专题23.4 实际问题与一次函数（同步讲义）知识梳理+六大考点讲练+真题演练+分层训练 共40题-2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优讲义

本讲义聚焦“实际问题与一次函数”核心知识点，系统梳理一次函数与一元一次方程、不等式、二元一次方程组的“数”“形”关系，构建从基础概念到实际应用（分配方案、最大利润、行程问题等）的知识链，为学生提供递进式学习支架。 资料以“知识梳理-考点讲练-中考真题-分层训练”为框架，通过消费卡选择、进货方案优化等真实情境培养数学眼光，借助梯度计价问题的分类讨论发展数学思维，依托行程问题函数建模提升数学语言表达能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生分层巩固、查漏补缺。

2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.4 实际问题与一次函数 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 一次函数中的实际应用 1 知识点二 待定系数法求一次函数解析式 2 知识点三 一次函数与面积问题 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 3 考点讲练二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 7 考点讲练三 行程问题（一次函数的实际应用） 11 考点讲练四 梯度计价问题 16 考点讲练五 其他问题（一次函数的实际应用） 21 考点讲练六 一次函数与几何综合 26 中考真题 实战演练 32 难度分层 闯关训练 39 基础夯实 能力提升 39 创新拓展 拔尖冲刺 46 知识点一 一次函数中的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 应用题型一 行程类问题 【解题技巧】 1）纵坐标表示行驶路程 1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 2）纵坐标表示两者之间的距离 1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和； 3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 【解题步骤】 1.将需求最值对象表示成一次函数； 2.利用题中条件求出自变量的取值范围； 3.利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最优方案。 知识点二 待定系数法求一次函数解析式 解题技巧：1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 3) 点+平行:已知直线与直线平行，则两个函数的待定系数相同，即。求直线的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出的值即可。 4)点+垂直:已知直线与直线，则两个函数的待定系数乘积为－1，即。求直线的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出的值即可。 知识点三 一次函数与面积问题 应用题型二 一次函数中的三角形面积问题 解题技巧：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△OAB为直角三角形。三角形的面积=OA×OB。利用题干告知的面积和A（B）点的坐标，可求出OB（OA）的长度，从而求出B（A）点的坐标。转化为已知两点求解析式的问题，利用待定系数法解决。 注：在利用面积求出直角三角形的边长，在将边长转化为点的坐标时，若点在坐标轴的负半轴上，则点的坐标需添加负号。 考点讲练一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【答案】D 【思路引导】先根据图象的交点和不同区间内两条直线的上下位置关系，直接判断不同消费次数下甲、乙两种消费卡的费用高低，对于无法直接从图象判断具体费用的选项，通过待定系数法求出乙消费卡对应的一次函数解析式，代入消费次数计算出具体费用后再进行正误判断． 【规范解答】解：由图象可知，甲、乙两条直线在处相交，交点纵坐标为；在时，甲的直线在乙的下方；在时，乙的直线在甲的下方． 对于选项A，当时，甲、乙两直线交于同一点，说明此时两种消费卡所需费用一样，选项A正确； 对于选项B，当时，此时甲的直线位置低于乙的直线，说明甲种消费卡的费用更低，选择甲种消费卡划算，选项B正确； 对于选项C，当时，此时乙的直线位置低于甲的直线，说明乙种消费卡的费用更低，选择乙种消费卡划算，选项C正确； 对于选项D，设乙消费卡的费用函数为，由图象可知该函数过点和， 将，代入得，解得， ． 当时，，不是元，选项D错误； 综上，错误的说法是D． 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【答案】(1)， 、． (2)当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【规范解答】（1）利润等于总售价减去总进价，总售价等于． 方案A：每本进价元，总进价等于， ． 方案B：分两种情况讨论： 1、当时，总进价为， ． 2、当，前100本进价10元，超过部分进价6元， 总进价， ． 综上，方案B的函数关系式： 、． （2）已知，分两段分析： 当时： ，显然，此时方案A利润更大． 当时： 比较和： 令，解得； 令，解得； 即时，； 时，． 综上所述，当进货量时，方案A合适；当进货量时，方案A和方案B利润相同，任选其一即可． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【答案】(1)A为600元，B为1000元． (2)应购买A种型号帐篷5顶，B种型号帐篷15顶，购买帐篷的总费用最低为18000元． 【思路引导】（1）设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元．根据若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元；若购买种型号帐篷顶和种型号帐篷顶，则需元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元．先用表示出，然后由购买种型号帐篷数量不超过购买种型号帐篷数量的，可求出的取值范围，最后根据一次函数性质可求出总费用的最小值． 【规范解答】（1）解：设每顶种型号帐篷的价格为元，每顶种型号帐篷的价格为元． 根据题意列方程组为． 解得 答：每顶A种型号帐篷的价格为600元，每顶B种型号帐篷的价格为1000元． （2）解：设购买种型号帐篷顶，则购买种型号帐篷顶，总费用为元． 由题意，得， 其中，解得， 又∵两种型号的帐篷均需购买， ∴ 解得， 综上，的取值范围是且为整数． ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取最小值，即当购买种型号帐篷顶时，总费用最低， 总费用为（元）． ∴， 故应购买种型号帐篷顶，种型号帐篷顶，购买帐篷的总费用最低为元． 【考点剖析】本题考查二元一次方程组和一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程组和函数关系式． 【变式训练3】（25-26八年级上·安徽黄山·月考）“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 【答案】(1)每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元 (2)购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元 【思路引导】本题考查列二元一次方程组解应用题、利用一次函数求最值： （1）设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元，根据题中等量关系列出方程组并求解即可； （2）设购买臭豆腐份，购买糖油粑粑份，总费用为元，用m表示出w，根据一次函数的增减性及m的范围即可求出最值． 【规范解答】（1）解：设每份臭豆腐的售价为元，糖油粑粑的售价为元， 根据题意，得， ∴． 故每份臭豆腐的售价为25元，糖油粑粑的售价为10元． （2）解：设购买臭豆腐份，则购买糖油粑粑份，总费用为元， 根据题意得：． ∵购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的， ∴， ∴． ∵， ∴随的增大而增大． ∴当时，最小，最小值为1760，此时，． 故购买臭豆腐64份，则购买糖油粑粑16份，总费用最低为1760元． 考点讲练二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）某电脑公司经销A型电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台下降1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年仅8万元． (1)今年三月份A型电脑每台为多少元？ (2)为增加收入，该电脑公司决定另外经销B型电脑，其售价为3600元．已知A型电脑进价为3500元/台，B型电脑进价为3000元/台．公司预计用不高于5万元且不低于4.8万元的资金进这两种电脑共15台，那么该公司有多少种进货方案？哪种方案的利润最高？最高利润是多少？ 【答案】(1)三月份A型电脑每台售价为4000元 (2)有5种进货方案，当进A型电脑6台，进B型电脑9台时利润最高，最高利润是8400元 【思路引导】（1）设今年三月份A型电脑每台售价为a元，根据卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年仅8万元，列出方程进行求解即可； （2）设购进A型电脑x台，根据公司预计用不高于5万元且不低于4.8万元的资金进这两种电脑共15台，列出不等式组，求出的范围，设利润为y元，列出一次函数关系式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【规范解答】（1）解：设今年三月份A型电脑每台售价为a元， 列方程得， 解得． 经检验，是原方程的解，且满足题意， 答：今年三月份A型电脑每台为4000元． （2）解：设购进A型电脑x台， 则，解得， ∵为整数， ∴； 故有5种进货方案． 设利润为y元，则， 即． ∴随着的增大而减小， ∴当时，y最大为8400． 故当进A型电脑6台，进B型电脑9台时利润最高，最高利润是8400元． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进，两种类型的图书共套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示： 图书类型 进价/（元/套） 售价/（元/套） 设购进型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若购进两种图书的总费用不超过元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多?并求出最大利润． 【答案】(1) (2)当取最小值时，利润最大，此时购进型图书套，型图书套，最大利润为元 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用． (1)设购进型图书套，则购进型图书套，可得型图书利润为元，型图书利润为元，总利润为； (2)根据购进两种图书的总费用不超过元，可得不等式，解不等式可得：，根据一次函数的性质可知当时，利润最大． 【规范解答】（1）解：设购进型图书套，则购进型图书套， 则型图书利润为元，型图书利润为元， 总利润为； （2）解：由题意得：， 解得： ， ． 一次函数中，， 当时，利润最大， 购进型图书套，型图书50套，最大利润为元． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）去年中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短96小时内，两款六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．受此消息影响，飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A、B两种型号的飞机模型，表格是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (1)求A、B两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备再采购这两种型号的飞机模型共50件且A型号飞机不多于35件，应该怎样采购玩具店可获利最多？此时利润为多少？ 【答案】(1)A种型号的飞机模型销售单价为120元，B种型号的飞机模型销售单价为95元 (2)采购A型号35件，B型号15件时获利最多，此时利润为1925元 【思路引导】本题主要考查了列二元一次方程组解决销售问题，求最值，解题的关键是找准等量关系． （1）设A种型号的飞机模型销售单价为元，B种型号的飞机模型销售单价为元，根据销售方式列出方程组求解即可； （2）购买A型号飞机件，则购买B种型号的飞机为件，且，设利润为，根据题意列出关系式，然后求出最值即可． 【规范解答】（1）解：设A种型号的飞机模型销售单价为元，B种型号的飞机模型销售单价为元，根据题意得， 解得， ∴A种型号的飞机模型销售单价为120元，B种型号的飞机模型销售单价为95元； （2）解：购买A型号飞机件，则购买B种型号的飞机为件，且，设利润为，根据题意得， ， ∴随的增大而增大， ∴当时，的值最大，最大值为， 此时，， ∴采购A型号35件，B型号15件时获利最多，此时利润为1925元． 【变式训练3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）地处祖国西南的云南省博物馆，不仅因为珍贵的藏品吸引了成千上万的游客“为一座馆奔赴一座城”，在文创方面也非常懂得 “拿捏”年轻人的心，截至目前已推出了涵盖冰箱贴、文具、首饰等多个品类的文创产品，当地旅游业的发展更是促进了文创产品的销售．昆明市某旅游纪念品店购进了一批A型冰箱贴和B型冰箱贴．已知购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同． (1)求每个A型冰箱贴和B型冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该旅游纪念品店决定购进A型冰箱贴和B型冰箱贴共100个，投入资金不超过1000元，并将A型冰箱贴的标价定为每个25元，A型冰箱贴打八折销售，B型冰箱贴售价定为每个15元，请问如何进货可以使该旅游纪念品店获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个A型冰箱贴的进价为12元，每个B型冰箱贴的进价为9元 (2)购进A型冰箱贴33个，B型冰箱贴67个，可获得最大利润，最大利润为666元 【思路引导】本题考查了二元一次方程组和一次函数的应用． （1）根据“购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同”列方程组求解； （2）先根据题意设购进A型冰箱贴a个，则购进B型冰箱贴个，列出一元一次不等式，求出a的取值范围，再求出利润的函数，根据一次函数的性质求解 【规范解答】（1）解：设每个A型冰箱贴的进价为x元，每个B型冰箱贴的进价为y元， 根据题意，得， 解得， 即每个A型冰箱贴的进价为12元，每个B型冰箱贴的进价为9元． （2）解：设购进A型冰箱贴a个，则购进B型冰箱贴个，利润为W元， 根据题意，得， ∴，且a为正整数， ∴， ∵， W随着a的增大而增大， 当时，W最大，，， 即该旅游纪念品店应购进A型冰箱贴33个，B型冰箱贴67个，可获得最大利润，最大利润为666元． 考点讲练三 行程问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）有一台电动车，出发秒以后，其行驶路程（米）是行驶时间（秒）的一次函数，关于的函数图像如图所示． (1)求出发秒以后（包括秒）关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围 (2)如果要求这台电动车的最大行驶里程在千米以上，那么为其配备的电池充满一次电后，至少能行驶多长时间 【答案】(1) (2)秒 【思路引导】（1）设函数解析式为，把、代入解析式即可； （2）把代入（1）中解析式求出的值即可． 【规范解答】（1）解：设出发秒后的函数表达式为，过点，， ∴， 解得：， ∴出发秒以后（包括秒）关于的函数表达式为，自变量的取值范围为； （2）解：∵ 千米米， ∴当时，得∶ ， 解得：， ∴为其配备的电池充满一次电后，至少能行驶秒． 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【答案】(1)1200，80 (2)， (3) (4)分钟和7分钟 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，解题关键是通过函数图象分析出各个点对应的情况． （1）分析图象，出发前两人之间的距离即为两地之间的距离，为1200米，乙经过15分钟时到达地，据此即可求解； （2）由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，则可算出甲的速度，点表示此时甲到达地，则可求出，再经过3分钟乙到达地，此时两人相距米，利用甲乙的速度即可算出； （3）根据的坐标，设出的一般解析式，将的坐标代入即可求出； （4）设经过分钟两人相距60米，根据两人相遇前和相遇后都可相距60米分别列方程即可求出． 【规范解答】（1）解：由函数图象可知，最开始时甲乙两人之间的距离为1200米， 因为甲从地出发，乙从地出发，两人最开始时的距离就是两地之间的距离， 所以两地之间距离为1200米； 由图象可知乙经过15分时到达地， ∴乙的步行速度为（米／分）； 故答案为：1200，80； （2）解：由函数图象可知，经过分钟时两人相遇，点表示此时甲到达地，乙未到达地，15分钟时乙到达地，此时两人相距米， 设甲的步行速度为米／分， 则， 解得：（米／分）， ∴（分）， 米， 故答案为：12；900； （3）解：设线段的解析式为， 则有， 解得：， ∴线段的函数解析式是； （4）解：设经过分钟两人相距60米，两人相遇前和相遇后都可相距60米， 相遇前：， 解得：； 相遇后：， 解得：， 所以经过7分钟和分钟时两人相距60米． 【变式训练2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）小明家与奶奶家相距，他假期去看望奶奶，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小明到服务区，于是，小明与爸爸约定，他先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小明回家．小明到达服务区之后等了一会儿爸爸才到，然后小明就乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小明与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示， (1)求小明从奶奶家到服务区的过程中，与的函数关系式； (2)小明从奶奶家回到自己家共用了多长时间？ 【答案】(1) (2)小时 【思路引导】（）设与的函数关系式为，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出时的值，进而列式求出时间即可； 本题考查了一次函数的应用，正确求出一次函数解析式是解题的关键． 【规范解答】（1）解：设与的函数关系式为，把和代入得， ， 解得， ∴与的函数关系式为； （2）解：把代入中得，， ∴（小时）， 答：小明从奶奶家回到自己家共用了小时． 【变式训练3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 【答案】(1)点表示第14秒时乙组追上甲组； (2) (3)或 【思路引导】本题考查了从函数图象获取信息，一次函数和一元一次不等式组的应用； （1）根据题意结合函数图象，即可求解； （2）根据点，点，待定系数法求解析式，即可求解； （3）先求得的函数表达式为，根据两组之间的距离不超过时，分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前；②当甲到终点，乙还没有到终点前；建立不等式，并根据函数图象，即可求解． 【规范解答】（1）解：点表示第14秒时乙组追上甲组； 或“乙组到第14秒时已经走了24米”， 或“甲组第14秒时途中已经掉球2秒”． （2）解：设的函数表达式为 点，点 ，解得， 的函数表达式为． （3）解：设的函数表达式为 ∵， ，解得， 的函数表达式为， 分两种情况：①当甲，乙都还没有到终点前 ， 可解得 ②当甲到终点，乙还没有到终点前 将代入， 解得：， ， 综合①②得的取值范围为：或 考点讲练四 梯度计价问题 【典例分析】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为（元），印制数量为（份）． 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收元．此时与的函数关系如图所示． 乙印刷厂收费标准是：每份材料收元印制费，另收元制版费，此时与的关系如下表所示． 印制数量（份） 0 1000 2000 3000 4000 收费（元） 1500 2500 3500 4500 5500 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂关于的函数图象，并判断函数类型． (2)求乙印刷厂关于的函数表达式． (3)对于的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜． 【答案】(1)一次函数，图象见解析 (2) (3)当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜 【思路引导】题目主要考查一次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，理解题意，熟练掌握是解题关键． （1）根据题意画图判断即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）根据题意先得出甲厂的函数解析式，然后再分情况分析，结合图象即可求解． 【规范解答】（1）解：根据图象得：乙印刷厂关于的函数为一次函数； （2）根据图象观察乙印刷厂提出的费用方案，其函数图象过，． 设，分别将，代入得： ，解得， ∴； （3）根据题意，当在甲厂印刷时，份， ∴当时，； ∴， 解得：， ∴当时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜； 当时，； ∴， 解得：， 结合图象得：当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 综上可得：时，在甲厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在乙厂印制便宜；当时，在甲乙两厂印制费用一样；当时，在甲厂印制便宜． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·周测）五月，正是高山杜鹃盛开的季节，小明一家人来到五指峰赏花．售票处有一公告栏，请根据公告栏信息回答下列问题： 公告栏各位游客，您好！欢迎您来到五指峰景区，本景点近期特惠门票价格如下： ①一次性购买10张及以下门票，票价是240元/张； ②一次性购买10张以上门票，超过10张的部分，每张八折优惠． (1)若他们一家人有6人，则门票总费用是________元． (2)设某旅游团有x人来此游玩，求该旅游团门票总费用y（单位：元）关于人数x的函数表达式． 【答案】(1)1440 (2) 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，明确题中的数量关系是解答本题的关键． （1）人时，根据门票费用单价人数列式计算即可得解； （2）当时，门票费用=单价×人数；当时，门票费用张门票的费用超过张的门票费用，据此即可得到函数表达式． 【规范解答】（1）解：． （元） 门票总费用是元． （2）解：当时，； 当时，． 综上所述，旅游团门票费用关于人数的函数表达式为． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)该户居民12月用了11吨水． 【思路引导】本题主要考查了列函数关系式，求函数的函数值，正确列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）分和两种情况，根据所给收费标准列出对应的函数关系式即可； （2）可求出该户居民12月的用水量超过6吨，把代入中求出x的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：当时，， 当时，， 综上所述，； （2）解：∵， ∴该户居民12月的用水量超过6吨， 在中，当时，，解得， 答：该户居民 月用了11吨水． 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 【答案】(1)第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/ (2) (3)元 (4) 【思路引导】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，正确理解题意列出方程组和对应的函数关系式是解题的关键． （1）根据小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元建立方程组求解即可； （2）分，和三种情况，根据所给收费标准列式求解即可； （3）把代入中求出y的值即可得到答案； （4）可推出该户的用气量超过，把代入中求出x的值即可得到答案． 【规范解答】（1）解：由题意得， 解得． 答：第一档燃气费单价为3元/，第二档燃气费单价为元/； （2）解：由（1）可得，当时，， 当时，； 当时，, 综上所述，； （3）解：在中，当时，， 答：应交燃气费为元； （4）解：在中，当时，， ∵， ∴该户的用气量超过， 在中，当时，则 解得． 答：该户6月份的用气量为． 考点讲练五 其他问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）河南不仅有深厚的文化底蕴和秀美的山川，还有各种美食让游客流连忘返．“五一”期间，甲、乙两家饭店分别推出以下两种优惠方式． 甲店：按消费总额的九折付款； 乙店：消费总额不超过300元的按原价付款，超过300元的部分打六折． (1)用x（单位：元）表示消费总额，y（单位：元）表示应付款金额，分别就甲、乙两家饭店的优惠方式，求y关于x的函数表达式； (2)小明一家4口人，小亮一家7口人，若甲、乙两家饭店人均消费均为50元，求两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省多少钱？ 【答案】(1)，； (2)两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省45元． 【思路引导】本题考查的是列函数关系式，一次函数的应用． （1）根据甲、乙两家饭店的优惠方式列函数关系即可． （2）分别根据两家人的数量先计算按各自的最优惠的方式付款的金额，再计算在同一家店拼单的总金额，进一步分析即可． 【规范解答】（1）解：由题意得， 当时，， 当时，， ∴． （2）解：∵小明一家4口人，人均消费50元， ∴小明家消费（元）， 此时选择甲店需要付款（元），选择乙店需要付款200元， ∴不拼单时，选择甲店消费更优惠，此时元， ∵小亮一家7口人，人均消费50元， ∴小亮家原价消费（元）， 此时选择甲店需要付款（元），选择乙店需要付款（元）， ∴不拼单时，选择甲店消费更优惠，此时元， 若两家在同一家店拼单，则一共消费（元）， 此时选择甲店需要付款（元），选择乙店需要付款（元）， ∴选择乙店拼单更优惠，此时元， ∴（元）， 答：两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省45元． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展(两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离)与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 名男生的臂展与身高数据如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 臂展 (1)在直角坐标系中，描出表中各点，画一条直线，使其整体上与图中各点接近； (2)确定一个一次函数，近似表示臂展与身高的关系； (3)张营的身高是，估计他的臂展长度． 【答案】(1)作图见解析； (2)(答案不唯一，合理近似即可)； (3)(答案不唯一) 【思路引导】（1）先以身高为横轴、臂展为纵轴建立直角坐标系，再根据表格数据描出所有对应点，最后绘制一条尽可能贴近大多数点的直线，体现变量间的整体变化趋势； （2）先设一次函数的一般形式，从近似直线上选取两个代表性的点，代入解析式后用待定系数法求解和，得到近似函数； （3）将张营的身高代入一次函数解析式，计算对应的函数值，即为估计的臂展长度． 【规范解答】（1）解：建立直角坐标系，以横轴表示身高(单位：)，纵轴表示臂展(单位：)； 然后依次描出各点，绘制一条直线，使该直线整体上与上述各点尽可能接近，如图所示： （2）解：设近似表示臂展与身高关系的一次函数为． 选取直线上的两个点和， 代入解析式得：，解得， 近似的一次函数为．(答案不唯一，合理近似即可) （3）解：将代入， ． 答：估计张营的臂展长度为．(答案不唯一) 【变式训练2】（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图所示，分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量与所用时间（天）之间的函数图象，根据图象回答： (1)乙车间开始生产时，甲车间已生产了_____； (2)甲车间每天生产_____，乙车间每天生产_____； (3)从乙车间开始生产到第_____天结束时，两车间生产的总产量相同； (4)第30天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是多少？ 【答案】(1)400 (2)10；30 (3)20 (4)甲、乙两车间的总产量分别是； 【思路引导】（1）根据，其实际意义就是甲车间已生产的产量，求解即可； （2）根据每天生产的产量等于总产量除以总时间求解即可； （3）根据函数图象交点的意义，进行求解即可； （4）先利用待定系数法求出各自的解析式，计算时，各函数的函数值即可． 【规范解答】（1）解：乙车间开始生产时，甲车间已生产了． （2）解：根据题意，得甲车间每天生产；乙车间每天生产． （3）解：根据题意，得第20天时，两车间生产的总产量相同． （4）解：设甲车间的产量与所用时间x之间的函数解析式为， 把和分别代入解析式，得， 解得， 故， 当时，； 设乙车间的产量与所用时间x之间的函数解析式为， 把代入解析式，得， 解得， ， 当时，． 所以第30天结束时，甲车间的总产量为，乙车间的总产量为． 【变式训练3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽地面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（cm），（cm）与注水时间（min）之间的关系如图②所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)当时，分别求出和与之间的关系式； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ 【答案】(1)， (2)当注水2min时两个水槽中水面一样高 【思路引导】（1）设线段，的关系式分别为，，将点和代入中，可求得；将点和点代入中，可求得； （2）令，即，解方程即可． 【规范解答】（1）解：设线段，的关系式分别为，， ∵经过点和， ∴将点和代入中， 得，解得， ∴； ∵经过点和， ∴将点和点代入中， 得，解得， ∴， ∴当时，和与之间的关系式分别为，． （2）解：当时，即，解得， ∴当注水时两个水槽中水面一样高． 考点讲练六 一次函数与几何综合 【典例分析】（25-26八年级上·浙江金华·期末）在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【答案】D 【思路引导】本题考查一次函数的综合应用，平移的性质，用待定系数法求一次函数，勾股定理，正确掌握用待定系数法求一次函数是解题的关键． 先根据勾股定理，得，从而，再根据待定系数法求出直线的解析式，把代入求得，进而求出平移的距离，计算即可求出面积． 【规范解答】解： 、， ， 在中，， 则， ， 设直线的解析式为， 过，， ，解得， ， 如图，当向右平移，当点B落在直线上时， 即当时，，解得， 向右移动的距离为， 则线段扫过的面积是． 故选：D． 【变式训练1】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【思路引导】本题主要考查了一次函数的几何综合，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）分别令，即可求解； （2）先求出的值，再利用待定系数法即可求解； （3）先求出，设点的坐标为，根据的面积等于面积的2倍，列出方程，即可求解； 【规范解答】（1）解：令， 令， ∴点的坐标是．点的坐标是； 故答案为：． （2）解：∵点是直线上一点， ∴，解得：， ∴点， 设直线的解析式是， 把点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式是， 故答案为：． （3）解：存在， 由（1）得：点的坐标是，点的坐标是， ， 设点的坐标为， ∵的面积等于面积的2倍， ， 整理得， 或， 解得：或， ∴点的坐标为或． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或或 【思路引导】（1）设一次函数表达式为，将点、的坐标代入，求出、的值，即可得答案； （2）由为等腰直角三角形，得出，根据勾股定理求出即可； （3）分和两种情况，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：设直线的表达式为， ∵直线与轴、轴分别交于、， ∴， 解得， ∴直线的表达式为． （2）解：∵、， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵为等腰直角三角形，， ∴． （3）解：①如图，，点在下方时，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 同理：点在上方时，，， ∴， ∴点的坐标为； ②当时，如图，过点作轴于， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为； 综上，点P的坐标为或或． 【考点剖析】本题考查了一次函数的图像及性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积的计算、全等三角形的判定及性质等，熟练掌握一次函数的图像及性质、注意分类求解，避免遗漏是解题的关键． 【变式训练3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【答案】(1)1； (2) (3)存在；或 【思路引导】本题主要考查了一次函数的解析式求解、一次函数与不等式的关系、一次函数的最值问题以及三角形面积的计算，熟练掌握一次函数的图象与性质，结合数形结合思想和分类讨论思想解题是解题的关键． （1）将点代入直线的解析式求值；再结合函数图象，确定不等式的解集． （2）先根据点在线段上、点在直线上，分别写出和的表达式，再构造的函数，结合自变量的取值范围求最大值． （3）先求出点的坐标，设出点的坐标，分点在轴下方和上方两种情况，利用面积关系列方程求解． 【规范解答】（1）解：∵ 点在直线上， ∴ ， 解得 ， ∵ 不等式， ∴ 解得 ， 解得 ， ∴ 不等式的解集为； （2）解：由（1）知：点在线段上，点在直线上， ，， ， ，， 当时，有最大值， 的最大值为； （3）解：存在．直线，令得， ． 点在直线上，设点坐标为， ①当时，点在轴的下方, ， 解得，点坐标为， ②当时，点在轴的上方, ， 解得，此时点坐标为． 点的坐标为或． 【真题演练1】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻折的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意得出，再由勾股定理及折叠的性质求解即可； （2）设，根据折叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可． （3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解． 【规范解答】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将沿直线折叠，点B恰好落在点处， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）设， 根据折叠的性质，得，， 由（1）得， ∵， ∴， 解得， 故， 设直线的解析式为， ∴， 解得， 故直线的解析式为． （3）由（1）得：， ∴直线与直线的交点在直线的左侧， 如图所示： 当时，， ∴， ∵直线与直线的交点在直线的左侧， ∴直线经过点N时恰好是临界点， ∴， 解得：， ∴t的取值范围为． 【真题演练2】（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设所在直线的函数表达式为，再代入进行计算，得，然后求出点坐标为，再运用待定系数法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，则当时，解得，故，即可作答． 【规范解答】（1）解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 设所在直线的函数表达式为 得， 解得， ∴所在直线的函数表达式为； （2）解：由（1）得所在直线的函数表达式为； 依题意，当时， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为． 【真题演练3】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为，下降阶段的函数关系式是． (2)成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时 【思路引导】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答． （1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； （2）依据由题，令 ，结合（1）的解析式，分别求出的值，进而可以判断得解． 【规范解答】（1）解：当时，设与的函数关系式为， 把 代入中得， ∴． ∴当时，与的函数关系式为； 当时，设与的函数关系式为， 把和代入中得， ∴， ∴当时，与的函数关系式为． 综上，血液中药物浓度上升阶段与之间的函数解析式为，下降阶段与之间的函数关系式是． （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， 小时， 答：成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长为8小时． 【真题演练4】（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【规范解答】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 【真题演练5】（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【思路引导】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【规范解答】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，理解题意确定函数解析式是解题关键；根据图象信息列出函数关系式，代入求值即可. 【规范解答】解：设当时，， ∵在直线上， ∴， 解得：， ∴， 当时，， 故选：C． 2．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，关键是先根据图象求出两人距离随时间变化的函数表达式，再结合行程关系求出甲移动的距离． 【规范解答】解：设关于的函数为， 将、代入，得，解得， 函数表达式为． 当时，． 设甲自点移动的距离为，则， 解得， ∴甲自点移动． 故选：C． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．该植物最高长到（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】利用待定系数法求出段的函数表达式，再求出时的函数值即可求解． 【规范解答】解：根据函数图象，设段函数表达式为， 把，代入得， ， 解得， ∴段函数表达式为， 当时，， 当时，轴，则该植物达到最高高度， ∴该植物最高长到． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 【答案】汽车行驶的速度为 【思路引导】本题主要考查的是一次函数的应用，将代入函数的解析式，求得k的取值，从而得出k的意义是汽车行驶的速度． 【规范解答】解：根据函数图象可知：时，． 将，代入得：． 解得， ∴k的具体含义是汽车的行驶速度为， 故答案为：汽车的行驶速度为． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）某超市购进了一些食品，出售时要在进价的基础上加一定的利润．若其数量（单位：）与售价（单位：元）之间的关系如下表，则关于的函数解析式为____________． 数量 1 2 3 4 5 … 售价/元 … 【答案】 【思路引导】先观察表格中售价与数量的对应关系，发现售价由两部分组成，可分别提取规律，再合并得到函数解析式． 【规范解答】解：由表格可知： 当时，； 当时，； 当时，； …… 可以看出，售价可拆分为两部分： 第一部分：； 第二部分：； 因此，． ∴关于的函数解析式为． 故答案为：． 【考点剖析】本题考查了知识点根据实际问题列一次函数解析式，解题关键是从表格数据中提取数量与售价的线性关系，通过拆分与合并得到函数表达式． 6．（25-26八年级上·浙江温州·期末）某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 【答案】100 【思路引导】本题主要考查了一次函数的实际应用．利用待定系数法求出弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式，可求出弹簧的原长，从而得到此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长，即可求解． 【规范解答】解：设弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 把点代入得： ， 解得：， ∴弹簧总长关于所挂物体质量的函数关系式为， 当时，， ∴弹簧的原长为5厘米， ∵此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍， ∴此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为15厘米， 当时，， 解得：， 即该弹簧能称量的最大质量为100克． 故答案为：100 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． (1)A、C两海岛间的距离为________km，________； (2)求线段PN所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 【答案】(1)80,1.6 (2) (3)0.8 【思路引导】本题主要考查了求一次函数关系式，函数图像的识别， 对于（1），先观察图象可知A，B之间的距离为，B，C之间的距离为，即可得出答案；再求出海巡船的速度，即可求出时间； 对于（2），根据待定系数法求出关系式即可； 对于（3），先根据待定系数法求出线段所表示的函数关系式， 再令两个函数值等于20得出方程，求出解即可． 【规范解答】（1）解：由图象可知A，C两海岛之间的距离是; 海巡船的速度是， 海巡船从A岛到达C岛用时， ∴； 故答案为：80，1.6； （2）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为； （3）解：设线段所表示的函数关系式为，将点代入关系式，得 ， 解得， ∴线段所表示的函数关系式为． 当时，解得； 当时，解得， 则． 所以海巡船能接收到信号的时间是0.8小时． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 【答案】(1)， (2)方案一更划算，理由见解析 【思路引导】本题主要考查了函数关系式，求函数值，根据题意列出代数式是解题的关键． （1）根据两种不同的优惠方案列出函数关系式即可； （2）把分别代入（1）中函数关系式，然后进行比较即可． 【规范解答】（1）解：， （2）解：当时，， ， 方案一更划算． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）蜡烛点燃后消耗的长度与燃烧时间之间的函数解析式为．已知长为的蜡烛燃烧后，蜡烛变短，求： (1)y与x之间的函数解析式； (2)此蜡烛点燃多长时间后可燃烧完． 【答案】(1) (2)此蜡烛点燃后可燃烧完 【思路引导】（1）根据蜡烛燃烧后，变短，代入求出k即可； （2）蜡烛燃烧完即，代入求出x即可． 【规范解答】（1）解：由题意，得， 解得， 与x之间的函数解析式为； （2）解：当时，即， 解得， ∴此蜡烛点燃后可燃烧完． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 【答案】(1)11，3 (2) (3)乘客需付车费50元 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据题意结合表格信息，得到，，即可得出结果； （2）根据收费方式得到，把（1）中的数值代入即可； （3）求出时的函数值即可． 【规范解答】（1）解：由题意，时，； 当时，，解得； 故答案为：11，3； （2）解：由（1）可知：； （3）解：∵， ∴当时，． 答：当行驶里程为时，该乘客需付车费50元． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长 … … 身高 … … 则与之间的函数关系式近似为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】观察表格中脚长和身高的对应数据，判断与近似为一次函数关系；设一次函数的一般形式为，选取表格中两组数据代入解析式求出解析式即可． 【规范解答】解：由表格数据可得，每增加，约增加， ∴与近似为一次函数关系，设该函数关系式为． 将和代入函数式， 得到方程组：，解得， ∴得到近似的函数关系式为． 故选：C． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【思路引导】先求出甲的速度，利用路程速度时间，可求的值，的值，的距离，利用待定系数法可求解析式，分两种情况讨论，由题意列出不等式，即可求解． 【规范解答】解：由题意可得：甲的速度为：， ∴的距离，故①正确； ∴， ∴乙车的速度为， ∴，故②错误； 设小时后，乙车离站的路程与行驶时间之间的函数关系为， 把和代入可得：， 解得：， ∴小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：，故③正确； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴； 当时，甲车与车站的路程为，乙车与车站的路程为，由题意可得：， 解得：， ∴， 综上所述，，故④错误； 故其中正确的有①③，共个． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 【答案】C 【思路引导】先根据图象分三段讨论，再根据销售收入和销售成本之间的关系得出答案． 【规范解答】解：由函数图象可知随着销售量的增加，当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入小于销售成本，此时该公司亏损；当时，销售收入和销售成本相等，此时该公司不亏损，也不盈利；当时，销售收入和销售成本都在增加，且销售收入大于销售成本，此时该公司盈利，即该公司盈利时销售量大于4件，C符合题意． 4．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 【答案】D 【思路引导】本题考查了一次函数的应用，正确理解题意是关键． 对于①，根据图中甲乙两直线的倾斜角度，即可判断； 对于②，用路程差除以时间差，即可求出甲队的速度； 对于③，根据相遇时甲乙两对行驶的距离相等列方程求解即可； 对于④，分别求出甲乙两队行驶距离s（千米）与时间t（小时）的函数解析式，并针对和，分别列方程求解即可． 【规范解答】解：对于①， 由图可知， 当时，甲的速度比乙的速度快，当时，甲的速度比乙的速度慢， 所以①错误； 对于②， 甲减速后的速度为（千米小时）， 所以②正确； 对于③， 乙的速度为（千米小时）， 根据题意，得 解得 所以当时，甲、乙两队相遇， 所以③正确； 对于④， 设减速前甲队的函数关系式为， 把代入，得， ， 减速前甲队的函数关系式为， 设减速后甲队的函数关系式为， 把，代入，得， 解得， 所以减速后甲队的函数关系式为， 设乙队的函数解析式为， 把代入，得， ， 所以乙队的函数解析式为， 当时，令 解得（舍去）； 当时，令， ， 或， 解得或， 所以④正确； 综上所述，说法正确的有②③④． 故选：D． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）某种商品的销售额y（单位：万元）与广告投入x（单位：万元）是一次函数关系，当投入10万元时，销售额是1000万元；当投入90万元时，销售额是5000万元．当销售额为4500万元，则需投入_______万元． 【答案】80 【思路引导】本题考查一次函数的实际应用，先设一次函数解析式，利用已知的两组广告投入与销售额的对应值求出函数解析式，再将销售额代入解析式求解对应的广告投入金额即可． 【规范解答】解：设该一次函数的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 所以该一次函数的解析式为， 当时，即， 解得， 故需投入80万元． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形中，E是边的中点，点P从顶点A出发，沿A→B→C以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积y（）随时间x（）变化的图象，则______． 【答案】2 【思路引导】本题考查了正方形的性质，一次函数的应用；由图②得当时，，此时与重合时，，可得，当时，当时，分别求出函数解析式，即可求解． 【规范解答】解：由图②得，当时，， 与重合时，， ， 四边形是正方形， （）， E是边的中点， ， 当时， 由运动过程得，， ； 当时， 由运动过程得， ； ， 当时， ， 故答案为：． 7．（25-26八年级上·山西晋中·期末）声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 【答案】1640 【思路引导】本题主要考查了一次函数的应用，根据表格数据确定声速与气温的一次函数关系式，求出气温时的声速，再计算距离即可． 【规范解答】解：设， 把和代入得， 解得， ∴， 当时，， ， ∴小明与烟花所在地相距， 故答案为：． 8．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 【答案】(1)银卡消费：，普通票消费： (2)，，， (3)当时，普通票消费更划算；当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算；当时，银卡消费更划算；当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算；当时，金卡消费更划算 【思路引导】（1）根据银卡售价元/张，每次凭卡另收元，以及游泳馆普通票价元/张，设游泳次时，分别得出所需总费用即为与的关系式； （2）利用函数交点坐标求法分别求解即可； （3）利用（2）的各点的坐标并结合函数图像得出答案． 【规范解答】（1）解：由题意可得： 选择银卡消费时，所需总费用与之间的函数关系式为， 选择普通票消费时，所需总费用与之间的函数关系式； （2）解：由题意可得： 当，时，得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，解得：， ∴； 当时，得：， ∴； （3）解：如图所示：由，，的坐标可得： 当时，普通票消费更划算； 当时，银卡、普通票的总费用相同，均比金卡合算； 当时，银卡消费更划算； 当时，金卡、银卡的总费用相同，均比普通票合算； 当时，金卡消费更划算． 9．（25-26八年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，经过点的一次函数，其图象与直线交于点，点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作平行于轴的直线l分别交直线于点．设点的横坐标为． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)如图，当时： ①线段的长为___________；（用含n的代数式表示） ②过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，若得到四边形的面积为，直接写出此时四边形的周长___________． 【答案】(1)， (2)①；②或 【思路引导】（1）把点代入，可得到点C的坐标，再利用待定系数法解答即可； （2）①求出点M，N的坐标即可；②根据四边形的面积为，可得，从而得到或3，即可求解． 【规范解答】（1）解：把点代入得：， ∴点， 把点，代入得： ，解得：， ∴一次函数的表达式为； （2）解：①根据题意得：，， ∴； ②如图， 根据题意得：轴，轴，轴， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， 即， 解得：或3， 当时，， 此时四边形的周长为； 当时，， 此时四边形的周长为； 综上所述，四边形的周长为或． 10．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 【答案】(1)①；2；2；②点P坐标为或或； (2)； (3)或 【思路引导】（1）把点的横（纵）坐标代入解析式中即可求得点的纵（横）坐标； ②先求得，再根据得到，解得或，再根据解析式求出点P的横坐标即可； （2）先根据关于m的对称函数的解析式， 确定m的取值范围为，再根据一次函数与二元一次方程组的关系确定直线与关于m的对称函数的两个交点的坐标，再根据交点存在确定m的取值范围即可； （3）先求出点E、A的坐标，分为斜边和为斜边两种情况，根据勾股定理列出方程即可求解． 【规范解答】（1）解：①当时，令，得， 解得， ∴； 当时，令，得， 解得， ∴； 当时，， ∴． ②∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当，且时，令，即， 解得， 此时与点C重合，故舍去； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 当，且时，令，即， 解得，此时符合题意， ∴； 综上所述，点P坐标为或或． （2）解：∵关于m的对称函数的解析式为， ∴该函数图象为两个一次函数图象的一部分结合起来的图象． ∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内， ∴； ∵对于，令，即， 解得， ∴必须在的范围之内． ∴； ∴， ∴直线分别与直线和各有一个交点， 对于直线与直线， 联立得， 解得， 对于直线与直线， 联立得，     解得， ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线与直线有交点， ∴， 又∵，， ∴， ∴m的取值范围是； （3）解：∵点E的横坐标为m， ∴点E在的图象上， 把代入得， ∴， 把代入得， 解得， ∴， ∵点A、E、F组成直角三角形，为直角边时，分两种情况讨论： 情况一：为斜边时，则， ∵点F的坐标为， ∴， 解得， 情况二：为斜边时，则， ∴， 解得：m， 综上所述，是以为直角边的直角三角形时，m的值为或． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学八年级下册同步培优【重点考点讲练】 专题23.4 实际问题与一次函数 （第二十三章 一次函数） 【人教版八下●新教材】 知识梳理 技巧点拨 1 知识点一 一次函数中的实际应用 1 知识点二 待定系数法求一次函数解析式 2 知识点三 一次函数与面积问题 3 重点难点 考点讲练 3 考点讲练一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 3 考点讲练二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 5 考点讲练三 行程问题（一次函数的实际应用） 7 考点讲练四 梯度计价问题 10 考点讲练五 其他问题（一次函数的实际应用） 12 考点讲练六 一次函数与几何综合 15 中考真题 实战演练 17 难度分层 闯关训练 20 基础夯实 能力提升 20 创新拓展 拔尖冲刺 24 知识点一 一次函数中的实际应用 1）数学建模的一般思路 数学建模的关键是将实际问题数学化，从而得到解决问题的最佳方案、最佳策略.在建模的过程中，为了既合乎实际问题又能求解，这就要求在诸多因素中抓住主要因素进行抽象化简，而这一过程恰是我们的分析、抽象、综合、表达能力的体现.函数建模最困难的环节是将实际情景通过数学转化为什么样的函数模型. 2）正确认识实际问题的应用 在实际生活问题中，如何应用函数知识解题，关键是建立函数模型，即列出符合题意的函数解析式，然后根据函数的性质综合方程（组）、不等式（组）及图象求解. 注：要注意结合实际，确定自变量的取值范围，这是应用中的难点，也是中考的热门考点. 3）选择最简方案问题 分析问题的实际背景中包含的变量及对应关系，结合一次函数的解析式及图象，通过比较函数值的大小等，寻求解决问题的最佳方案，体会函数作为一种数学模型在分析解决实际问题中的重要作用. 应用题型一 行程类问题 【解题技巧】 1）纵坐标表示行驶路程 1.一般该类型代表时间，代表行驶路程，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.直线中=行驶速度；3.两线段的交点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 2）纵坐标表示两者之间的距离 1.一般该类型代表时间，代表两人之间的距离，需要研究每条线段及拐点的实际意义； 2.①当两人同向行驶时，速度差；②当两人相向行驶时，速度和； 3.轴上的点为两人的相遇点；4.两人间的距离. 【解题步骤】 1.将需求最值对象表示成一次函数； 2.利用题中条件求出自变量的取值范围； 3.利用一次函数的增减性求出的最值，并找出最优方案。 知识点二 待定系数法求一次函数解析式 解题技巧：1) 点+点:设函数的解析式为：y=kx+b，当已知两点坐标，将这两点分别代入（待定系数法），可得关于k、b的二元一次方程组，解方程得出k、b的值。 2) 图形:观察图形，根据图形的特点，找出2点的坐标，利用待定系数法求解解析式。 3) 点+平行:已知直线与直线平行，则两个函数的待定系数相同，即。求直线的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出的值即可。 4)点+垂直:已知直线与直线，则两个函数的待定系数乘积为－1，即。求直线的解析式，利用待定系数法，将1个点代入，求解出的值即可。 知识点三 一次函数与面积问题 应用题型二 一次函数中的三角形面积问题 解题技巧：直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，则△OAB为直角三角形。三角形的面积=OA×OB。利用题干告知的面积和A（B）点的坐标，可求出OB（OA）的长度，从而求出B（A）点的坐标。转化为已知两点求解析式的问题，利用待定系数法解决。 注：在利用面积求出直角三角形的边长，在将边长转化为点的坐标时，若点在坐标轴的负半轴上，则点的坐标需添加负号。 考点讲练一 分配方案问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·全国·课后作业）随着暑假临近，某游泳馆推出了甲、乙两种消费卡，设消费次数为时，所需费用为元，且与的函数关系如图所示．根据图中信息判断，下列说法错误的是（   ） A．消费次数为时，选择甲、乙两种消费卡所需费用一样 B．消费次数为6时，选择甲种消费卡划算 C．消费次数为时，选择乙种消费卡划算 D．消费次数为2时，选择乙种消费卡所需费用为元 【变式训练1】（25-26八年级上·安徽淮北·期末）某文具店销售一种品牌笔记本，批发商提供两种进货方案： 方案A：按固定价格进货，每本进价8元； 方案B：进货量在100本以内（含100本）时，每本进价10元；超过100本的部分，每本进价6元． 文具店按每本15元的统一零售价销售该笔记本． 设文具店进货本（为正整数），两种方案的总利润分别为元（方案A）和元（方案B）． 请根据以上信息，回答下列问题： (1)分别写出与，与的函数关系式； (2)文具店计划进货不超过200本，应选择哪种进货方案才能使总利润最大？请说明理由． 【变式训练2】（25-26八年级下·全国·周测）蓝天白云下，青山绿水间，支一顶帐篷，邀亲朋好友，听蝉鸣，闻清风，话家常，好不惬意．某景区为吸引游客，准备购买A、B两种型号的帐篷．若购买A种型号帐篷2顶和B种型号帐篷4顶，则需5200元；若购买A种型号帐篷3顶和B种型号帐篷1顶，则需2800元． (1)求每顶A种型号帐篷和每顶B种型号帐篷的价格． (2)若该景区需要购买A、B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），购买A种型号帐篷的数量不超过购买B种型号帐篷的数量的，为使购买帐篷的总费用最低，应购买A种型号帐篷和B种型号帐篷各多少顶？购买帐篷的总费用最低为多少元？ 【变式训练3】（25-26八年级上·安徽黄山·月考）“墨方腐块藏奇味，金裹粑团蕴蜜香．”臭豆腐和糖油粑粑作为长沙特色美食，承载湘地韵味，在星城街道彰显独特魅力，游客返程不忘携特产，将“湘味”记忆带回家，某店销售臭豆腐和糖油粑粑，如下是两位销售员的对话： (1)求每份臭豆腐和糖油粑粑售价各为多少元？ (2)某公司想购买这两种特产共80份送给员工（两种特产均需购买），且购买糖油粑粑的份数不超过臭豆腐份数的，怎样购买才能使购买总费用最低？此时总费用最低是多少元？ 考点讲练二 最大利润问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（24-25八年级下·湖北武汉·月考）某电脑公司经销A型电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降，今年三月份的电脑售价比去年同期每台下降1000元．如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年仅8万元． (1)今年三月份A型电脑每台为多少元？ (2)为增加收入，该电脑公司决定另外经销B型电脑，其售价为3600元．已知A型电脑进价为3500元/台，B型电脑进价为3000元/台．公司预计用不高于5万元且不低于4.8万元的资金进这两种电脑共15台，那么该公司有多少种进货方案？哪种方案的利润最高？最高利润是多少？ 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某书店推出“传承红色基因，弘扬爱国精神”图书销售方案，现需购进，两种类型的图书共套，这两种类型图书的进价、售价如下表所示： 图书类型 进价/（元/套） 售价/（元/套） 设购进型图书x套，书店销售这两种类型图书的总利润为元． (1)求关于的函数解析式； (2)若购进两种图书的总费用不超过元，应该怎样进货才能使书店在销售完这批图书时获利最多?并求出最大利润． 【变式训练2】（25-26八年级上·广东梅州·期末）去年中国航空工业迎来了一个历史性的时刻——在短短96小时内，两款六代战斗机相继试飞成功，这一壮举不仅让国人热血沸腾，更让全球军事界为之震动．受此消息影响，飞机模型在网上爆火．某玩具店为了满足广大航天爱好者需求，销售每件进价分别为80元和60元的A、B两种型号的飞机模型，表格是近两天的销售情况： 销售时段 销售数量 销售收入 A种型号 B种型号 第一天 4件 5件 955 第二天 2件 6件 810 (1)求A、B两种型号的飞机模型的销售单价； (2)该玩具店准备再采购这两种型号的飞机模型共50件且A型号飞机不多于35件，应该怎样采购玩具店可获利最多？此时利润为多少？ 【变式训练3】（25-26九年级上·云南昆明·期末）地处祖国西南的云南省博物馆，不仅因为珍贵的藏品吸引了成千上万的游客“为一座馆奔赴一座城”，在文创方面也非常懂得 “拿捏”年轻人的心，截至目前已推出了涵盖冰箱贴、文具、首饰等多个品类的文创产品，当地旅游业的发展更是促进了文创产品的销售．昆明市某旅游纪念品店购进了一批A型冰箱贴和B型冰箱贴．已知购进A型冰箱贴25个，B型冰箱贴30个共需570元，15个A型冰箱贴与20个B型冰箱贴的费用相同． (1)求每个A型冰箱贴和B型冰箱贴的进价分别是多少元？ (2)该旅游纪念品店决定购进A型冰箱贴和B型冰箱贴共100个，投入资金不超过1000元，并将A型冰箱贴的标价定为每个25元，A型冰箱贴打八折销售，B型冰箱贴售价定为每个15元，请问如何进货可以使该旅游纪念品店获得最大利润？最大利润是多少元？ 考点讲练三 行程问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）有一台电动车，出发秒以后，其行驶路程（米）是行驶时间（秒）的一次函数，关于的函数图像如图所示． (1)求出发秒以后（包括秒）关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围 (2)如果要求这台电动车的最大行驶里程在千米以上，那么为其配备的电池充满一次电后，至少能行驶多长时间 【变式训练1】（25-26八年级上·江苏盐城·期末）在一条笔直的公路上有A，B两地，甲、乙两人同时出发，甲从A地步行匀速前往B地，到达B地后，立刻以原速度沿原路返回A地．乙从B地步行匀速前往A地（甲、乙二人到达A地后均停止运动），甲、乙二人之间的距离y（米）与出发时间x（分钟）之间的函数关系如图所示，请结合图象解答下列问题： (1)A，B两地之间的距离是_________米，乙的步行速度是_________米/分； (2)图中_________，_________； (3)求线段的函数表达式； (4)在乙运动的过程中，何时两人相距60米？ 【变式训练2】（25-26八年级上·山东烟台·期末）小明家与奶奶家相距，他假期去看望奶奶，返回时，恰好有一辆顺路车可以带小明到服务区，于是，小明与爸爸约定，他先搭乘顺路车到服务区，爸爸驾车到服务区接小明回家．小明到达服务区之后等了一会儿爸爸才到，然后小明就乘坐爸爸的车以的速度返回家中．返回途中，小明与自己家的距离和时间之间的关系大致如图所示， (1)求小明从奶奶家到服务区的过程中，与的函数关系式； (2)小明从奶奶家回到自己家共用了多长时间？ 【变式训练3】（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）某校八年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目的规则是：每组选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上侧身走完规定的路程，气球不能落地．若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续前行．用时少者胜．甲、乙两组参加比赛，结果甲组在途中掉了球，乙组则顺利走完全程．比赛过程中，两组同学距离出发点的距离与比赛时间的函数关系如图．根据函数图象，回答下列问题： (1)点表示的实际意义是什么？ (2)求的函数表达式； (3)从甲组开始返回到两组走完全程，两组之间的距离不超过时，求的取值范围． 考点讲练四 梯度计价问题 【典例分析】（25-26八年级上·浙江衢州·期末）某商场要印制商品宣传材料，经过市场调研，甲、乙两印刷厂正在搞活动，决定选择其中的一家进行印制．设印刷厂的收费为（元），印制数量为（份）． 甲印刷厂的收费标准是：每份材料收元，不收制版费，若印制满4000元，可以享受折扣，超过的部分每份材料收元．此时与的函数关系如图所示． 乙印刷厂收费标准是：每份材料收元印制费，另收元制版费，此时与的关系如下表所示． 印制数量（份） 0 1000 2000 3000 4000 收费（元） 1500 2500 3500 4500 5500 (1)在直角坐标系中描出表中数据对应的点，画出乙印刷厂关于的函数图象，并判断函数类型． (2)求乙印刷厂关于的函数表达式． (3)对于的取值情况进行分析，试说明在哪一印刷厂印制宣传材料比较便宜． 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·周测）五月，正是高山杜鹃盛开的季节，小明一家人来到五指峰赏花．售票处有一公告栏，请根据公告栏信息回答下列问题： 公告栏各位游客，您好！欢迎您来到五指峰景区，本景点近期特惠门票价格如下： ①一次性购买10张及以下门票，票价是240元/张； ②一次性购买10张以上门票，超过10张的部分，每张八折优惠． (1)若他们一家人有6人，则门票总费用是________元． (2)设某旅游团有x人来此游玩，求该旅游团门票总费用y（单位：元）关于人数x的函数表达式． 【变式训练2】（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）我国是一个严重缺水的国家，为了加强公民的节水意识，某市制定了如下用水收费标准：每户每月的用水不超过吨时，水价为每吨元，超过吨时，超过的部分按每吨元收费．该市某户居民月份用水吨，应交水费元． (1)求与的函数关系式； (2)如果该户居民月交水费元，那么该户居民 月用了多少吨水？ 【变式训练3】（25-26八年级上·全国·期末）为了鼓励市民节约资源，某市采用分档计费的方式计算居民的管道天然气费用．若每月用气量不超过（包含），则按第一档收费标准a元/收费；若每月用气量超过，但不大于，则超过部分按第二档收费标准b元/收费；若每月用气量超过，则超过部分按第三档收费标准4元/收费．小明家3月份用气量是，交燃气费元；4月份用气量是，交燃气费110元． (1)求第一档燃气费单价和第二档燃气费单价分别是多少元/？ (2)设每月用气量为x，应交燃气费为y元，求y与x之间的函数关系式． (3)小明家5月份用气量为，应交燃气费为多少元？ (4)某户6月份的燃气费是182.5元，求该户6月份的用气量． 考点讲练五 其他问题（一次函数的实际应用） 【典例分析】（25-26九年级上·河南三门峡·期末）河南不仅有深厚的文化底蕴和秀美的山川，还有各种美食让游客流连忘返．“五一”期间，甲、乙两家饭店分别推出以下两种优惠方式． 甲店：按消费总额的九折付款； 乙店：消费总额不超过300元的按原价付款，超过300元的部分打六折． (1)用x（单位：元）表示消费总额，y（单位：元）表示应付款金额，分别就甲、乙两家饭店的优惠方式，求y关于x的函数表达式； (2)小明一家4口人，小亮一家7口人，若甲、乙两家饭店人均消费均为50元，求两家人在同一家店拼单时，选择最优惠的方式付款比他们两家人分别按各自的最优惠的方式付款共可以节省多少钱？ 【变式训练1】（25-26八年级下·全国·课后作业）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展(两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离)与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析，下面给出了部分信息： 名男生的臂展与身高数据如表： 编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高 臂展 (1)在直角坐标系中，描出表中各点，画一条直线，使其整体上与图中各点接近； (2)确定一个一次函数，近似表示臂展与身高的关系； (3)张营的身高是，估计他的臂展长度． 【变式训练2】（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）如图所示，分别表示某工厂甲、乙两车间生产的产量与所用时间（天）之间的函数图象，根据图象回答： (1)乙车间开始生产时，甲车间已生产了_____； (2)甲车间每天生产_____，乙车间每天生产_____； (3)从乙车间开始生产到第_____天结束时，两车间生产的总产量相同； (4)第30天结束时，甲、乙两车间的总产量分别是多少？ 【变式训练3】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图①是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块放在其中（圆柱形铁块的下底面完全落在水槽地面上）．现将甲槽中的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（cm），（cm）与注水时间（min）之间的关系如图②所示．根据图象提供的信息，解答下列问题． (1)当时，分别求出和与之间的关系式； (2)注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？ 考点讲练六 一次函数与几何综合 【典例分析】（25-26八年级上·浙江金华·期末）在直角坐标系中，点D的坐标为，的顶点A、C的坐标分别为、，．把向右平移，当点B落在直线上时，则线段扫过的面积是（    ） A．12 B．15 C．16 D．20 【变式训练1】（25-26八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于点、两点． (1)点的坐标是__________，点的坐标是__________． (2)若点是直线上一点，求直线的解析式． (3)在直线上是否存在一点，使的面积等于面积的2倍？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练2】（23-24九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，直线与轴、轴分别交于点，点，以线段为直角边在第一象限内作等腰直角三角形，． (1)求直线的表达式； (2)求的面积； (3)点是坐标系中的一个动点，当与全等时，请直接写出点的坐标． 【变式训练3】（25-26八年级上·安徽蚌埠·期末）如图，直线与直线交于点，与轴交于点． (1)_____，不等式的解集为_____； (2)若点在线段上，点在直线上，求的最大值． (3)在直线上是否存在一点，使得的面积为6，若不存在，请说明理由，若存在，请求出点的坐标． 【真题演练1】（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线折叠，点B恰好落在点处． (1)求a的值； (2)求直线的解析式； (3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围． 【真题演练2】（2025·陕西·中考真题）在探究小球速度随时间变化规律的实验中，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止，如图①所示．小球滚动过程中的速度与时间之间的关系如图②所示． (1)求所在直线的函数表达式； (2)求该小球滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长． 【真题演练3】（2025·四川·中考真题）某药品研究所开发一种抗菌新药．经多年动物实验，首次用于临床人体试验．测得成人服药后血液中药物浓度（微克/毫升）与服药后时间（时）之间满足一次函数关系（如图）．服药后3小时，测得血液中药物浓度达到最高值9微克/毫升；服药后11小时，测得血液中药物浓度为1微克/毫升． (1)请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段与之间的函数关系式； (2)根据测试，成人服药后，血液中药物浓度不低于3微克/毫升时，才能对人体产生抗菌作用，试求成人服药后，药物对人体产生抗菌作用的有效时长． 【真题演练4】（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【真题演练5】（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 基础夯实 能力提升 1．（25-26七年级上·山东烟台·期末）某超市对一种香蕉采取促销方式，购买数量超过后，超过的部分给予优惠，购买这种香蕉所需金额（元）与购买数量之间的关系如图所示，则小明购买这种香蕉需付金额为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 2．（25-26九年级上·四川广元·期末）如图，在同一直线上，甲、乙两人分别从，两点同时向右出发，甲、乙均为匀速，图2表示两人之间的距离与所经过的时间之间的函数关系图象，若乙的速度为，则经过，甲自点移动了（  ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）生物活动小组的同学们观察某植物生长，得到该植物高度与观察时间x（天）的关系，画出如图所示的函数图象（轴）．该植物最高长到（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·广东佛山·期末）汽车离开市的距离与行驶时间之间的关系式是，图象如图所示，则系数实际意义是___________． 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）某超市购进了一些食品，出售时要在进价的基础上加一定的利润．若其数量（单位：）与售价（单位：元）之间的关系如下表，则关于的函数解析式为____________． 数量 1 2 3 4 5 … 售价/元 … 6．（25-26八年级上·浙江温州·期末）某弹簧总长与所挂物体质量的函数图象如图所示．经查，此弹簧在弹性限度内伸长的最大总长为原长（不挂重物时的长度）的3倍，则该弹簧能称量的最大质量为______克． 7．（25-26八年级上·四川成都·期末）在一条直线上依次有A、B、C三个海岛，某海巡船从A岛出发沿直线匀速经B岛驶向C岛．已知该海巡船与B岛的距离y（km）与从A岛出发后的行驶时间x（h）之间的关系如图所示． (1)A、C两海岛间的距离为________km，________； (2)求线段PN所表示的函数关系式； (3)在B岛有一不间断发射信号的信号发射台、发射的信号覆盖半径为20km，求该海巡船能接收到该信号的时间有多长． 8．（25-26七年级上·山东济南·期末）为提升训练质量，某羽毛球俱乐部计划采购某品牌羽毛球训练器材．经市场调查了解到该品牌羽毛球拍每副120元，羽毛球每筒40元，某体育用品商场抓住机遇推出促销活动，提供了两种优惠方案： 方案一：买一副羽毛球拍送一筒羽毛球； 方案二：羽毛球拍和羽毛球全部按定价打八折． 若该羽毛球俱乐部需采购球拍100副，羽毛球x筒．方案一、二所需付款金额分别为元、元． (1)求， 与之间的函数表达式； (2)当时，通过计算比较这两种方案哪种更划算． 9．（25-26八年级下·全国·课后作业）蜡烛点燃后消耗的长度与燃烧时间之间的函数解析式为．已知长为的蜡烛燃烧后，蜡烛变短，求： (1)y与x之间的函数解析式； (2)此蜡烛点燃多长时间后可燃烧完． 10．（25-26八年级上·江苏南京·期末）某地出租车计费标准如下：当里程不超过时，均按起步价元收费；当里程超过时，超过部分按元收费．某乘客乘坐出租车时，观察到一些时刻的车费与行驶里程之间的关系如下表： 行驶里程 3 5 7 车费（元） 11 17 23 设行驶里程为，出租车的车费为元，是的一次函数． (1)________，________； (2)求与之间的函数表达式； (3)若某乘客一次乘坐出租车的行驶里程为，求这位乘客需付的车费． 创新拓展 拔尖冲刺 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长 … … 身高 … … 则与之间的函数关系式近似为(　　) A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）如图①所示，在A、B两地之间有一车站C，甲车从A地出发经C站驶往B地，乙车从B地出发经C站驶往A地，两车同时出发，匀速行驶，图②是甲、乙两车行驶时离C站的路程与行驶时间之间的函数图象，现有以下结论：①a的值为120；②m的值1.3；③m小时后，乙车离C站的路程与行驶时间之间的函数关系为：；④乙车到达A地前，两车与车站C的路程之和不超过时行驶时间x的取值范围为．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，反映的是某公司产品的销售收入与销售量的关系，反映的是该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图象判断该公司盈利时销售量为（   ） A．小于4件 B．等于4件 C．大于4件 D．大于5件 4．（25-26八年级上·四川巴中·期末）2025年中国皮划艇马拉松公开赛的首战比赛在我市巴河举行，甲、乙两支男子专业队均参加了21千米马拉松赛．比赛枪声响起，甲、乙两队同时出发．下图为赛程前12千米甲、乙两队和起点的距离s（千米）与时间t（小时）的函数图象．下列说法正确的有（    ） ①甲的速度始终比乙的速度快；②甲减速后的速度为11千米/小时；③时，甲、乙两队相遇；④或时，甲、乙两队相距千米 A．①③ B．②③ C．②④ D．②③④ 5．（25-26八年级下·全国·课后作业）某种商品的销售额y（单位：万元）与广告投入x（单位：万元）是一次函数关系，当投入10万元时，销售额是1000万元；当投入90万元时，销售额是5000万元．当销售额为4500万元，则需投入_______万元． 6．（2026八年级下·全国·专题练习）如图①，在正方形中，E是边的中点，点P从顶点A出发，沿A→B→C以的速度匀速运动到点C．图②是点P运动时，的面积y（）随时间x（）变化的图象，则______． 7．（25-26八年级上·山西晋中·期末）声音在空气中传播的速度（称为声速）y（单位：）是气温x（单位：）的一次函数，下表列出了不同气温时的声速： 0 5 10 15 20 331 334 337 340 343 小明在看到烟花燃烧后才听到声响，当时的气温为，小明与烟花所在地相距______．（光传播所用的时间忽略不计） 8．（25-26八年级下·安徽安庆·开学考试）某游泳馆普通票价为元张，暑假为了促销，新推出两种优惠卡： ①金卡售价元张，每次凭卡不再收费 ②银卡售价元张，每次凭卡另收元． 暑假普通票正常出售，两种优惠卡仅限暑假使用，不限次数设游泳次时，所需总费用为元． (1)分别写出选择银卡、普通票消费时，所需总费用，与之间的函数关系式 (2)在同一平面直角坐标系中，若三种消费方式对应的函数图像如图所示，请求出点，，，的坐标 (3)请根据函数图像，直接写出选择哪种消费方式更划算． 9．（25-26八年级下·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，经过点的一次函数，其图象与直线交于点，点是线段上的一个动点（不与点、点重合），过点作平行于轴的直线l分别交直线于点．设点的横坐标为． (1)求点的坐标和一次函数的表达式； (2)如图，当时： ①线段的长为___________；（用含n的代数式表示） ②过点，分别向轴作垂线，垂足分别为，若得到四边形的面积为，直接写出此时四边形的周长___________． 10．（25-26八年级下·江苏连云港·开学考试）函数叫做关于m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B． (1)关于1的对称函数与直线x＝1交于点C； ①；；； ②P为关于1的对称函数图象上一点（点P不与点C重合），当时，求点P的坐标； (2)当时，直线与关于m的对称函数有两个交点时，求m的取值范围； (3)当时，点E是关于m的对称函数图象上的一点，点E的横坐标为m，点F为y轴上一点，点F的坐标为，直接写出是以为直角边的直角三角形时m的值． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $