河南南阳市镇平县第一高级中学2025-2026学年高三下学期二模检测（二）数学试题

**基本信息** 2025-2026学年高三下学期二模数学试卷，通过梯度化题型设计覆盖函数、几何、概率等核心知识，综合题融合数学建模与逻辑推理，适配高三复习诊断需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题40分|集合、复数、向量等|如第1题集合运算，夯实基础概念| |多选题|3题18分|三角函数、椭圆等|如第9题三角函数图像变换，考查综合辨析能力| |填空题|3题15分|向量夹角、期望计算等|如13题结合女生答题情况的期望计算，体现数据应用| |解答题|5题77分|立体几何、函数导数、解析几何等|如16题工厂产品检验的概率模型，18题函数零点与单调性证明，19题双曲线综合应用，突出数学建模与逻辑推理，契合高考命题趋势|

2025-2026学年高三下学期二模检测（二） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号，试室号，座位号填写在答题卡上.用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．复数（    ） A． B． C． D． 3．如图在直角梯形ABCD中，已知，，，，则（      ）． A．22 B．24 C．20 D．18 4．已知公比为整数的等比数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知实数满足方程，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．已知复数为纯虚数，则（    ） A． B． C． D． 7．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（   ） A． B． C． D． 8．已知函数的四个零点，恰好成递增的等差数列，则m的值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．设函数，若的最小值为，则（   ） A． B．直线是图象的一条对称轴 C．点是图象的一个对称中心 D．在上单调递增 10．已知是椭圆的两个焦点，点在椭圆上，是椭圆上的动点，轴，垂足为，且点为的中点，轴，垂足为，且点为的中点，则（    ） A． B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．面积的最大值为 11．已知曲线，曲线，则（    ） A．的周长为 B．当时，与有且只有2个公共点 C．当与有且只有6个公共点时，则的取值集合为 D．当与有8个公共点时，的取值范围为 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共计15分） 12．已知平面向量满足，且，则与的夹角的余弦值为___________． 13．有5道题，5名女生中有2人每题都不能答对，其余3人每题都能答对，3名男生每人对每题答对的概率均为.现从上述5名女生中选择2名女生和3名男生答题，每人答一题，答对得2分，答错得0分，记得分之和为，则的数学期望为__________. 14．已知点是椭圆的下顶点，是的右焦点，延长交于点，若，则的离心率为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） （13分）15．在中，角的对边分别为，已知为的中点． (1)求角； (2)若，求的面积． （15分）16．某工厂的某种产品成箱包装，每箱5件．该产品按箱售卖，每箱30元．用户在使用某箱该产品时，若出现1件不合格品，则工厂赔偿10元；若出现2件不合格品，则工厂赔偿20元；若出现3～5件不合格品，则工厂赔偿30元．设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立． (1)记每箱产品中恰有1件不合格品的概率为，求的极大值点． (2)工厂质检部门拟在产品交付用户之前增加一道检验工序，提出了两种检验方案．方案一：从每一箱产品中随机抽1件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．方案二：从每一箱产品中随机抽2件检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．已知每件产品的检验费用为2元，以（1）中确定的作为p的值，以一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望为决策依据，应该选择方案一还是方案二？ （15分）17．如图，在直三棱柱中，，，，P为棱上的动点，点Q为的中点. (1)若， （i）证明：平面； （ii）求直线与直线的所成角的余弦值； (2)若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. （17分）18．已知函数，，设的零点为. (1)求的值； (2)证明：为单调数列，并求中的最小项； (3)证明：. （17分）19．已知双曲线:的离心率为，点在双曲线上． (1)求的方程； (2)已知直线，交于，两点， ①是否存在直线满足，若存在求出直线的方程，若不存在请说明理由； ②若，求的面积的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B A D A B B A AC ACD 题号 11 答案 ABD 1．B 【详解】由题可知，，所以． 2．B 【分析】根据题意，结合复数的运算法则，准确计算，即可求解. 【详解】根据复数的运算法则，可得.故选：B. 3．A 【分析】以为一组基底，利用平面向量基本定理，将转化为基底，根据数量和垂直关系及向量的运算法则计算结果即可. 【详解】解：因为，， 所以 ， 因为，，所以， 因为直角梯形ABCD，所以，故， 所以原等式 .故选：A 4．D 【分析】设出等比数列的公比，根据题意列出方程，解得首项和公比，再由等比数列的求和公式计算即可得到． 【详解】设的公比为，由得，所以. 当时，，解得或. 又是整数，所以； 当时，，解得，此时不是整数， 所以，A，B错误； ，所以C错误，D正确. 5．A 【分析】作出的图像，设，问题转化为直线和曲线有共同点时，斜率取值范围的问题，数形结合计算即得. 【详解】可知， 两边平方整理可得，， 该方程表示的是圆心为，半径为的圆的右半部分曲线，如下图： 设，则是通过定点的直线， 显然该直线通过时，斜率最大，最大斜率， 当直线和圆相切于时，斜率最小。 由圆心到直线的距离是，解得，即， 于是，即.故选：A 6．B 【分析】根据题意设，然后结合复数的乘法运算以及复数相等的条件，求出，然后代入，再根据模长的公式计算即可. 【详解】因为为纯虚数，所以设， 即，则，因此， 从而，即， 所以.故选：B. 7．B 【分析】根据题意，利用独立事件的概率乘法公式求出的表达式，根据选项作差计算，逐项判断即可. 【详解】设事件为第一个白球在次取出，且第二个白球在第次取出，其中， 则， 所以. 故，又， 故时，，即，， 时，，即，，故A错误，B正确； ，又， 故时，，即，， 时，，即，，故C，D错误.故选：B. 8．A 【分析】化简函数，利用偶函数得四零点，从小到大排序，依等差数列公差相等列式，换元运算，解得对数结果. 【详解】函数，定义域为.又， 所以函数为偶函数. 当时，， 令，得，显然，，解得或. 由有四个零点，且函数为偶函数，故四个零点为. 因零点成递增等差数列，故排序为， 设公差为，则：，， 即，化简得， 两边同乘得，故. 9．AC 【详解】由题可得，则，解得， 因为，所以当时，有最小值，即，则，故A正确； 因为+2，则， 所以直线不是图象的一条对称轴，故B错误； ，故点是图象的一个对称中心．故C正确； 当时，，所以在上不单调，故D错误． 10．ACD 【分析】代入点A坐标，可得m值，根据椭圆的定义，即可判断A的正误；设点，可得点B坐标，代入椭圆方程，可得点P的轨迹，根据点与圆的位置关系，结合两点间距离公式，可判断B的正误；分析可得当时，的面积最大，代入数据，可判断C的正误；设点，可得面积的表达式，结合基本不等式，即可得答案. 【详解】对于A，点在椭圆上，，解得， ，故A正确. 对于B，设点，则.将点的坐标代入椭圆的方程， 得，即，点的轨迹方程为， 则的最小值为点到圆心的距离减去半径， 即，故B错误. 对于C，由B可知，，则当时，的面积最大， 为，故C正确. 对于D，由椭圆对称性，设点在第一象限，， . ，当且仅当时，等号成立， 面积的最大值为，故D正确. 11．ABD 【分析】通过讨论的正负去掉绝对值，画出曲线与曲线的图象，由面积公式可求A，根据直线与圆的位置关系判断选项B，C，D即可. 【详解】当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 当时曲线为，是以为圆心，1为半径的圆； 故可画出曲线的图象：    易得曲线的周长为：，故A正确； 由题知曲线与曲线均关于轴对称，我们考虑当时， 曲线，恒过定点 对于B：当时，，曲线在第四象限的图像是以为圆心， 1为半径的圆，此时圆心到直线的距离为， 故曲线与曲线相切，有一个公共点，根据对称性可知当时， 与有且只有2个公共点，故B正确； 对于C：若要保证与有且只有6个公共点， 根据图像可知曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切， 或者曲线过点. 当曲线应与第四象限的圆相交并且与第一象限的圆相切时， 此时第一象限的图象是以为圆心，1为半径的圆， 此时圆心到直线的距离为，解得； 当曲线过点，此时易得，故当与有且只有6个公共点时， 则的取值集合为，故C错误； 对于D：若要保证与有且只有8个公共点， 根据图像可知曲线应与第一象限的圆相交且不过点， 此时圆心到直线的距离为，解得， 因为曲线不过点，故，故的取值范围为且， 即，故D正确.故选：ABD. 12． 【详解】因为，所以，即，解得． 故， 所以与的夹角的余弦值为. 13．/5.4 【分析】列出所有取值，根据古典概型求解选出女生的概率，根据二项分布求解男生答题情况对应的概率，进而根据独立事件乘法公式求解每种取值对应的概率，再结合期望公式求解即可. 【详解】的可能取值为， ， ， ， 所以的数学期望. 14． 【分析】根据椭圆的基本性质，和椭圆离心率的定义，利用向量共线，求出点的坐标，进而求出离心率. 【详解】设椭圆的焦距为，设，所以，因为，所以，即，即， 因为点在椭圆上，所以，所以，所以的离心率为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【详解】（1）， 由正弦定理可得. 又， 化简得. ，, ,； （2）为的中点，， 可化为， 又在中，， ， 得， 的面积. 16．(1) (2)应该选择方案一 【分析】（1）利用独立重复试验成功次数对应的概率，求得后对其求导，可得其单调性，即可得其极大值点； （2）分别求出两个方案对应的一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值的期望，比较大小即可得. 【详解】（1）每箱产品中恰有1件不合格品的概率，， 则，令，得， 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的极大值点. （2）由（1）知， 若选择方案一，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为， 则 ； 若选择方案二，将一箱产品的售价减去赔偿费用及检验费用的值记为． ； 因为，所以应该选择方案一． 17．(1)（i）证明见解析；（ii） (2)2 【详解】（1）（i）因为，所以P为的中点， 连接，因为Q为的中点，所以，且Q为的中点， 所以为的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. （ii）取的中点O，的中点E，连接，， 因为三棱柱为直棱柱，且的中点为，的中点E， 所以平面，又因为，且的中点为，所以， 所以，，两两垂直，以为原点，直线，，分别为x轴，y轴，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，因为，，， 所以，则，，，， 所以，， 所以， 故直线与直线的所成角的余弦值为. （2）在（ii）的坐标系下，设（）， 又，则， 设平面的一个法向量为， 则即 取，则，， 所以， 易知为平面的一个法向量， 所以， 整理得，解得或（舍）， 所以. 18．(1) (2)证明见解析， (3)证明见解析 【分析】（1）当时，通过求导证明从而得到在上单调递增，再根据即可求出； （2）根据的零点为，将代入中，两式作差得到，令，通过求导证明在上单调递增，即可证明，即可证明为递增数列； （3）令，通过求导证明，进而得到，即，通过放缩得到时， ，即可证明. 【详解】（1）当时，的定义域为， 因，则此时在上单调递增， 又， 所以在内的唯一零点为，所以. （2）的零点为，得， 则， 两式相减，得， 所以， 令，由（1）分析可知在上单调递增，所以， 故为递增数列，且中的最小项为. （3）令，则， 所以在上单调递增，则， 所以，当且仅当时等号成立， 又，所以， 因为的零点为，则， 移项得，则， 当时，有，则， 所以， 又，所以当时，， 当时，， 综上所述. 19．(1) (2)①不存在，详见解析 ② 【分析】(1)利用双曲线离心率及之间的关系得到双曲线方程；      (2)设出两个交点，将直线与双曲线方程联立得到两个根的关系式，①运用向量法将 转化为，整理出参数方程最终得到直线方程； ②为得到的面积，首先得到弦长，到直线的距离，再表示三角形面积，利用单调性求出面积最小值即可. 【详解】（1）因为，故. 由，代入得，则. 又因为在双曲线上，代入，得，则， 故双曲线方程为. （2）由题可设，将代入双曲线中， 整理得，由根与系数关系得， ， . ①不存在符合的直线. 令， 由得，即， 将代入上式得， ， 展开并整理， 将根与系数关系代入， 化简整理得，解得. 因此直线方程为. 检验，此时直线与双曲线的两个交点为，与重合，不构成垂直关系， 因此不存在满足条件的直线. ②弦长， 到直线的距离， ， 令，可知在单调递增， 故，所以的面积最小值为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $