精品解析：山东淄博市周村区第二中学2025-2026学年八年级下学期数学期中试卷

2025－2026学年周村二中八年级（下）数学期中试卷 第一卷（共40分） 一、选择题（共10题，计40分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】形如的式子叫二次根式，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A、被开方数，∴A不是二次根式； B、当时，被开方数小于0，∴不一定是二次根式； C、对任意实数，都有，可得，满足二次根式的定义，∴C一定是二次根式； D、不是二次根式． 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算规则与算术平方根的定义逐一判断选项即可. 【详解】A、∵与不是同类二次根式，不能合并， ∴ A选项计算错误． B、∵， ∴ B选项计算错误． C、∵表示的算术平方根，结果为非负数，即， ∴ C选项计算错误． D、∵， ∴ D选项计算正确． 故选D． 4. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表：由此可估算方程的一个根x的范围是（ ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，利用，；，，于是当在1.2与1.3之间取一个数时，一定可以等于0，从而可对各选项进行判断． 【详解】解：，；，， 当在1.2与1.3之间取一个数时，， 即方程的一个根的范围为． 故选：C． 5. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过配方法将一元二次方程左边转化为完全平方形式，具体步骤为移项后两边加上一次项系数一半的平方． 【详解】解：∵ ， ∴ 移项得 ， ∴ 两边加9得 ， 即 ． 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求解． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故选：C． 7. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解，以及一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：解：∵，是方程的两个实数根， ∴，， 故选A 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 8. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根与判别式的关系，以及一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练掌握以上性质． 根据一元二次方程根与判别式的关系，求得的取值范围，再根据一次函数的图象与系数的关系求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， 则直线，随着的增大而减小，且直线与轴交于正半轴， 所以，直线经过第一、第二和第四象限，不经过第三象限， 故选：C． 9. a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，斜边的中线等于斜边的一半，解题关键是掌握菱形的面积公式为两条对角线的乘积的一半． 根据菱形的面积公式求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半直接求出． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，解得， ∵菱形的对角线，相交于点O，， ∴菱形的面积为， ∴， 解得：， ∵， ∴在中，． 故选：A． 第二卷（共110分） 二、填空题（共5题，计20分） 11. 若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查同类二次根式，化简后被开方式相同的二次根式称为同类二次根式． 【详解】因为最简二次根式能与合并为一项，所以与是同类二次根式，可得 解得 故答案为： 12. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到两根之和与两根之积，结合已知条件求出和的值，再代入两根之积的关系式得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解： ，是一元二次方程 的两个实数根， 根据根与系数的关系可得：，， 又， 联立得， 解得， 将，代入得： ， 整理得， 解得． 13. 如图，在平行四边形中，为的中点，连接，为的中点，连接交于点，若，则的长为_____ 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，利用平行四边形性质及中点定义证明，得出，进而得到，再通过求出与的比值，进而求解即可. 【详解】解：延长交的延长线于点，如图所示： ∵ 四边形是平行四边形 ， ∴，，  ∴，，  ∵为的中点，  ∴，  在和中  ， ∴， ∴， ∵为的中点 ， ∴， ∴，  ∴，  ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为． 14. 已知实数满足方程，则的值是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，令，则原式为，解方程即可解答，注意方程无实数根的情况是解题的关键． 【详解】解：令， 则原式为， 解得， 当时，，方程有实数根， 当时，，方程没有实数根， ， 故答案为：3． 15. 如图，在矩形中，，，点是平面内任意一点，连接、，点是的中点，连接，若，则的最大值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形三边关系，三角形中位线定理，勾股定理等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 如图，延长到，使得，连接，，证明，求出的最大值可得结论． 【详解】解：如图，延长到，使得，连接，． ， ， ∵四边形都是矩形， ， ， ∴， ， ， ∴的最大值为 ， ∴的最大值为． 故答案为： ． 三、解答题（共8题，计90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先将各个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式除法，再利用完全平方公式展开平方项，最后合并同类项得到结果，本题考查二次根式的混合运算，用到的知识点为二次根式化简、二次根式除法法则、完全平方公式．熟练掌握二次根式的运算律是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）方程二次项系数为1，一次项系数为偶数，用配方法求解更简便，也可使用公式法； （2）先整理方程，再用因式分解法求解． 【小问1详解】 解：  移项得    配方得    即   开方得   因此 ，． 【小问2详解】 解：   移项整理得   因式分解得   因此  或   因此 ，． 18. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形； （2） 【解析】 【分析】（1）由作图可知直线是线段的垂直平分线，则，，利用矩形性质得，证明，则有，先证四边形是平行四边形，再证平行四边形是菱形即可； （2）设，则，利用勾股定理列方程求解后代入菱形面积公式即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，，根据勾股定理得，， ∴， 解得， ∴， ∴菱形的面积． 【点睛】本题考查了尺规作图，菱形的判定，线段的垂直平分线的性质，矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． 19. 已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、利用完全平方公式进行计算、无理数的估算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）代入即可求出和的值； （2）将原式变形为，代入数值进行计算即可； （3）先估算出，从而得出，，再代入进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：， ，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， 【小问3详解】 解：， ，即， ， ， 的小数部分是， ， ，的整数部分是， ， ． 20. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 【答案】（1）集体经济收入的年平均增长率为10% （2）每千克甜瓜应涨价5元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x，即可得出关于x的一元二次方程，再求解即可； （2）设每千克甜瓜应涨价y元，则每天可售出千克，根据总利润每千克的利润销售数量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设此村从2022年到2024年集体经济收入的年平均增长率为x， ， 解之得(不合题意，舍去)， 答∶集体经济收入的年平均增长率为； 【小问2详解】 解：设每千克甜瓜应涨价y元， ， 解之得， ∵要使顾客得到实惠， ∴， 答∶每千克甜瓜应涨价5元． 21. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： （1）___________， ___________（用含的式子表示）； （2）___________（用含的式子表示），的最大值是___________； （3）当的面积是9时，的值是___________． 【答案】（1）， （2），25． （3）1 【解析】 【分析】（1）由题意得， ，； （2）先列出的面积的函数解析式，再化成顶点式，求出最值即可． （3）根据的面积是9，可得，解一元二次方程即可得解． 【小问1详解】 解：根据题意得： ，． 【小问2详解】 解： ， ∴， 当时． 【小问3详解】 解：当时，， 解得，， 由题意知P点从A点运动到B点需秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不符合题意，舍去， ∴. 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点均在格点上． （1）在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． （2）在图②中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上． （3）如图3，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半．（保留作图痕迹） 【答案】（1） 解：如图所示，平行四边形为所求作图形 （2） 解：如图所示，正方形为所求作图形． （3） 解：如图所示，正方形为所求作图形． 【解析】 【分析】（1）利用数形结合的思想作图，则，，即四边形是平行四边形，且，进行作答即可； （2）取的垂线上且在格点上的点即E、F，，且，根据正方形的判定作图即可． （3）连接交于点，连并延长交于点，连接交于点，连接并延长交于点，同理作出点，连接，则四边形即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． （1）求证：； （2）当E运动到的中点时，求线段的长度； （3）如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 【答案】（1） 证明：∵是等腰直角三角形， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）线段的长度为 （3）的最小值为 【解析】 【分析】（1）利用正方形和等腰直角三角形的性质，再结合等角的余角相等，即可证明结论成立； （2）设，则，延长至，使，连接，，证明，推出，，再证明，推出，在中，利用勾股定理列式计算即可求解； （3）连接，，先证明，得到，当共线时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵点E是的中点， ∴， 设，则， 延长至，使，连接，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴线段的长度为； 【小问3详解】 解：连接，， ∵是等腰直角三角形，四边形是正方形， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当共线时，有最小值，最小值为的长， ∵G是的中点， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解决问题的关键是依据两点之间，线段最短进行判断． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年周村二中八年级（下）数学期中试卷 第一卷（共40分） 一、选择题（共10题，计40分） 1. 下列式子中，一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在估算一元二次方程的根时，小晗列表如表：由此可估算方程的一个根x的范围是（ ） x 1 1.1 1.2 1.3 1.4 0.29 0.76 A. B. C. D. 5. 一元二次方程配方后，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是（ ） A. 4045 B. 4044 C. 2022 D. 1 8. 若关于的一元二次方程没有实数根，则直线不经过的象限为（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则的长为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 4 第二卷（共110分） 二、填空题（共5题，计20分） 11. 若最简二次根式能与合并为一项，则的取值为________． 12. 已知是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则_____． 13. 如图，在平行四边形中，为的中点，连接，为的中点，连接交于点，若，则的长为_____ 14. 已知实数满足方程，则的值是________． 15. 如图，在矩形中，，，点是平面内任意一点，连接、，点是的中点，连接，若，则的最大值为_____． 三、解答题（共8题，计90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 用适当的方法解方程 （1）； （2）． 18. 如图，在矩形中，连接，分别以点A，C为圆心，大于长为半径，在线段的两侧作弧，过两弧交点的直线分别交，于点E，F，交于点O，连接，． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求四边形的面积． 19. 已知． （1）求和的值； （2）求的值； （3）若的小数部分是，的整数部分是，求的值． 20. 近年来以创建省级文旅示范村为契机，某村大力发展文旅产业，先后投资建设了“村农场体验”，“甜瓜采摘基地”，“水上童话梦工厂”，“亲子研学”等文旅项目．这些项目不仅为本村和周边群众提供了就近务工机会，而且使本村经济得到快速增长．据悉，2024年此村集体经济收益从2022年的1000万元升至1210万元． （1）求此村从2022年到2024年这两年，集体经济收入的年平均增长率 （2）该村还积报创新农业发展模式．在“大棚经济”上做文章．培养特色高效农业，使大棚产业成为农民增收致富的“一把金钥匙”．由于条件适宜，该村种植了甜瓜、西红柿等大棚果蔬．2024年五月份，甜瓜成熟并开始采摘销售，若每千克盈利10元，每天可售出．经市场调查发现，若每千克涨价1元，日销售量就减少．该大棚基地要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，每千克甜瓜应涨价多少元？ 21. 如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动，连接．如果，两点分别从，，两点同时出发，出发时间为（，单位：）．有下列结论： （1）___________， ___________（用含的式子表示）； （2）___________（用含的式子表示），的最大值是___________； （3）当的面积是9时，的值是___________． 22. 如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，点均在格点上． （1）在图①中画出以为边且周长为的平行四边形，且点和点均在格点上． （2）在图②中画出以为对角线的正方形，且点和点均在格点上． （3）如图3，在正方形中，点为边上的中点，请仅用无刻度的直尺，画出一个以为顶点的正方形，使得它的面积等于正方形面积的一半．（保留作图痕迹） 23. 如图，在边长为2正方形中，E为边上一动点（点E不与B，C重合），连接，以为直角边作等腰直角三角形，其斜边与正方形边相交于点N，连接． （1）求证：； （2）当E运动到的中点时，求线段的长度； （3）如图2，连接交与点P，G是的中点，连接，，当等于多少时，的最小，并求出最小值？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $