第七章 概念、命题与证明（单元自测·提升卷）数学新教材北京版七年级下册

2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）在今年的米兰冬奥会上，我国运动健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．下列各组由运动项目图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的性质：平移不改变图形的形状、大小和方向，只改变图形的位置，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、图形的形状、大小和方向都没有改变，符合平移的性质，故本选项符合题意； B、图形方向发生了改变，故本选项不符合题意； C、图形方向发生了改变，故本选项不符合题意； D、图形的大小发生了改变，故本选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，下列能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，，故本选项不符合题意； 、由得不到，故本选项不符合题意； 、，，故本选项不符合题意； 、，，故本选项符合题意； 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）下列四个命题中，假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 【答案】D 【分析】本题考查了命题真假的判断，涉及到了对顶角的性质、平行线的基本事实与性质等知识，逐一判断各选项即可得到答案． 【详解】选项A，满足对顶角的性质，因此它是真命题，故选项A不符合题意； 选项B， 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，这是平行线的基本事实，因此它是真命题，故选项B不符合题意； 选项C ，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行，是平行线的基本性质，因此它是真命题，故选项C 不符合题意； 选项D ，只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，该命题缺少“两直线平行”的前提条件，所以它是假命题，故选项D符合题意． 4．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，直线，分别交，于点，，于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据垂直可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：A． 5．（24-25七年级下·北京·月考）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，，当为（     ）时，与平行． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质定理和判定定理是解题关键．根据平行线的性质可知，根据同旁内角互补，两直线平行可知当时，与平行，求出此时的度数即可解答． 【详解】解：由题意可知， ∴， ∵当时，与平行， ∴， ∴， ∴当为时，与平行． 故选C． 6．（24-25七年级下·北京·期中）滑雪运动受到越来越多年轻人的喜爱，如果想在雪面上自由驰骋，需要掌握基本的滑雪技巧，比如，上身需要绷直并略微前倾，使之与小腿保持平行．若小腿与滑板的夹角，视线所在直线与滑板所在直线平行，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：延长交于点M， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 7．（24-25七年级下·北京·月考）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：；；；．其中正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线判定与性质，解题的关键是熟记平行线的判定条件与性质并灵活运用． 由题意可得，利用内错角相等，两直线平行即可判定；由题意可得，利用邻补角即可求；过点作，可得，从而得，可求得再利用平行线的性质即可求得；利用角的计算可求得，，即可得出答案． 【详解】解：由题意， ∴， ∴，故正确； 由题意得， ∴，故正确； 过点作，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故正确， 综上所述，正确， 故选：． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系．则下列角度中不可能是度数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当点在上时，当点在延长线上时，两种情况中又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在线段上时，过点作， ∵由平移得到， ， ∵， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在线段延长线上时，过点作， 同理可得， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为或或，不可以是． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026九年级下·北京西城·专题练习）能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 【答案】（答案不唯一） 【分析】由题意列出不等式求解即可得到答案． 【详解】解：“若，则”是假命题，则， 即， ， 当时，只要即可， 解得， 只要取中任意一个数即可， 则（答案不唯一）． 10．（24-25七年级下·北京海淀·期末）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 11．（24-25七年级下·北京·月考）如图，，则之间的数量关系为______． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质；延长至，得到，，从而可得，即可求解；掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，延长至， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于点，点为焦点，若，，则________． 【答案】/65度 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，过点P作，由题意得，，C、O、D三点共线，则，由平行线的性质求出的度数，进而求出的度数，进而由对顶角相等可得答案． 【详解】解：如图所示，过点P作， 由题意得，，C、O、D三点共线， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 【答案】13 【分析】根据平移的性质得到，，，，则可证明，再利用梯形面积公式求解即可． 【详解】解：由平移的性质得，，，， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 14．（25-26九年级上·北京·月考）某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 可参与服务时间段1 可参与服务时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为________小时，最长为________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完） 【答案】 5 14 【分析】本题考查的是逻辑推理，理解题意，找到突破口，逐步分析是解本题的关键．注意理解清楚，每人至少参加一个时间段的值守，同一时间值守的人不能超过两个，再结合表格分析，可以求出最短和最长时间． 【详解】解：时间最短，即每人只参加一次值守，且选择时间最短的时间段，且同一时间值守的人不能超过两个， 甲：均可， 乙：， 丙：， 丁：， 观察时间段，发现没有同一时间值守超过两个人的情况，符合题意， 最短时间； 时间最长，即每人尽量都参加两次值守，且同一时间值守的人不能超过两个， 查看表格，时间段1，，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的乙，， 时间段2，，同时有三个人值守，不符合题意，去掉时间段最短的丁，， 最长时间=所有时间之和． 故答案为：5，14． 15．（24-25七年级下·北京·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向点．已知，，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，则______． 【答案】/58度 【分析】本题考查平行线的性质、角平分线的性质及垂直的性质．解题关键是熟练掌握它们的性质． 利用角平分线性质求出度数，依据平行线和垂直关系推出，得到， 再由角平分线性质确定度数．最后根据，用减去得出度数． 【详解】解：的平分线垂直于，的平分线垂直于， ∴，，， ， ， ， ∵平分， ∴， 平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为： 16．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 【答案】或/或 【分析】分点在直线左侧和点在直线右侧两种情况，利用平行线的性质及角的和差关系分别列方程求解即可． 【详解】解：如图，当点在直线左侧时，设与交于点，运动时间为，过点作，， ∵绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转， ∴，， ∵，， ∴，，，， ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴， 解得：； 如图，当点在直线右侧时，过点作，过点作， ∵， ∴， ∴，，， ∴，， ∵绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：； 综上所述：射线旋转了或秒． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，已知，，，试说明直线与垂直（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）． 理由：，（已知） ________，（________） ________．（________） 又，（已知） ________．（等量代换） ________，（________） ．（________） ，（已知） ， ， ． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，先证明得到，则可证明得到，则可得到，再由垂线的定义可推出，则． 【详解】解：理由：，（已知） ，（同位角相等，两直线平行） ．（两直线平行，内错角相等） 又，（已知） ．（等量代换） ，（同旁内角互补，两直线平行） ．（两直线平行，同位角相等） ，（已知） ， ， ． 18．（5分）（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查对顶角相等，互余，互补的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求解； （2）根据垂直得到，由即可求解； （3）根据题意得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴； （3）解：如图所示，延长到点， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分． 19．（6分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，理由为：垂线段最短 【分析】本题考查了作图画平行线、画垂线、垂线段最短、平行线的性质 （1）过点画，交于点即可； （2）过点画，垂足为F；根据垂线段最短即可判断与的大小． 【详解】（1）解：如图，，交于点E； （2）解：如图， 与的大小为：． 理由为：垂线段最短． 20．（6分）（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线相交于点，． (1)若，判断与位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（）由垂直得，即得，进而得，即得到，即可求证； （）由垂直得，即得，进而可得，得到，再根据角的和差即可求解； 本题考查了垂直的定义，角的和差，掌握垂直的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 即， ； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴， ， ． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置． (1)先将向右平移4个单位，然后再向下平移3个单位得，请在网格中直接作出； (2)若是边的中点，画出平移后的对应点，连接，则这两条线段的位置和数量关系是____________． (3)求的面积． 【答案】(1)见详解 (2)见详解， (3)4 【分析】本题考查了平移作图，两条线段的数量和位置关系，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合网格特征，得出，即可作答． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：连接如图所示： 则． （3）解：的面积 22．（8分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线，相交于点，，平分. (1)若，求的度数； (2)若，求的度数. 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算. （1）根据对顶角和邻补角可求出的度数，根据角平分线的定义可得即可求解； （2）由得到，根据，可求出的度数，即可求出的度数，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． 23．（8分）（24-25七年级下·北京·月考）【课本呈现】 下图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动的部分内容： 活动1    你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． 【观察发现】 （1）图（2）中操作得到的折痕与直线a的位置关系是 ；以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是 （填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【联系拓展】 （2）将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小亮经过思考，想到过点E作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答． 【迁移探究】 （3）将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕，若，，当时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）垂直；①；（2）；（3）． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质即可判断折痕与直线a和直线b的位置关系是垂直，进而得到答案； （2）过点E作，交于点F，根据两直线平行，同位角相等得到，，结合，即可得到答案； （3）根据折叠的性质得到，，然后再根据平行线的性质得到，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）根据折叠的性质可知，图2的折痕与直线a的位置关系是垂直；图3的折痕与直线b的位置关系是垂直，所以判定图（4）中直线的依据的是同位角相等，两直线平行，故①的判定正确； 故答案为：垂直；①． （2）过点E作，交于点F，如图所示， 由（1）可知，， ， ， ，， ， ． （3）根据折叠的性质可知，， ，， ，， ， ， ， ，即． 24．（8分）（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题】 （1）如图1，，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （2）将图1变为图2、图3（其中不变），请你直接写出相应的结论： 图2：________；图3：________； 【应用】 （3）如图4，运用上面的结论解决问题：，BE平分，DE平分，，求的度数． 【答案】（1）（2）；；（3） 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键． （1）过点作，根据得出，再由平行线的性质即可得出结论； （2）图2：过点作，故可得出，根据平行线的性质即可得出结论；图中，分别过点、、作，，，则，由此可得出结论； （3）过点，分别作，．根据，可知，；再根据，，得出，，由平分，平分可得出结论． 【详解】解：（1）． 理由：过点作， ， ， ，， ． （2）图：过点作， ， ， ，， ； 图：分别过点、、作，，， 则， 同（）可得，①，②， ①②得，． 故答案为：；． （3）如图所示，过点，分别作，． ，， ，； 又， ，， ，， ． 平分，平分， ，， ∴ 25．（10分）（24-25七年级下·北京·期末）如图，点M是线段上一动点，点C是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段，连接，． (1)依题意补全图1，并证明：； (2)过点C作直线，在直线上取点N，使． ①如图2，当点N在直线上方时，用等式表示与的数量关系，并证明； ②当点N在直线下方时，直接用等式表示出与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可；作，根据平移的性质和平行线的判定和性质求解即可； （2）①由平移的性质得，，推出，，进而得到，设，则，，，然后根据直线，可知，求得，据此求解即可得到；②同①理即可得到． 【详解】（1）解：补全图如图所示， 作， ∴， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①，证明如下， ∵将线段沿平移得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵，， ∴； ②， 如图， ． 设， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∵直线， ∴， ∴，即． 26．（10分）（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题： (1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明． (2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． (3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或或或． 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，探究角的关系等知识． （1）过点B，作交于点N．由平行线的性质得出，，，即可得出，等量代换可得出，即． （2）过点E作，由平行线的性质得出，，，由角平分线的定义得出，，则可得出，根据平角的定义得出，等量代换可得出，即可求出． （3）分4种情况，画出图形，利用平行线的性质得出角的关系即可． 【详解】（1）证明：过点B，作交于点N． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即． （2）解：过点E作， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵平分，平分 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． （3）解：分下列4种情况： 情况1 ：如图1， 根据题意可知：， ∴，，， ∴ 即 情况2：如图2， 根据题意可知：， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 情况3：如图3， 根据题意可知：， ∴，，， ∴， ， ∴ 情况4：如图4， 根据题意可知：， ∴，，， ∵，， ∴ 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A C C C D 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（答案不唯一） 10．内错角相等，两直线平行 11． 12．/65度 13．13 14．5 14 15．/58度 16．或/或 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分） 【答案】；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，垂线的定义，先证明得到，则可证明得到，则可得到，再由垂线的定义可推出，则． 【详解】解：理由：，（已知） ，（同位角相等，两直线平行）·········································1分 ．（两直线平行，内错角相等）·········································2分 又，（已知） ．（等量代换）·········································3分 ，（同旁内角互补，两直线平行）·········································4分 ．（两直线平行，同位角相等）·········································5分 ，（已知） ， ， ． 18．（5分） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查对顶角相等，互余，互补的计算，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）根据对顶角相等得到，根据角平分线的定义即可求解； （2）根据垂直得到，由即可求解； （3）根据题意得到，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴；·········································1分 （2）解：∵， ∴， 由（1）得，， ∴；·········································2分 （3）解：如图所示，延长到点， 由（2）得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 平分．·········································5分 19．（6分） 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，理由为：垂线段最短 【分析】本题考查了作图画平行线、画垂线、垂线段最短、平行线的性质 （1）过点画，交于点即可； （2）过点画，垂足为F；根据垂线段最短即可判断与的大小． 【详解】（1）解：如图，，交于点E； ·········································3分 （2）解：如图， 与的大小为：． 理由为：垂线段最短．·········································6分 20．（6分） 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（）由垂直得，即得，进而得，即得到，即可求证； （）由垂直得，即得，进而可得，得到，再根据角的和差即可求解； 本题考查了垂直的定义，角的和差，掌握垂直的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， 即， ；·········································3分 （2）解：， ， ， ， ∴， ∴， ， ．·········································6分 21．（6分） 【答案】(1)见详解 (2)见详解， (3)4 【分析】本题考查了平移作图，两条线段的数量和位置关系，利用网格求三角形的面积，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据平移的性质分别找出点，再依次连接，即可作答． （2）结合网格特征，得出，即可作答． （3）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：如图所示： ·········································2分 （2）解：连接如图所示： 则．·········································4分 （3）解：的面积 ·········································6分 22．（8分） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算. （1）根据对顶角和邻补角可求出的度数，根据角平分线的定义可得即可求解； （2）由得到，根据，可求出的度数，即可求出的度数，再利用角平分线的定义即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴．·········································3分 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴．·········································8分 23．（8分） 【答案】（1）垂直；①；（2）；（3）． 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定与性质，几何图形中角度的计算，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据折叠的性质即可判断折痕与直线a和直线b的位置关系是垂直，进而得到答案； （2）过点E作，交于点F，根据两直线平行，同位角相等得到，，结合，即可得到答案； （3）根据折叠的性质得到，，然后再根据平行线的性质得到，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1）根据折叠的性质可知，图2的折痕与直线a的位置关系是垂直；图3的折痕与直线b的位置关系是垂直，所以判定图（4）中直线的依据的是同位角相等，两直线平行，故①的判定正确； 故答案为：垂直；①．·········································2分 （2）过点E作，交于点F，如图所示， 由（1）可知，， ， ， ，， ， ．·········································5分 （3）根据折叠的性质可知，， ，， ，， ， ， ， ，即．·········································8分 24．（8分） 【答案】（1）（2）；；（3） 【分析】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出平行线是解答此题的关键． （1）过点作，根据得出，再由平行线的性质即可得出结论； （2）图2：过点作，故可得出，根据平行线的性质即可得出结论；图中，分别过点、、作，，，则，由此可得出结论； （3）过点，分别作，．根据，可知，；再根据，，得出，，由平分，平分可得出结论． 【详解】解：（1）．·········································1分 理由：过点作， ， ， ，， ．·········································3分 （2）图：过点作， ， ， ，， ；·········································4分 图：分别过点、、作，，， 则， 同（）可得，①，②， ①②得，． 故答案为：；．·········································5分 （3）如图所示，过点，分别作，． ，， ，； 又， ，， ，， ． 平分，平分， ，， ∴·········································8分 25．（10分） 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，平移的性质，熟练掌握以上性质是解题的关键． （1）根据题意补全图形即可；作，根据平移的性质和平行线的判定和性质求解即可； （2）①由平移的性质得，，推出，，进而得到，设，则，，，然后根据直线，可知，求得，据此求解即可得到；②同①理即可得到． 【详解】（1）解：补全图如图所示， 作， ∴， ∵将线段沿平移得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴；·········································3分 （2）解：①，证明如下， ∵将线段沿平移得到线段， ∴，， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴，， ∴， ∵直线， ∴， ∴， ∵，， ∴；·········································6分 ②， 如图， ． 设， ∵， ∴， ∴， 由①可知，， ∴， ∵直线， ∴， ∴，即．·································10分 26．（10分） 【答案】(1)详见解析 (2) (3)或或或． 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，探究角的关系等知识． （1）过点B，作交于点N．由平行线的性质得出，，，即可得出，等量代换可得出，即． （2）过点E作，由平行线的性质得出，，，由角平分线的定义得出，，则可得出，根据平角的定义得出，等量代换可得出，即可求出． （3）分4种情况，画出图形，利用平行线的性质得出角的关系即可． 【详解】（1）证明：过点B，作交于点N． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 即．·········································3分 （2）解：过点E作， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵平分，平分 ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即．·········································6分 （3）解：分下列4种情况： 情况1 ：如图1， 根据题意可知：， ∴，，， ∴ 即·········································7分 情况2：如图2， 根据题意可知：， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ·········································8分 情况3：如图3， 根据题意可知：， ∴，，， ∴， ， ∴·········································9分 情况4：如图4， 根据题意可知：， ∴，，， ∵，， ∴ ·········································10分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）在今年的米兰冬奥会上，我国运动健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．下列各组由运动项目图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，下列能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）下列四个命题中，假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 4．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，直线，分别交，于点，，于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·月考）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，，当为（     ）时，与平行． A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京·期中）滑雪运动受到越来越多年轻人的喜爱，如果想在雪面上自由驰骋，需要掌握基本的滑雪技巧，比如，上身需要绷直并略微前倾，使之与小腿保持平行．若小腿与滑板的夹角，视线所在直线与滑板所在直线平行，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（24-25七年级下·北京·月考）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：；；；．其中正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系．则下列角度中不可能是度数的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026九年级下·北京西城·专题练习）能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 10．（24-25七年级下·北京海淀·期末）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 11．（24-25七年级下·北京·月考）如图，，则之间的数量关系为______． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于点，点为焦点，若，，则________． 13．（24-25七年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 14．（25-26九年级上·北京·月考）某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 可参与服务时间段1 可参与服务时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为________小时，最长为________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完） 15．（24-25七年级下·北京·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向点．已知，，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，则______． 16．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，已知，，，试说明直线与垂直（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）． 理由：，（已知） ________，（________） ________．（________） 又，（已知） ________．（等量代换） ________，（________） ．（________） ，（已知） ， ， ． 18．（5分）（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 19．（6分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 20．（6分）（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线相交于点，． (1)若，判断与位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置． (1)先将向右平移4个单位，然后再向下平移3个单位得，请在网格中直接作出； (2)若是边的中点，画出平移后的对应点，连接，则这两条线段的位置和数量关系是____________． (3)求的面积． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线，相交于点，，平分. (1)若，求的度数； (2)若，求的度数. 23．（8分）（24-25七年级下·北京·月考）【课本呈现】 下图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动的部分内容： 活动1    你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． 【观察发现】 （1）图（2）中操作得到的折痕与直线a的位置关系是 ；以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是 （填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【联系拓展】 （2）将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小亮经过思考，想到过点E作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答． 【迁移探究】 （3）将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕，若，，当时，直接写出与之间的数量关系． 24．（8分）（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题】 （1）如图1，，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （2）将图1变为图2、图3（其中不变），请你直接写出相应的结论： 图2：________；图3：________； 【应用】 （3）如图4，运用上面的结论解决问题：，BE平分，DE平分，，求的度数． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·期末）如图，点M是线段上一动点，点C是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段，连接，． (1)依题意补全图1，并证明：； (2)过点C作直线，在直线上取点N，使． ①如图2，当点N在直线上方时，用等式表示与的数量关系，并证明； ②当点N在直线下方时，直接用等式表示出与的数量关系． 26．（10分）（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题： (1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明． (2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． (3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下册数学单元自测 第七章 概念、命题与证明·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1．（25-26七年级下·北京·期中）在今年的米兰冬奥会上，我国运动健儿顽强拼搏、追求卓越，取得了优异的成绩，为国争光．下列各组由运动项目图标组成的图形中，能将其中一个图形只经过平移得到另一个图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·北京·期中）如图，下列能判断的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京海淀·期中）下列四个命题中，假命题的是（    ） A．对顶角相等 B．过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 C．如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也平行 D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 4．（24-25七年级下·北京西城·期末）如图，直线，分别交，于点，，于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·北京·月考）本市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务，图①是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图②是其示意图，其中都与地面平行，，，当为（     ）时，与平行． A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·北京·期中）滑雪运动受到越来越多年轻人的喜爱，如果想在雪面上自由驰骋，需要掌握基本的滑雪技巧，比如，上身需要绷直并略微前倾，使之与小腿保持平行．若小腿与滑板的夹角，视线所在直线与滑板所在直线平行，则的度数是（    ） A． B． C． D．无法确定 7．（24-25七年级下·北京·月考）如图，，将一副直角三角板作如下摆放，，．下列结论：；；；．其中正确的是（   ）． A． B． C． D． 8．（25-26七年级下·北京·期中）如图，锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点，的对应点分别是点），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在3倍关系．则下列角度中不可能是度数的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 9．（2026九年级下·北京西城·专题练习）能说明命题“若，则”是假命题的实数的一个值为___． 10．（24-25七年级下·北京海淀·期末）剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 11．（24-25七年级下·北京·月考）如图，，则之间的数量关系为______． 12．（24-25八年级上·河南郑州·期末）如图，一束平行主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线为，一束光线经过光心，其折射光线为，折射光线与交于点，点为焦点，若，，则________． 13．（24-25七年级下·北京·月考）如图，在四边形中，，，将四边形沿方向平移得到四边形，与相交于点E，若，，则阴影部分的面积为_____． 14．（25-26九年级上·北京·月考）某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示： 志愿者 可参与服务时间段1 可参与服务时间段2 甲 乙 丙 丁 已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为________小时，最长为________小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完） 15．（24-25七年级下·北京·期中）一张台球桌的桌面如图所示，一个球从桌面上的点A滚向桌边，碰着上的点后便反弹而滚向桌边，碰着上的点便反弹而滚向点．已知，，，，都是直线，且的平分线垂直于，的平分线垂直于，则______． 16．（25-26七年级下·四川成都·月考）如图，，点在直线左侧，，，射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，同时射线从射线出发，绕点以每秒的速度按顺时针方向旋转，当射线旋转时两条射线都停止旋转．射线与射线交于点，若，则射线旋转了______秒． 三、解答题（共10小题，共72分） 17．（5分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，已知，，，试说明直线与垂直（请在下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）． 理由：，（已知） ________，（________） ________．（________） 又，（已知） ________．（等量代换） ________，（________） ．（________） ，（已知） ， ， ． 18．（5分）（24-25七年级下·黑龙江佳木斯·期中）如图，已知直线 相交于点平分． (1)求 的度数； (2)求 的度数； (3)试说明 平分． 19．（6分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 20．（6分）（24-25七年级下·湖北孝感·期中）如图，直线相交于点，． (1)若，判断与位置关系，并说明理由； (2)若，求的度数． 21．（6分）（24-25七年级下·北京·期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点（顶点是网格线的交点的三角形）在如图所示的位置． (1)先将向右平移4个单位，然后再向下平移3个单位得，请在网格中直接作出； (2)若是边的中点，画出平移后的对应点，连接，则这两条线段的位置和数量关系是____________． (3)求的面积． 22．（8分）（24-25七年级下·北京·月考）如图，直线，相交于点，，平分. (1)若，求的度数； (2)若，求的度数. 23．（8分）（24-25七年级下·北京·月考）【课本呈现】 下图是人教版七年级下册数学课本32页数学活动的部分内容： 活动1    你有多少种画平行线的方法 学习了平行线后，李明、刘伟、王芳三位同学分别想出了过直线外一点画这条直线的平行线的新方法． 王芳是通过折纸画的，方法如图所示． 【观察发现】 （1）图（2）中操作得到的折痕与直线a的位置关系是 ；以下三个结论，能作为判定图（4）中直线的依据的是 （填序号即可）． ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 【联系拓展】 （2）将正方形纸片按以上图方式折叠，标记字母如图，若，求的度数．小亮经过思考，想到过点E作．请你根据小亮的想法作出辅助线，并解答． 【迁移探究】 （3）将长方形纸带按如图折叠，和分别为折痕，若，，当时，直接写出与之间的数量关系． 24．（8分）（24-25七年级下·陕西安康·期中）【问题】 （1）如图1，，试探究、、三者之间的数量关系，并说明理由； 【拓展】 （2）将图1变为图2、图3（其中不变），请你直接写出相应的结论： 图2：________；图3：________； 【应用】 （3）如图4，运用上面的结论解决问题：，BE平分，DE平分，，求的度数． 25．（10分）（24-25七年级下·北京·期末）如图，点M是线段上一动点，点C是线段外一点，连接，．将线段沿平移得到线段，连接，． (1)依题意补全图1，并证明：； (2)过点C作直线，在直线上取点N，使． ①如图2，当点N在直线上方时，用等式表示与的数量关系，并证明； ②当点N在直线下方时，直接用等式表示出与的数量关系． 26．（10分）（24-25七年级下·北京通州·期末）如图1， ，点E是直线和直线之间内一点，连结，，求证：． 沐沐同学的证明思路是：如图2，过点E作，这样把分成与，然后分别证明，，因此可以证明． 解答下列问题： (1)请选择与沐沐不同的解题思路，证明． (2)如图3，已知，平分，平分，如果，求的度数． (3)如图4， ，点A，B是直线上两个定点，点C、D是直线上两个定点，点M、N分别是直线上动点，连结，，，直接写出，，，四个角之间所有的等量关系． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $