范围即可． 【详解】解：将分别代入方程①，得 ，即， ∴方程①可化为方程①， ∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 即方程①为， ∴， 整理方程②，得 ， 根据题意，当时，恒成立，代入得： ∴ ． ， ， 即， ∵所有满足的都小于， ∴要使大于所有的，可得． 二、填空题（本题共12分，每题2分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】将方程的解代入原方程即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴． 12. 将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 【答案】如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 【解析】 【分析】先拆分命题“对顶角相等”的条件与结论，再按照要求改写成“如果…那么…”的形式即可． 【详解】解：命题“对顶角相等”中，条件是两个角是对顶角，结论是这两个角相等， 因此改写成“如果…那么…”的形式可得：如果两个角是对顶角，那么这两个角相等． 13. 若一个正数的两个平方根是和，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一个正数的平方根互为相反数列方程求出值即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根是和， ∴， 解得：． 14. 如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿挖水沟即可，理由是______ 【答案】垂线段最短 【解析】 【分析】根据题意抽象为过直线外一点到直线的距离最短分析即可 【详解】根据题意，小河可以抽象为一条直线，点A到直线的所有连线中，垂线段最短 ∴理由是∶ 垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题考查了垂线段最短的应用，理解题意是解题的关键． 15. 如图，四边形纸片，．折叠纸片，使点D落在上的点处，点C落在点处，折痕为．若，则______． 【答案】24 【解析】 【分析】根据平行线的性质可得，再根据折叠的性质可得，然后利用平角的定义求解即可． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∵折叠纸片，使点D落在上的点处， ∴， ∴， 故答案为：24． 【点睛】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，平角的定义等知识点，熟练掌握其性质是解决此题的关键． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 【答案】 ①. 30 ②. 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用， （1）根据三种产品每吨钢材产出利润可得A种类产品生产的越多，利润越大，即可求出生产A种产品的数量； （2）设生产产品个，产品个，产品个，利润为元，可以得到，然后表示利润，即可得到最大值解题． 【详解】解：（1）由表格可知，可知A种类产品钢材每吨的利润最大， ∴A种类产品生产的越多，利润越大， 即当生产A种产品数量为个时，所需时间为小时小时， 故答案为：； （2）解：设生产产品个，产品个，产品个，利润为元， 则，即， ∴， 即当时，W最大为， 故答案为：． 三、解答题（本题共58分，第17题5分，第18题每小题4分，第19题5分，第20题4分，第21-22题每题5分，第23题7分，第24题6分，第25题7分，第26题6分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用算术平方根、立方根及绝对值化简计算，再进行加减即可． 【详解】解： ． 18. 解方程或方程组： （1）． （2）． 【答案】（1）或； （2） 【解析】 【分析】（1）先化为，再根据平方根进行求解即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ， 或， 解得或； 【小问2详解】 解： ，得 ， ，得 ， ， 将代入①，得 ， ， ∴原方程组的解为． 19. 解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 【答案】解集为，非负整数解为和 【解析】 【分析】先分别求出两个不等式的解集，可得到不等式组的解集，即可求解 【详解】解：解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 则不等式组的解集为， ∴不等式组的非负整数解为0和1． 20. 完成下面的证明： 已知：如图，，，． 求证：． 证明：∵， ∴（________________） ∵． ∴． 即． ∴________________（________________________） ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 【答案】两直线平行，同位角相等，，，同位角相等，两直线平行， 【解析】 【分析】由平行线的性质得到，可推出，即可判定，由平行线的性质得到，即可得解． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵． ∴． 即． （同位角相等，两直线平行）， ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 21. 已知△是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空： 　　，　　，　　； （2）在平面直角坐标系中画出及平移后的△； （3）直接写出△的面积是　　． 【答案】（1）-2，6，8；（2）见解析；（3）9 【解析】 【分析】（1）观察表中各对应点坐标的变化，△是由△ABC经过向上平移3个单位，向右平移6个单位得到的，进而可填空； （2）根据（1）即可在平面直角坐标系中画出△ABC及平移后的△； （3）根据割补法即可求出△的面积． 【详解】（1）观察表中点和点坐标的变化，点和点坐标的变化可知： △是由经过向上平移3个单位，向右平移6个单位得到的， ，，； 故答案为：，6，8； （2）如图，及△即为所求； （3）△的面积为：． 故答案为：9． 【点睛】本题考查了作图-平移变换，解决本题的关键是掌握平移的性质． 22. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余． （1）求证：； （2）OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数． 【答案】（1）见解析 （2）补全图形见解析，∠1=25° 【解析】 【分析】（1）根据与互余，，得，根据同旁内角互补，两直线平行，即可证明； （2）根据平分交于点，得，又根据，求出的角度，再根据与互余，即可求出． 【小问1详解】 证明： ∵与互余 ∴ 又∵ ∴ ∵ 又∵ ∴． 【小问2详解】 ∵平分交于点 ∴ ∵ ∴在中， ∴ ∴ 又∵与互余 ∴ ∴ ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定，余角的性质等知识，解题的关键是掌握平行线的判定，角平分线的定义． 23. 列方程组或不等式(组)解应用题 某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元． （1）求每辆型车和型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？ 【答案】（1）每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元；（2）共有两种方案：方案一：购买2辆A型车和4辆B型车；方案二：购买3辆A型车和3辆B型车 【解析】 【分析】（1）每辆A型车和B型车的售价分别是x万元，y万元．构建方程组即可解决问题； （2）设购买A型车a辆，则购买B型车辆，则依题意得，求出整数解即可． 【详解】（1）设每辆A型车和B型车的售价分别是x万元，y万元 则 解得 答：每辆A型车的售价为18万元，每辆B型车的售价为26万元； （2）设购买A型车a辆,则购买B型车辆，则依题意得 解得 又∵a≥2， ∴ ∵a是正整数 ∴a=2或a=3 则共有两种方案： 方案一：购买2辆A型车和4辆B型车； 方案二：购买3辆A型车和3辆B型车； 【点睛】本题主要考查了二元一次方程实际问题中的方案问题，熟练掌握二元一次方程组及一元一次不等式的解是解决本题的关键． 24. 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b常数）．已知，，请解决以下问题． （1）________，________； （2）若关于x，y的方程组的解满足，且m为正整数，求m的值； （3）若关于x的不等式恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 【答案】（1）2，1 （2）1，2 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目定义的新运算，结合，即可得出答案； （2）根据得出，将其两式相加，结合即可得到m的取值范围，再结合m为正整数即可求解； （3）根据求解得到x的取值范围，再根据恰好有3个正整数解即可得到n的范围． 【小问1详解】 解：，， 解得：， 故答案为：2，1； 【小问2详解】 解：依题意， ①＋②化简得． ∵， 即 解得． 又∵m为正整数， ∴m的值为1或2． 【小问3详解】 解：依题意得， 解得． ∵此不等式有3个正整数解， ∴， 解得． 25. 已知直线，直线分别与、相交于E、F． （1）如图1，、分别平分和，请直接写出的度数； （2）如图2，点G在射线上，点H在射线上，、分别平分和，若，，求和的度数； （3）如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点（不与F重合），、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和平行线的性质可得答案； （2）先由外角的性质得，由角平分线的定义得，再由平行线的性质得，由外角的性质得，最后由角平分线的定义得； （3）分两种情况讨论：当点在点的右边时；当点在点的左边时，画出图形分别求解即可． 【小问1详解】 解：（1）、分别平分和， 可设，（角平分线的定义）， ， （两直线平行，同旁内角互补）， ． 又， ， ． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴； 【小问3详解】 解：分以下两种情况： 当点在点的右边时，如图3所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 当点在点的左边时，如图所示： ∵、分别平分和， ∴可设，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述：的度数为或． 26. 小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． （1）________；________； （2）若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）4,7 （2）①或，②或 【解析】 【分析】此题考查了新定义问题，坐标与图形． （1）根据“分解距离”和“和距离”的概念求解即可； （2）根据和画出点和点的轨迹，再利用的范围分 别算出线段与点轨迹和点轨迹相交时的范围，最后将范围合并即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴，, ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①当 时，点，点 ， ，， 分两种情况讨论： （ⅰ），此时 ， 解得或，即或． 时，， ，，； 时，，，，，舍去． （ⅱ），此时， 解得或，即或． 时，，，，； 时，，，，，舍去． 综上，点的坐标为：或． ②设，，则： 当时，，即或，且，即 ； 当时，，即或，且 ，即． 点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴； 设,,则， ∴点的轨迹为以，，，为顶点的正方形的四条边， ∴． 如图，正方形的四边为点的轨迹，正方形的四边为点的轨迹． 点，向左平移1个单位得， 线段上的点：， （ⅰ）与的轨迹相交： 且，解得； （ⅱ）与的轨迹相交： 且，解得； 综上：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京交大附中2025-2026学年第二学期期中练习 初一数学 考生须知 1．本题共6页，共三部分，26道题，满分100分．考试时间90分钟． 2．在试卷和答题卡上准确填写姓名和准考证号． 3．答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4．在答题卡上，选择题用2B铅笔作答，其他题用黑色字迹签字笔作答． 一、选择题（本题共30分，每小题3分） 1. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，将点向右平移2个单位，最后所得点的坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，正确的是（ ） A. 无限小数一定是无理数 B. 两个无理数的和一定是无理数 C. 的平方根是 D. 64的立方根是 4. 如图，点A，C，E在同一条直线上，下列条件中能判断AB∥CD的是（　　） A. ∠1＝∠4 B. ∠3＝∠4 C. ∠1＝∠2 D. ∠D+∠ACD＝180° 5. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．其中第七卷《盈不足》记载了一道有趣的数学问题：“今有大器五、小器一容三斛；大器一、小器五容二斛．问大、小器各容几何？”译文：“今有大容器5个，小容器1个，总容量为3斛；大容器1个，小容器5个，总容量为2斛．问大容器、小容器的容积各是多少斛？”设大容器的容积为x斛，小容器的容积为y斛，则列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 若实数在数轴上的对应点的位置如图所示，则在下列结论中，正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，正方形的面积为3，顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，数轴上有一点E在点A的左侧，若，则点E表示的数为（ ） A. B. C. D. 0 9. 图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 10. 两个关于x、y的二元一次方程为：方程①和方程②，其中方程①的部分解如下表所示．将方程①中的y值记为，方程②中的y值记为，若当时，对于x的每一个值，都有，则m的取值范围是（ ） x … 0 1 2 … y … 0 1 2 3 … A. B. C. D. 二、填空题（本题共12分，每题2分） 11. 若是二元一次方程的一个解，则的值等于________． 12. 将命题“对顶角相等”写成“如果……，那么……”的形式________． 13. 若一个正数的两个平方根是和，则的值是________． 14. 如图，把小河里的水引到田地A处，若使水沟最短，则过点A向河岸l作垂线，垂足为点B，沿挖水沟即可，理由是______ 15. 如图，四边形纸片，．折叠纸片，使点D落在上的点处，点C落在点处，折痕为．若，则______． 16. 某工厂根据现有条件可选择A，B，C三种产品中的一种、两种或三种进行生产，每种产品生产一个分别需要的钢材（单位：吨）、工时（单位：小时）、获得利润（单位：万元）如下表所示： 项目 种类 所需钢材（吨） 工时（小时） 利润（万元） A 2 3 3 B 3 5 4 C 5 7 5 （1）现有钢材60吨，可安排工时100小时，工厂利润最大时，需生产A种产品_________个； （2）若生产一个产品B所需工时由5小时缩减到3小时，现有钢材60吨，可安排工时81小时，则工厂能获得的最大利润为_________万元． 三、解答题（本题共58分，第17题5分，第18题每小题4分，第19题5分，第20题4分，第21-22题每题5分，第23题7分，第24题6分，第25题7分，第26题6分） 17. 计算：． 18. 解方程或方程组： （1）． （2）． 19. 解不等式组：，并写出该不等式组的非负整数解． 20. 完成下面的证明： 已知：如图，，，． 求证：． 证明：∵， ∴（________________） ∵． ∴． 即． ∴________________（________________________） ∴． ∵． ∴． ∴． ∴． 21. 已知△是由经过平移得到的，它们各顶点在平面直角坐标系中的坐标如下表所示： △ （1）观察表中各对应点坐标的变化，并填空： 　　，　　，　　； （2）在平面直角坐标系中画出及平移后的△； （3）直接写出△的面积是　　． 22. 如图，点O在直线AB上，OC⊥OD，∠EDO与∠1互余． （1）求证：； （2）OF平分∠COD交DE于点F，若OFD=70，补全图形，并求∠1的度数． 23. 列方程组或不等式(组)解应用题 某汽车专卖店销售，两种型号的新能源汽车．上周售出辆型车和辆型车，销售额为万元．本周已售出辆型车和辆型车，销售额为万元． （1）求每辆型车和型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买，两种型号的新能源汽车共辆，且型号车不少于辆，购车费不少于万元，通过计算说明有哪几种购车方案？ 24. 对实数x，y，我们定义一种新运算：（其中a，b常数）．已知，，请解决以下问题． （1）________，________； （2）若关于x，y的方程组的解满足，且m为正整数，求m的值； （3）若关于x的不等式恰好有3个正整数解，请直接写出n的取值范围． 25. 已知直线，直线分别与、相交于E、F． （1）如图1，、分别平分和，请直接写出的度数； （2）如图2，点G在射线上，点H在射线上，、分别平分和，若，，求和的度数； （3）如图3，点G在线段上，点H是直线上的动点（不与F重合），、分别平分和，设，请直接用含m的代数式表示的度数． 26. 小潘和小智在学习了平面直角坐标系后，尝试着定义了平面直角坐标系xOy中任意两点与的两种新的距离： ＊小潘定义了，的“分解距离”，如下： 若，则为点与点的“分解距离”，即； 若，则为点与点的“分解距离”，即． ＊小智定义了，的“和距离”，如下： 点，的“和距离”为与的和，即． 根据以上材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系xOy中，已知点，． （1）________；________； （2）若点C的坐标为． ①当时，若，直接写出点C的坐标； ②将点C向左平移一个单位长度得到点D，点E满足，点F满足，若线段CD上存在点E或点F，请直接写出t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $