第19章 四边形 单元综合能力突破卷 2025-2026学年沪科版八年级数学下册

第19章 四边形 单元综合能力突破卷 一、单选题 1．如图，在菱形中，M、N分别是和的中点，于点P，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 2．如图，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，若，则的度数为（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 4．如图，在中，，点在上，平分．已知，，点为的中点，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥AB，垂足为点E，连接OE，若OE=3，AE=7则AC的长为（　　） A．5 B．16 C．10 D．12 6．如图①，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处，得到图②，则下列四个结论中，不一定成立的是（　　） A．DB＝DA B．∠B＋∠C＋∠1＝180° C．△ADE≌△A'DE D．BA＝CA 7．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．7 B．8 C． D． 9．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点E，点F在边上，，连接分别交和于点G，H，动点P在上，于点Q，连接.则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．的最小值是 二、填空题 11．在平行四边形中，若，则　 　． 12．如图，平行四边形，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边形的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是　 　． 13．在中，，将沿底边上的高剪成两个直角三角形（图1）．把剪出的两个直角三角形的边重合拼成平行四边形（图2），则拼成的平行四边形的对角线长为　 　． 14．在中，，，，点D为斜边的中点，那么　 　． 15．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则　 　． 16．如图，平行四边形纸片 中， ，将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合，则下列结论正确的是　 　. ① ；② ；③ ；④ 三、综合题 17．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H． （1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形； （3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明） 18．已知：如图，点 在 的边 上，CF//AB， 交 于 ， ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，若 ，请直接写出和 面积相等的三角形． 19．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB 于点 E，作DF⊥BC 于点F，连接EF。求证： （1）△ADE≌△CDF； （2）∠BEF＝∠BFE. 20．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上两点，AE=CF， DF∥BE，DF=BE。 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形。 （2）当AC平分∠BAD时，求证：AC⊥BD。 21．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分，，，求BF的长． 22．如图，四边形 中， ， ，过点A作 ，垂足为E，且 ．连接 ，交 于点F． （1）探究 与 的数量关系，并证明； （2）探究线段 ， ， 的数量关系，并证明你的结论． 23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积． 24．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H． （1）求证：△BEF≌△CEH； （2）求DE的长． 25．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且. （1）求证：； （2）求证：； （3）请你连接，并求线段的长. 答案 一、单选题 1．如图，在菱形中，M、N分别是和的中点，于点P，连接，若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 2．如图，下列条件不能判定四边形为平行四边形的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 3．如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，连接AE，CE，若，则的度数为（　　） A．105° B．120° C．135° D．150° 【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线， ∴AB=AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°， ∵DE=AB， ∴DE=AD，∴∠DAE=∠DEA=， 在Rt∆ADE和Rt∆CDE中，， ∴∆ADE≌∆CDE（SAS） ∴∠AED=∠CED， 则∠AEC=2∠DEA=135°. 故答案为：135°. 【分析】由正方形的性质可得AB=AD=CD，∠ADB=∠CDB=45°，结合已知可得DE=AD，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求得∠DAE=∠DEA的度数，用边角边可证∆ADE≌∆CDE，由全等三角形的性质得∠AED=∠CED，根据角的构成得∠AEC=2∠DEA可求解. 4．如图，在中，，点在上，平分．已知，，点为的中点，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 5．如图，菱形ABCD中，AC交BD于点O，DE⊥AB，垂足为点E，连接OE，若OE=3，AE=7则AC的长为（　　） A．5 B．16 C．10 D．12 【答案】D 【解析】【解答】解：在菱形ABCD中，BO=DO，AO=CO，AD=AB，AC⊥BD， ∵ DE⊥AB ，∴∠DEB=∠AED=90°， ∴BD=2OE=6，即OB=OD=3， 设AD=AB=x，则BE=AB-AE=x-7， 在Rt△ADE中，DE2=x2-72，在Rt△BDE中，DE2=62-（x-7）2， ∴x2-72=62-（x-7）2， 解得x=9或-2（负值舍去），即AD=9， ∴AO==， ∴AC=2AO=12， 故答案为：D. 【分析】由菱形的性质可得BO=DO，AO=CO，AD=AB，AC⊥BD，根据直角三角形斜边中线的性质可得BD=2OE=6，设AD=AB=x，则BE=AB-AE=x-7，利用勾股定理可得AD2-AE2=BD2-BE2，据此建立关于x方程并解之，即得AD的长，再利用勾股定理求出AO的长，即得AC的长， 6．如图①，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处，得到图②，则下列四个结论中，不一定成立的是（　　） A．DB＝DA B．∠B＋∠C＋∠1＝180° C．△ADE≌△A'DE D．BA＝CA 【答案】D 【解析】【解答】解：A、∵点D是AB的中点， ∴DB=DA，故A不符合题意； B、∵把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处，得到图②， ∴∠A=∠1， ∵∠A+∠B+∠C=180°， ∴∠1+∠B+∠C=180°，故B不符合题意； C、把△ADE沿线段DE向下折叠，使点A落在BC上的点A'处， ∴△ADE≌△A'DE，故C不符合题意； D、∵△ABC时任意三角形，不能证明BA=CA，故D符合题意 故答案为：D. 【分析】利用线段中点的定义，可对A作出判断；利用折叠的性质可证得∠A=∠1，再利用三角形的内角和定理可对B作出判断；利用折叠的性质可证得△ADE≌△A'DE，可对C作出判断；根据△ABC时任意三角形，不能证明BA=CA，可对D作出判断. 7．在中，D，E分别是边AB，AC的中点，按图中方法作图后，若四边形ABHG的周长与的周长相等，还需具备的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 8．如图，在△ABC中，AB＝AC＝16，BC＝12，AF⊥BC于点F，BE⊥AC于点E，D为AB的中点，M为EF的中点，则DM的长为（　　） A．7 B．8 C． D． 【答案】C 【解析】【解答】解：连接DF，DE，如图所示： ∵， ∴F 是中点， ∵，∴，△BEC是直角三角形， ∴， 同理：， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴． 故答案为：C. 【分析】根据等腰三角形三线合一先证出F是BC的中点，再由垂直得到△BEC是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，同理求得DF，DE，在△DEF中，根据等腰三角形的性质和勾股定理求得DM的长即可. 9．如图，在矩形纸片中，，，将沿折叠到位置，交于点F，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 10．如图，在边长为1的正方形中，的平分线交边于点E，点F在边上，，连接分别交和于点G，H，动点P在上，于点Q，连接.则下列结论错误的是（　　） A． B． C． D．的最小值是 【答案】C 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为正方形， ∴DA=AB，. 又∵， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴，即，故A正确，不符合题意； ∵的平分线交边于点E， ∴. 又∵，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴. ∴，故B正确，不符合题意； 如图，连接EH， ∵DE=DE，，， ∴， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，故C错误，符合题意； 如图，过点P作于点M，过点H作于点N. ∵的平分线交边于点E， ∴， ∴， ∴的最小值为HN的长. ∵， ∴为等腰直角三角形. ∵， ∴， ∴的最小值为，故D正确，不符合题意； 故答案为：C. 【分析】根据正方形的性质可得DA=AB，∠DAE=∠AEF，证明△DAE≌△ABF，得到∠ADE=∠BAF，结合∠ADE+∠AEG=90°可得∠AGE=90°，据此判断A；根据角平分线的概念可得∠ADG=∠HDG，证明△ADG≌△HDG，得到AD=HD，由等腰三角形的性质可得∠DAH=∠DHA，由对顶角的性质可得∠BHF=∠DHA，推出∠BHF=∠DAH，根据平行线的性质可得∠DAH=∠BFH，推出BF=BH，AE=BH，进而判断B；连接EH，证明△ADE≌△HDE，得到AE=HE，∠DHE=∠DAE=90°，推出△BEH为等腰直角三角形，据此判断C；过点P作PM⊥AD于点M，过点H作HN⊥AD于点N，根据角平分线的性质可得PM=PQ，则PH+PQ的最小值为HN的长，易得△NDH为等腰直角三角形，求出HN，据此判断D. 二、填空题 11．在平行四边形中，若，则　 　． 【答案】50° 12．如图，平行四边形，、是它的对角线，其中，，亲爱的同学，你已经学习了勾股定理，平行四边形的性质和判定，请你用你所学的知识研究平行四边的一组邻边、与对角线、之间数量的关系，并直接写出的值是　 　． 【答案】50 13．在中，，将沿底边上的高剪成两个直角三角形（图1）．把剪出的两个直角三角形的边重合拼成平行四边形（图2），则拼成的平行四边形的对角线长为　 　． 【答案】 14．在中，，，，点D为斜边的中点，那么　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：由勾股定理得：， ∵点是的中点， ∴． 故答案为：． 【分析】根据直角三角形斜边中线的性质和勾股定理求解。先用勾股定理求出的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求CD的长． 15．如图，在矩形中，顶点的坐标为，顶点的坐标为，以点为圆心，的长为半径画弧，交轴的正半轴于点D，连接，过点作，交轴于点E，连接，则　 　． 【答案】 16．如图，平行四边形纸片 中， ，将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合，则下列结论正确的是　 　. ① ；② ；③ ；④ 【答案】②④ 【解析】【解答】解：∵将平行四边形纸片 折叠，使点A与点C重合 ∴根据翻折的性质可知， ∴ ， ， ∴在 和 中， ∴ ， ∴ ∴ （故②正确） ∴ （故③错误） ∵四边形 是平行四边形 ∴ ， ∴ ∵ ， ∴ ∴ （故④正确） ∵折痕 与对角线 没有重合， ∴对角线 和 不垂直 ∴ 不是菱形 ∴ ∴ ∴ （故①错误）. 故答案是：②④ 【分析】根据平行四边形的性质、翻折的性质、全等三角形的性质、含 角的直角三角形的性质、勾股定理、三角形中线的性质、三角形的面积等进行推理证明即可得解. 三、综合题 17．如图，在Rt△ABC与Rt△ABD中，∠ABC=∠BAD=90°，AD=BC，AC，BD相交于点G，过点A作AE∥DB交CB的延长线于点E，过点B作BF∥CA交DA的延长线于点F，AE，BF相交于点H． （1）图中有若干对三角形是全等的，请你任选一对进行证明；（不添加任何辅助线） （2）证明：四边形AHBG是菱形； （3）若使四边形AHBG是正方形，还需在Rt△ABC的边长之间再添加一个什么条件？请你写出这个条件．（不必证明） 【答案】（1）解：△ABC≌△BAD．证明：∵AD=BC，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BA， ∴△ABC≌△BAD（SAS）． （2）证明：∵AH∥GB，BH∥GA，∴四边形AHBG是平行四边形．∵△ABC≌△BAD， ∴∠ABD=∠BAC． ∴GA=GB． ∴平行四边形AHBG是菱形． （3）解：需要添加的条件是AB=BC． 【解析】【分析】（1）用边角边易证得△ABC≌△BAD； （2）由两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得四边形AHBG是平行四边形，由（1）知△ABC≌△BAD，所以∠ABD=∠BAC，由等角对等边可得GA=GB，根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可得平行四边形AHBG是菱形； （3）要使四边形AHBG是正方形，添加条件AB=BC即可。理由：由（1）知△ABC≌△BAD，所以∠ABD=∠BAC，因为AB=BC，∠ABC=90°，所以∠BAC=∠ACB=，则∠ABD=∠BAC=，所以∠AGB=90°，由（2）知平行四边形AHBG是菱形，所以根据有一个角是直角的菱形是正方形可得四边形AHBG是正方形。 18．已知：如图，点 在 的边 上，CF//AB， 交 于 ， ． （1）如图1，求证： ； （2）如图2，若 ，请直接写出和 面积相等的三角形． 【答案】（1）证明：∵ ∴ ， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴四边形 为平行四边形 ∴ （有一组对边平行且相等的四边形为平行四边形） （2）解： ， ， ， ∵AD=BD， ∴ (等底等高面积相等) ∵四边形ADCF是平行四边形， ∴ (等底等高面积相等) ． 故与 面积相等的三角形为： ， ， ， ． 【解析】【分析】（1）根据AAS证明得到△ADE≌△CFE，即可得到AD=CF，可以证明四边形ADCF为平行四边形； （2）根据平行四边形的性质求出答案即可。 19．如图，在菱形ABCD中，过点D作DE⊥AB 于点 E，作DF⊥BC 于点F，连接EF。求证： （1）△ADE≌△CDF； （2）∠BEF＝∠BFE. 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=DC，∠A=∠C ∵DE⊥AB，DF⊥BC， ∴∠DEA=∠CFD=90° ∴ΔADE≌ΔCDF（AAS） （2）解：∵ΔADF≌ΔCDF， ∴AE=CF ∵AB=BC， ∴BE=BF， ∴∠BEF=∠BFE 【解析】【分析】（1）由菱形的四条边都相等可知AD=DC，菱形的对角相等可知∠A=∠C，再由已知条件中给出的DE⊥AB，DF⊥BC，可知∠ADE=∠CFD=90°，由三角形的全等判定条件AAS可知ΔADE≌ΔCDF； （2）由（1）中的△ADE≌△CDF可知对应边相等，即AE=CF，再由AB=BC，可知BE=BF，由等腰三角形的等边对等角即可证得∠BEF=∠BFE。 20．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E、F是AC上两点，AE=CF， DF∥BE，DF=BE。 （1）求证：四边形ABCD是平行四边形。 （2）当AC平分∠BAD时，求证：AC⊥BD。 【答案】（1）证明：∵DF∥BE，∴∠DFE=∠BEF ∴∠DFC=∠BEA， 在△DFC和△BEA中， ∴△DFC≌△BEA(SAS) ∴∠DCF=∠BAE，∴DC=BA ∴DC∥BA ∴四边形ABCD是平行四边形 （2）解：∵AC平分∠BAD， ∴∠DAC=∠BAC ∵DC∥BA ∴∠DCA=∠BAC， ∴∠DCA=∠DAC， ∴DC=DA ∴平行四边形ABCD是菱形 ∴AC⊥BD 【解析】【分析】（1）利用两直线平行，内错角相等，可证得∠DFE=∠BEF，利用等角的补角相等，可证 ∠DFC=∠BEA，再利用SAS证明△DFC≌△BEA，利用全等三角形的性质，易证∠DCF=∠BAE，DC=AB，从而可证DC∥BA，然后利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证得结论。 （2）利用角平分线的定义及平行线的性质，去证明∠DCA=∠DAC，再利用等角对等边，可证AD=CD，利用一组邻边相等的平行四边形是菱形，可证得四边形ABCD是菱形，然后利用菱形的对角线互相垂直，可证得结论。 21．如图，在平行四边形ABCD中，过点D作于点E，点F在边CD上，且，连接AF、BF． （1）求证：四边形DEBF是矩形； （2）若AF平分，，，求BF的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵DF∥EB， ∴四边形DEBF是平行四边形， 又∵， ∴， ∴平行四边形DEBF是矩形； （2）解：∵AF平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△AED中，， 由勾股定理得：， 由（1）得四边形DEBF是矩形， ∴． 【解析】【分析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形先证四边形DEBF是平行四边形， 再证 ， 则平行四边形DEBF是矩形； （2）先求得，在Rt△AED中，根据勾股定理得：，由（1）得四边形DEBF是矩形，。 22．如图，四边形 中， ， ，过点A作 ，垂足为E，且 ．连接 ，交 于点F． （1）探究 与 的数量关系，并证明； （2）探究线段 ， ， 的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）解：∠DAE+∠CAE=90°， 理由：设∠CAE= ， ∵AE⊥BE， ∴∠AEB=90°， ∵AE=BE， ∴∠EAB=∠EBA=45°， ∵CD∥AB， ∴∠DCA=∠CAB=45°+ ， ∵AC=AD， ∴∠DCA=∠ADC=45°+ ， ∴∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2 ， ∴∠DAE+∠CAE=∠DAC+∠CAE+∠CAE=90°-2 + + =90°； （2）解：AF=EF+CE， 理由：延长DC交AE延长线于G，连接BG， ∵CD∥AB， ∴∠ECG=∠EBA=∠EAB=∠CGE=45°， ∴CE=EG，AE=BE， 又∵∠CEA=∠GEB=90°， ∴△CEA≌△GEB， ∴AC=GB=AD，∠ACE=∠BGE， ∴∠CAE=∠GBE， ∵∠GEB=90°， ∴∠AGB+∠GBE=90°， ∵由（1）知∠DAE+∠CAE=90°， ∴∠DAE=∠AGB， ∴AD∥BG， ∵DG∥AB， ∴四边形ABGD是平行四边形， ∴AF=GF， ∵GF=EF+GE=EF+CE， ∴AF=EF+CE． 【解析】【分析】（1）设∠CAE= ，根据AE⊥BE，得出∠AEB=90°，再根据AE=BE，CD∥AB，得出∠EAB=∠EBA=45°，∠DCA=∠CAB=45°+ ，∠DCA=∠ADC=45°+ ，由∠DAC=180°-∠DCA-∠ADC=90°-2 ，即可得出结论； （2）延长DC交AE延长线于G，连接BG，根据平行线的性质得出CE=EG，AE=BE，证出△CEA≌△GEB，得出∠CAE=∠GBE，由（1）知∠DAE+∠CAE=90°，得出∠DAE=∠AGB，证出四边形ABGD是平行四边形，推出AF=GF，再根据GF=EF+GE=EF+CE，即可得出结论。 23．在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF//BC交BE的延长线于点F． （1）证明：四边形ADCF是菱形； （2）若AC＝3，AB＝4，求菱形ADCF的面积． 【答案】（1）证明：∵E是AD的中点，D是BC的中点， ∴AE＝DE，BD=CD， ∵AF//BC， ∴∠AFE＝∠DBE， 在△AEF和△DEB中， ， ∴△AEF≌△DEB（AAS）； ∴AF＝DB， ∴AF＝DC 又∵AF//BC， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∵∠BAC＝90°，D是BC的中点， ∴AD＝BC＝CD， ∴平行四边形ADCF是菱形； （2）解：∵D是BC的中点， ∴△ACD的面积＝△ABD的面积＝△ABC的面积， ∵四边形ADCF是菱形， 菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积＝AC×AB＝×3×4＝6． 【解析】【分析】（1）先利用“AAS”证明△AEF≌△DEB可得AF=DB，再证明四边形ADCF是平行四边形，然后结合AD＝BC＝CD，可得平行四边形ADCF是菱形； （2）根据“ 菱形ADCF的面积＝2△ACD的面积＝△ABC的面积 ”，再将数据代入计算即可。 24．如图，在▱ABCD中，AB=3，AD=4，∠ABC=60°，过BC的中点E作EF⊥AB，垂足为点F，与DC的延长线相交于点H． （1）求证：△BEF≌△CEH； （2）求DE的长． 【答案】（1）解：证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∵EF⊥AB∴EF⊥CD，∴∠BFE=∠CHE=90°， ∵E是BC的中点， ∴BE=CE， 在△BEF和△CEH中， ， ∴△BEF≌△CEH（AAS）； （2）解：∵EF⊥AB，∠ABC=60°，BE= BC= AD=2． ∴BF=1，EF= ． ∵△BEF≌△CEH， ∴BF=CH=1，EF=EH= ，DH=4， ∵∠CHE=90°， ∴DE2=EH2+DH2． ∴DE= = ． 【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质得出AB∥CD，由AAS证明△BEF≌△CEH即可；（2）由平行四边形的性质得出CD=AB=3，BC=AD=4，AB∥CD，由平行线的性质得出∠HCE=∠B=60°，证出EF⊥DH，由含30°角的直角三角形的性质得出CH= CE=1，求出EH= CG= ，DH=CD+CH=4，由勾股定理求出DE即可． 25．已知为直角三角形，，作，平分，点M、N分别为、的中点，且. （1）求证：； （2）求证：； （3）请你连接，并求线段的长. 【答案】（1）证明：∵ ， ∵ ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：如图，连接 ， 由（1）可知 是等腰三角形， ∵N为 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ 是直角三角形， ∵M是 的中点， ∴ . ∵ ∴ ， ∴ . ∵ 平分 ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3）解：延长 交 于点G，连接 ， ∵ ，M是 的中点， ∴N是 的中点， ∴ ， 在 中， ； ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， 即： ， ∴ ， ∴ ， ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ . 【解析】【分析】（1）根据余角的性质、对顶角相等及角平分线的定义可推出，利用等角对等边即得结论； （2）连接CN，根据等腰三角形性质可得，即得△ACN为直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质AM=MN，利用等腰三角形的性质及角平分线的定义可得∠MNA=∠MAN=∠NAD，根据平行线的判断即得结论； （3）延长交于点G，连接，根据勾股定理先求出AB的长，再根据三角形的面积可求出CD的长，利用三角形中位线 定理可得， 可得AC=AG=6，由勾股定理求出CG，利用直角三角形斜边中线的性质可得 ，继而得解. www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $