精品解析：北京市海淀区首都师范大学附属中学2025-2026学年八年级下学期期中数学试题

首都师大附中2025－2026学年第二学期期中练习 初二数学 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．，故不是最简二次根式； B．，故不是最简二次根式； C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. 1，2，2 C. 4，5，6 D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理的逆定理判断，即可得出结论． 【详解】解：A选项中，最长边为， ， 能作为直角三角形的三边长，本选项符合题意； B选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意； C选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意； D选项中，最长边为， ， 不能作为直角三角形的三边长，本选项不符合题意． 3. 已知直线过点和，则和的大小关系是() A. B. C. D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据k的符号判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小即可得到和的大小关系． 【详解】解：∵在直线中，， ∴随的增大而减小， 又∵点和的横坐标满足， ∴． 4. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】正n边形的内角和公式为，且正n边形的每个内角都相等，据此计算即可． 【详解】解：∵正八边形的边数， ∴正八边形的内角和为， 又∵正八边形的各个内角相等， ∴正八边形的一个内角的度数为 ． 5. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化三个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，自变量每变化一个单位，函数值随之变化三个单位，可知该函数为一次函数，且，即解析式为（为常数），即可得出结果. 【详解】解：由题意，该函数为一次函数，且，即解析式为或（为常数）的形式， 故只有符合题意. 6. 如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】证明四边形是矩形，是等腰直角三角形，得到，利用正方形的面积公式求得正方形的边长，据此求解即可． 【详解】解：∵正方形， ∴，，即， ∵， ∴四边形是矩形，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵正方形的面积为50， ∴边长为， ∴， ∴的值为5． 7. 已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了函数图象，根据点得到点A和点B关于y轴对称，排除A，C选项；根据点得到当时的函数值小于当时的函数值，进而求解即可． 【详解】解：∵点在同一个函数的图像上，且点A和点B关于y轴对称， ∴排除A，C选项； ∵点在同一个函数的图像上， ∴当时，，当时，，且 ∴当时的函数值小于当时的函数值，排除D选项，只有B选项符合题意． 故选：B． 8. 如图，在中，，是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足为点，点是的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】延长交于点，延长和交于点，证明，推出，利用三角形中位线定理可判断①；同理可判断②；根据，，可判断③；根据三角形的外角性质，直角三角形斜边中线的性质，等边对等角，平行线的性质可判断④． 【详解】解：延长交于点，延长和交于点， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即点是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，故①说法正确； ∵是的角平分线，， 同理， ∴，， ∴， ∵， ∴，即，故②说法正确； ∵，而， ∵不能确定与相等， ∴不能确定与相等，故③说法错误； ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④说法正确． 第Ⅱ卷（共76分） 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，被开方数需为非负数，据此列不等式求解自变量的取值范围． 【详解】解：由题意得：， 解得． 10. 在平行四边形中，若，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得到，和互补，运算求解即可． 【详解】解：∵是平行四边形， ∴， ∴ 故答案为： 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉利用平行四边形的性质获取相关信息是解题的关键． 11. 为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知点分别是的中点，利用三角形中位线定理可得与的数量关系，代入数据计算即可． 【详解】解：点是的中点，点是的中点， 是的中位线， ， ， ． 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的平移，正确求出平移后的直线解析式是解题的关键． 先根据平移规律求出直线向上平移个单位所得的直线，再把点代入，即可求出的值． 【详解】解：∵直线向上平移个单位， ∴平移后的直线为， ∵所得的直线经过点， ∴，解得：， 故答案为：． 13. 一菱形的对角线长分别为和，则此菱形的周长为____________． 【答案】##52厘米 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相平分且垂直，结合勾股定理，得出菱形的边长，从而计算周长即可． 【详解】解：∵菱形的对角线长分别为和， ∴对角线的一半长分别为和， ∴菱形的边长为：， ∴菱形的周长为：． 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的对角线构造了直角三角形，利用勾股定理求解菱形的问题是常见的思路． 14. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数与一元一次不等式，利用函数图象确定不等式的解集是解题的关键．先将交点代入直线：求出的值，再结合函数图象，找出直线在直线上方（含交点）时对应的的取值范围，进而得到不等式的解集． 【详解】解：将点坐标代入直线，得， 从图中直接看出，当时，， 故答案为：． 15. 如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用矩形的性质求得，，得到，再利用三角形内角和定理计算即可求解． 【详解】解：∵矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据把的部分沿轴翻折，可得翻折后的解析式为，当时，对应的有，在取值范围内；的部分没有翻折，且当时，有，因为纵坐标的取值范围是，可得不等式组为，解不等式组可得：，所以的取值范围是． 【详解】解：如下图所示， 把部分沿轴翻折，对应的部分的解析式为 当时，可得：， 当时，可得：， 当时，； 当时，对应的部分的解析式为， ， ， 解得：， ， ． 三、解答题（本大题共10小题，共60分，第17题8分，第18-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25-26题，每题7分） 17. 计算 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由二次根式性质化简，再合并同类二次根式即可； （2）先由完全平方公式、平方差公式展开，再由有理数加减运算计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，7 【解析】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，完全平方公式以及化简求值，二次根式的性质，正确计算是解题的关键． 首先根据单项式乘以多项式，完全平方公式将括号去掉，然后进行合并同类项，最后将x的值代入化简后的式子进行计算得出答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 19. 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理的依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 【答案】（1）见解析 （2）；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，菱形的判定与性质，角平分线的定义，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据几何语言画出对应的几何图形； （2）连接由，可得四边形是菱形（四条边相等的四边形是菱形），则平分，（菱形的每一条对角线平分一组对角） 即可解答． 【小问1详解】 解：作图如图所示． 【小问2详解】 证明：连接，如图 ， 四边形是菱形． （四条边相等的四边形是菱形）． 平分 （菱形的每一条对角线平分一组对角） 即平分． 故答案为：；菱形；四条边相等的四边形是菱形；菱形的每一条对角线平分一组对角 20. 已知：如图，点E，F是平行四边形中边上的点，且，连接．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由平行四边形的性质可得，结合，可推出，根据一组对边平行且相等可证四边形是平行四边形，利用平行四边形的性质即得结论． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴． ∵， ∴，即． ∴四边形是平行四边形． ∴． 21. 已知一次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； （2）当时，的取值范围是 ； （3）当时，的取值范围是 ． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，令时，，解得；令时，，可得一次函数经过点，，利用描点法画图即可； （2）当时，，求解即可； （3）由，得到，当时，即，求解即可． 【小问1详解】 解：令时，，解得； 令时，， ∴一次函数经过点，， 一次函数的图象如图所示， 【小问2详解】 解：当时，，解得， ∴当时，的取值范围是； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴当时，即，解得， ∴当时，的取值范围是． 22. 海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 （1）根据海啸的行进速度公式，完成上表： （2）如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ （3）下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 【答案】（1）填表见解析 （2）60米 （3）①③ 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的计算，解题的关键是根据题中的公式列式求解． （1）直接将代入速度公式，计算，完成表格填空． （2）设两处深度为、，根据公式，分别将和代入，通过列方程，解得、，作差得深度差值． （2）①分析速度公式是算术平方根函数，因被开方数增大时递增，故随增大而增大，判断正确；②设深度，代入公式化简得，与题目表述对比，发现计算和单位错误，判断错误；③将公式变形为，利用算术平方根函数“增速变缓”的性质，结合具体数值验证（越大，相同增量下增量越小），判断正确． 【小问1详解】 解：当时： ， 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 70 140 【小问2详解】 解：设两处海水深度为、，由得： 当时，， ， ； 当时，， ， ； 深度差值为米， 【小问3详解】 ①：“随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大” 海啸速度公式为（，是常数）． 从函数角度看，是关于的算术平方根函数，形式为（，是正数）． 根据算术平方根函数的性质：当被开方数增大时，递增，因此也递增．． ∴随着海水深度增加，海啸速度必然逐渐增大，描述①正确． ②：“当海水的深度是的倍时，海啸的行进速度是” 设海水深度，代入速度公式： 化简： 而题目中表述为“”，描述②错误； ③：速度公式可变形为，其中是常数（记为），即． 从“函数的变化率”角度理解：算术平方根函数的增速趋势是逐渐变缓的．当较小时，增加，的增量较大；当很大时，同样增加，的增量会变小， 当时，； 当时，，增量； 当时，； 当时，，增量； 可见，越大，相同增量下的增量越小）． ∴描述③正确． 故答案为①③． 23. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点到边的距离． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，可得，再由，可得，即可证明结论； （2）过点作于点，利用矩形的性质可得，，由可得是等边三角形，则可得，，再可求得，，然后利用三角形的面积求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵是边的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是矩形． 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 由（1）可知，四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即点到边的距离为． 24. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）先根据直线过点，得出的值，再将点代入即可得出的值； （2）先求出两函数与轴的交点坐标，然后根据图象即可求得． 【小问1详解】 解：函数的图象过点， ， 解得， 将点代入得：， 解得， 【小问2详解】 解：由（1）知，，； 对于，当时，； 对于，当时，； 如图所示，当时，的函数图象位于上方且位于的下方时，，， 当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，，． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点．对于平面内一点，过点作轴的垂线，垂足为．若以四个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点为直线的“伴随点”． （1）若直线的解析式为，直接写出直线的“伴随点”的坐标； （2）若直线经过定点，点为直线的“伴随点”，当以为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的直线的解析式； （3）若直线的伴随点恰好落在正方形的边上，其中直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）和 （3） 【解析】 【分析】（1）先求出直线与x轴y轴交点A，B坐标，再利用平行四边形对角线中点相等的性质，分情况讨论得到P坐标； （2）利用直线过定点得到b与k的关系，结合伴随点定义得到为直角三角形，根据等腰三角形性质得到，进而求出k得到直线解析式； （3）由伴随点坐标得到k与P点坐标x，y的关系，结合P在正方形边上的坐标范围，求出k的取值范围 【小问1详解】 解：直线， 令得， ∴， 令得， ∴， 设，由题意得， 若为平行四边形对角线，得，， 得，，得； 若为平行四边形对角线，得不成立，舍去； 若为平行四边形对角线，得，， 解得，，得，与重合，不符合题意，舍去， ∴伴随点坐标为； 【小问2详解】 解：∵直线经过， ∴，得， ∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴， 设，由题意得， 同理得 ， ， ∴轴，轴，， 若为等腰三角形，则， ∵  ， ，， ∴ ，解得， 当时， ，直线解析式为； 当时， ，直线解析式为； 其他情况推导得，不符合题意，舍去， ∴满足条件的直线解析式为和； 【小问3详解】 解：由（2）得伴随点坐标为 ，正方形满足，， ∴， ， 整理得， ∵，， ∴， 当，时，取得最小值； 当，时，取得最大值， ∴的取值范围是． 26. 如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是上一点，点是菱形外部一点，满足． （1）求的度数； （2）连接，取的中点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系是 ． 【答案】（1） （2）①见解析；② （3） 【解析】 【分析】（1）连接，证明得出，即可得证； （2）①根据题意画出图形，即可求解； ②延长至使得，连接，根据中位线的性质可得，证明得出，即可得证； （3）过点作于点，证明四边形是平行四边形，，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵在菱形中，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵在菱形中，对角线相交于点，点是上一点， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问2详解】 解：①如图所示， ② 如图，延长至使得，连接 ∵ ∴ ∵点是的中点， ∴， 由（1）可得 设，则 ∵在菱形中，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 【小问3详解】 解：如图所示，过点作于点， ∵在菱形中，， ∴，，， ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴，则 又∵ ∴ ∵，则 又 ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，则 ∴，即 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 首都师大附中2025－2026学年第二学期期中练习 初二数学 第Ⅰ卷（共24分） 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列式子中，属于最简二次根式的是（    ） A. B. C. D. 2. 下列各组数据中能作为直角三角形的三边长的是（ ） A. ，， B. 1，2，2 C. 4，5，6 D. ，， 3. 已知直线过点和，则和的大小关系是() A. B. C. D. 不能确定 4. 如图，我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形．正八边形的一个内角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化三个单位，其解析式可以是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，点是上任意一点，，垂足分别为点，若该正方形的面积为50，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 7. 已知点在同一个函数的图像上，这个函数图像可能是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，是的角平分线，过点分别作的垂线，垂足为点，点是的中点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①② B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④ 第Ⅱ卷（共76分） 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 函数中，自变量x的取值范围是________． 10. 在平行四边形中，若，则_______． 11. 为了协助公园园区工人测量人工湖湖畔两点之间的距离，某学习小组设计了如图所示的示意图，先在湖边地面上确定点，再用卷尺分别确定的中点，最后用卷尺量出，则之间的距离是__________． 12. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，若将直线向上平移（）个单位所得的直线经过点，则的值为______． 13. 一菱形的对角线长分别为和，则此菱形的周长为____________． 14. 如图，直线：与直线：相交于点，则关于的不等式的解集为____________． 15. 如图，延长矩形的边到点，使，连接，若，则__________． 16. 在平面直角坐标系中，将函数的图象中横坐标的部分沿轴翻折，横坐标的部分保持不变，这两部分共同组成新图象．若新图象上所有点的纵坐标的取值范围是，则常数的取值范围是__________． 三、解答题（本大题共10小题，共60分，第17题8分，第18-21题，每题5分，第22-24题，每题6分，第25-26题，每题7分） 17. 计算 （1）； （2）． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 已知：如图，． 求作：射线，使得平分． 作法：①在射线上取点，以点为圆心，线段的长为半径画弧，交射线于点； ②分别以点，点为圆心，线段的长为半径画弧，两弧交于点（不与点重合）， ③作射线． 射线就是所求作的射线． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． = ， 四边形是 （填“矩形”“菱形”或“正方形”） （ ）（填推理的依据） 平分（ ）（填推理的依据）． 即平分． 20. 已知：如图，点E，F是平行四边形中边上的点，且，连接．求证：． 21. 已知一次函数． （1）在如图所示的平面直角坐标系中，画出该一次函数的图象（不用列表）； （2）当时，的取值范围是 ； （3）当时，的取值范围是 ． 22. 海啸是一种破坏力极强的海浪，在广阔的海面上，海啸的行进速度可近似的地按公式计算，其中v表示海啸的行进速度，d表示海水的深度，g表示重力加速度，g取． 海水深度 500 1000 1500 2000 2500 海啸行进速度 ____ 140 （1）根据海啸的行进速度公式，完成上表： （2）如果测得海啸在海面两处的行进速度分别为和，那么这两处的海水深度差值是多少？ （3）下列关于海啸行进速度的描述： ①随着海水深度的增加，海啸行进速度逐渐增大； ②当海水的深度是的k倍时，海啸的行进速度是； ③随着海水深度的增加，海啸行进速度的增加幅度会越来越小． 其中，描述正确的序号是______（说明：全部填对的得满分，有填错的不得分）． 23. 如图，在中，是边上一点，是边的中点，连接并延长至点，使得，连接 （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求点到边的距离． 24. 在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点． （1）求，的值； （2）当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出和的取值范围． 25. 在平面直角坐标系中，已知直线与轴交于点，与轴交于点．对于平面内一点，过点作轴的垂线，垂足为．若以四个点为顶点的四边形是平行四边形，则称点为直线的“伴随点”． （1）若直线的解析式为，直接写出直线的“伴随点”的坐标； （2）若直线经过定点，点为直线的“伴随点”，当以为顶点的三角形是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的直线的解析式； （3）若直线的伴随点恰好落在正方形的边上，其中直接写出的取值范围． 26. 如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是上一点，点是菱形外部一点，满足． （1）求的度数； （2）连接，取的中点，连接． ①依题意补全图形； ②用等式表示与之间的数量关系，并证明； （3）连接，直接用等式表示线段与之间的数量关系是 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $