8.2整式的乘法 自主达标测试题 2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册

2025-2026学年鲁教版（五四制）六年级数学下册《8.2整式的乘法》 自主达标测试题（附答案） 一、单选题（满分24分） 1．下列结果计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．若，则、的值为（    ） A． B． C． D． 3．若，则，的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．若关于x的多项式与的乘积中不含项，则乘积的一次项系数为（   ） A．0 B． C． D． 5．若，，a为有理数，则的值是（　　） A．为正数 B．为负数 C．为非正数 D．不能确定 6．观察：，，，……．根据以上各式的规律，若，则的值是（  ） A． B．0 C．1 D．2 7．如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则阴影部分的面积为（    ）平方米． A． B． C． D． 8．如图所示，用“杨辉三角”可以解释的展开式（按的次数由大到小的顺序．b反之）的系数规律，例如，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立．则的展开式中含的系数（   ） A． B．40 C．80 D． 二、填空题（满分24分） 9．_______． 10．计算：_____． 11．当时，的值是_________． 12．若一个三角形的一边长为，这边上的高为，则它的面积为_____． 13．计算的结果是______． 14．有一电脑程序能处理整式的相关计算，已知输入的整式，整式，屏幕自动将整式补齐，则整式_____． 15．如图，两个正方形的面积分别为4，，阴影部分的面积分别为a，b（），则的值为_________． 16．某班级组织联欢活动布置教室，需要制作出一些边长如图所示的A，B，C三种彩色卡片，其中．最后需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，那么所准备的C种卡片的张数不能少于_______张． 三、解答题（满分72分） 17．（6分）计算： (1)； (2)． 18．（8分）先化简，再求值： (1)，其中； (2)，其中，． 19．（6分）试说明对于任何正整数n，式子的值都能被3整除． 20．（8分）某景区内原有一块长为米，宽为米的长方形地块（），规划部门重新规划设计，与原地块相比，长减少了b米，宽增加了b米，请问该地块规划后的面积与之前相比是增加了还是减少了？增加或减少了多少平方米？ 21．（8分）近年来城区老旧小区改造已成为群众关心的热点问题．为提高南海社区居民的宜居环境，市政府在社区规划修建一个广场（如图）． (1)用含的式子表示该广场的面积； (2)若米、米，修建该广场每平方米需要元，请求出修建该广场的总费用． 22．（8分）七年级某班数学小组研究系列算式：，，…，将算式计算过程进行变形后，得到如下规律： ； ； ；…… (1)根据以上规律，直接写出的相应变形算式； (2)请用含的等式表示以上规律，并通过计算验证所列等式的正确性． 23．（8分）在月历上，我们可以发现其中某些数满足一定的规律，如图是2026年1月份的月历，我们任意选择其中所示的阴影方框部分，将每个阴影方框部分中4个位置上的数交叉相乘，再相减（乘积大的减小的），例如：，．不难发现，结果都是7． (1)请你再选择一个类似方框列出算式进行计算，看一看是否符合这个规律？ (2)设任意一个月历中类似方框的左上角的数为，请你列出代数式进行计算，看一看是否有同样的规律？ 24．（10分）在长方形中，将两张边长分别为和的正方形纸片按如图1、图2所示的两种方式放置（图1、图2中两张正方形纸片均有部分重叠），长方形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的周长、面积分别为，，图2中阴影部分的周长、面积分别为，． (1)求证：． (2)若，，求的长． 25．（10分）综合与实践 【问题情境】 某“综合与实践”小组开展了“长方体纸盒的制作”实践活动，他们利用边长的正方形纸板制作出两种不同方案的长方体盒子（图1为无盖的长方体纸盒，图2为有盖的长方体纸盒）请你动手操作验证并完成任务．（纸板厚度及接缝处忽略不计） 【动手操作】 方法一：根据图1的方式，先在纸板四角剪去四个同样大小边长为的小正方形，再沿虚线折合起来，制作一个无盖的长方体盒子． 方法二：根据图2方式，先在纸板四角剪去两个同样大小边长为的小正方形和两个同样大小的小长方形，再沿虚线折合起来，制作一个有盖的长方体纸盒． 【问题解决】 (1)若，求用方法一制作的无盖长方体纸盒的体积； (2)用含的代数式表示方法二制作的有盖长方体纸盒的表面积，若，则该有盖的长方体纸盒的表面积为多少？ 参考答案 1．解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 2．A 【分析】先利用单项式乘单项式的运算法则和同底数幂的乘法法则化简左边后，对比等式两边相同字母的指数，据此列一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵， ∴，解得． 3．B 【分析】本题主要考查整式的乘法多项式乘以多项式，将左边的式子展开，再对比右边的式子的对应项的系数相同即可． 【详解】 ∵ ∴，． 4．B 【分析】先利用多项式乘以多项式法则展开，再合并同类项，然后根据不含二次项，得到关于待定字母的方程求解． 【详解】解：由题意得 ， ∵关于x的多项式与的乘积中不含项， ∴， 解得， ∴乘积的一次项系数为． 5．B 【分析】计算后，根据平方的非负性判断结果的符号即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴ ∵为有理数， ∴ ∴ ∴， 即的值为负数． 6．C 【分析】根据已知等式归纳出通用规律：(为正整数)，再结合已知等式变形求解． 【详解】解：∵，，，……， ∴， ∴当时，． 又， ， ． 7．C 【分析】根据图形可知，阴影部分的面积等于大长方形的面积减去中间空白长方形的面积，分别利用多项式乘法法则计算出两个长方形的面积，再作差化简即可得出答案． 【详解】解：由图可知，大长方形的长为米，宽为米， 中间空白长方形的长为米，宽为米， ∴阴影部分的面积为： 8．C 【分析】本题主要考查整式的乘法运算规律，结合“杨辉三角”写出第五行的数得出的各项系数，第六行的数得出的各项系数，然后结合即可求解． 【详解】解：依题意，在“杨辉三角”中第3行的3个数1，2，1，恰好对应着的展开式 中各项的系数：第4行的4个数1，3，3，1，恰好对应着的展开式中各项的系数．当是大于4的自然数时，上述规律仍然成立． ∴第行的个数分别为：，恰好对应着的展开式为， ∴第6行的6个数分别为：，恰好对应着的展开式为， 依题意， ， 则的展开式中含的系数为． 故选：C． 9． 【分析】本题考查了积的乘方，单项式乘单项式，先运算积的乘方，再运算单项式乘单项式，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故答案为：． 10．/ 【分析】本题考查单项式乘以多项式，根据单项式乘以多项式的法则进行计算即可． 【详解】解：原式， 故答案为：． 11． 【分析】本题考查多项式与多项式相乘，先将所求代数式展开整理，再结合已知条件进行整体代入计算． 【详解】解：化简：； ∵， ∴将其代入化简后的式子，得； 故答案为：． 12． 【分析】本题考查多项式的乘法运算，关键是熟练掌握多项式乘多项式的运算法则以及三角形面积公式．首先根据“三角形面积底高”列出面积表达式，再利用多项式乘多项式的法则展开括号，合并同类项后乘以，最终得到化简结果． 【详解】解：根据三角形面积公式，该三角形的面积为： ； 故答案为：． 13． 【分析】利用换元法简化重复出现的多项式，避免复杂的分数通分运算，展开化简后即可得到结果. 【详解】解：设 ， ， 则原式 ， ∴原式. 14． 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查列代数式，整式混合运算． 设两个正方形重合部分的面积是，则，，代入计算即可． 【详解】解：设两个正方形重合部分的面积是，则，， ∴ ． 故答案为：． 16．23 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，根据需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形，得出长方形面积为，再用多项式乘多项式运算法则进行计算，得出长方形面积为，即可得出答案． 【详解】解：∵需要用这些卡片拼出一个边长分别为和的大长方形， ∴长方形的面积为： ， ∴所准备的C种卡片的张数不能少于23张． 故答案为：23． 17．(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则，掌握知识点是解题的关键． （1）根据单项式乘单项式，单项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可； （2）根据单项式乘多项式，多项式乘多项式的法则展开，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．(1)， (2)， 【分析】本题考查整式的乘法混合运算，涉及单项式与多项式的乘法，多项式与多项式的乘法，代数式求值，熟练掌握整式的乘法运算法则是解题的关键． （1）先利用单项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可； （2）先利用多项式与多项式的乘法化简，再合并，最后代入求值即可． 【详解】（1）解： ， 当时，原式； （2）解： ， 当，时，原式． 19．见解析 【分析】先将原式展开并合并同类项进行化简，若化简结果为与某个整数的乘积，则可说明原式的值能被整除 【详解】证明：原式 又是正整数 是正整数 是的倍数 即对于任何正整数，式子的值都能被整除 20．该地块规划后的面积与之前相比增大了，增大了 【分析】先求出原长方形地块的面积，再求得重新规划设计后长方形地块的长和宽，再求得其面积，最后作差并判断正负即可解答． 【详解】解：原长方形地块的面积为： ； 重新规划设计后的长为：，宽为， 面积为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴该地块规划后的面积与之前相比增大了，增大了平方米． 21．(1)； (2)660000． 【分析】本题主要考查了列代数式、代数式求值以及整式的运算，熟练掌握用割补法求不规则图形的面积和代数式的运算是解题的关键． （1）用大矩形的面积减去凹进去的小矩形的面积，即可表示出广场的面积． （2）将、的值代入（1）中得到的面积表达式，求出广场的面积，再乘以每平方米的费用，即可得到总费用． 【详解】（1）解：如图， ； （2）解：当米，米时， 平方米， 总费用(元) 22．(1) (2)，其中；验证见解析 【分析】（1）根据规律写出等式即可； （2）先根据规律写出结果，再利用多项式与多项式的乘法法则验证即可． 【详解】（1）根据题中规律，得； （2），其中； 验证如下： ． 23．(1)（答案不唯一），符合规律 (2)有，见解析 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，整式的混合运算，解题的关键是掌握新定义运算规则． （1）根据规则列出算式进行计算即可； （2）根据规则列出代数式，然后利用整式的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：（答案不唯一），符合规律； （2）解：方框中的左上角的数为，则其他3个数为， 方框中4个位置上的数交叉相乘，再相减， 列式得，， ， ， 结果为7，所以有同样的规律． 24．(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了整式的加减运算，整式的乘法运算，乘法分配律的应用，解题关键是掌握整式的混合运算． （1）结合长方形的性质分别表示即可． （2）利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差，再进一步求解即可． 【详解】（1）证明：由题意可得：，， ， ， ∴． （2）解： ， ， ∴， ∵， ∴． 25．(1) (2)， 【分析】本题考查几何图形，多项式乘以多项式计算，代数式求值，求立体图形的体积和表面积，根据题意正确得出立体图形的长宽高是关键． （1）根据图形可得长方体纸盒的底面边长为大正方形的边长－两个小正方形的边长，再根据图形求出长方体纸盒的长宽高即可求出体积； （2）根据图2的裁剪，表示出长、宽、高进而求出体积． 【详解】（1）解：该长方体纸盒的底面正方形边长为：， 该长方体纸盒的体积为：； （2）解： 裁剪后折叠成长方体的长为：， 裁剪后折叠成长方体的宽为：， 裁剪后折叠成长方体的高为：． 长方体纸盒的表面积为 ， 当时，表面积 学科网（北京）股份有限公司 $