11.5 用一元一次不等式解决问题 分题型巩固 2025-2026学年苏科版数学七年级下册

11.5 用一元一次不等式解决问题 分题型巩固 2025-2026学年苏科版数学七年级下册 一．方案问题 1．好街坊橱具店购进电饭煲和电压锅两种电器进行销售，其进价与售价如表： 进价（元/台） 售价（元/台） 电饭煲 200 250 电压锅 160 200 （1）一季度，橱具店购进这两种电器共30台，用去了5520元，并且全部售完，问橱具店在该买卖中赚了多少钱？ （2）为了满足市场需求，二季度橱具店决定用不超过8850元的资金采购电饭煲和电压锅共50台，且电饭煲的利润不少于电压锅的利润的，问橱具店有哪几种进货方案？并说明理由； （3）在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种进货方案橱具店赚钱最多？ 2．为了更好地保护环境，某市污水处理厂决定先购买A，B两型污水处理设备共20台，对周边污水进行处理，每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元．已知2台A型污水处理设备和1台B型污水处理设备每周可以处理污水680吨，4台A型污水处理设备和3台B型污水处理设备每周可以处理污水1560吨． （1）求A、B两型污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ （2）经预算，市污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周处理污水的量不低于4500吨，请你列举出所有购买方案． （3）如果你是厂长，从节约资金的角度来谈谈你会选择哪种方案并说明理由？ 3．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，我州北部某市向南部某贫困县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套． （1）求书籍和实验器材各有多少套？ （2）现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县．已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套．运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来． （3）在（2）的条件下，如果甲种型号的货车每辆需付运费1000元，乙种型号的货车每辆需付运费900元．假设你是决策者，应选择哪种方案可使运费最少？最少运费是多少元？ 4．某商场准备进一批两种不同型号的衣服，已知购进A种型号衣服9件，B种型号衣服10件，则共需1810元；若购进A种型号衣服12件，B种型号衣服8件，共需1880元；已知销售一件A型号衣服可获利18元，销售一件B型号衣服可获利30元，要使在这次销售中获利不少于699元，且A型号衣服不多于28件． （1）求A、B型号衣服进价各是多少元？ （2）若已知购进A型号衣服是B型号衣服的2倍还多4件，则商店在这次进货中可有几种方案并简述购货方案． 二．行程问题 5．甲、乙两位汽车发烧友在探讨郊游活动：已知甲、乙两辆汽车同时、同方向从同一地点A出发行驶， （1）若甲车的速度是乙车的1.5倍，甲车走了75千米后立即返回与乙车相遇，相遇时乙车走了1小时，求甲、乙两车的速度． （2）假设甲、乙每辆车最多只能带60升汽油，每升汽油可以行驶10千米，途中不能再加油，但两车可以互相借用对方的油，若两车都必须沿原路返回到出发地A．请你设计一种方案使甲车尽可能地远离出发地A，求乙车应借给甲车多少升汽油，并求出甲车一共行驶了多少千米？ 6．甲以5km/h的速度进行有氧体育锻炼，2h后，乙骑自行车从同地出发沿同一条路追赶甲．根据他们两人的约定，乙最快不早于1h追上甲，最慢不晚于1h15min追上甲．乙骑车的速度应控制在什么范围内？ 7．为了响应“中学生每天进行5000米长跑”的号召，甲、乙两名同学约好进行体育锻炼，甲以5km/h的速度首先出发，2小时后，乙骑自行车从同一地点出发沿同一条路线追赶甲．根据他们两人的约定，乙最快不早于1小时追上甲，最慢不晚于1小时45分钟追上甲，则乙骑自行车的速度应控制在什么范围内？ 8．如图1，汽车以速度V（m/s）匀速行驶，若一路绿灯通过路口A、B、C、D且10≤V≤25，则称V为绿灯速度．已知各路口红灯、绿灯均每隔30s交替一次，其余因素忽略不计． 设汽车在第0秒出发，行驶ts后路程为Sm．图2表示在某种红绿灯设置下汽车行驶的情况． （1）路段BC的长度为　 　 m，路口A绿灯亮起　 　 s后路口D绿灯亮起； （2）求出射线OC3所对应的V的值，判断此时V是否为绿灯速度，并说明理由； （3）写出这种红绿灯设置下绿灯速度的取值范围，并在图2中画出对应的示意图． 三．工程问题 9．为全力助推金溪建设，某公司拟派A，B两个工程队共同建设某区域的绿化带；已知A工程队每人每天能完成80米绿化带的建设，A工程队的5人与B工程队的6人合作每天能完成700米绿化带的建设．（假设同一个工程队的工人的工作效率相同） （1）求B工程队每人每天能完成多少米绿化带的建设； （2）该公司决定派A，B两个工程队共20人参与建设绿化带，若每天完成绿化带建设的总量不少于1510米，且B工程队至少派出1人，则该公司有哪几种安排方案？ 10．某工程队承担了一段长为1500米的道路绿化工程，施工时有两张绿化方案：甲方案是绿化1米的道路需要A型花2枝和B型花3枝，成本是22元；乙方案是绿化1米的道路需要A型花1枝和B型花5枝，成本是25元．现要求按照乙方案绿化道路的总长度不能少于按甲方案绿化道路的总长度的2倍． （1）求A型花和B型花每枝的成本分别是多少元？ （2）求当按甲方案绿化的道路总长度为多少米时，所需工程的总成本最少？总成本最少是多少元？ 11．重庆双福育才中学校有全长2000米的校内运河整修工程，拟由甲乙两个工程队在30天内含（30天）合作完成．已知甲工程队1天、乙工程2天共整修100米；甲工程队2天、乙工程队3天共整修175米． （1）试问甲、乙两个工程队每天分别整修多少米？ （2）已知甲工程队每天的施工费用为0.6万元，乙工程队每天的施工费用为0.35万元，要使该工程的施工费用不超过25万元．在实际施工中，由于乙队先有其他任务需要完成，先由甲队独立施工了若干天，然后由甲、乙两队合作完成余下的工程，若此项工程能在计划的工期和预算的施工费用下顺利完工，请求出甲、乙两队合作的天数． 12．我县在道路改造过程中，需要铺设一条长为10千米的管道，决定由甲、乙两个工程队来完成这一工程．已知甲工程队比乙工程队每天能多铺设0.2千米，且甲工程队铺设2.8千米所用的天数与乙工程队铺设2千米所用的天数相同． （1）甲、乙工程队每天各能铺设多少千米？ （2）如果要求完成该项工程的工期不超过10天，那么为两工程队分配工程量（注：工程量为整数以千米为单位）的方案有几种？请你帮助设计出来．（列不等式组解答） （3）使用甲工程队每千米费用为4000元，使用乙工程队每千米费用为3000元，在上述方案中，哪种方案最省，最少为多少元？ 四．销售利润问题 13．某社区志愿者团队计划参加“社区公益集市活动”，制作了简约版和创意版两种类型的手工钥匙扣进行售卖．每套简约版的成本比每套创意版的成本低8元，7套简约版的成本与5套创意版的成本共148元． （1）求出每套简约版和每套创意版手工钥匙扣的成本价； （2）现决定将简约版、创意版手工钥匙扣的销售单价分别定为15元和25元．若两种钥匙扣一共售出120套，简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套，那么此次义卖获得的总利润最高是多少元？ 14．某校服生产厂家计划在年底推出两款新校服A和B共80套，预计前期投入资金不少于20600元，但不超过20660元，且所投入资金全部用于两种校服的研制，其成本和售价如表： A B 成本价（元/套） 250 280 售价（元/套） 300 340 （1）该厂家有几种生产新校服的方案可供选择？ （2）该厂家要想获得最大的利润，最大利润为多少？ （3）经市场调查，年底前每套B款校服售价不会改变，而每套A款校服的售价将会提高m元（m＞0），且所生产的两种校服都可以售完，该厂家又该如何安排生产校服才能获得最大利润呢？ 15．某工厂计划生产A、B两种产品共10件，其生产成本和利润如表： A种产品 B种产品 成本（万元/件） 2 5 利润（万元/件） 1 3 （1）若工厂计划获利14万元，问A、B两种产品应分别生产多少件？ （2）若工厂计划投入资金不多于44万元，且获利多于20万元，问工厂有哪几种生产方案？ （3）在（2）的条件下，哪种生产方案获利最大？并求出最大利润． 16．某商场销售A、B两种商品，售出150件A种商品与售出200件B种商品所得利润共50000元，1件A商品的利润比1件B商品的利润的3倍少100元． （1）求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润分别是多少元； （2）由于需求量大，A、B两种商品很快售完，商场决定再一次购进A、B两种商品共34件．如果将这34件商品全部售完后所得利润不低于4000元，且A种商品至多购进8件，求商场有哪几种购进方案； （3）在（2）的条件下，若每件A种商品售价500元，每件B种商品售价220元，用（2）中获得的最大利润全部用于再购进A、B两种商品，直接写出再次购进A、B两种商品总数最多的方案． 参考答案与试题解析 一．解答题（共16小题） 1．【解答】解：（1）设橱具店购进电饭煲x台，电压锅y台， 根据题意得：， 解得：， ∴18×（250﹣200）+12×（200﹣160）＝1380（元）． 答：橱具店在该买卖中赚了1380元． （2）设购买电饭煲a台，则购买电压锅（50﹣a）台， 根据题意得：， 解得：18a≤21． 又∵a为正整数， ∴a可取19，20，21． 故有三种方案：①购买电饭煲19台，购买电压锅31台；②购买电饭煲20台，购买电压锅30台；③购买电饭煲21台，购买电压锅29台． （3）设橱具店赚钱数额为w元， w＝（250﹣200）a+（50﹣a）（200﹣160）＝10a+2000， ∵10＞0， ∴w随a的增大而增大， ∴当a＝21时，w有最大值， 即购进电饭煲21台、电压锅29台时，橱具店赚钱最多． 2．【解答】解：（1）设A型污水处理设备每周每台可以处理污水x吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水y吨， ， 解得， 即A型污水处理设备每周每台可以处理污水240吨，B型污水处理设备每周每台可以处理污水200吨； （2）设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污水处理设备（20﹣a）台， 则， 解得，12.5≤a≤15， 第一种方案：当a＝13时，20﹣a＝7，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台； 第二种方案：当a＝14时，20﹣a＝6，即购买A型污水处理设备14台，购买B型污水处理设备6台； 第三种方案；当a＝15时，20﹣a＝5，即购买A型污水处理设备15台，购买B型污水处理设备5台； （3）如果我是厂长，从节约资金的角度考虑，我会选择第一种方案，即购买A型污水处理设备13台，购买B型污水处理设备7台； 因为第一种方案所需资金：13×12+7×10＝226万元； 第二种方案所需资金：14×12+6×10＝228万元； 第三种方案所需资金：15×12+5×10＝230万元； ∵226＜228＜230， ∴选择第一种方案所需资金最少，最少是226万元． 3．【解答】解：（1）设书籍和实验器材分别为x、y套． 根据题意得： 解得： 故书籍和实验器材分别为240套，120套． （2）设安排甲型号的货车a辆，则安排乙型号的货车（8﹣a）辆． 根据题意得： 解得：0≤a≤4 又∵a取非负整数， ∴a＝0，1，2，3，4 8﹣a＝8，7，6，5，4， ∴共有4种方案，如下： 方案一：甲0辆，乙8辆 方案二：甲1辆，乙7辆 方案三：甲2辆，乙6辆 方案四：甲3辆，乙5辆 方案五：甲4辆，乙4辆 （3）方案一所需运费：8×900＝7200（元） 方案二所需运费：1000+7×900＝7300（元） 方案三所需运费：2×1000+6×900＝7400（元） 方案四所需运费：3×1000+5×900＝7500（元） 方案五所需运费：4×1000+4×900＝7600（元） 故运输部门应选择方案一，他的运费最少，最少运费是7200元． 4．【解答】解：（1）设A种型号的衣服每件x元，B种型号的衣服y元， 则：， 解之得． 答：A种型号的衣服每件90元，B种型号的衣服100元； （2）设B型号衣服购进m件，则A型号衣服购进（2m+4）件， 可得：， 解之得， ∵m为正整数， ∴m＝10、11、12，2m+4＝24、26、28． 答：有三种进货方案： （1）B型号衣服购买10件，A型号衣服购进24件； （2）B型号衣服购买11件，A型号衣服购进26件； （3）B型号衣服购买12件，A型号衣服购进28件． 5．【解答】解：（1）设甲、乙两车速度分别为x千米/小时、y千米/小时，由题意得： ， 解得：； 答：甲、乙两车速度分别为90千米/小时、60千米/小时． （2）方案为：甲、乙一起行驶到离A点150千米处，甲向乙借油15升，乙不再前进； 甲向前行驶300千米返回乙停止处，再向乙借油15升，然后一起返回A点． 此时甲共行驶了900米． 6．【解答】解：设乙的速度为xkm/h，1h15 minh，根据题意得： ， 得13≤x≤15． 答：乙的速度应控制在13 km/h到15 km/h以内． 7．【解答】解：设乙骑自行车的速度xkm/h，根据题意，得 ， 解得：10x≤15． 答：乙骑自行车的速度应控制在10km/h到15km/h这个范围内． 8．【解答】解：（1）路段BC的长度为1400﹣800＝600m，路口A绿灯亮起10s后路口D绿灯亮起． 故答案为：600，10； （2）由C3（70，1400）可得； V不是绿灯速度，理由如下： 此时不是绿灯速度，因为由图象可知汽车在路口D遇到红灯，所以不是绿灯速度； （3）由直线OD5可知， 由直线OD6可知， ∴红绿灯设置下绿灯速度的取值范围． 9．【解答】解：（1）根据题意可得： （700﹣5×80）÷6＝50（米）， 答：B工程队每人每天能完成50米绿化带的建设． （2）设A工程队派出x人，则B工程队派出（20﹣x）人， ， 解得：17≤x≤19， ∵x为整数， ∴x＝17，18，19， ∴该公司有3种方案： 方案1：A工程队17人，B工程队3人； 方案2：A工程队18人，B工程队2人； 方案3：A工程队19人，B工程队1人． 10．【解答】解：（1）设A型花和B型花每枝的成本分别是x元和y元，根据题意得： ， 解得：， 所以A型花和B型花每枝的成本分别是5元和4元． （2）设按甲方案绿化的道路总长度为a米，所需工程的总成本是w，根据题意得： 1500﹣a≥2a a≤500， 则所需工程的总成本是w： 5×2a+4×3a+5（1500﹣a）+4×5（1500﹣a） ＝10a+12a+7500﹣5a+30000﹣20a ＝37500﹣3a， ∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少 w＝37500﹣3×500 ＝36000（元） ∴当按甲方案绿化的道路总长度为500米时，所需工程的总成本最少，总成本最少是36000元． 11．【解答】解：（1）设甲队每天修x米，乙队每天修y米． 根据题意得：， 解得． 答：甲队每天修50米，乙队每天修25米． （2）设甲队先独做a天，然后甲、乙合做了b天． 根据题意得： 解得：20≤b≤20， 所以b＝20． 答：甲、乙两队合作的天数为20天． 12．【解答】解：设甲工程队每天能铺设x米，则乙工程队每天能铺设（x﹣0.2）千米， 由题意得，， 解得：x＝0.7， 经检验x＝0.7是原方程的解，且符合题意， 乙工程队每天可铺设：x﹣0.2＝0.7﹣0.2＝0.5（千米）， 答：甲工程队每天能铺设0.7千米，则乙工程队每天能铺设0.5千米； （2）设分配给甲工程队y千米，则分配给乙工程队（10﹣y）千米， 由题意得：， 解得：5≤y≤7． 又∵以整千米为单位， ∴分配方案有3种： 方案一：分配给甲工程队5千米，分配给乙工程队5千米； 方案二：分配给甲工程队6千米，分配给乙工程队4千米； 方案三：分配给甲工程队7千米，分配给乙工程队3千米． （3）甲工程队每千米费用为4000元，使用乙工程队每千米费用为3000元，则甲的工程量最小时，费用最少． 即方案一：分配给甲工程队5千米，分配给乙工程队5千米，费用最少． 费用是：5×4000+5×3000＝35000（元）． 13．【解答】解：（1）设每套简约版手工钥匙扣的成本价为x元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为y元， 由题意列二元一次方程组可得：， 解得， 即每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元， 答：每套简约版手工钥匙扣的成本价为9元，每套创意版手工钥匙扣的成本价为17元； （2）设售出m套简约版手工钥匙扣，总利润为w元，则售出（120﹣m）套创意版手工钥匙扣， 由题意列一次函数可得：w＝（15﹣9）m+（25﹣17）（120﹣m）， 即w＝﹣2m+960， ∵﹣2＜0， ∴w随着m的增大而减小， ∵简约版钥匙扣不少于20套且不超过60套， ∴20≤m≤60， ∴当m＝20时，w取得最大值，最大值为﹣2×20+960＝960﹣40＝920（元）， 答：总利润最高是920元． 14．【解答】解：（1）设生产A校服x套，则生产B校服（80﹣x）套，根据题意得： ， 解得：58≤x≤60， ∵x为整数， ∴x只能取58、59、60， ∴厂家共有三种方案可供选择，分别是： 方案一、生产A校服58套，生产B校服22套； 方案二、生产A校服59套，生产B校服21套； 方案三、生产A校服60套，生产B校服20套； 答：厂家共有三种方案可供选择，分别是：方案一、生产A校服58套，生产B校服22套；方案二、生产A校服59套，生产B校服21套；方案三、生产A校服60套，生产B校服20套； （2）设总利润为y，则y＝（300﹣250）x+（340﹣280）（80﹣x）＝50x+60（80﹣x）＝4800﹣10x， ∵﹣10＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x取最小值时，y最大， ∴当x取58时，y取得最大值为4800﹣10×58＝4220（元）， 答：该厂家采用生产方案一可以获得最大的利润，最大利润为4220元； （3）∵总利润y′＝（300﹣250+m）x+（340﹣280）（80﹣x）＝（50+m）x+60（80﹣x）＝（m﹣10）x+4800， ∴分为三种情况：①当0＜m＜10时，安排生产A校服58套，可获得最大利润， ②当m＝10时，生产利润总是定值4800元， ③当m＞10时，安排生产A校服60套，可获得最大利润． 答：①当0＜m＜10时，安排生产A校服58套，可获得最大利润，②当m＝10时，怎么安排生产利润总是定值4800元，③当m＞10时，安排生产A校服60套，可获得最大利润． 15．【解答】解：（1）设A种产品应生产x件，则B种产品应生产（10﹣x）件， 由题意，x+3（10﹣x）＝14， 解得x＝8， ∴10﹣x＝2， ∴A种产品应生产8件，B种产品应生产2件． （2）设A种产品应生产m件，则B种产品应生产（10﹣m）件， 由题意得， 解这个不等式组，得2≤m＜5， ∵m为正整数，m可以取2或3或4； ∴生产方案有3种： ①生产A种产品2件，B种产品8件； ②生产A种产品3件，B种产品7件． ③生产A种产品4件，B种产品6件． （3）设总利润为y万元，生产A种产品x件，则生产B种产品（10﹣x）件， 则利润y＝x+3（10﹣x）＝﹣2x+30， 则y随x的增大而减小，即可得，A产品生产越少，获利越大， 所以当生产A种产品2件，B种产品8件时可获得最大利润，其最大利润为2×1+8×3＝26（万元）． 16．【解答】解：（1）设每件A种商品利润为x元，每件B种商品利润为y元． 根据题意列二元一次方程组得，， 解得， 即每件A种商品利润为200元，每件B种商品利润为100元， 答：每件A种商品利润为200元，每件B种商品利润为100元； （2）设购进A种商品a件，则购进B种商品（34﹣a）件． 总利润为200a+100（34﹣a）＝100a+3400， 根据利润不低于4000元，列一元一次不等式得，100a+3400≥4000， 整理得，100a≥600， 解得a≥6． ∵A种商品至多购进8件，故a≤8， ∴6≤a≤8， ∵a为整数， ∴当a＝6时，B种商品28件；当a＝7时，B种商品27件；当a＝8时，B种商品26件． 答：商场有三种购进方案： 方案一：购进A种商品6件，B种商品28件； 方案二：购进A种商品7件，B种商品27件； 方案三：购进A种商品8件，B种商品26件． （3）由（2）知，最大利润对应a＝8，利润为100×8+3400＝800+3400＝4200（元）． 每件A种商品售价500元，利润200元，故进价为500﹣200＝300（元）； 每件B种商品售价220元，利润100元，故进价为220﹣100＝120（元）． 设用4200元再购进A种商品m件，B种商品n件， 根据题意得，300m+120n≤4200， 化简得5m+2n≤70． 总件数s＝m+n，为了使s最大化，应尽可能多购进进价低的B种商品． 当m＝0时，2n≤70，n≤35，s＝35； 当m＝1时，2n≤65，n≤32.5，n≤32，s＝33； 当m＝2时，2n≤60，n≤30，s＝32； ∴s随m增大而减小，故s最大为35，此时m＝0，n＝35． ∴再次购进A、B两种商品总数最多的方案为购进A种商品0件，B种商品35件． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $