广东茂名市第一中学等九校2025-2026学年高二下学期4月学情调研数学试题

高二年级4月份学情调研 数学试题 本试卷共4页，19题。全卷满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上 的指定位置。 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在 试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3.非选择题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和 答题卡上的非答题区域均无效。 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的. A吉 B.2 1 C.2026 D.2026 2.曲线f(x)=√e在点(0，f(0)处的切线方程为 A.x+2y+2=0 B.x+2y-2=0 C.x-2y+2=0 D.x-2y-2=0 3.设f(x)是f(x)的导函数，已知f(x)=3f'(1)x-2lnx,则f(1)= A.1 B.-1 C.2 D.-2 4.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍8个文化地标的文章，若第一个介绍的是地标A,且地 标B,C,D的介绍顺序必须相邻（中间不能插入其他地标，内部顺序可自由调整），则该文章关于 这8个文化地标的介绍顺序共有 A.360种 B.720种 C.1440种 D.2160种 5.某次考试共有12道选择题，每道选择题的分值为5分，每道选择题的四个选项有且只有一个是 正确的，A学生对12道选择题中每道题的四个选项都没有把握，最后选择题的得分为X分，B 学生对12道选择题中每道题的四个选项都能判断出有一个选项是错误的，对其他三个选项都 没有把握，最后选择题的得分为Y分，则D(Y)一D(X)= A罗 R C27 4 D23 4 6.函数fx)=10lnz的大致图象为 B 数学第1页（共4页） 7.设A,B分别为随机事件A,B的对立事件，已知0<P(A)<1,0<P(B)<1,则下列说法不正确 的是 A.P(B A)+P(B A)=1 B.P(BA)+P(B A)=0 C.若A,B是相互独立事件，则P(AB)=P(A) D.若A,B是互斥事件，则P(BA)=0 &设a=ch,6名0昭器=e中，则 A.a>c>b B.b>c>a C.c>a>b D.a>b>c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知m,n均为正整数，且m<n,则 A.Ci=Ci B.Aπ=A”-m C.A-1=C-1Am(m>1) D.1A+1=A n-m 10.关于（江反）的展开式，下列说法正确的是 A.展开式共有8项 B.展开式的二项式系数之和为256 C.展开式中没有常数项 D.展开式的第5项的二项式系数最大 1.已知函数红)305则 A.f(x)为奇函数 B.f(π十x)=f(x) C.f(π-x)=-f(x) D.f(x)在[0，]上单调递增 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.若函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3),则f(3)= 13.若(x2-x+2)4=a0十a1x十a2x2+…十a8x8,则|a1|+|a2|+…+ag= 14.某Livehouse舞台的环形氛围灯被设计为如图所示的4个环形相邻灯区.现有5种霓虹灯光色 可供选择，要求每个灯区只使用一种颜色，且相邻灯区颜色不相同，则该舞台灯区共有 种不同的颜色搭配方案. ① 数学第2页（共4页） B版 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分) 记等差数列{am}的前n项和为Sn,已知S4=4S2,a2m=2an十1(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式； (2)证明：六+头十…+实<号 12 16.(本小题满分15分) 已知函数f(x)=3十x十2 (1)判断f(x)的单调性； (2)若关于x的方程f(x)=m只有1个实数解，求实数m的取值范围. 17.(本小题满分15分) 某高校新媒体社团有7位同学，他们计划对短视频剪辑、直播运营、图文排版、创意脚本撰写 这4个当下热门的新媒体项目展开学习调研，要求每个项目至少有一人负责，且每人只能选择一 个项目. (1)若从社团中选出4人去调研，共有多少种不同的调研安排方案？ (2)若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3位同学调研同一项目，共有多少种不同的安 排方案？ 数学第3页（共4页） 18.(本小题满分17分) 已知函数fx)=ax3十a∈R). (1)当a=1时，求f(x)的极值： (2)若3.x-2≥f(x)对Vx∈[0，十∞)恒成立，求a的取值范围； (3)若a=3,证明：当0≤c<时，tanx>f(x). 19.(本小题满分17分) 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用五局三胜制（先胜三局者获胜），每局比赛甲获胜的概率为p (0<p<1),乙获胜的概率为1一p,各局结果相互独立.比赛计分规则如下： 若一方以3：0或3：1获胜，则胜者得3分，败者得0分； 若一方以3：2获胜，则胜者得2分，败者得1分. (1)求甲获得3分的概率； (2)若力=2，设甲的总得分为随机变量X,求X的分布列和数学期望E(X): (3)已知甲在比赛中的总得分X的分布列由p决定.定义意外指数为U(p)=P(X=1)十P(X=2). ①求U(p)的表达式，并比较U(p)和U(1一p)的大小关系； ②求U(p)在p∈(0,1)上的最大值及取得最大值时p的值. 数学第4页（共4页） B版参考答案及解析 数学 高二年级4月份学情调研 数学参考答案及解析 一、选择题 10(1-2lnx2,由f(x)>0,得0<x<E:由f(x) x 1.B【解析】 A625=2026×2025 C号o026 2026×2025 =2026×2025× <0,得x>E,故f(x)在(0w√E)上单调递增，在 2×1 2 (E,十o∞)上单调递减，排除C;当x>0时，f(1)= 2026X2025=2.故选B. 0,fx)=f(6)=10nE=三<2，排除A故 2.C【解析】因为f(x)=√e=e受，所以f(x)= (E)3 2,所以f(0)=子，又f0)=1,所以曲线 选D. 7.B 【解析】对于A,P(B|A)十P(B|A)= f(x)=√e在点(0，f(0))处的切线方程为y-1= PCAR CAAB》-君品=1，放A正确：对于B P(A) (x-0),即x-2y+2=0.故选C 当A,B是相互独立事件时，P(B|A)十P(B|A)= 3.A【解析】由f(x)=3f(1)x-2lnx,求导得 2P(B)≠0，故B错误：对于C,因为A,B是相互独立 f(x)=3(1)-2,则f1)=3f1)-2,解得 事件，所以P(AB)=P(A)P(B),则P(AB)= f(1)=1.故选A P(AB)=P(A),故C正确：对于D,因为A,B是互 P(B) 4.B【解析】先将B,C,D这三个地标捆绑，再和其他4 斥事件，所以P(AB)=0,则P(B|A)=0,故D正 个地标排列，共有AA=720种.故选B 确.故选B. 5.A【解析】设A学生答对m道选择题，则m~ 8.D【解析】令f(x)=e1-x,则f(x)=el一1， B(12,),所以D(m)=12××是=号，由题知 令(x)<0,得x<1:令f(x)>0,得x>1,所以 f(x)在（-∞，1)上单调递减，在(1，十∞)上单调 X=5m,所以D(X)=25×是-2塑.同理设B学生 递增，所以f(号8器)>f1),(82)>f1).即 答对n道选择题，则n~B(12,号)，所以D(n)=12 c1-多02>0，e☏-1-2026 2026 2027>0,得ek≥ ×号×号-号由题知Y-5m,所以D(Y)-25×号 28器>28故8器>市，所以市> =,则DY)-D(X)=0-要- 2026'e西 3 4 12,故 2027 2026 >e20,即a>b>c.故选D. 选A. 6.D【解析】函数f(x)=10lz的定义域为 二、选择题 9.ACD【解析】对于A,由性质C=C”m,得Ci= {xx≠0}，且f(-x)=1o-x-xl Ci,故A正确；对于B,A0=n(n-1)…(n-m十1)， (一x)3 Am=n(n-1)…(m十1)，无法确定n-m十1与m _10z=一f(x),所以f(x)为奇函数，其 十1是否相等，故B错误：对于C,将定义A”=CA 图象关于原点对称，排除B:当x>0时，f(x)= 中的m用m-1替换，得A1=Cm-1Am,故C正 10h=10h三，则了(a)=020h- 确：对于DnA=己·w n B版 数学 参考答案及解析 (n=m)刀=A,故D正确.故选ACD, n! 区不能与第1个灯区同色，有4种颜色可选，若第3 个灯区与第1个灯区同色，则只有1种颜色可选，此 10.BCD【解析】由题可知展开式共有9项，故A错 时第4个灯区不能与第1,3个灯区同色，有4种颜 误；展开式的二项式系数之和为2=256，故B正 色可选；若第3个灯区与第1个灯区颜色不同，也不 确：展开式的通项为工1=C(3)(-丘) 能与第2个灯区同色，则有3种颜色可选，此时第4 (-1)(）C,k=0,…8,令k-8 个灯区不能与第1,3个灯区同色，有3种颜色可选， 所以该舞台灯区共有5×4×(1×4十3×3)=260 0,得=普不是整数，所以展开式中没有常数项，故 种不同的颜色搭配方案.故答案为260. 四、解答题 C正确：当k=4时，二项式系数C最大，所以展开 15.解：(1)设数列{am}的公差为d, 式的第5项的二项式系数最大，故D正确，故 选BCD. 由题意得 a,+4d=4(2a+2d) 11.AD【解析】对于A,f(-x)= sin (-x) a1+(2n-1)d=2[a1+(n-1)d]+1 3+cos(-x) sin=一3十cosx sin x /a1=1 =一f(x),且定义域为R, 解得 (4分) 3+cos x d=2 所以f(x)为奇函数，故A正确：对于B,f(π十x) 所以am=1十2(n-1)=2n-1. (6分) sin(π+x) -sin x= sin x 3十cos(π十x) 3-cos (2)由(1)知an=2-1, -3+cos x 1 1 f(x),故B错误；对于C,f(π-x)= 所以2产1 sin(π-x) sin x sin x 3十c0s(元-x) 3-cos x 3+cos 所以数列（甚}是首项为号，公比为的等比数列、 一f(x),故C错误；对于D,(x)= (9分) cos x(3+cos x)-sin x(-sin x) (3十c0sx)1 o当e0,号]时，casr+1>0,则 1一 f(x)>0,f(x)单调递增.故D正确.故选AD. =号(1-) (11分) 三、填空题 12.2【解析】由题得f(x)=(x-2)(x-3)+ 因为0<<1， (x-1)(x-3)十(x-1)(x-2),则f(3)= (13分) (3-1)(3-2)=2.故答案为2. 13.240【解析】由题得，在含x的项中，当k为奇数 16.解：(1)因为f(x)=+x+2=x+2+1,x∈ x 时，系数为负，当k为偶数时，系数为正，所以 (-o∞，0)U(0,+∞)， |a1|+|az|+…+|a8=-a+a2-aa+…-a (3分) 十ag,对于(x2-x十2)=a0十a1x十a2x2十…十 所以了(x)=2x是-2D agx,令x=0,得a0=2=16;令x=-1,得a0-a 则当x<0或0<x<1时，f(x)<0,f(x)单调 +a2一a+…-a,十a%=4=256,所以 递减： |a|十1a2|+…十|as|=256-16=240.故答案 当x>1时，f(x)>0,f(x)单调递增， 为240. 所以f(x)在(-∞，0)，(0,1)上单调递减，在 14.260【解析】第1个灯区有5种颜色可选，第2个灯 (1,十∞)上单调递增， (6分) ·2· B版 参考答案及解析 数学 (2)f(x)=x2+2+1,x∈e(-60,0)U(0,+0), 令f(x)>0,得x<-2或x>0, 所以∫(x)在(-∞，一2)上单调递增，在 当x一∞时，f(x)→十∞； (-2,一1)，(-1,0)上单调递减，在(0，十∞)上单 当x→0时，f(x)→-∞； 调递增， (3分) 当x→0+时，f(x)→+∞： 所以f(x)的极大值为∫（一2）=一6，极小值为 当x十∞时，f(x)→十∞， (10分) f(0)=-2. (4分) 又f(1)=4,作出f(x)的大致图象如图所示， (2)由3x-2≥f(x),得3x-2≥ax-3+十 1 化简得(3-a)x- +1≥0， -m 设g(x)=(3-a)x ++1x∈[0，+∞)， 则g'(x)=3-a十 (x+1)1 (6分) 当3-a≥0，即a≤3时，g(x)>0,g(x)单调递增， 所以g(x)≥g(0)=0,符合题意； (7分) 因为关于x的方程f(x)=m只有1个实数解， 当3-a<0,即a>3时，当x→十o∞时，g(x)→ 所以∫(x)的图象与直线y=m只有1个交点， -o,不满足g(x)≥0对Hx∈[0，十∞)恒成立， 结合图象可知m<4, 不符合题意 (8分) 所以实数m的取值范围为（一∞，4）， (15分) 综上，a的取值范围为(-o∞，3]. (9分) 17.解：(1)先从7位同学中选出4人，有C=35种选 (3)若a=3, 法； (2分) 则由(2)得当0≤x<T时，3x-2≥f(x), 再将选出的4人分配到4个项目，要求每个项目至 2 少1人，则有A=24种分配方法， (4分) 要证tanx>f(x),可证tanx>3x-2. (10分) 所以共有35×24=840种不同的调研安排方案. 令h()=tamx-3z+2,ze[0,受）， (6分) (2)将甲、乙、丙3位同学视为一个整体（一个元素）， 则h'(x)= 1 1-3c0s2x -3= cos'x cos2x 此时相当于5个元素分配到4种模型，每种模型至 (1+√3cosx)(1-√3cosx) 少1个元素， 则5个元素需分为“2,1,1,1”四组，有C号=10种分 令N（x)=0,得1-5cosx=0,则cosx- 3 法； (9分) (12分) 再将这四组对应4种模型进行全排列，有A=24种 方法， (12分) 设a6-9a∈[0号）. 所以若7位同学同时参与调研，其中的甲、乙、丙3 则当0xxo时，h'(x)0,h(x)单调递减； 位同学调研同一项目，共有10×24=240种不同的 安排方案。 (15分) 当<z<受时，(x)>0,h(x)单调递增， 所以h(x)≥h(xo)=tan xo-3xn+2, (14分) 18.解：(1)当a=1时，f(x)=x-3++x≠-1， 则f)=1=》. 因为as%-号[0，受） (1分) 令f(x)<0,得-2<x<-1或-1<x<0: 所以tanx6= /1一cosx0=√2<3， ·3· B版 数学 参考答案及解析 则0<5， (15分) 3 5 所以h(x)>E-3×牙+2=2-+2>0， 16 16 16 16 则h(x)>0,即tanx-3x十2>0， 6+1X 5 3 6+2X 3 5 所以E(X)=0X +3×6= 所以tanx>3x-2得证， 所以当0≤x<受时，anx>f(x). (12分) (17分) (3)①由题意，P(X=1)=C(1-p)2×p2× 19.解：(1)根据题意，每局比赛甲获胜的概率为p (0<p<1),乙获胜的概率为1一p,各局结果相互 (1-p)=6p2(1-p)3=6p2-18p3+18p-6p, 独立。 P(X=2)=Cp2X(1-p)2×p=6p3(1-p)2= 所以甲以3：0获胜的概率为p×p×p=p3,(2分) 6p3-12p+6p5, (13分) 甲以3：1获胜的概率为C号×p×p×(1一p)×p= 所以U(p)=P(X=1)+P(X=2)=6p-18p 3p3(1-p), +18p-6p+6p3-12p+6p 所以甲获得3分的概率为p3+3p2(1一p)=4p2一 =6p2-12p3+6p=6p2(1-p)2, 则U(1-)=6(1-p)2[1-(1-p)]2=6(1-p)2书， 3p. (5分) (2)由题意可知，随机变量X为甲的总得分，其所有 所以U(p)=U(1-p). (15分) ②由①可得，U(p)=6p2(1-p)2=6[p(1-p)] 可能取值为0、1、2、3，若p= 3,即甲，乙获胜的概 =6(-p2十p)2, 率都是， (6分) 令t=-p2+p,f(t)=6t, 因为p∈(0,1)，可得t=-p十p>0恒成立， 所以P(X=0)=(2)'+C(2)××号- 所以f(t)单调递增， P(x=1)=c(合）×（分）×=是 又当=之时，1取得最大值，即=-（分）广+ p(X=2)=C(2)×(3)'×=是 (16分) P(X=3)=(2)广'+c(2)广××2=， 所以f()m=f(子)=6×(）广=冬， (10分) 即当p=号时，U(p)取得最大值g (17分) 所以随机变量X的分布列为： B版