精品解析：2026年黑龙江省哈尔滨市呼兰区一模数学试题

呼兰区调研九年级学业水平测试 数学模拟题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 6. 把抛物线的图像向左平移1个单位，则平移后的抛物线是（　　） A. B. C. D. 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 8. 如图，在中，已知 分别是边上的点，且．若，则 （） A. B. C. D. 9. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线 交 于点，连接 并延长交 于点 ，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在菱形 中，，，动点 从点出发沿边匀速运动，运动到点时停止，过点 作的垂线，在点 运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为，点 运动的路程为．下列图象能反映与 之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游314000000人次，将数据314000000用科学记数法表示为_________． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 13. 把多项式分解因式的结果是_________． 14. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 15. 不等式组的解集是_________． 16. 一个扇形的弧长是 ，面积是，则此扇形的圆心角为_________度． 17. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于 时，电流I可能是_________A． 18. 定义新运算：，则的运算结果为_________． 19. 已知中，， ，的面积为，则的度数为_________． 20. 如图，为等边三角形，点D在 上，点E在 上，，连接、、 ，点G为外一点，连接、、、 ，，下列结论：①②平分 ③④若 ，则 的最小值为3．其中正确的结论是_________． 三．解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，点B均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出点C（点C在格点上），连接 ， ，满足， （2）画出点D（点D在格点上），连接， ，满足，且 为钝角． （3）作的高线（保留作图痕迹，体现作图过程） 23. 随着人工智能的快速发展，初中生使用 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间（用x表示，单位： ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算把频数分布直方图补充完整； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间不少于 的学生人数． 24. 如图，在正方形 中，点 在延长线上，点在 上，连接 ，且． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，过点A作平分交 于点，连接，过点作交 于点分别交于点，请直接写出图中始终与相等的角（除外） 25. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 26. 已知：内接于 ，，点D在圆上，弧弧 ，连接， （1）如图①，求证： （2）如图②，点E在 上，点G在延长线上，连接，，作，，，求证：； （3）如图③，在②的条件下，作 交延长线于点F，连接，四边形的面积为，，求 的长． 27. 已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C，， （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，P为第三象限抛物线上一点，连接 并延长交y轴于点T，设P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，D为第一象限抛物线上一点，连接交y轴于点E，过点D作x轴垂线交x轴于点F，交 延长于点G，连接 ，若，，Q为x轴正半轴上一点，连接，，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 呼兰区调研九年级学业水平测试 数学模拟题 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，只需根据负数的绝对值是它的相反数计算即可． 【详解】解：． 2. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、去括号、整式乘法及除法运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．分别根据合并同类项，去括号，单项式的乘除运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A：与的字母部分不同（ 与 ），不是同类项，无法合并，故本选项的计算错误； B：，故本选项的计算错误； C：，故本选项的计算正确； D：，故本选项的计算错误． 故选：C． 3. 下列四种化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 4. 下图是由五个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，左视图即为从左面看到的图形，据此即可解答． 【详解】解：它的左视图是． 故选：A． 5. 将分式方程去分母后得到的整式方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解． 将分式方程两边同时乘以最简公分母，消去分母，转化为整式方程． 【详解】解：． 方程两边同时乘以，得：． 故选：A． 6. 把抛物线的图像向左平移1个单位，则平移后的抛物线是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图像“左加右减”的平移规律进行解答即可． 【详解】解：将抛物线向左平移1个单位， 平移后的解析式为： 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图像的平移；掌握二次函数图像的平移规律是解题的关键． 7. 按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是（ ） A. 32 B. 28 C. 24 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】本题属于规律猜想题型的图形变化类，第①个图案中有4个黑色圆点，第②个图案中有8个黑色圆点，第③个图案中有12个黑色圆点，则可以总结出第n个图形中黑色圆点的个数，代入计算即可．解题的关键是通过图形的变化得出图形中圆点个数的数字变化规律． 【详解】解：第①个图案中有4个黑色圆点， 第②个图案中有8个黑色圆点， 第③个图案中有12个黑色圆点， 第④个图案中有16个黑色圆点， 则第个图案中有个黑色圆点， 所以第⑥个图中圆点的个数是个， 故选：C． 8. 如图，在中，已知 分别是边上的点，且．若，则 （） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键； 由证 ，利用相似三角形对应边成比例，结合，得出结论． 【详解】解：∵， ∴ ，， ∴ ， ∴， ∵ ∴ 故选：A． 9. 如图，内接于．分别以点和点为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线交于点，连接并延长交于点 ，连接，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是作线段的垂直平分线，等边对等角，圆周角定理的应用，由是 的垂直平分线，可得 ，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：由作图可得：是 的垂直平分线， ∴ ，而， ∴， ∴， 故选：C 10. 如图，在菱形 中，， ，动点 从点出发沿边匀速运动，运动到点 时停止，过点 作 的垂线，在点 运动过程中，垂线扫过菱形（即阴影部分）的面积为 ，点 运动的路程为．下列图象能反映 与 之间函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分三种情况：点E在 上时，点E在 上且l与 相交时，点E在 上且l与 相交时，分别计算出阴影部分面积的表达式，即可求解． 【详解】解：当点E在 上时，如图， ，， ， ，， ， 此时图象为开口上的抛物线的一部分，排除C，D选项； 当点E在 上且l与 相交时，作 ，如图， ， ， ， ，， ， 此时图象为直线一部分； 当点E在 上且l与 相交时，如图， ， ，， ， ， ， 此时图象为开口下的抛物线的一部分，排除B选项； 故选A． 【点睛】本题考查菱形上的动点问题，解直角三角形，勾股定理，二次函数的图象和性质，一次函数的图象和性质等，求出不同阶段y与x的解析式是解题的关键． 二、填空题（每小题3分，共计30分） 11. 据我国文化和旅游部数据中心测算，2025年“五一”期间，国内游客出游314000000人次，将数据314000000用科学记数法表示为_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中 ，为整数，确定的值时，要看把原数变成 时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同. 当原数绝对值大于时，是正整数． 【详解】解：． 12. 在函数中，自变量x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的性质，求不等式的解集，掌握分式的分母不能为0是解题的关键． 根据题意可得 ，由不等式的性质即可求解． 【详解】解：函数中， ， ∴ ， 故答案为：  ． 13. 把多项式分解因式的结果是_________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 14. 不透明袋子中装有13个球，其中有3个红球、4个黄球、6个绿球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比，解题的关键是掌握概率公式． 用绿球的个数除以总球的个数即可得出答案． 【详解】解：袋子中绿球的个数为6， 球的总数为13， 所以抽到绿球的概率为， 故答案为：． 15. 不等式组的解集是_________． 【答案】 【解析】 【分析】分别求出每个不等式的解集，再取两个解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得： 移项得， 合并同类项得， 系数化为得， 因此，不等式组的解集为． 16. 一个扇形的弧长是 ，面积是，则此扇形的圆心角为_________度． 【答案】108 【解析】 【分析】根据扇形面积公式求出扇形的半径，再根据弧长公式求出圆心角度数即可． 【详解】解：设此扇形的圆心角为n度，半径为r， 一个扇形的弧长是 ，面积是， ∴， 解得， 将代入弧长公式得， 解得 ． 17. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I（单位：A）与电阻R（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻R大于 时，电流I可能是_________A． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数图像判断即可． 【详解】解：由图像可知电流与电阻是反比例函数关系，电流随电阻的增大而减小，则当电阻R大于 时，电流I可能是A． 18. 定义新运算：，则的运算结果为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题目给出的新运算法则代入计算即可． 【详解】解：由题意得，，， ． 19. 已知中， ， ，的面积为，则的度数为_________． 【答案】或 【解析】 【分析】分两种情况讨论作答即可． 【详解】作 于点D，如图, ∵ ，的面积为， ∴． ∴, ∴． 作 交 的延长线于点D，如图, ∵ ，的面积为， ∴． ∴， ∴ ． ∴． 20. 如图，为等边三角形，点D在 上，点E在 上， ，连接、 、 ，点G为外一点，连接 、、、 ，，下列结论：①②平分 ③④若，则 的最小值为3．其中正确的结论是_________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】证明得，利用 是 的外角等量代换可证①；由，得四点共圆，根据等弧对等角和等量代换可证②；在上取点M，使，证得，可证③；设，则 ，， 过点E作 于点H，在和 中根据勾股定理，可证④． 【详解】解：①∵为等边三角形， ∴，， ∵ ， ∴， ∴， ∵ 是 的外角， ∴正确； ②∵， ∴四点共圆， 同弧所对圆周角： 同弧所对圆周角： ∴， ∴平分 ，正确； ③在上取点M，使， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，正确； ④设，则 ，， 过点E作 于点H， 在中，， ∴， ∴， 在 中，，， ， ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为9， ∴ 的最小值为，正确． 三．解答题（其中21—22题各7分，23—24题各8分，25—27题各10分，共计60分） 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解：原式 ， 当时， 原式． 22. 如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1个单位长度，每个小正方形的顶点叫格点，点A，点B均在格点上，请用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在方格纸中，画出点C（点C在格点上），连接， ，满足， （2）画出点D（点D在格点上），连接 ， ，满足，且 为钝角． （3）作的高线（保留作图痕迹，体现作图过程） 【答案】（1）如图，点C的位置如图所示， （2） 如图，点D的位置如图所示， （3） 如图，即为所求， 【解析】 【分析】（1）利用网格，结合勾股定理即可解答； （2）根据点A与点C的水平距离和竖直距离，确定点D的大概位置，再根据 为钝角确定最终位置； （3）利用网格的对角线，即可解答． 【小问1详解】 解：，， ， 即为所求； 【小问2详解】 解：∵，点A与点C的水平距离2个单位长度，竖直距离4个单位， ∴点D与点A同列， ∵ 为钝角， ∴有3个点符合要求，如图即为所求； 【小问3详解】 解：∵ 为两行三列的对角线， ∴使也为两行三列的对角线，则． 23. 随着人工智能的快速发展，初中生使用 大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间（用x表示，单位： ）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用AI大模型辅助学习时间频率分布表 组别 时间 频率 A 0.16 B 0.24 C 0.30 D 0.20 E 0.10 合计 1 根据提供的信息回答问题： （1）在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ （2）请通过计算把频数分布直方图补充完整； （3）该校九年级共有750名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间不少于 的学生人数． 【答案】（1）在这次调查中，一共抽取了50名学生 （2） 解： （名）， 频数分布直方图如下： （3）估计该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间不少于 的学生人数为450人 【解析】 【分析】（1）用A组的人数除以对应的频率计算即可； （2）用总人数减去其他组的人数求出D组的人数，在画直方图即可； （3）先求出学习的时间不少于 的频率，再乘750即可． 【小问1详解】 解： （名） 答：在这次调查中，一共抽取了50名学生． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解： ， （人）． 答：估计该校九年级学生一周使用 大模型辅助学习的时间不少于 的学生人数为450人． 24. 如图，在正方形 中，点 在 延长线上，点 在 上，连接 ，且． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，过点A作平分交 于点，连接，过点作交 于点分别交于点，请直接写出图中始终与相等的角（除外） 【答案】（1） 证明：∵四边形 是正方形， ∴， ， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ； （2）始终与相等的角有：，， ，， ； 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质和可证，进而得到结论； （2）根据全等三角形的性质得到，，根据平行线的性质即可得到结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得：， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴始终与相等的角有：，， ，， ； 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 25. 某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表： ①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 （1）请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； （2）若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？ 【答案】（1）每个篮球60元，每个足球50元 （2）当购买篮球4个的时候，所花费用最少 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式，一次函数的实际应用，正确的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键： （1）设每个篮球 元，每个足球 元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设蓝球有 个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出 的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【小问1详解】 解：设每个篮球 元，每个足球 元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． 【小问2详解】 设蓝球有 个，则足球有个 ， 解得：， 设购买的总费用是元， ， ， 随着 的减小而减小； ∵且 为整数， 当 最小值为4时，最小值为540元； 答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少． 26. 已知：内接于， ，点D在圆上，弧弧 ，连接 ， （1）如图①，求证： （2）如图②，点E在 上，点G在 延长线上，连接 ，，作，，，求证：； （3）如图③，在②的条件下，作 交 延长线于点F，连接，四边形的面积为，，求的长． 【答案】（1） 证明：连接 ∴ 为的直径 ， 弧弧 在中 （2） 证明：设 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）连接，根据题意得 ，，再利用勾股定理求解即可求证结论； （2）设，根据题意证 ，再结合即可求证结论； （3）作交 延长线于点M，作于点N，证，得，四边形为矩形，根据，求出，设 交于点K，在上截取，根据角的关系求得 ，设，根据列方程求解得，， ， ，求出 可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：作交 延长线于点M，作于点N， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 又∵ ， ， ， ， 四边形为矩形 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 如图设 交于点K，在上截取 为的直径， ， ， ， ， ， ， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ∴， ， 27. 已知：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数交x轴于A、B两点，交y轴于点C，， （1）如图1，求抛物线的解析式； （2）如图2，P为第三象限抛物线上一点，连接并延长交y轴于点T，设P的横坐标为t，的长为d，求d与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图3，在（2）的条件下，D为第一象限抛物线上一点，连接 交y轴于点E，过点D作x轴垂线交x轴于点F，交延长于点G，连接 ，若，，Q为x轴正半轴上一点，连接 ，，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出，再由得，将代入求解即可； （2）作轴于点R，设，根据列式，求得，再计算即可； （3）延长至点H，使，连接，作，交于点M，连接，，证，得，再证四边形为平行四边形，求得点D的纵坐标为12，代入抛物线，，得，求出 的解析式和求出P点坐标，再求 的解析式和E点坐标，再利用，求解即可． 【小问1详解】 解：∵ 令，， ， ， ， 过点A， ∴， ； 【小问2详解】 解：作轴于点R P的横坐标为t，在抛物线上 ， ， ， ∴， ， 【小问3详解】 解：延长至点H，使，连接， ， ， ， ，， ， ， ， 作，交于点M，连接，， ， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， ， 点D的纵坐标为12， 代入抛物线， ，（舍）， ，，， 设 直线解析式为 ∴，解得， 点P在直线 上，设 代入抛物线， ，（舍） ， ，， 设 直线解析式为 ∴，解得， ， 令，， ， ，在，中 ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $