河北衡水市武强县河北武强中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试题

高一数学细目表 1、 复数的乘方、特殊角的三角函数值。 2、 线面关系有关命题的判断、线面平行的性质、判断线面平行 3、 已知正（余）弦求余（正）弦、三角形面积公式及其应用 4、 平面向量共线定理证明点共线问题 5、 用基底表示向量、平面向量基本定理的应用 6、 圆柱表面积的有关计算、圆台表面积的有关计算 7、 正（余）弦定理边角互化的应用 8、 平面向量共线定理的推论、基本不等式“1”的妙用求最值 9、 复数的除法运算、判断复数对应的点所在的象限、与复数模相关的轨迹（图形）问题 10、 已知数量积求模、向量夹角的计算、向量垂直的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 11、 正弦定理判定三角形解的个数、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 12、 复数的除法运算、复数的乘方 13、 平面向量数量积的几何意义、用定义求向量的数量积 14、 正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形、基本不等式求积的最大值 15、 向量共线（平行）求参数、向量垂直的坐标表示、和、差角的正切公式化简、求值、二倍角公式 16、 逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形 17、 证明线面平行、求异面直线所成的角、余弦定理解三角形 18、 和、差角的余弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、二倍角的正弦公式、余弦定理解三角形 19、 数量积的运算律、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、基本不等式求积的最大值 学科网（北京）股份有限公司 $武强中学2025-2026学年度下学期期中综合素质监测 高一数学试题 出题人：吉岩岩 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。） (cos3-m3 1. cos =() 4 4 A.-i B.i C.1 D.-1 2.下列命题：①若a/b,bc,则a/a;②若a/1a,b//o,则a//b;③若a//b, b/o,则a//a;④若a//,bca,则a/b.其中正确命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 B在aABC中，4AB=2,AC=3,cosA=-,则AABC的面积为( A.5 B.25 c.35 D.45 4.已知平面向量a,b是不共线的两个向量，AB=a+2b,AC=4a-46, cD=-a+2五，则() A.A,B,C三点共线 B.A,B,D三点共线 C.A,C,D三点共线 D.B,C,D三点共线 5.如图，正方形ABCD中，E为DC的中点，若AE=AB+AD,则2-L的值为() B A.-2 B.2 2 6.如图一是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱， 图二是该组合体的轴截面，则它的表面积是() 试卷第1页，共4页 4 101 10- 图一 图二 A.64元 B.77π C.80元 D.84元 7.在△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,C,且os4+cosB_3SinC a b 则a=() sinB A.3 B.√3 C.1 D. 8.在△ABC中，M、N分别在边AB、AC上，且AB=2AM,AC=4AN, 12 D在边BC上（不包含端点）.若AD=xM+yAN,则二+二的最小值是() A.2 B.4 C.6 D.8 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分。) 9.如图，向量0Z,OZ对应的复数分别为1，三2，则下列选项正确的是() A.Z1,Z,间的距离为2W10 B. 上为纯虚数 22 C.二1P2在复平面内对应的点位于第一象限 D.若z卡V5,则：-l=35 10.已知向量a=(1,V3),b=(cosa,sina),则下列结论正确的是() A.若a1方，则tana=-3 3 试卷第2页，共4页 B.若a∥6，则a= 3 C.Ja-b的最大值为2 D.若石在后上的投影狗量为-a,则向量a与6的夹角为行 4 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为α，b,c,则下列说法正确的是() A.若△ABC是锐角三角形，则siA>cosB B.若Sin2A=Sin2B,则△ABC为等腰三角形 C.若sin2A>sin2B+sin2C,则△ABC是钝角三角形 D.若b=4，C=3,C-零，则满足这组条件的三角形有丙个 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分。） 12.=1+21，则1+2+2++2026 1-i 13.已知AB是圆O的任意弦，若AB=4,则AB.AO= 14.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2 bcos B=a cos C+ccos4,b=2, 则△ABC面积的最大值是 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 15.已知平面向量a=(2cos0,1),b=(2,3sin0). (1)若a//b,求sin20的值. (2)若aLb,求tam 8+π 的值. 16.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且2bc0SA=c cos4+ac0SC (1)求角A的大小 (2)若a=√7，b+c=4,求bc的值. 试卷第3页，共4页 17.如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB1AC,AB=4,AC=4V3,AA1=4W6, 点E,F分别为棱BC,AB的中点. A B (1)证明：直线EF//平面AACC: F (2)求异面直线EF与BC所成的角的大小. A E B 18.已知A4BC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满是b=1 sin C a+c sin 4+sin B (1)求角A的值： (2)若a=3,b=2√5， (i)求sinB的值： (i)求cos(2B-A)的值. 19.在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知向量=(sinC,sin B cos A), i=(2c,b),且m/i. (1)求角A的大小： (2)若D是BC的中点，AD=2,求△ABC面积的最大值. 试卷第4页，共4页高一数学综合素质监测答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A 习 D Q 0 D A ABD AD 题号 11 答案 AC 1.B【详解】 Hi- 三故选：B 2 2.A【详解】①中a可能在内，①错误；②中a与b可能相交或平行或异面，②错误： ③中a也可在a内，③错误；④中a与b也可能异面，④错误.故选：A. 3.A【详解】由三角形内角的范围及c0sA=- 3,可得simA=5 3,S.AG-ABX AC×snA=V5达：A 2 4.D【详解】由题意，AB=a+2b,AC=4a-46,CD=-a+2b 不存在唯一的实数1使得B=AC,所以A,B,C三点不共线，故A错误， 由于BC=AC-AB=4a-4i-(a+2b)=3a-6b, 所以BC=-3CD,则B,C,D三点共线，故D正确 由于AD=AB+BC+CD=a+2b+3a-6b-a+2b=3a-2b, 不存在唯一的实数1使得AB=2AD,不存在唯一的实数1使得AC=1AD,故BC错误，故选：D. 5.C【详解】在正方形ABCD中，E为DC的中点，所以A正=AD+D正=AD+上AB, 又因为正=西+u而，所以业=1，则-}1=号 2 2 6.D【详解】圆柱的上底面面积为4π；圆柱的侧面面积为4π×5=20元： 圆台的下底面面积为25π；圆台的母线长为√42+(5-2)？=5， 所以圆台的侧面面积为π(2+5)×5=35元，则该组合体的表面积为4π+20π+25π+35-84机.故选：D. 7.D【详解】由余弦定理，有cos4+cosB_b2+c2-a2a2+c2-b32c:c b 2abc 2abe 2abe ab 正丝关理可行器音，国为受，受·所品告片解a者：” a 8.A【详解】因为D在边BC上（不包含端点），不妨设BD=2BC,其中0<1<1， 即AD-AB=2(AC-AB),所以，AD=(1-2)AB+AC=2(1-2)AM+42AN, 又因为AD=xAM+yAN,则x=2-2,y=4入，其中x、y均为正数，且有2x+y=4, 答案第1页，共4页 4x_y 2时，等号成立，放则}子的辰小维是2故适：A x=1 当且仅当 2x+y=4时，即当 x>0,y>0 9.ABD【详解】由图知Z(-2,4),Z,(4,-2),则|Z,Z,1=V-2+4)2+(4+2)2=4+36=20,A对， 由恩意5=-2+41,5=4-21，则三-2+-21-022---1为纯虚数，B对， 52-4-2i2+i(2+i)(2-i)5 52=（-2+41)(4-2i)=4(1-2i)(2+i)=4(4-31)=16-12i,对应点坐标为Q6,-12)不在第一象限，C错， 令z=x+i,(x,y∈R),|z√5，则x2+y2=5,即圆心为原点且半径为5， 而-=√(x+2)2+0y-4)2表示点(-2,4)到圆x2+y2=5上的点的距离， 由点(-2,4)到圆心的距离为V0+2)2+(0-4)2=2W5, 所以点(-2,4)到圆x+y=5上的点的距离最大值为35，即-Zx=3V5,D对. 10.AD【详解】已知a=(L,V5),万=(cosa,sin),|a=2,|b=1. 选项A:若al万，则a.6=cosa+5sna=0,得tanu=-Y5 ,A正确 选项B:若ā/1B,则sin-V5cosw=0,得tana=V5,a=交+kxk∈☑，并非唯一值，B错误 3 选项c:a-ia2+1P-2a-万=5-2cos46sin=寸-4sina4 长3 ,最大值为3，C错误 6 aPa=4a,得a-6=-1,cos0=a-6-1, a.b 1 选项D:b在a上的投影向量为 1a训620=22， 3,D正确 11.AC【详解】对于A,若△ABC是锐角三角形，则A+B>,所以A>正-B, 2 ,且正弦函数在该区间递增，则sinA>sin )B =cosB,故A正确) 对于B,若sin2A=sin2B,又A,B∈(0，)，则2A=2B或2A+2B=π， 所以A=B或A+B-子则△1BC为等腰三角形或直角三角形，故B不正确： 对于C,若sin2A>sim2B+sinC,由正弦定理得ad2>b2+c2, 由余弦定理得cosA= B+C-<0,则角A为钝角，则△ABC是钝角三角形，故C正确： 2bc 43 对于D,若b=4,c=3,C很瑶弦定理6 =2W5 sinBsinc,则sinB3 2 答案第2页，共4页 所以sinB=2V >1,而正弦函数的值域为[-1,1]，因此这样的角B不存在，满足条件的三角形无解，故D 3 不正确故选：AC 12.i【详解】由已知z=1+ 2i1+i)-1+-2+21i,所以1+z+g2++26=1+i+i护++i (1-i)1+i) 2 =(1+i+i2+i）+(（0+f+i+i7）++(i2020+i2021+i202+i2023）+(2024+i2025+i2026) =(1+i-1-i)+(1+i-1-i)++(1+i-1-1)+(1+i-1)=i. 13.8【详解】如图：作OC⊥AB,垂足为C, 则亚0-可网w048=o网S-®4c叶8 14.√5【详解】由正弦定理及2 bcos B=acosC+c cosA,得 1 2 B=ncosC+noA=sin(A+C)=simB,:B∈（0，，sinB≠0，六cosB=2:8∈0，， B=胥由余弦定理B=a+e2-2 e,4=a+e-ac≥2ac-am=e, 即ac≤4，当且仅当a=c=2时取等号， ∴及axim<行×4×5-5，当且仅当a=C-2时等号成立，△4BC的面积的最大值为. 1 2 15.0子a号【详解11)：a=(2co61.6=(2,35血0)且a6, 263an0-2,2os05u0-号六s020-号 3 (2),a=(2cos6,1),b=(2,3sin0)且a⊥b,.4cos8+3sin6=0, ,若c0s0=0,则sin0=±1，这与4cos0+3sin0=0矛盾. tan0+tan 4 +1 cws00.小ggm8青ma-到} 4 3 1 （”4 4 7 1-tane.tan x1 4 1-3 16.()行23【详解】(1)因为2 bcosA=-cc0sA+ac0sC,所以由正弦定理得， 2sin B cos A=sin Ccos A+sin AcosC,2sin B cosA=sin(A+C)=sin(-B)=sin B, 因为snB≠0，所以osA=行因为4∈Q),所以4=子 (2)因为a=V7,b+c=4,A=号 所以由余弦定理得d=b+c2-2cosA=+e2c-2co写，所以7-16-次，解得bc-3 答案第3页，共4页 17.【详解】(1)连接AC,由已知条件，点E,F分别为棱BC,AB的中点，故有EF/1AC, 又EF本平面AACC,ACC平面AACC,所以直线EF/平面AACC; (2)由(1)可知EF/1AC,BCIB,C, 故∠BCA或其补角为异面直线EF与B,C,所成的角. 因为AB⊥AC,AB=4,AC=4V3,所以BC=√AB2+AC2=8, 根据直三棱柱性质可知，AA上AB,AA上AC,所以BA=√AA2+AB=4V万， C4=VAAP+AC=12,在△4CB中，由余弦定理得coS∠BC4 g+12-4万1， 2×8×12 2 又∠BCA∈(Q,,故∠BCA=于，即异面直线BF与马C所成的角的大小为 84-@9【10由正弦充题e16化得：6c女 3； 。-1、c 6 、由余弦定理得：osA=ca=2,又0<A<π，所以A=兀 3 (2)(i)由(1)知，4= 3 又a=3,b=25, 由正弦定理可得：、a,=b一5nB-bsnA-V6 sin A sin B a 3 （)因为b<a,所以cs=5r万-5，所以m2B=2 sin co=25,cos28=2cosB-1-} 3 3 3 所以cw(2B-4-oe2B}os28cs子+m28n5有3255-1+26 3=-3232 6 19.【详解】(1)因为i=(sinC,sin B cosA),i=(2c,b),且m/元，所以bsinC=2 csin BcosA, 由正弦定理得sin B sinC=2 sinC sin Bcos A,因为在△ABC中B∈(0，π)，C∈(0，)，所以sinB≠0，sinC≠0， 所以csA分，又Ae(0,,所以A=于 2 (2)因为D是BC的中点，所以A0=B+4C), AD°-1(aB+4c+2ABAC, 因为AD=2,所以16=b2+c2+2bCc0s∠BAC,化简得b2+c2=16-bc≥2bc, 所以c≤号，当且仅当b=c时，等号成立。 所以△ABC的面积S=bcsn4s×16xY5_4W5,即6ABC面积的最大值为45 Γ2323 3 答案第4页，共4页