精品解析：北京市西城区北京师范大学附属实验中学2025-2026学年度第二学期期中试卷 八年级数学

北师大实验中学2025—2026学年度第二学期期中试卷初二年级数学 考生须知 1.本试卷共6页，共4道大题，27道小题；答题卡共3页． 满分110分．考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． A卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的3条线段，不能首尾相连构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 9，16，25 C. 1，， D. 7，24，25 2. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 3. 点，，，中，在函数的图象上的点的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 4. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ） A. 自变量的取值范围是 B. 它的图象是一条经过原点的射线 C. 它的图象不经过第三象限 D. 随的增大而增大 5. 在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（ ） A. 向上平移4个单位长度得到 B. 向上平移2个单位长度得到 C. 向下平移4个单位长度得到 D. 向下平移2个单位长度得到 6. 如图，平行四边形的顶点坐标分别是，和，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 下列关于图形判定的命题中，正确的是（ ） A. 有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形 8. 如图，以长为1的线段为边分别作直角三角形和等边三角形，其中．连接，则的长的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 10. 平行四边形ABCD中，∠A +∠C =200°，则∠B =_______ . 11. 如图，梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离为_____． 12. 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_____． 13. 已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 14. 若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 15. 如图，公路和公路在点处交汇，且，某实验室位于公路上的点处，到点的距离是．假设救护车行驶时，周围以内能听到鸣笛声，那么当救护车在公路沿方向以的速度匀速行驶时，在该实验室能听到救护车鸣笛声的持续时间为____s． 16. 如图，正方形纸片的边长为1，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使点落在上，落点记为，折痕交于点．若、分别是、边的中点，则的长为____；若、分别是、边上距最近的等分点（，且为整数），则点到直线的距离为____（用含的式子表示）． 三、解答题（本题共9小题，共60分，其中第17-18题每题7分，第19题8分，第20题5分，第21-23题每题6分，第24题7分，第25题8分） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知一次函数的图象经过点与． （1）求该函数的解析式； （2）说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围． 19. 尺规作图及证明． 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：点关于直线的对称点． （1）根据以下作法，在答题卡上完成尺规作图． 作法：先以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点，； 分别以，为圆心，为半径画弧， 两弧在直线的另一侧交于点，点为所求． （2）填空（其中______处填推理的依据）： 证明：（连接必要的线段）根据作图过程，有线段______=______=______， 四边形为______形.（______） ，（______） 且线段______被线段______平分． 点，关于直线对称． 20. 如图，在四边形中，，，，为的中点，连接．判断四边形的形状，并证明． 21. 求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（画出图形，写出已知、求证，并证明） 22. 已知：直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）画出函数的图象； （3）过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 23. 如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 24. 王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程与所经过的时间（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： （1）学校与图书馆的距离是_____；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟； （2）相遇前，二人之间的距离的最大值是_____； （3）当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ 25. 如图，在中，，（），是的中点，延长至点使得，连接．是线段上的动点，点在线段上，满足． （1）如图1，当且点与重合时，直接写出的长； （2）如图2，点不与，重合，判断与的数量关系，并证明； （3）若当点为的中点时，点恰为的中点，求的值． B卷 四、解答题（本题共10分，其中第26题4分，第27题6分） 26. 如图，已知三条平行线，，间的距离为，，间的距离为，点是直线上的一个定点，求作：直线上一点和直线上一点，使得是等腰直角三角形． （1）若要求，小明经过探究给出了以下作法： 在直线上，在点的左侧截取，在点的右侧截取；过作的垂线交于点，过作的垂线交于点，则点，为所求．连接，，得到． 判断按此法作出的是否为等腰直角三角形（答“是”或“否”）； 当，时，直接写出的长； （2）若要求，在答题纸上完成作图，并说明作法．（若满足条件的不唯一，作出一个即可） 27. 已知变量是实数，取值范围是，是的函数，部分函数值如下表： 对于给定的条件，在以为自变量、满足条件的所有函数中，能使得函数图象（视为一条曲线）的长度最小的函数称为的“-短函数”． （1）当条件为“”时，直接写出的“-短函数”的表达式； （2）当条件为“，且存在（）使得当时的值为”时，是的“-短函数”，求此函数图象的长度； （3）当条件为“且”时，是的“-短函数”时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大实验中学2025—2026学年度第二学期期中试卷初二年级数学 考生须知 1.本试卷共6页，共4道大题，27道小题；答题卡共3页． 满分110分．考试时间100分钟． 2.在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号． 3.试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效． 4.在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答． A卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列长度的3条线段，不能首尾相连构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 9，16，25 C. 1，， D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； B、，不满足三角形的三边关系定理，不能构成三角形，也就不能构成直角三角形； C、，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形； D、，满足勾股定理的逆定理，能构成直角三角形． 2. 若一个多边形的内角和是外角和的2倍，则这个多边形的边数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的内角与外角，熟记内角和公式和外角和定理并列出方程是解题的关键． 由多边形的外角和是，进而得到多边形的内角和是．设这个多边形是n边形，再根据多边形内角和公式列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形是n边形， 根据题意得：，解得：． 所以这个多边形为六边形． 故选：C． 3. 点，，，中，在函数的图象上的点的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若解析式有意义，且计算得到的纵坐标与点的纵坐标相等，则该点在函数图象上，依次验证四个点即可得出结果. 【详解】解：对点，代入，得，与点的纵坐标相等，该点在图象上； 对点，代入，分母，函数式无意义，该点不在图象上； 对点，代入，得，与点的纵坐标相等，该点在图象上； 对点，代入，得，与点的纵坐标不相等，该点不在图象上. 综上，共有2个点在函数图象上. 4. 下列关于正比例函数的说法中，正确的是（ ） A. 自变量的取值范围是 B. 它的图象是一条经过原点的射线 C. 它的图象不经过第三象限 D. 随的增大而增大 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵正比例函数的自变量可以取任意实数，图象是过原点的一条直线， ∴A选项自变量取值范围是的说法错误；B选项图象是经过原点的射线的说法错误； ∵该函数的比例系数， ∴函数图象经过第一，三象限，且随的增大而增大，因此C选项图象不经过第三象限的说法错误，D选项说法正确． 5. 在平面直角坐标系中，直线可以看作由直线（ ） A. 向上平移4个单位长度得到 B. 向上平移2个单位长度得到 C. 向下平移4个单位长度得到 D. 向下平移2个单位长度得到 【答案】A 【解析】 【分析】根据一次函数图象的平移规律，利用上下平移“上加下减”的规则，即可判断平移方向和平移距离. 【详解】解：原直线解析式为 ，平移后的直线为 ，相当于在原解析式整体加了， ∴是向上平移个单位长度得到的. 6. 如图，平行四边形的顶点坐标分别是，和，则顶点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合点的坐标特征求解即可． 【详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴且． ∵，， ∴在轴上，且， ∴平行于轴，且． 又， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，为， 点的横坐标为， ∴点的坐标为． 7. 下列关于图形判定的命题中，正确的是（ ） A. 有一组对边平行，有一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有一个内角被对角线平分的平行四边形是菱形 C. 对角线互相垂直平分的四边形是矩形 D. 有三条边相等，对角线也相等的四边形是正方形 【答案】B 【解析】 【分析】根据各类特殊四边形的判定定理逐一判断命题正误. 【详解】解：对于选项A，∵等腰梯形满足“一组对边平行，一组对边相等”，但不是平行四边形，∴A错误； 对于选项B，∵四边形是平行四边形，对边平行，若一个内角被对角线平分，由平行线内错角相等可推出该平行四边形一组邻边相等， ∴邻边相等的平行四边形是菱形，B正确； 对于选项C，∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，对角线相等且互相平分的四边形才是矩形，∴C错误； 对于选项D，满足“三条边相等，对角线也相等”的四边形不一定是正方形，例如一个等腰梯形，若它的一个底边和两条腰相等，则满足三条边相等且对角线相等，但它不是正方形，故D错误. 8. 如图，以长为1的线段为边分别作直角三角形和等边三角形，其中．连接，则的长的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点O，连接，，根据直角三角形的性质得出，根据等边三角形的性质，结合勾股定理求出，根据，的长度为定值，得出，即可得出答案． 【详解】解：取的中点O，连接，，如图所示： ∵长固定，， ∴， ∵点O为的中点，为等边三角形， ∴，，， ∴， ∵，的长度为定值， ∴， ∴长度最大为． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9. 若二次根式有意义，则x的取值范围是___． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意，使二次根式有意义，即x﹣2≥0， 解得：x≥2． 故答案为：x≥2． 【点睛】本题主要考查使二次根式有意义的条件，理解二次根式有意义的条件是解题关键． 10. 平行四边形ABCD中，∠A +∠C =200°，则∠B =_______ . 【答案】80°##80度 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质（平行四边形的对角相等，对边平行）可得，又由 ，可得． 【详解】解：四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C，， ， ， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，对边平行．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 11. 如图，梯形中，，，，，，为边上一点，，则，之间的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，得出，，进而求出，然后在中根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， 即，之间的距离为． 12. 若一次函数的图象如图所示，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象求不等式的解集即可． 【详解】解：由图象可知当时，， ∴不等式的解集是． 13. 已知一个等腰三角形的周长为20，写出底边长关于腰长的函数解析式：______，该解析式中自变量的取值范围是_____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据等腰三角形周长公式建立等式，整理得到底边长关于腰长的函数解析式，再利用三角形三边关系列不等式组，求解得到自变量的取值范围. 【详解】解：由等腰三角形周长等于两腰长与底边长的和，可得， 移项整理得 ， 根据三角形三边关系，边长为正数，且两边之和大于第三边，可得不等式组， 将代入不等式组，得， 解不等式，得 ， 解不等式，得 ， 因此自变量的取值范围是. 14. 若直线和直线相交，且交点在第一象限内，则和的大小关系为______．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】联立两条直线的方程求出交点横坐标，再根据第一象限内点的横坐标为正，推导得到和的大小关系. 【详解】解：联立直线方程得，则 = ， 移项得， ∵两直线相交， ∴， ∴， ∵交点在第一象限，第一象限内点的横坐标大于，所以， 即， ∴， ∴. 15. 如图，公路和公路在点处交汇，且，某实验室位于公路上的点处，到点的距离是．假设救护车行驶时，周围以内能听到鸣笛声，那么当救护车在公路沿方向以的速度匀速行驶时，在该实验室能听到救护车鸣笛声的持续时间为____s． 【答案】6 【解析】 【分析】作于点，根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，在点两侧取两点，使，求出的长，再根据时间等于路程除以速度，进行求解即可. 【详解】解：作于点， 由题意，， ∴， ∵救护车行驶时，周围以内能听到鸣笛声， ∴在点两侧取两点，使， 则， ∴（秒）. 16. 如图，正方形纸片的边长为1，、分别是、边上的点，将纸片的一角沿过点的直线折叠，使点落在上，落点记为，折痕交于点．若、分别是、边的中点，则的长为____；若、分别是、边上距最近的等分点（，且为整数），则点到直线的距离为____（用含的式子表示）． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据折叠的性质，勾股定理进行求解即可. 【详解】解：由题意，， 当、分别是、边的中点时，， ∵折叠， ∴， 由勾股定理，得； 当、分别是、边上距最近的等分点（，且为整数）时，则， ∵折叠， ∴， 由勾股定理，得 . 三、解答题（本题共9小题，共60分，其中第17-18题每题7分，第19题8分，第20题5分，第21-23题每题6分，第24题7分，第25题8分） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）把12化成，化成，48化成，在把4，，16开方出来，最后合并． （2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数部分与部分． 【小问1详解】 ． 【小问2详解】 ． 【点睛】本题主要考查了实数的运算，二次根式的化简，最简二次根式．解决问题的关键是深刻理解最简二次根式的概念，熟练分解出能开得尽方的因式（因数），分母有理化因式（因数），合并同类二次根式．（1）先把各个根式化简，再合并最简同类二次根式．（2）先按多项式乘多项式的法则展开，再分别合并有理数与无理数． 18. 已知一次函数的图象经过点与． （1）求该函数的解析式； （2）说明该函数的一条性质，并利用该性质直接写出当时的取值范围． 【答案】（1） （2）随的增大而减小； 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）写出函数的增减性，根据增减性确定的取值范围即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的解析式为， 把点与代入函数解析式，得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴随的增大而减小， ∵图象过点， ∴当时，． 19. 尺规作图及证明． 已知：如图，直线和直线外一点． 求作：点关于直线的对称点． （1）根据以下作法，在答题卡上完成尺规作图． 作法：先以为圆心，适当长为半径画弧，交直线于点，； 分别以，为圆心，为半径画弧， 两弧在直线的另一侧交于点，点为所求． （2）填空（其中______处填推理的依据）： 证明：（连接必要的线段）根据作图过程，有线段______=______=______， 四边形为______形.（______） ，（______） 且线段______被线段______平分． 点，关于直线对称． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意直接作图即可； （2）根据菱形的判定和性质即可证明． 【小问1详解】 解：如图所示即为所求； 【小问2详解】 证明：（连接必要的线段）根据作图过程，有线段， 四边形为菱形（四条边都相等的四边形是菱形） ，（菱形的对角线互相垂直） 且线段被线段平分． 点，关于直线对称． 20. 如图，在四边形中，，，，为的中点，连接．判断四边形的形状，并证明． 【答案】菱形，见解析 【解析】 【分析】根据“在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半”以及并结合已知条件易证四边形为平行四边形，进而根据“有一组邻边相等的平行四边形为菱形”可证结论． 【详解】解： E为的中点，且． 又 四边形为平行四边形． 四边形为菱形． 21. 求证：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．（画出图形，写出已知、求证，并证明） 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据命题写出已知和求证然后进行证明，延长至点，使，连接，证明，根据全等三角形的性质得到，，得到四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质证明即可． 【详解】已知：在中，点，分别是，中点，连接． 求证：，． 证明：延长至点，使，连接， 点，分别是，中点， ，， 在和中， ， ， ，， ，， 四边形为平行四边形， ，． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质，掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 22. 已知：直线与轴交于点，与轴交于点． （1）求点，的坐标； （2）画出函数的图象； （3）过点作直线交轴于点，且使，直接写出的面积． 【答案】（1）， （2）见解析 （3）或 【解析】 【分析】（1）令、，求出对应的、的值，即可求出点，的坐标； （2）根据（1）中点，的坐标画图即可； （3）先求出、的长度，结合已知求出的长度，然后分点在点上方和点在点下方讨论即可. 【小问1详解】 解：当时，； 当时，，解得， 所以，； 【小问2详解】 解：如图，直线即为所求， 【小问3详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵点在轴上， ∴， 当点在点上方时，， ∴的面积为； 当点在点下方时， ∵， ∴点在轴的负半轴上， ∴， ∴的面积为； ∴的面积为或. 23. 如图，的中线，相交于点，且，分别是，的中点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线定理可得出，，然后利用平行四边形的判定即可得证； （2）利用三线合一得，由勾股定理求出，结合平行四边形的性质可求出，再由勾股定理求出，然后根据三角形中位线定理可得的长． 【小问1详解】 证明：∵的中线，交于点O， ∴，， ∵点F，G分别是，的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：如图，连接， ∵，是的中线， ∴，， ∴． ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵是中点， ∴， ∴， ∴． ∵，E分别是，的中点， ∴． 24. 王鹏和李明从学校同时出发沿同一条路到图书馆查阅资料，王鹏骑自行车，李明步行．当王鹏查完资料，从原路返回到达学校时，李明刚好到达图书馆．图中折线和线段分别表示两人离学校的路程与所经过的时间（分钟）之间的函数关系． 根据图象回答问题： （1）学校与图书馆的距离是_____；王鹏在图书馆停留的时间为_____分钟； （2）相遇前，二人之间的距离的最大值是_____； （3）当王鹏与李明迎面相遇时，他们离学校的距离是多少千米？ 【答案】（1）4；15 （2） （3）3千米 【解析】 【分析】（1）根据函数图象直接求解即可； （2）根据待定系数法分别得出所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为，同理：所在直线的函数解析式为，同理：所在直线的函数解析式为，分别作差求解即可； （3）由（2）得所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为，求出交点坐标，代入函数解析式即可求解． 【小问1详解】 解：学校与图书馆的距离是4；王鹏在图书馆停留的时间为分钟； 【小问2详解】 由图象可知，线段所在直线，是的正比例函数， 设所在直线的函数解析式为， 代入，得：， 解得：， 所在直线的函数解析式为， 所在直线的函数解析式为， 同理：所在直线的函数解析式为， 同理：所在直线的函数解析式为， 当时，， 当时，取得最大值为：； 当时，二人之间的距离为：， 当时，取得最大值为：； 当时，王鹏查完资料，从原路往回返，与李明的距离一直缩小， ∴二人之间的距离的最大值是； 【小问3详解】 由（2）得所在直线的函数解析式为，所在直线的函数解析式为， ∴， 解得：， ∴． 25. 如图，在中，，（），是的中点，延长至点使得，连接．是线段上的动点，点在线段上，满足． （1）如图1，当且点与重合时，直接写出的长； （2）如图2，点不与，重合，判断与的数量关系，并证明； （3）若当点为的中点时，点恰为的中点，求的值． 【答案】（1） （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先证明为等边三角形，再证明，然后证明为等边三角形，即可得出结果； （2）连接，易得垂直平分，得到，进而得到，设，倒角推出，推出，即可得出结论； （3）延长至点，使，连接，易得为的中位线，进而得到，设，推出，在和，利用勾股定理求出，进而推出，得到为等腰直角三角形，即可得出结果． 【小问1详解】 解：∵，， ∴为等边三角形， ∴， ∵是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 连接， ∵，（），是的中点， ∴垂直平分， ∵是线段上的动点， ∴， ∴， 设，则， ∴， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：延长至点，使，连接， 由（1）可知， ∴， ∵为的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， 由（2）知：， ∴设，则， ∵，为的中点， ∴， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即． B卷 四、解答题（本题共10分，其中第26题4分，第27题6分） 26. 如图，已知三条平行线，，间的距离为，，间的距离为，点是直线上的一个定点，求作：直线上一点和直线上一点，使得是等腰直角三角形． （1）若要求，小明经过探究给出了以下作法： 在直线上，在点的左侧截取，在点的右侧截取；过作的垂线交于点，过作的垂线交于点，则点，为所求．连接，，得到． 判断按此法作出的是否为等腰直角三角形（答“是”或“否”）； 当，时，直接写出的长； （2）若要求，在答题纸上完成作图，并说明作法．（若满足条件的不唯一，作出一个即可） 【答案】（1）是， （2）见解析 【解析】 【分析】（1）证明，即可判断是等腰直角三角形；根据勾股定理求出、的长度即可； （2）在直线上，在点的右侧截取；过作的垂线交于点，交于M，在点的左侧截取，连接，，得到即可． 【小问1详解】 解：如图， 是等腰直角三角形， 理由：由作图知：，，，， 又， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 同理可证， 又， ∴， ∴，， 又， ∴，即， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：如图，即为所求， 27. 已知变量是实数，取值范围是，是的函数，部分函数值如下表： 对于给定的条件，在以为自变量、满足条件的所有函数中，能使得函数图象（视为一条曲线）的长度最小的函数称为的“-短函数”． （1）当条件为“”时，直接写出的“-短函数”的表达式； （2）当条件为“，且存在（）使得当时的值为”时，是的“-短函数”，求此函数图象的长度； （3）当条件为“且”时，是的“-短函数”时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据两点之间线段最短，求连接的线段解析式即可； （2）作点关于直线对称，得到，连，求出其长度，进而利用“两点之间线段最短”即可得解； （3）令，当时，且线段时，总长度最短，根据两直线的斜率相等列出方程求得，利用待定系数法得到的解析式，把代入即可求得的值. 【小问1详解】 解：要使函数图象长度最小，根据“两点之间线段最短”，直接连接点和即可， 设， ∵图象经过点， ∴， 解得：， 即：； 【小问2详解】 解：要满足条件：，且存在（）使得当时的值为，是的“-短函数” ，利用轴对称找最短路径： 把点关于直线对称，得到，  如图所示， ∴连接两点的线段长度为：， ∵要使总长度最小，到走水平线段，长度为最短， ∴函数图象的总长度； 【小问3详解】 解：令， 由题意得：当时，且线段时，总长度最短， ∴， 解得：， 设直线的解析式为：， ∵解得：， 即：， 当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $