精品解析：安徽蚌埠禹王学校等A10联盟2025-2026学年高一下学期4月期中质量检测数学试题（人教A版）B卷

2025级高一4月期中质量检测 数学（人教A版）B 满分150分，时间120分钟．请在答题卡作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用向量的垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量， 因为，可得，即，解得. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， ． 3. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，利用基底表示向量即可. 【详解】由，得， 由为的中点， 得. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，由棱锥的定义判断A正确； 对于B，只有当平面与底面平行时，所截部分才是圆台，故B错误； 对于C，上、下底面都是正方形，且侧棱垂直于底面的棱柱才是正四棱柱，故C错误； 对于D，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，故D错误． 5. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为向量，，所以， 所以，， 所以在上的投影向量为． 6. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【详解】设复数（，），由， 得，两边平方得， 解得，故复数的虚部为． 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】由正弦定理可得，根据三角恒等变换可得，再根据基本不等式化简即可求解. 【详解】在中，， 由得，所以． 因为，， 即，所以， 则 ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 由得，符合条件，所以的最小值为3． 8. 已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题干恒成立的条件，求出，再利用向量三角不等式求出最小值. 【详解】解：由题意得，，由， 得，即，化简得. 令，开口向上，要使恒成立，则， 解得. 又， ， 所以的最小值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个根 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意得，，即， 则， 则，故A正确； ，故B正确； ， 所以在复平面内对应的点为，位于第三象限，故C错误； 设复数是关于的方程（，）的一个根， 则另一个根为，根据韦达定理，得，，解得，， 所以复数是关于的方程即的一个根，故D正确． 10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 【答案】BC 【解析】 【详解】如图1，过点，分别作，垂直轴于点，， 因为等腰梯形中，，， 所以，， 又，所以，故A错误； 由斜二测画法知，故B正确； 作出其原图如图2，，，，， 则四边形的面积为，故C正确； 过点作于点，则，， 则， 于是四边形的周长为，故D错误． 11. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且，，点是的“费马点”．记（），则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】先由已知条件和正弦定理可得；对于B结合A选项的结果可得三角形为正三角形，进而可得三角形的面积；对于C设，由数量积的值可得，再由面积关系得，从而可得结果，对于D，结合AC选项的结论，可得的值，进而在，，中用余弦定理可得，故D错误. 【详解】由和正弦定理，得． 又，所以，所以， ， ，，，， 即，且，或，得或（舍去），故A正确； 对于B：若，由A选项分析知，为正三角形，边长， 此时三角形费马点与三角形的中心重合， 则，故B正确； 对于C：设，，， 则，． 由，得， 所以，而，所以，故C正确； 对于D：由余弦定理得， 因为，由C选项分析知， ， 又，则或． 在，，中，由余弦定理得， 或， 结合可得， 则， 即，，故D错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】设（，），则， 则， 所以，，即． 13. 已知为的重心，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设为的中点，将分别用表示，再根据数量积的运算律求解. 【详解】如图，延长交于点，则为的中点， . 14. 如图几何体是圆锥的一部分，其中，，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是______． 【答案】 【解析】 【详解】将不完整的圆锥侧面展开，设其圆心角为， 则，解得，即，如图． 在中，由余弦定理得 ， 则，即这只蚂蚁行驶的最短路程是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆的半径为，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件并结合余弦定理可得所求角的值； （2）由条件可得或，再结合可得三角形是一个顶角为的等腰三角形，再由正弦定理可得面积值. 【小问1详解】 因为，得． 由正弦定理，得，即， 由余弦定理，得． 因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知，所以， 因为，且，所以或， 即或（舍去，因为），所以. 由外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以的面积． 16. 已知复数，． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； （3）当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 因为复数是纯虚数，所以， 即，解得． 【小问2详解】 因为复数表示的点在第二象限，所以， 即，解得， 即的取值范围为． 【小问3详解】 当时，，则； 当时，，则， 所以，，． 因为向量与的夹角为钝角， 所以且向量与不反向共线， 即且， 解得且，即实数的取值范围是． 17. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. （1）求的值； （2）若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； （3）已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）先根据向量的加减法求出 ，再利用向量共线的性质列出方程，进而求出的值； （2）先求出 ，再根据向量的数量积公式求出 、和，最后代入向量夹角公式求出夹角的余弦值； （3）先设出点的坐标，再根据平行四边形的性质得到 ，最后列出方程组求解点的坐标. 【小问1详解】 因为 且， 又因为三点共线，所以， 所以，即， 所以 ，解得， 所以. 【小问2详解】 由题意得，， ， 所以， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）得， 所以， ， 由四边形为平行四边形得， 设，且点的坐标为，则， 所以，解得， 即. 18. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 【答案】（1） （2） （3）时，面积取最小值为 【解析】 【分析】（1）在中利用余弦定理可求得，可知为正三角形，由此可得结果； （2）设，由可得；在中，利用正弦定理可得；由此可构造方程求得； （3）设，由（2）知；在中，利用正弦定理可得，根据，结合三角恒等变换知识可化简得到，由正弦函数的最值可确定所求最小值. 【小问1详解】 在中，，，，则， 在中，由余弦定理得：， 即，则，可得， 可知为正三角形，其周长为，即防护网的总长度为. 【小问2详解】 设， 因为，即，可得， 在中，由得：， 即，可得， 又因为，则， 则，解得，所以. 【小问3详解】 设，由（2）知：， 在中，由得：， 则， 当且仅当，即时，面积取最小值为. 19. 记锐角的内角，，的对边分别为，，． （1）若，求证：； （2）当，时，求面积的最大值； （3）若，且，其中符号表示不大于的最大整数，求的值． 【答案】（1） 由是锐角三角形，得，，， 则，因为在上单调递增， 所以， 又在上单调递减，所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）应用角的范围结合正弦函数单调性及诱导公式计算证明； （2）根据已知化简，再应用两角和正切公式求出角，再应用余弦定理结合基本不等式计算得出面积的最大值； （3）结合新定义及角的范围计算求值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由， 得， 则， 又，所以． 由余弦定理得，， 所以，当且仅当时取等号， 所以． 即面积的最大值为． 【小问3详解】 因为，所以， 又因为， 所以， 所以，，均为整数． 因为，所以， 所以，所以，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一4月期中质量检测 数学（人教A版）B 满分150分，时间120分钟．请在答题卡作答． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知平面向量，若，则实数的值为（ ） A. B. 7 C. 1 D. -1 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列说法中，正确的是（ ） A. 有一个面为多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥 B. 用一个平面去截圆锥，圆锥底面与截面之间的部分是圆台 C. 底面是正方形，有两个侧面是矩形的棱柱是正四棱柱 D. 棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形 5. 已知平面向量，，则在上的投影向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. C. 2 D. 7. 已知的内角，，的对边分别为，，，若，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知平面向量，且，已知向量与所成的角为，且对任意实数恒成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若复数满足，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D. 复数是关于的方程的一个根 10. 如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 四边形的周长为 11. 著名的费马问题是法国数学家皮埃尔·德·费马（）于年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”，费马问题中的所求点称为费马点．已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，使得的点即为费马点．在中，角，，的对边分别为，，，且，，点是的“费马点”．记（），则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则的面积为 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知复数满足，则______． 13. 已知为的重心，，则__________. 14. 如图几何体是圆锥的一部分，其中，，一只蚂蚁从点出发沿曲面运动到点，则这只蚂蚁行驶的最短路程是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角，，所对的边分别为，，，且． （1）求； （2）若外接圆的半径为，，求的面积． 16. 已知复数，． （1）若复数是纯虚数，求实数的值； （2）若在复平面内，复数表示的点在第二象限，求的取值范围； （3）当时，复数所对应的平面向量为；当时，复数所对应的平面向量为，若向量与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 17. 已知是平面内两个不共线的向量，，且三点共线. （1）求的值； （2）若向量的夹角为，且，求向量与夹角的余弦值； （3）已知，点的坐标为，若四边形为平行四边形，求点的坐标. 18. 如图所示，某区有一块空地，其中，，．当地区政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中M，N都在边AB上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场．为安全起见，需在人工湖的周围安装防护网． （1）当时，求防护网的总长度； （2）若要求挖人工湖用地的面积是堆假山用地的面积的倍，试确定的大小； （3）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问如何设计施工方案，可使的面积最小？最小面积是多少？ 19. 记锐角的内角，，的对边分别为，，． （1）若，求证：； （2）当，时，求面积的最大值； （3）若，且，其中符号表示不大于的最大整数，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $