考点01 随机事件和样本空间（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点01 随机事件和样本空间 考点一： 随机试验 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 2、随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 考点二： 样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 考点三：随机事件 1、随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 2、必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 考点四： 事件的关系与运算 （1）事件的包含关系：事件B发生必导致事件A发生，称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A)，记作BA. （2）事件的运算 定义 符号 图示 并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，即为事件C发生 (或) 交事件(或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，即为事件C发生 (或) 题型一：样本空间 在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏． 遗漏个别试验结果、重复列举；混淆样本点与样本空间，单个结果为样本点。混淆必然事件、不可能事件与样本空间关系，审题不清试验规则，错判基本事件，导致集合书写错误。 1．先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 2．甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 3．一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 4．袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 5．写出下列试验的样本空间：随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，记录值班的情况． 题型二：必然事件、不可能事件与随机事件的判断 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，随机事件可能发生也可能不发生。判断时易受主观经验误导，混淆客观规律与偶然情况；忽视前提条件随意判定；错把小概率事件当作不可能事件，大概率事件误判为必然事件。 1．下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 3．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 4．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 5．如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（    ） A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 题型三：事件的运算 （1）利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． （2）利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算． 混淆并事件、交事件、互斥、对立事件概念；误用运算符号，分不清A∪B与A∩B。互斥只要求不同时发生，对立需互补且并为全集，易混为一谈。遗漏事件运算前提，复杂问题不会拆分事件，容易出现逻辑重叠或遗漏情况。 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 2．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 3．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 4．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 5．掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 1．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 2．下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 3．（多选题）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（   ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 4．（多选题）为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40是该调查的（    ） A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本 5．（多选题）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 6．（多选题）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 7．（多选题）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 9．（多选题）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 10．（多选题）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 11．打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 12．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 13．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 14．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 15．今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届全国人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团． ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表示） 16．班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点01 随机事件和样本空间 考点一： 随机试验 1、随机试验 我们把对随机现象的实现和对它的观察称为随机试验（randomexperiment），简称试验，常用字母E表示． 2、随机试验的特点 （1）试验可以在相同条件下重复进行； （2）试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个； （3）每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果． 考点二： 样本空间 我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，全体样本点的集合称为试验的样本空间（samplespace）．一般地，我们用表示样本空间，用表示样本点．在本书中，我们只讨论为有限集的情况．如果一个随机试验有个可能结果，则称样本空间为有限样本空间． 考点三：随机事件 1、随机事件 一般地，随机试验中的每个随机事件都可以用这个试验的样本空间的子集来表示．为了叙述方便，我们将样本空间的子集称为随机事件（randomevent），简称事件，并把只包含一个样本点的事件称为基本事件（elementaryevent）．随机事件一般用大写字母A，B，C，表示．在每次试验中，当且仅当中某个样本点出现时，称为事件发生． 2、必然事件，不可能事件 在每次试验中总有一个样本点发生，所以总会发生，我们称为必然事件．而空集抔包含任何样本点，在每次试验中都不会发生，我们称不可能事件． 考点四： 事件的关系与运算 （1）事件的包含关系：事件B发生必导致事件A发生，称事件A包含事件B(或事件B包含于事件A)，记作BA. （2）事件的运算 定义 符号 图示 并事件(或和事件) 一般地，事件A与事件B至少有一个发生，即为事件C发生 (或) 交事件(或积事件) 一般地，事件A与事件B同时发生，即为事件C发生 (或) 题型一：样本空间 在写试验结果时，一般采用列举法写出，必须首先明确事件发生的条件，根据日常生活经验，按一定次序列举，才能保证所列结果没有重复，也没有遗漏． 遗漏个别试验结果、重复列举；混淆样本点与样本空间，单个结果为样本点。混淆必然事件、不可能事件与样本空间关系，审题不清试验规则，错判基本事件，导致集合书写错误。 1．先后抛掷两枚质地均匀的硬币． (1)写出该实验的样本空间． (2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？ 【解析】（1）一共出现（正，正），（正，反），（反，正），（反，反）4种不同的结果， 其样本空间为（正，正），（正，反），（反，正），（反，反） （2）因为“一枚正面，一枚反面”，包括（正，反），（反，正）． 所以出现“一枚正面，一枚反面”的情况有2种. 2．甲、乙两人做猜拳游戏（锤子、剪刀、布）． (1)求样本空间； (2)求“平局”包含的样本点； (3)求“甲赢”包含的样本点； (4)求“乙赢”包含的样本点 【解析】（1）样本空间（锤子，锤子），（锤子，剪刀），（锤子，布），（剪刀，锤子），（剪刀，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子），（布，剪刀），（布，布）}（其中小括号内左边的文字代表甲出的拳，右边的文字代表乙出的拳）． （2）“平局”包含（锤子，锤子），（剪刀，剪刀），（布，布）三个样本点． （3）“甲赢”包含（锤子，剪刀），（剪刀，布），（布，锤子）三个样本点． （4）“乙赢”包含（剪刀，锤子），（布，剪刀），（锤子，布）三个样本点． 3．一个口袋内装有除颜色外完全相同的个球，其中个白球，个黑球，从中一次摸出个球． (1)一共有多少个样本点？ (2)写出“个球都是白球”这一事件的集合表示 【解析】（1）分别记白球为、、号，黑球为、号， 则这个试验的样本点为、、、、、、、、 、，共个. （2）记表示“个球都是白球”这一事件，则． 4．袋中有红、白、黄、黑四个颜色不同、大小相同的小球，按下列要求分别进行试验．分别写出下面试验的样本空间，并指出样本点的总数． (1)从中任取一个球； (2)从中任取两个球； (3)先后各取一个球． 【解析】（1）红，白，黄，黑，样本点的总数为4． （2）一次取两个球，若记（红，白）代表一次取出红球、白球各一个， 则样本空间（红，白），（红，黄），（红，黑），（白，黄），（白，黑），（黄，黑），样本点的总数为6． （3）先后取两个球，如记（红，白）代表第一次取出一个红球，第二次取出一个白球． 列表如下： 第一次第二次 红 白 黄 黑 红 （白，红） （黄，红） （黑，红） 白 （红，白） （黄，白） （黑，白） 黄 （红，黄） （白，黄） （黑，黄） 黑 （红，黑） （白，黑） （黄，黑） 则样本空间为（红，白），（白，红），（红，黄），（黄，红），（红，黑），（黑，红），（黄，黑），（黑，黄），（黄，白），（白，黄），（白，黑），（黑，白），样本点的总数为12． 5．写出下列试验的样本空间：随意安排甲、乙、丙、丁4人在4天值班，每人值班1天，记录值班的情况． 【解析】值班情况如图， 设甲、乙、丙、丁分别为1，2，3，4， 所以样本空间，， ， . 题型二：必然事件、不可能事件与随机事件的判断 要判定事件是何种事件，首先要看清条件，因为三种事件都是相对于一定条件而言的，第二步再看它是一定发生，还是不一定发生，还是一定不发生，一定发生的是必然事件，不一定发生的是随机事件，一定不发生的是不可能事件． 必然事件一定发生，不可能事件一定不发生，随机事件可能发生也可能不发生。判断时易受主观经验误导，混淆客观规律与偶然情况；忽视前提条件随意判定；错把小概率事件当作不可能事件，大概率事件误判为必然事件。 1．下列事件中，随机事件的个数是（   ） ①过马路时，恰好遇到红灯；②短跑运动员1s跑完100m；③任意三条线段，组成三角形；④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】①③为随机事件，②为不可能事件，④为必然事件． 故选：B 2．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，从二个白球一个红球中取二个球，其中必有一个球是白球”是必然事件，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确. 故选：C 3．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（    ） ①“三个球全部放入两个盒子，其中必有一个盒子有一个以上的球”是必然事件； ②“当x为某一实数时，可使”是不可能事件； ③“明天上海要下雨”是必然事件； ④“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件． A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④ 【答案】C 【解析】对于①，三个球全部放入两个盒子，就是将3个分成两部分，其中一部分1个球，另一部分2个球，所以必有一个盒子有一个以上的球，所以①正确， 对于②，“当x为某一实数时，可使”是不可能事件，所以②正确， 对于③，“明天上海要下雨”是不确定的，是随机事件，所以③错误， 对于④，“从100个灯泡中取出5个，5个都是次品”是随机事件，所以④正确， 故选：C 4．在12件同类产品中，有10件是正品，2件是次品，从中任意抽出3件，则下列事件为必然事件的是（    ） A．3件都是正品 B．至少有2件是次品 C．3件都是次品 D．至少有1件是正品 【答案】D 【解析】因为12件产品中，只有2件是次品，从中取3件，其中必定至少有1件是正品. 故选：D 5．如图，由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，下列事件为必然事件的是（    ） A．A灯亮，B灯不亮 B．A灯不亮，B灯亮 C．A，B两盏灯均亮 D．A，B两盏灯均不亮 【答案】C 【解析】由A，B两盏正常的小灯泡组成并联电路，当闭合开关时，可知A，B两盏灯均亮. 故选：C. 题型三：事件的运算 （1）利用事件间运算的定义，列出同一条件下的试验所有可能出现的结果，分析并利用这些结果进行事件间的运算． （2）利用Venn图，借助集合间运算的思想，分析同一条件下的试验所有可能出现的结果，把这些结果在图中列出，并进行运算． 混淆并事件、交事件、互斥、对立事件概念；误用运算符号，分不清A∪B与A∩B。互斥只要求不同时发生，对立需互补且并为全集，易混为一谈。遗漏事件运算前提，复杂问题不会拆分事件，容易出现逻辑重叠或遗漏情况。 1．抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：“点数不小于2”，“点数大于2”， “点数大于4”，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】用集合的形式表示事件，它们分别是，，. 显然，故A正确；，故B正确； ，故C正确；，故D错误. 故选：D 2．打靶3次，记事件表示“共击中i发”，其中，那么表示（   ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多击中1次” D．“至少击中2次” 【答案】C 【解析】由题意，表示共击中0次，表示共击中1次， 所以表示打靶3次，其中“至多击中1次”，或“击中不超过1次”. 故选：C 3．打靶3次，事件表示“击中i发”，其中．那么事件表示（     ） A．全部击中 B．至多击中1发 C．都未击中 D．至少击中1发 【答案】D 【解析】由题意可得，事件是彼此互斥的事件， 且为必然事件， 所以表示的是打靶三次至少击中一次， 故选：D. 4．打靶3次，事件表示“共击中发”，其中，那么表示（    ） A．“全部击中” B．“至少击中1次” C．“至多脱靶2次” D．“至少击中2次” 【答案】D 【解析】“击中2发或3发”，对比选项可知，只有D正确. 故选：D． 5．掷一枚质地均匀的硬币三次，得到如下三个事件：A为“3次正面向上”，B为“只有1次正面向上”，C为“至少1次正面向上”，事件A，B，C之间的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】当事件A发生时，事件C一定发生，当事件B发生时，事件C一定发生，所以有；当事件A发生时，事件B一定不发生，当事件B发生时，事件A一定不发生，所以事件A与事件B之间不存在包含关系． 1．将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别为，，则方程有实数根的样本点个数为（   ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】B 【解析】一枚骰子先后抛掷两次，样本点一共有36个，由方程有实数根，得， 样本点中满足此条件的有， ，共19个. 故选：B． 2．下列随机试验的样本空间为无限集的是（   ）. A．掷一颗骰子（每一面上分别标注数字1、2、3、4、5、6的质地均匀的小正方体），观察朝上的点数 B．从装有标号为1、2、3的三个球的袋子中依次取两个球（第一次取出的球不再放回），观察标号，不考虑标号顺序 C．连续抛掷一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛掷的次数 【答案】C 【解析】对于A，掷一颗骰子，观察朝上的点数这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故A不合题意； 对于B，按要求依次取两个球不放回，观察标号，不考虑标号顺序这一随机试验的样本空间为，故是有限集，故B不合题意； 对于C，连续抛一枚硬币，直到正面出现为止，观察抛的次数这一随机试验，因不确定何时出现正面，故其样本空间为无限集，故C符合题意； 故是有限集，即D不符合题意. 故选：C. 3．（多选题）在试验：连续射击一个目标10次，观察命中的次数中，事件“至少命中6次”，则下列说法正确的是（   ） A．样本空间中共有10个样本点 B．事件中有6个样本点 C．样本点6在事件内 D．事件中包含样本点11 【答案】C 【解析】解析  样本空间中有11个样本点，故A错；事件中有5个样本点，故B错；样本点中没有11，故D错．故选C． 4．（多选题）为了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生进行调查，其中40是该调查的（    ） A．总体 B．样本容量 C．个体 D．样本 【答案】B 【解析】为了了解某校七年级学生的近视情况，从中随机抽取40名学生，并对他们的近视进行分析，样本是总体中所抽取的一部分个体，样本容量则是指样本中个体的数目，则在该调查中，40是样本容量. 故选：B. 5．（多选题）为了了解兰州成功学校第一次月考考试中高一数学成绩的情况，从参加考试的360名学生中随机地抽查了36名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（    ） A．总体指的是360 B．个体指的是360名学生中的每一名学生 C．样本容量指的是36 D．样本是指36名学生 【答案】C 【解析】总体是指360名学生的数学成绩，个体是每一名学生的数学成绩，样本是36名学生的数学成绩，只有C正确. 6．（多选题）下列现象是必然现象的是（    ） A．走到十字路口遇到红灯 B．冰水混合物的温度是 C．三角形的内角和为 D．一个射击运动员每次射击都命中环 【答案】C 【解析】选项A，十字路口遇到红灯，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象； 选项B，标准大气压下，冰水混合物的温度是，事件冰水混合物的温度是不是必然现象； 选项C，三角形的内角和为，这个事件为必然现象； 选项D，一个射击运动员每次射击都命中7环，这个事件可能发生也可能不发生，为随机现象． 故选：C. 7．（多选题）抛掷一颗质地均匀的骰子，观察骰子朝上面的点数，记事件“点数大于4”，事件“点数为偶数”，则事件“点数为6”可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】根据题意可得，； 显然易知. 所以事件“点数为6”可以表示为. 故选：D 8．（多选题）先后抛均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（　 　） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币都是反面向上” 【答案】A 【解析】“至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”“五角、一元都向上”三个样本点． 故选：A. 9．（多选题）给出关于满足 的非空集合，的四个命题，其中正确的命题是（   ） A．若任取，则是必然事件 B．若任取，则是不可能事件 C．若任取，则是随机事件 D．若任取，则是必然事件 【答案】ACD 【解析】对于A：因为 ，，所以，因此若任取，则是必然事件，真命题； 对于B：因为 ，显然存在一个元素在集合中，不在集合中， 因此若任取，则是随机事件，假命题； 对于C：因为 ，任取，有可能成立，也可能不成立， 因此任取，则是随机事件，真命题； 对于D：因为 ，，所以一定有，显然任取，则是必然事件，真命题． 故选：ACD 10．（多选题）抛掷甲、乙两颗骰子，所得点数之和为X，则（   ） A．表示的基本事件是“甲是1点，乙是0点”或“甲是0点，乙是1点” B．表示的基本事件是“两颗都是1点” C．表示的基本事件是“甲是2点，乙是1点”或“甲是1点，乙是2点” D．表示的基本事件是“甲是3点，乙是1点”或“甲是1点，乙是3点”或“两颗都是2点” 【答案】BCD 【解析】骰子没有0点，故A错误；易知B，C，D正确． 11．打靶三次，事件Ai表示“击中次”，，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________． 【答案】 (或A1＋A2＋A3) 【解析】因 彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次 ，击中两次 ，击中三次， 这三个事件的并事件，应表示为 (或A1＋A2＋A3). 12．从装有红、白、黑三种颜色的小球各1个的袋子中任取2个小球，其样本空间中的样本点共有____________个． 【答案】3 【解析】试验的样本空间（红球，白球），（红球，黑球），（白球，黑球），样本点共有3个． 故答案为：. 13．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：出现1点；出现2点；出现3点；出现4点；出现5点；出现6点；出现的点数不大于1；出现的点数小于；出现奇数点；出现偶数点.请根据这些事件，判断下列事件的关系：（1）____________；（2）____________；（3）____________；（4）____________. 【答案】 【解析】当事件发生时，必然发生，故；同理，，而事件与相等，即. 故答案为：，，， 14．盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件{3个球中有1个红球2个白球}，事件{3个球中有2个红球1个白球}，事件{3个球中至少有1个红球}，事件{3个球中既有红球又有白球}．问： (1)事件与是什么样的关系？ (2)事件与的交事件是什么事件？ (3)设事件{3个红球}，事件{3个球中至少有1个白球}，那么事件与是什么关系？与的交事件是什么？ 【解析】（1）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球，故 . （2）对于事件 ，可能的结果为 1 个红球 2 个白球或 2 个红球 1 个白球或 3 个均为红球，故. （3）由事件 包括的可能结果有 1 个红球 2 个白球，2 个红球 1 个白球，3 个红球三种情况，故. 事件 包括的可能结果有 1 个白球 2 个红球，2 个白球 1 个红球，3 个白球. 所以 个红球 2 个白球，2个红球 1 个白球 . 15．今年3月在北京召开了中国人民政治协商会议第十四届全国委员会第二次会议和第十四届全国人民代表大会第二次会议．某学校组织全校学生进行了一次“两会知识知多少”的问卷测试．已知所有学生的测试成绩均位于区间，从中随机抽取了40名学生的测试成绩，绘制得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中的值，并估算这40名学生测试成绩的平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值代替）； (2)今年政府工作报告将“大力推进现代化产业体系建设，加快发展新质生产力”列为2024年首要任务．为了更好的帮助同学们理解新质生产力，感受新质生产力强劲“脉搏”，学校团总支利用比例分配的分层随机抽样方法，从和的学生中抽取7人组成“新质生产力扬帆起航”宣讲团． ①求应从和学生中分别抽取的学生人数； ②从选定的7人中随机抽取2人对高一同学进行宣讲，写出这个试验的样本空间；（用恰当的符号表示） 【解析】（1）根据频率分布直方图可得， 解得， 估算这40名学生测试成绩的平均数为. （2）①由图可知和这两组的频率之比为， 所以应从中抽取人，从中抽取人. ②设从中抽取的5人为，中抽取的2人为， 则这个试验的样本空间， 共21个基本事件. 16．班里有20个男生，18个女生，其中一名女生叫小雪，从中任意抽取人参加志愿活动． (1)女生被抽到是必然事件，求的取值范围； (2)女生小雪被抽到是随机事件，求的取值范围． 【解析】（1）必然事件是指在一定的条件下重复进行试验时，在每次试验中必然会发生的事件. 已知班级里有20个男生，18个女生，总人数为人. 要使女生被抽到是必然事件，意味着抽取的人数要足够多，使得在抽取个人时，不可能只抽到男生. 因为男生有20人，所以当时，就不可能只抽到男生，必然会抽到女生. 所以可知的范围是. （2）随机事件是指在一定条件下，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件. 要使女生小雪被抽到是随机事件，则抽取的人数要满足： 抽取的人数至少为1人，因为如果，则不存在抽取的情况; 抽取的人数最多为37人，因为如果，那么所有人都会被抽到， 此时小雪被抽到就是必然事件，而不是随机事件. 所以的取值范围是. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $