精品解析：2025年山东省莱西市中考一模数学试题

2025年初中学业水平考试一模检测 数学试题 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为非选择题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 1. 被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(） A. 55×10 B. 5.5×10 C. 5.5×10 D. 0.55×10 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的定义“把一个数表示成的形式，其中，为整数，这种计数方法叫科学记数法”即可得. 【详解】由科学记数法的定义得： 故答案为：B. 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键. 2. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键．一个平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，若折叠后直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形即为轴对称图形；一个平面内，如果一个图形绕某个点旋转，若旋转后的图形与原来的图形完全重合，那么这个图形即为中心对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但它不是中心对称图形； B、既是轴对称图形，也是中心对称图形； C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形； 故选：B． 3. 实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（ ） A. a B. b C. c D. d 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了实数大小的比较方法，首先根据数轴的特征，以及绝对值的含义和性质，判断出实数a，b，c，d的绝对值的取值范围，然后比较大小，判断出这四个数中，绝对值最大的是哪个数即可． 【详解】解：根据图示，可得，，，， 所以这四个数中，绝对值最大的是d. 故选：D． 4. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：物理中经常使用的U型磁铁其左视图是B ． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘除法、幂的乘方可进行求解． 【详解】解：A、与不是同类项，所以不能计算，故不符合题意； B、，原计算错误，故不符合题意； C、，原计算错误，故不符合题意； D、，原计算正确，故符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘除法、幂的乘方及合并同类项是解题的关键． 6. 如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移和旋转．根据平移和旋转的性质作图后即可得到答案． 【详解】解：如图，即为所求， 将先向左平移4个单位后坐标为，再绕原点O顺时针旋转得到点的坐标是 故选：A． 7. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查切线的性质，正多边形的内角，圆周角定理，连接，求出的度数，根据四边形的内角和为360度求出的度数，圆周角定理求出的度数即可． 【详解】解：∵正五边形， ∴， 连接， 由题意，得：， ∴， ∴； 故选B． 8. 已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积、正方形的性质等知识，熟练掌握扇形的面积公式是解题关键．先根据正方形的性质可得，，，再根据图中阴影部分的面积等于求解即可得． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴，， ∵为边的中点， ∴， ∴图中阴影部分的面积是 ， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本题满分21分，共7道小题，每小题3分） 9. 计算：______． 【答案】2 【解析】 【分析】先计算负整数指数幂，二次根式的化简，特殊角的三角函数值，再计算乘法，再合并即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查的是特殊角的三角函数值的运算，负整数指数幂的含义，二次根式的化简，掌握相关运算法则是解本题的关键． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根之间的关系，以及一元二次方程的定义，熟练掌握根的判别式与根之间的关系是解题的关键． 根据一元二次方程的定义和根的判别式的意义得到且，然后求出两个不等式解集的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， 的取值范围为且， 的最大整数值为， 故答案为：． 11. 某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩(满分为100分)折线统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是_______（填“小乐”或“小涵”）． 【答案】小涵 【解析】 【分析】分别计算出小乐和小涵成绩的平均成绩和方差，再根据平均成绩和方差确定成绩优异且稳定的同学参赛即可． 【详解】解：根据题意得： ， ， ， ， ， 小涵的成绩优异且稳定， 推选参加决赛的同学是小涵， 故答案为：小涵． 【点睛】本题考查了算术平均数和方差，熟练掌握算术平均数和方差的计算公式和意义是解题的关键． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，反比例函数与一次函数的交点问题，根据点A的坐标，求出，结合，得到，即可求出，再求出直线的解析式为，设，代入，求出m的值即可． 【详解】解：∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， 设， 代入，得：，即， 解得或（舍去）， ∴， 故答案为：． 13. 如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，过点F作，垂足为H，利用勾股定理求出的长，利用角的余弦值求出的长，再利用勾股定理求出，从而得出，利用三角形面积求出即可． 【详解】解：如图，过点F作，垂足为H， 四边形为矩形， ，， ，， ， ，即， 解得：， ，即， 解得：， ， ， ，即， 解得：， 故答案为：． 14. 我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，，由抛物线的解析式可求出，，的坐标，进而求出，，的长，在直角三角形中，利用相似三角形的判定和性质可求出的长，进而可求出的长． 本题是二次函数综合题，主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题、解一元二次方程、圆周角定理、相似三角形的判定和性质，读懂题目信息，理解“果圆”的定义是解题的关键． 【详解】解：连接，， 抛物线的解析式为， 点的坐标为， 的长为， 设，则， 解得：或， ， ，， 为半圆的直径， ， ， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 故答案为：． 15. 已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是______． 【答案】②③##③② 【解析】 【分析】根据顶点坐标判断、的正负性，由此判断①；根据开口方向和对称轴判断②；用表示、，再解方程判断③；根据平移法则判断④． 【详解】解：∵抛物线的顶点为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的符号无法判断，故结论①错误； ∵， ∴抛物线开口向下， ∵对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小，故结论②正确； ∵，， ∴， ∵的一个根为， ∴， ∴，故结论③正确； ∵抛物线的顶点为， ∴， ∴将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到，故结论④错误； ∴一定正确的是②③． 故答案为：②③． 【点睛】本题考查二次函数的性质，二次函数的平移，二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程的解的定义，用表示、的值是解题的关键． 三、作图题（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹． 16. 已知：如图，在中，，．求作：等腰直角三角形，使D，E（D，E不与顶点重合）分别在，上． 【答案】 如图，，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，等腰直角三角形，作平分，交于点E，过点E作交于点D，以D为圆心，为半径作弧交于点，连接，，即为所求． 【详解】略 四、解答题（本题满分71分，共9道小题） 17. 计算 （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中x是16的算术平方根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元一元一次不等式组，分式的化简求值，算术平方根，掌握运算法则和解不等式组的步骤是解题的关键． （1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集； （2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可化简原式，然后求出算术平方根，最后将x的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：， 解①得：， 解②得： ∴不等式组的解集为：； 【小问2详解】 解： ． ∵x是16的算术平方根， ∴． 当时， 原式． 18. 春节以来，很多电影都给我们留下深刻的印象．小卓和小越分别想从“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影中的随机选一部现看．将“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影分别记作A，B，C，D．请你求出他们选中同一部影片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率，列出树状图或表格，找到所有情况及需要的情况是解题的关键． 画出树状图即可得到所有可能出现的结果和选中同一部影片的结果，然后根据概率公式求解即可； 【小问1详解】 解：列树状图法如图所示： 可能出现的结果有16种，其中他们选中同一部影片的情况有4种， ∴P(他们选中同一部影片)= 19. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 【答案】（1） 补图如下： （2）72 （3）本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）利用C组的人数除以所占百分比求出总人数，然后用总人数减去A、B、C、E组的人数，最后补图即可； （2）用乘以E组所占百分比即可； （3）用800乘以B组所占百分比即可． 【小问1详解】 解：总人数为， D组人数为， 【小问2详解】 解：， 故答案为：72； 【小问3详解】 解：（人）． 答：本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数约为240人． 20. 某校数学活动小组的同学要借助无人机测量某山坡上信号塔顶端到地面的距离． 活动内容 测量信号塔顶端到地面的距离 活动目的 运用锐角三角函数知识解决实际问题 测量工具 无人机、测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：如图为信号塔和建筑物的侧面示意图，点在同一平面内，点在同一水平线上，建筑物为矩形. 测量数据 ①从点处观测点的俯角 ②从点处观测点的俯角 ③从点处观测点的俯角 ④建筑物的宽度 ⑤建筑物的高度 参考数据 ，， ， 计算信号塔顶端到地面的距离 要求：①结果保留到； ②先选择合适的测量数据，再进行计算. 【答案】选择数据①③⑤，信号塔顶端到地面的距离约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的俯角应用，根据选择数据①③⑤，则结合矩形性质得，，．因为，所以，运用解直角三角形的性质列式计算，则，解出，即可作答． 【详解】解：选择数据①③⑤（选择方法不唯一）， 如解图，延长交于点，则．垂足为， 四边形是矩形． ，，， ，，． ， ． 在中，，， ， ． ，， ， ， 解得， ． 答：信号塔顶端到地面的距离约为． 21. 若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： （1）若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； （2）如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； （3）如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 【答案】（1） （2）的值为或． （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义、折叠以及角的和差运算等知识点，一元一次方程的应用，掌握折叠的性质以及方程思想的应用是解答本题的关键． （1）按照“互优角”的定义，建立方程求解即可； （2）按照“互优角”的定义可得或，再建立方程解答即可； （3）按照“互优角”的定义可得，再结合轴对称的性质，平角的定义建立方程解答即可； 【小问1详解】 解：∵和互为“伙伴角”，当时， ∴，即 ∴或， 解得：或（不符合题意舍去）， ∴． 【小问2详解】 ∵与互为“伙伴角”， ∴， ∴或， 当时，则， 由对折可得，而， ∴， 解得：， 当时，则， 同理可得：， ∴， 综上所述，的值为或． 【小问3详解】 ∵点E、、P在同一直线上，且与互为“伙伴角”， ∴，， ∴， 由对折可得：，，而， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 22. 为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 （1）求m的值； （2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？哪种购买方案月处理污水量最多？ 【答案】（1） （2）共有6种购买方案，买A型污水处理设备5台，则B型5台，月处理污水量最多 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． （1）由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，列出分式方程即可求解． （2）设买A型污水处理设备x台，则B型台，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可求解；然后根据题意得一次函数，再观点一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：由90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，得：， 解得， 经检验是原方程的解， ∴； 【小问2详解】 解：设买A型污水处理设备x台，则B型台，月处理污水吨数为w吨 根据题意得：， 解得， ∵x是非负整数， ∴共有6种购买方案． ， ∵， ∴w随x的增大而增大， 当时，w有最大值为1900吨， 答：共有6种购买方案，买A型污水处理设备5台，B型5台，月处理污水量最多． 23. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）四边形是菱形， 理由如下： 连接，交于点， 由（）得，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， 即， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，由平行线的性质可得，进而可得，又由对顶角的性质可得，即得到，利用即可证明； （）连接，交于点，先根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可证明四边形是平行四边形，再根据等腰三角形三线合一可证明其对角线互相垂直，即可求证； 本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，菱形的判定，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 24. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． 【小问2详解】 解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 25. 如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形为矩形？ （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）首先证明出，然后证明出当时，此时四边形为矩形，得到，，表示出，，然后代入求解即可； （2）如图所示，连接，过点P作交于点H，证明出，得到，表示出，，同理表示出，然后根据代入表示即可； （3）如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F，勾股定理求出，表示出，由角平分线的性质得到，然后根据等面积得到，代数求出，得到，然后证明出，得到，代数求解即可． 【小问1详解】 ∵，，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵四边形为平行四边形 ∴ ∴ 当时，四边形四边形为平行四边形 又∵ ∴此时四边形为矩形 ∴此时 ∴， ∵四边形为平行四边形 ∴， ∵动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为，设运动时间为， ∴， ∴， ∴代入得， 解得 ∴当时，四边形为矩形； 【小问2详解】 如图所示，连接，过点P作交于点H ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴，即 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴ ∴ ∴S与t的函数关系式为； 【小问3详解】 存在，，理由如下： 如图所示，过点N作交于点G，过点C作交于点F， ∵四边形为平行四边形，，，， ∴ ∴ ∴ 当点N在的平分线上时 ∵， ∴ ∴ 又∵ ∴，即 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴． ∴当时，点N在的平分线上． 【点睛】此题考查了二次函数和几何动点问题，平行四边形的性质，动点问题函数图象，勾股定理，相似三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年初中学业水平考试一模检测 数学试题 说明： 1．本试题分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共25题．第Ⅰ卷为选择题，共8小题，24分；第Ⅱ卷为非选择题，共17小题，96分． 2．所有题目均在答题卡上作答，在试题上作答无效． 第Ⅰ卷（选择题共24分） 一、选择题（本题满分24分，共8道小题，每小题3分） 1. 被英国<<卫报>>誉为”新世界七大奇迹”的港珠澳大桥是中国境内一座连接香港，广东珠海和澳门桥隧工程，它是世界上最长的跨海大桥，桥隧全长55000米，其中55000用科学记数法表示为(） A. 55×10 B. 5.5×10 C. 5.5×10 D. 0.55×10 2. 垃圾分类功在当代，利在千秋．下列垃圾分类指引标志中，文字上方的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A. 厨余垃圾 B. 有害垃圾 C. 其他垃圾 D. 可回收物 3. 实数a、b、c、d在数轴上对应的位置如图所示，这四个数中绝对值最大的是（ ） A. a B. b C. c D. d 4. 如图是物理中经常使用的U型磁铁示意图，其左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知，将先向左平移4个单位，再绕原点O顺时针旋转得到，则点A的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，是正五边形的内切圆，点M，N，F分别是边与的切点，则的度数为（　　） A. B. C. D. 8. 已知正方形的边长为4，为边的中点，以为圆心，长为半径作圆心角为的扇形，以长为直径在正方形内部作半圆，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题 共96分） 二、填空题（本题满分21分，共7道小题，每小题3分） 9. 计算：______． 10. 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的最大整数值为__________． 11. 某学校开展“齐诵满江红，传承报国志”诵读比赛，八年级准备从小乐和小涵两位同学中选拔一位同学参加决赛，如图是小乐和小涵两位同学参加5次选拔赛的测试成绩(满分为100分)折线统计图，若选择一位成绩优异且稳定的同学参赛，推选参加决赛的同学是_______（填“小乐”或“小涵”）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，轴于点，已知双曲线与分别交于两点，连接．若，则点的坐标为_____________． 13. 如图，矩形的对角线与交于点，于点，延长与交于点．若，，则点到的距离为______． 14. 我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点、、、分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为，为半圆的直径，则这个“果圆”被轴截得的弦的长为___________． 15. 已知抛物线（是常数，）的顶点为．小烨同学得出以下结论：①；②当时，随的增大而减小；③若的一个根为，则；④抛物线是由抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位得到的．其中一定正确的是______． 三、作图题（本题满分4分）用圆规和直尺作图，不写作法，保留痕迹． 16. 已知：如图，在中，，．求作：等腰直角三角形，使D，E（D，E不与顶点重合）分别在，上． 四、解答题（本题满分71分，共9道小题） 17. 计算 （1）解不等式组： （2）先化简，再求值：，其中x是16的算术平方根． 18. 春节以来，很多电影都给我们留下深刻的印象．小卓和小越分别想从“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影中的随机选一部现看．将“哪吒之魔童闹海”“唐探1900”“封神之战火西岐”“熊出没”四部电影分别记作A，B，C，D．请你求出他们选中同一部影片的概率． 19. 某校计划在七年级开展阳光体育锻炼活动，开设以下五个球类项目：A（羽毛球），B（乒乓球），C（篮球），D（排球），E（足球），要求每位学生必须参加，且只能选择其中一个项目．为了了解学生对这五个项目的选择情况，学校从七年级全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，对调查所得到的数据进行整理、描述和分析，部分信息如下： 根据以上信息，解决下列问题： （1）将图①中的条形统计图补充完整（画图并标注相应数据）； （2）图②中项目E对应的圆心角的度数为______°； （3）根据抽样调查结果，请估计本校七年级800名学生中选择项目B（乒乓球）的人数． 20. 某校数学活动小组的同学要借助无人机测量某山坡上信号塔顶端到地面的距离． 活动内容 测量信号塔顶端到地面的距离 活动目的 运用锐角三角函数知识解决实际问题 测量工具 无人机、测量角度的仪器、皮尺等 测量示意图 说明：如图为信号塔和建筑物的侧面示意图，点在同一平面内，点在同一水平线上，建筑物为矩形. 测量数据 ①从点处观测点的俯角 ②从点处观测点的俯角 ③从点处观测点的俯角 ④建筑物的宽度 ⑤建筑物的高度 参考数据 ，， ， 计算信号塔顶端到地面的距离 要求：①结果保留到； ②先选择合适的测量数据，再进行计算. 21. 若和均为大于小于的角，且，则称和互为“伙伴角”．根据这个约定，解答下列问题： （1）若和互为“伙伴角”，当时，求的度数； （2）如图1，将一长方形纸片沿着对折（点P在线段上，点E在线段上）使点B落在点；，若与互为“伙伴角”，求的度数； （3）如图2，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着对折（点F在线段上）使点C落在线段上的点处，线段落在内部．若与互为“伙伴角”，求的度数． 22. 为了保护环境，某开发区综合治理指挥部决定购买A，B两种型号的污水处理设备共10台．已知用90万元购买A型号的污水处理设备的台数与用75万元购买B型号的污水处理设备的台数相同，每台设备价格及月处理污水量如下表所示： 污水处理设备 A型 B型 价格（万元/台） m 月处理污水量（吨/台） 200 180 （1）求m的值； （2）由于受资金限制，指挥部用于购买污水处理设备的资金不超过165万元，问有多少种购买方案？哪种购买方案月处理污水量最多？ 23. 如图，中，为边上一点，为延长线上一点，且．过作，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 24. 16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2）直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 25. 如图，四边形为平行四边形，，，，对角线、交于点O．动点P从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时，点Q从点D出发，沿方向运动，速度为．连接交于点E；过P作，延长交于点N．设运动时间为，解答下列问题： （1）当t为何值时，四边形为矩形？ （2）设四边形的面积为，求S与t的函数关系式； （3）是否存在某一时刻，使点N在的平分线上？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $