精品解析：2026年山东省青岛莱西市中考一模数学试题

2026年初中学业水平考试一模检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 计算：__________． 10. 如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 11. 如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 13. 如图，为AD上的中点，则BE＝______． 14. 如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法：（1）当时，；（2）当点落在上时，．四边形是菱形；（3）在点运动的过程中，线段的最小值为2；（4）连接，则四边形的面积始终等于．其中正确的序号有_____． 三、作图题（本大题满分4分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 四、解答题（本题满分74分，共9小题） 16. 计算： （1）解不等式： （2）计算：． 17. 小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． （1）这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； （2）将红球个数改成__________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 18. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是___________； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 19. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点在同一直线上，可绕着点旋转，其中可伸缩，套管的长度不变，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，在某种工作状态下测得液压杆，，．（参考数据：，，，， （1）求的长； （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现云梯末端点的铅直高度升高了，求云梯旋转的度数． 20. 某校在开展“健康中国”读书征文评比活动中，对优秀征文予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知个丙种奖品的价格是个甲种奖品价格的倍，个乙种奖品的价格比个甲种奖品的价格多元．用元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的总数量是乙种奖品数量的倍． （1）求个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是多少元？ （2）该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共个，其中购买甲种奖品的数量是丙种奖品的倍，且甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？ 21. 如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 22. 综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． （1）如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； （2）如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 23. 某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到． 建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； （2）直接写出右侧抛物线的表达式； （3）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ （4）为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 24. 如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： （1）取何值时，点在和夹角的平分线上？ （2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； （4）取何值时，是直角？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年初中学业水平考试一模检测 数学试题 （考试时间：120分钟 满分：120分） 说明： 1．本试题分第I卷和第Ⅱ卷两部分，共24题．第I卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为填空题和解答题，共16小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第I卷（共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8小题，每小题3分） 1. 下列图案是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解： A、是轴对称图形而不是中心对称图形； B、既是轴对称图形也是中心对称图形； C、是轴对称图形而不是中心对称图形； D、是中心对称图形而不是轴对称图形． 2. 人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式为，其中，当原数的绝对值小于1时，为负整数，确定和的值，即可求解． 【详解】解：． 3. 如图，将一个小立方体截去一角，剩下的几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定即可． 【详解】解：从正面看，主视图为 4. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方法则，单项式乘多项式的运算法则逐步计算，最后合并同类项即可求解． 【详解】解：原式． 5. 实数，在数轴上的位置如图所示，则下列正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：由数轴可得，， ∴，，，， 故A符合题意． 6. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 7. 如图，中，，，，以为半径画弧，交延长线于点，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解直角三角形求出，，再用扇形的面积减去的面积即可得出答案． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 8. 如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下列正确的是（ ） A. B. C. D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象和系数的关系判断各项即可． 【详解】解：A、由图象得：，， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴， 故A错误，不符合题意； B、∵对称轴为直线，图象与x轴交于点， ∴图象与x轴交于另一点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故B错误，不符合题意； C、∵，对称轴为直线， ∴当时，函数的最小值为：， ∴， ∴， 故C错误，不符合题意； D、由上述分析，得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故D正确，符合题意． 第Ⅱ卷（共96分） 二、填空题（本题满分18分，共6小题，每小题3分） 9. 计算：__________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式的除法法则计算除法运算，再将各项化为最简二次根式，最后合并同类二次根式即可求解． 【详解】解：原式． 10. 如图，甲、乙两名射击运动员进行射击训练，各射10发，将他们的射击成绩绘制成如下的扇形统计图，设甲、乙两人成绩的方差分别为，，则__________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解： ∵ ∴ 11. 如图，以正五边形的边为直径作，连接交于点，的延长线交于点，则的度数为__________． 【答案】##54度 【解析】 【分析】根据正五边形的定义得出，，根据等边对等角和三角形内角和定理求出，根据直径所对的圆周角是直角得出，最后根据直角三角形的性质求解即可. 【详解】解：∵正五边形， ∴，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴. 12. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在反比例函数的图象上，点的坐标为，将菱形向右平移个单位，使点刚好落在反比例函数的图象上，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求出点A的坐标，据此得出反比例函数的解析式，再结合平移后点D落在反比例函数的图象上求出m的值即可． 【详解】解：∵点D坐标为， ∴， ∵四边形是菱形且点B在y轴上， ∴且轴， ∴点A的坐标为， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 则反比例函数的解析式为， ∵平移后点D刚好落在反比例函数的图象上， 则将代入得， ， ∴． 13. 如图，为AD上的中点，则BE＝______． 【答案】 【解析】 【分析】延长BE交CD于点F，证，则BE=EF=BF，故再在直角三角形BCF中运用勾股定理求出BF长即可. 【详解】解：延长BE交CD于点F, ∵AB平行CD，则∠A=∠EDC，∠ABE=∠DFE， 又E为AD上的中点，∴AE=DE, 所以. ∴ ∴ 在直角三角形BCF中，BF==. ∴. 【点睛】本题的关键是作辅助线，构造三角形全等，找到线段的关系，然后运用勾股定理求解. 14. 如图，在中，，，，是边上的动点，将沿翻折得，射线与射线交于点．下列说法：（1）当时，；（2）当点落在上时，．四边形是菱形；（3）在点运动的过程中，线段的最小值为2；（4）连接，则四边形的面积始终等于．其中正确的序号有_____． 【答案】（1）（2）（4） 【解析】 【分析】（1）画出图形，求出，根据等角对等边即可判断其正确； （2）画出图形，证明出是等边三角形，从而得到，根据四条边相等的四边形是菱形即可判断其正确； （3）画出反例的图形，即可判断其错误； （4）画出图形，连接交于点，根据，即可判断其正确． 【详解】解：（1）如图所示，当时， ， ， 将沿翻折得， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 故（1）正确； （2）如图所示，当落在上时，点和重合， 四边形是平行四边形， ， ， 将沿翻折得， ，，， 是等边三角形， ， 四边形是菱形， 故（2）正确； （3）如图所示， 当点靠近点时，在四边形外部，此时， ， 故（3）错误； （4）如图所示，连接交于点， 将沿翻折得， 垂直平分， ， 故（4）正确． 综上，正确的有（1）（2）（4）， 故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题考查翻折变换，解答中涉及轴对称的性质，平行四边形的性质，菱形的判定，举反例，熟练掌握相关知识是解题的关键． 三、作图题（本大题满分4分） 15. 用圆规、直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 如图，已知点C是的边上的一点，求作，使它经过O、C两点，且圆心在的平分线上． 结论： 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查基本作图，首先作出的角平分线，再作出的垂直平分线，两线的交点就是圆心，再以为圆心，长为半径画圆即可．掌握垂直平分线及角平分线的做法是本题的解题关键． 【详解】解：如图所示： 四、解答题（本题满分74分，共9小题） 16. 计算： （1）解不等式： （2）计算：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 解不等式①得：； 解不等式②得：． 原不等式组解集为． 【小问2详解】 ． 17. 小明和小刚玩摸球游戏，将2个红球1个白球放到一个不透明的袋子中，这些球除颜色外无其它差别，从袋子中随机摸出2个球，若两个球都是红色，则小明胜；若一红一白，则小刚胜． （1）这个游戏方案对双方公平吗？请说明理由； （2）将红球个数改成__________个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的． 【答案】（1）游戏不公平，见解析 （2）3 【解析】 【分析】（1）列表得出共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论； （2）画树状图，共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种，再由概率公式求出小明胜的概率小刚胜的概率，即可得出结论． 【小问1详解】 解：这个游戏方案对双方不公平，理由如下： 列表如下： 红 红 白 红 （红，红） （红，白） 红 （红，红） （红，白） 白 （白，红） （白，红） 共有6种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有2种，两个球一红一白的结果有4种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∵， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方不公平； 【小问2详解】 解：将红球个数改成3个（其他条件不变），这个游戏方案对双方是公平的，理由如下： 画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中两个球都是红色的结果有6种，两个球一红一白的结果有6种， ∴小明胜的概率为，小刚胜的概率为， ∴小明胜的概率小刚胜的概率， ∴这个游戏方案对双方公平， 故答案为：3． 18. 某校为了解七、八年级学生对垃圾分类知识的掌握情况，从七、八年级各随机抽取了20名学生进行测试，发现成绩都在60分以上（满分100分），把成绩（x）分成A，B，C，D四个等级：A：，B：，C：，D： 通过对成绩进行整理，绘制了如下统计图： 已知八年级B等级测试成绩的数据为：81，82，83，84，85，88，88，89． 根据上述信息，解答下列问题： （1）八年级成绩的中位数是___________； （2）若把每个等级中各个数据用该组的中间值代替（如C等级的中间值为），计算七年级测试成绩的平均数； （3）小明的测试成绩为82分，他的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，请判断小明是___________年级的学生，并说明理由． 【答案】（1） （2）七年级测试成绩的平均数为分； （3）七，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查了中位数，方差，频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，掌握题意读懂统计图是解题的关键． （1）根据中位数的定义解答即可； （2）根据加权平均数公式计算即可； （3）利用中位数的意义解答即可． 【小问1详解】 解：八年级A等级人数为：（人）， 把八年级20名学生成绩从小到大排列，排在中间的两个数分别是82，83， 故中位数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：（分）， 答：七年级测试成绩的平均数为分； 【小问3详解】 解：七年级成绩的中位数位于C组，即低于80分，而小明的测试成绩为82分，高于七年级成绩的中位数，低于八年级成绩的中位数，小明的成绩在本年级参加测试的学生中处于中上水平，所以小明是七年级学生． 故答案为：七． 19. 火灾是最常见、最多发的威胁公众安全和社会发展的主要灾害之一，消防车是消防救援的主要装备、某种消防车云梯侧面示意图如图2所示，点在同一直线上，可绕着点旋转，其中可伸缩，套管的长度不变，为云梯的液压杆，点，，在同一水平线上，在某种工作状态下测得液压杆，，．（参考数据：，，，， （1）求的长； （2）消防人员在云梯末端点高空作业时，将伸长到最大长度，云梯绕着点顺时针旋转一定的角度，消防人员发现云梯末端点的铅直高度升高了，求云梯旋转的度数． 【答案】（1） （2）云梯大约旋转了 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系是正确解答的前提，构造直角三角形是解决问题的关键． （1）构造直角三角形，利用直角三角形的边角关系进行计算即可； （2）求出旋转前点D的高度，进而求出旋转后点的高度，再根据锐角三角函数的定义求出的大小，进而求出答案． 【小问1详解】 解：如图，过点B作于点E， 在中，， ∴ ， 在中，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点F，旋转后点D的对应点为，过点作于点G，过点D作于点H， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 即云梯大约旋转了． 20. 某校在开展“健康中国”读书征文评比活动中，对优秀征文予以评奖，并颁发奖品，奖品有甲、乙、丙三种类型．已知个丙种奖品的价格是个甲种奖品价格的倍，个乙种奖品的价格比个甲种奖品的价格多元．用元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的总数量是乙种奖品数量的倍． （1）求个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是多少元？ （2）该校计划：购买甲、乙、丙三种奖品共个，其中购买甲种奖品的数量是丙种奖品的倍，且甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和．求该校完成购买计划最多要花费多少元？ 【答案】（1）个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是元、元、元；（2）该校完成购买计划最多要花费元 【解析】 【分析】（1）设个甲种奖品的价格为元，则个丙种奖品的价格为元，个乙种奖品的价格为元，根据“用元分别去购买甲、乙、丙三种奖品，购买到甲和丙两种奖品的总数量是乙种奖品数量的倍”列方程并解答； （2）设购买丙种奖品个，则购买甲种奖品个，购买乙种奖品个，根据“购买甲种奖品的数量不少于乙、丙两种奖品的数量之和”列不等式并解不等式，设该校购买奖品的费用为元，根据题意列出关系式：，并根据这一次函数的性质即可求解． 【详解】解：（1）设个甲种奖品的价格为元，则个丙种奖品的价格为元，个乙种奖品的价格为元， 依题意，得： 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ，， 故：个甲、乙、丙三种奖品的价格分别是元、元、元； （2）设购买丙种奖品个，则购买甲种奖品个，购买乙种奖品个， 由题意有：， ， 设该校购买奖品的费用为元，则， 随的增大而减小， 时，取最大值，且． 故：该校完成购买计划最多要花费元． 【点睛】本题考查一元一次不等式和一元二次方程的应用，解决本题的关键是正确解读题意题意，找到符合题意的关系式及所求量的等量关系． 21. 如图1，在中，为上一点，使，过点作交的延长线于点，连接． （1）求证：； （2）如图2，连接交于点，若，求证：四边形是菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）由平行得到，，由得到，即可证明； （2）先证明四边形是平行四边形．得到，，再由得到，，即可证明四边形是平行四边形．结合得到，即可证明平行四边形是菱形． 【小问1详解】 证明：， ， 四边形是平行四边形， ，． ； ， ． ； ， 在和中， ． 【小问2详解】 证明：，， 四边形是平行四边形． ，， 四边形是平行四边形． ，， ， 四边形是平行四边形． ， ， 又， 平行四边形是菱形． 22. 综合与实践 新定义：顶角相等且顶角顶点重合的两个等腰三角形互为“哥俩三角形”． （1）如图1，和互为“哥俩三角形”，点为重合的顶角顶点，则与之间的大小关系为__________； （2）如图2，在中，，，，分别为，边上的点，且和互为“哥俩三角形”，． ①若，求的面积；（注意运用（1）的结论） ②如图3，若，，三点在一条直线上，则的面积为__________． 【答案】（1） （2）①3；② 【解析】 【分析】（1）由“哥俩三角形”的定义可得，，，，可证明，可得； （2）①先可得，可得，，再由，，可得，，即可求解； ②过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接，设，则，，再证明，即可求得，再求得，即可求解． 【小问1详解】 解：由“哥俩三角形”的定义可得，，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：①∵和互为“哥俩三角形”， 同理（1）可得， ∴，， 由题意可得，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ②如图，过点作于点，过点作于点，过点作交的延长线于点，连接， 同理①可知，，， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， 由题意可知， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴，即， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴． 23. 某航站楼正门为如图（1）所示的钢结构抛物线造型，其地面宽为，最高点离地面高度为．随着经济的发展，机场决定对航站楼进行扩建，将航站楼正门改造成如图（2）所示的双抛物线造型，整体造型呈轴对称图形，这样地面宽度达到． 建立如图（3）所示的平面直角坐标系，解答下列问题： （1）求左侧抛物线的表达式，并求点离地面的高度； （2）直接写出右侧抛物线的表达式； （3）为提高设计的安全性，设计图纸中要求加装一个矩形的钢架，使点，点在抛物线上，点，点在地面上，其中，，三边需要用钢材拼接，求最多需要多少米钢材？ （4）为减少通行阻碍，设计部门将加固方案改进，用和两根斜拉钢梁加固，其中，为两抛物线的顶点，，在抛物线上，且和交于点，求需用钢梁的总长度． 【答案】（1），点的离地高度为 （2） （3）米 （4）米 【解析】 【分析】（1）由题意，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式，由题意可知点的横坐标为12，代入即可求解点的离地高度； （2）由题意可得，段抛物线顶点坐标为，，设段抛物线表达式，把代入可得，即可得段抛物线表达式； （3）设，则，，，设钢材长度为米，根据即可求解； （4）先求出的表达式为，联立抛物线即可求得的长，再根据对称性即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ， 由题意知：， ∴点的横坐标为12， 当时，， ∴抛物线的表达式为，点的离地高度为． 【小问2详解】 解：由题意可得，段抛物线顶点坐标为，， ∴设段抛物线表达式， 把代入得，， 解得：， ∴抛物线的表达式为． 【小问3详解】 解：抛物线的表达式， 设，则，，， 设钢材长度为米，则： ，抛物线开口向下， 当时，． ∴最多需要米钢材． 【小问4详解】 解：由（3）可知，，，设直线的表达式为， 得， 解得， ∴直线的表达式为， 由， 解得，， ， ， ∴由对称性知需用钢梁的总长度为米． 24. 如图，四边形中，，，对角线，，，点从点出发沿方向匀速运动，速度为；同时点从点出发沿方向匀速运动，速度为．为中点，与交于点．设运动时间为，解答下列问题： （1）取何值时，点在和夹角的平分线上？ （2）设五边形的面积为，求与之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使五边形的面积为？若存在求出的值，若不存在，说明理由； （4）取何值时，是直角？ 【答案】（1） （2） （3）存在，5 （4） 【解析】 【分析】（1）先求得，过作于点，由点在和夹角的平分线上，可得，由，为中点，可得，再证明，即可求解； （2）过作于点，过点作于点，可求得，再可证明四边形是矩形，可得，再证明，即可求解； （3）利用（2）的结论，将代入即可求解； （4）由是直角，为中点，可得，再证明，可得，则，在中，利用勾股定理列出方程即可求解． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 过作于点， ，， ，即， 点在和夹角的平分线上， ， ∵，为中点， ∴，则， ∵，， ∴， ∴， ，即， ， ． 【小问2详解】 解：过作于点，过点作于点， ∵， ∴， ，， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ， ， ∴． 【小问3详解】 解：存在． 由题意，得， 解得：（舍去），． 【小问4详解】 解：如图，连接， ∵是直角， ∴， ∵是的中点， ， ∵， ，， ， ∴， ∴， ， ， 在中，， ， 解得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $