宁夏吴忠市盐池中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

**基本信息** 高二数学期中卷聚焦导数、排列组合、二项式定理等核心内容，通过切线方程求解、实际选课方案设计等问题，融合数学思维的逻辑性与数学眼光的现实观察，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |解答题|5题/约70分|导数几何意义、函数单调性、二项式系数|第18题分切线方程、单调区间、恒成立问题三问，层次递进，体现逻辑推理与数学表达| |填空题|3题/15分|切线斜率、排列实际应用|第13题以家庭乘车座位安排为情境，培养从现实中抽象数量关系的数学眼光|

盐池中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 总分150分 答题时间120分钟 一、单选题 1．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 2．某中学为高二学生开设校本选修课，分别为人文社科、自然科学、艺术体育三个类别，其中人文社科类有门互不相同的课程，自然科学类有门互不相同的课程，艺术体育类有门互不相同的课程.若要求每位学生选择门课程，且门课程需来自不同的类别，则不同的选课方案种数为（    ） A． B． C． D． 3．已知乘积展开后共有60项，则n的值为（   ） A．5 B．6 C．10 D．12 4．若，则（   ） A． B． C． D． 5．4人同时被邀请参加一项活动，则至少有1人去参加活动的方法种数为（    ） A．4种 B．15种 C．16种 D．24种 6．在的展开式中，常数项为（   ） A．15 B．40 C．60 D．80 7．的展开式中，系数最大的项是（   ） A．第6项 B．第3项 C．第3项和第6项 D．第5项和第7项 8．已知函数的图象如下，则的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下面导数运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知m，且，则下列等式正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知是定义域为的函数的导函数，且函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．可能有三个极值点 B．若，则在上单调递减 C．若，则的极大值点为 D．若，则 三、填空题 12．曲线在点处的切线与直线平行，则__________． 13．即将暑假，小明一家5人计划开车回趟老家，车子前排有驾驶座和副驾驶座，后排有3个座位．家人中只有小明和哥哥不会开车，且小明未成年只能坐在后排，则一共有_____种不同的乘坐方式． 14．________． 四、解答题 15．已知曲线在点处的切线方程是. （1）求，的值； （2）如果曲线的某一切线与直线：垂直，求切点坐标与切线的方程. 16．（1）计算：； （2）计算：，求n. （3）计算：,求x. 17．若的展开式中第3项与第9项的二项式系数相等，且. (1)求的系数； (2)求的值. 18．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求的单调区间； (3)若不等式恒成立，求的最大值. 19．已知函数. (1)求函数的极值； (2)在坐标系中画出函数的简图（要含有必要的说明和体现必要的图象特征）； (3)讨论方程的实数解的个数. 高二数学 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度高中数学期中考试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A B C D D BC BC 题号 11 答案 ABC 1．A 【详解】易知， 所以. 故选：A. 2．C 【详解】若选择的门课程为人文社科、自然科学，则有种选法， 若选择的门课程为人文社科、艺术体育，则有种选法， 若选择的门课程为自然科学、艺术体育，则有种选法， 由分类计数原理可知，不同的选课方案种数为. 3．C 【详解】因为第一个括号有2项， 第二个括号有3项， 第三个括号有项， 所以展开式共有项， 所以. 故选：C 4．A 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 5．B 【详解】4人同时被邀请参加一项活动，参加活动共有种方法， 若没人去，则只有种，故至少有1人去参加活动的方法种数为. 6．C 【详解】由题，展开式的通项为， 令，所以展开式中常数项为. 故选：C. 7．D 【详解】因为的展开式的通项公式为， 所以的展开式的各项系数分别为， 第6项系数为，第5项和第7项系数分别为，且， 所以系数最大的项是第5项和第7项. 故选：D 8．D 【详解】由图像可知函数关于原点对称，是奇函数， 对于选项C，，， 故是偶函数，不符合，排除C； 对于选项A，，求导得， 故在上单调递增， 不符合图像中时先增后减的趋势，排除A； 根据图像，极大值点在左侧， 对于选项B，，求导得， 令，得， 1 0 单调递增 单调递减 故的极大值点为，不符合图像，排除B. 9．BC 【详解】由导数的运算公式，得： ， AD错误，BC正确． 10．BC 【详解】A错，，． B对，． C对，，，所以． D错，． 故选：BC. 11．ABC 【详解】由图可得，0，2是的零点，当时，有3个变号零点， 所以可能有三个极值点，A正确． 若，，由图可得当时，，单调递减，B正确． 若，，由图可得当时，， 当时，，所以的极大值点为，C正确． 若，则，由图可得， 得或，所以或，D错误． 故选：ABC 12． 【详解】因为，所以，则， 直线的斜率为， 依题意可得，解得. 故答案为： 13．54 【详解】第一步：考虑小明只能坐在后排，所以小明的坐法有：种； 第二步：考虑驾驶座的坐法，只能从3人中选1人，有：种； 第三步：其他3人，还有3个位置，坐法有：种. 根据分步乘法计数原理，一共有：种不同的乘坐方式. 故答案为：54 14．256 【详解】因为,而二项展开式中，奇数项的二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和， 所以， 故答案为：． 15．（1）；（2）,或. 【详解】（1）∵的导数， 由题意可得，， 解得，. （2）∵切线与直线垂直， ∴切线的斜率.设切点的坐标为， 则，∴. 由，可得，或. 则切线方程为或. 即或. 16．（1）0； （2）； （3）； 【详解】（1）； （2）由已知可得，所以， 所以，所以，解得或， 经检验知不符合题意，故舍去; 符合题意， 故. （3）由可得或， 解方程，即，解得或， 解方程，即，解得或， 又因为、均为整数，且， 所以或符合要求，和均不符合要求. 故或； 17．(1)180 (2) 【详解】（1）第3项与第9项的二项式系数相等， 则，解得，所以. 所以的展开式中项为：，所以. （2）由（1）知，的展开式中，当时，， 由二项展开式可得： 所以都是正数，都是负数， 所以 当时，， 所以. 18．(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【详解】（1）当时，，则， 得.又， 故曲线在点处的切线方程为，即. （2）当时，，得， 令，得或（舍去）， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）恒成立，即恒成立， 即恒成立. 令，则， 当时，则，函数在上单调递增， 因为，不符合题意； 当时，由，得，则函数在上单调递增， 由，得，则函数在上单调递减， 故的最大值为， 由和，解得. 综上可得，的最大值为. 19． 【详解】（1）因为函数定义域为，，又恒成立， 当时，；当时，； 所以，的单调递减区间为，单调递增区间为，极小值为，无极大值. （2）当时，，，则恒成立， 图象如下： （3）方程的根的个数等价于函数与的交点个数； 结合（2）中图象可知： 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与有两个不同交点； 当时，与有且仅有一个交点； 当时，与无交点； 综上所述：当时，方程有唯一的实数根； 当时，方程有两个不同的实数根； 当时，方程无实数根. 答案第6页，共7页 答案第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $