专题15.1 随机事件的概率与独立事件（八个重难点突破）-2024-2025学年高一第二学期数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第二册）

专题15.1 随机事件的概率与独立事件 一、总体和样本 五、古典概型的性质应用 二、事件的分类 六、独立事件的判断 三、用频率估算概率 七、独立事件概率的计算 四、互斥事件及对立事件的辨析 八、统计概率的综合 知识点1样本空间及事件的分类 1.有限样本空间的有关概念 样本点：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示样本点； 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示样本空间； 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间 2.事件的分类 事件 确定事件 必然事件 在条件下，一定会发生的事件 不可能事件 在条件下，一定不会发生的事件 随机事件 在条件下下，可能发生也可能不发生的事件 知识点2互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 知识点3独立事件 一、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 二、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 重难点一、总体和样本 1．在欧几里得几何中，下列事件中，不可能事件是（    ） A．三角形的内角和为 B．三角形中大角对大边，小角对小边 C．三角形中任两边之和大于第三边 D．锐角三角形中两内角和小于 2．（多选）下列是随机事件的是（    ） A．小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯 B．地球每天都在自转 C．太阳从西边升起 D．明天会下雨 3．（多选）下列现象中，是随机现象的有（    ） A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B．若a为整数，则a＋1为整数 C．发射一颗炮弹，命中目标 D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品 4．下列现象中，是确定性现象的是 ． ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②打开电视机，正好在播新闻； ③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球； ④下周六是晴天． 5．给出下列事件： ①函数在定义域内为增函数； ②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利； ③一所学校共有名学生，有名学生的生日相同； ④若集合、、满足，，则； ⑤在标准大气压下，河流在时结冰； ⑥从、、中任选两数相加，其和为偶数. 其中属于随机事件的是 ，属于必然事件的是 ，属于不可能事件的是 （填序号）. 重难点二、事件的分类 6．为了解某市参加升学考试的学生的数学成绩，从参加考试的学生中随机抽取1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（   ） A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生 B．样本指的是抽取的1000名学生的数学成绩 C．样本量指的是抽取的1000名学生 D．个体指的是抽取的1000名学生中的每一名学生 7．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 8．某市市场监管局从所管辖十五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查．在这个问题中，18是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 9．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 10．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 （1）在利用集合表示随机事件时,首先用字母或数字等形式表示样本点. （2）样本点的列举为防止遗漏和重复,可按照确定顺序来写. 重难点三、用频率估算概率 11．《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 12．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 13．我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷的石数约为（   ） A． B． C． D． 14．（多选）中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 15．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 重难点四、互斥事件及对立事件的辨析 16．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 17．抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的点数是奇数”，事件为“落地时向上的点数是偶数”，事件为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是 ． 18．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 19．从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 20．（多选）将颜色分别为红、绿、白的3个小球随机分给甲、乙、丙三个人，每人1个，则（   ） A．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”互斥 B．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”互斥 C．事件“甲分得红球，乙分得绿球”的对立事件是“丙分得红球或绿球” D．事件“甲分得红球，乙分得绿球”发生的概率是 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 重难点五、古典概型的性质应用 21．已知事件和事件互斥，若且，则 . 22．（多选）下列叙述正确的是（    ） A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 C．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 23．废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 24．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 25．玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 26．从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 重难点六、独立事件的判断 27．（多选）已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 28．（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（   ） A．事件相互独立 B．事件相互独立 C．事件相互独立 D．事件相互独立 29．分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，事件“3枚硬币都正面朝上”，判断事件A与事件B是否相互独立． 30．某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 31．袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有个，编号分别为，不放回地随机摸出两个球. (1)写出实验的样本空间； (2)记事件为“摸出的两个球中有红球”，求事件A发生的概率； (3)记事件为“摸出的两个球全是白球”，事件为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，求和，判断事件是否相互独立. 事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 重难点七、独立事件概率的计算 32．已知某科技公司研发的A，B两款智能软件均需分别通过甲、乙两道工序检测才能投入使用，且软件A通过两道工序检测的概率均为，软件B通过两道工序检测的概率均为，两款软件检测过程相互独立．现A，B两款软件各有1个需接受两道工序检测，则甲、乙两工序各自检测结果仅有1个软件通过但2个软件均无法投入使用的概率为 ． 33．甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是（   ） A． B． C． D． 34．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 35．甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（   ） A． B． C． D． 36．一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 . 37．甲、乙两人猜字谜，规则如下：每轮游戏由一方出字谜，另一方猜，若猜中，则猜者得1分，对方得0分，若未猜中，则猜者得0分，对方得1分；当一方领先对方2分时获胜，游戏结束，否则游戏继续．已知甲出字谜，乙猜中的概率为，乙出字谜，甲猜中的概率为．第一轮由甲出字谜，从第二轮开始，由上一轮得1分者出字谜，若准备的字谜足够多，则甲获胜的概率是 ． 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 重难点八、统计概率的综合 38．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)估计该地区月均用水量的60%分位数； (3)现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率. 39．云南一学校高二年级共有400人，在一次数学月考考试中，统计了他们的数学成绩分别在之间，其中共有80人，共有100人，共有120人，共有60人. (1)根据以上数据，求出每个成绩区间的频率，并画出这组数据的频率分布直方图； (2)利用第（1）问的直方图，学校决定将数学成绩在排名超过80%以上的学生定义为985院校目标生，那么本次考试需达到多少分可以成为985院校目标生？（四舍五入只保留整数部分） (3)从，两个成绩区间中按分层抽样的方式选出5人，再从这5人中任选2人参加一个问卷，求选出的2人来自同一个成绩区间的概率？ 40．杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； (3)若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 41．为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 42．某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 43．航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 一、单选题 1．已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 2．投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 3．先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（   ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 4．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为（   ） A． B． C． D． 5．某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 6．连续掷两次骰子，设先后得到的点数分别为m，n，A表示事件“”，B表示事件“n为偶数”，C表示事件“”，D表示事件“”，则不相互独立的事件是（   ） A．A与B B．A与D C．B与C D．B与D 二、多选题 7．已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 三、填空题 9．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步．抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束．试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ． 10．本福特定律，也称为本福特法则，指的是在进位制中，以数起头的多位数出现的概率为．本福特定律可以用于检查各种数据是否存在造假，例如在会计审计中，可以利用本福特定律来检测财务报表数据的真实性．在从实际生活得出的一组十进制数据中，以1为首位数字的多位数出现的概率约为 ；首位数字为2的多位数出现的概率与首位数字为5的多位数出现的概率的比值约为 ．（结果均保留两位有效数字，参考数据：） 11.已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为 . 四、解答题 12．口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率． 13．“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 14．某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求的值及品种小麦千粒重的中位数； (2)用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题15.1 随机事件的概率与独立事件 一、总体和样本 五、古典概型的性质应用 二、事件的分类 六、独立事件的判断 三、用频率估算概率 七、独立事件概率的计算 四、互斥事件及对立事件的辨析 八、统计概率的综合 知识点1样本空间及事件的分类 1.有限样本空间的有关概念 样本点：我们把随机试验的每个可能的基本结果称为样本点，用表示样本点； 样本空间：全体样本点的集合称为试验的样本空间，用表示样本空间； 有限样本空间：如果一个随机试验有个可能结果则称样本空间为有限样本空间 2.事件的分类 事件 确定事件 必然事件 在条件下，一定会发生的事件 不可能事件 在条件下，一定不会发生的事件 随机事件 在条件下下，可能发生也可能不发生的事件 知识点2互斥事件与对立事件 定义 符号表示 图示 互斥事件 若A∩B为不可能事件，则称事件A与事件B互斥 对立事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 且 知识点3独立事件 一、相互独立事件 1、定义：对任意两个事件A与B，如果成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立． 2、判断事件是否相互独立的方法 （1）定义法：若事件A的发生对事件B的发生概率没有影响，反之亦然，则这两个事件是相互独立的 （2）公式法：若对两事件A，B有，则事件A，B相互独立. 二、相互独立事件的概率计算 已知两个事件A，B相互独立，它们的概率分别为P(A)，P(B)，则有 事件 概率 A，B同时发生 A，B都不发生 A，B恰有一个发生 A，B中至少有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P(A)P(B) A，B中至多有一个发生 P(A)P()＋P()P(B)＋P()P() 重难点一、总体和样本 1．在欧几里得几何中，下列事件中，不可能事件是（    ） A．三角形的内角和为 B．三角形中大角对大边，小角对小边 C．三角形中任两边之和大于第三边 D．锐角三角形中两内角和小于 【答案】D 【详解】∵三角形的内角和为，∴其为必然事件，故A错误； ∵三角形中大角对大边，小角对小边，∴其为必然事件，故B错误； ∵三角形中任两边之和大于第三边，∴其为必然事件，故C错误； ∵锐角三角形中两内角和大于，∴“锐角三角形中两内角和小于”为不可能事件，故D正确. 故选：D. 2．（多选）下列是随机事件的是（    ） A．小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯 B．地球每天都在自转 C．太阳从西边升起 D．明天会下雨 【答案】AD 【详解】对于A，小明上学路上通过的5个路口都碰到绿灯，这件事可能发生，也可能不会发生，是随机事件，故A符合题意； 对于B，地球每天都在自转从而使得昼夜更替，这是必然事件，故B不符合题意； 对于C，客观事实是太阳从东边升起，所以太阳从西边升起是不可能事件，故C不符合题意； 对于D，明天有可能会下雨，也可能不会下雨，所以明天会下雨是随机事件，故D符合题意. 故选：AD. 3．（多选）下列现象中，是随机现象的有（    ） A．在一条公路上，交警记录某一小时通过的汽车超过300辆 B．若a为整数，则a＋1为整数 C．发射一颗炮弹，命中目标 D．检查流水线上一件产品是合格品还是次品 【答案】ACD 【详解】对于选项A：交警记录某一小时通过的汽车的数量是随机现象，故A正确； 对于选项B：当a为整数时，a＋1一定为整数，是确定性现象，故B错误； 对于选项C：发射一颗炮弹，可能命中目标，也可能没有命中目标，故C正确； 对于选项D：检查流水线上一件产品，可能是合格品，也可能是次品，故D正确； 故选：ACD. 4．下列现象中，是确定性现象的是 ． ①长度为3，4，5的三条线段可以构成一个直角三角形； ②打开电视机，正好在播新闻； ③从装有3个黄球、5个红球的袋子中任意摸4个，全部都是黄球； ④下周六是晴天． 【答案】① 【详解】长度为3，4，5恰好构成勾股数，所以必然构成一个直角三角形，故①是确定性现象，③是不可能现象，②④是随机现象． 故答案为：① 5．给出下列事件： ①函数在定义域内为增函数； ②小学生和张怡宁打乒乓球，张怡宁胜利； ③一所学校共有名学生，有名学生的生日相同； ④若集合、、满足，，则； ⑤在标准大气压下，河流在时结冰； ⑥从、、中任选两数相加，其和为偶数. 其中属于随机事件的是 ，属于必然事件的是 ，属于不可能事件的是 （填序号）. 【答案】 ②③ ④⑥ ①⑤ 【详解】①中函数在定义域为减函数，说法不正确，故为不可能事件； ②中可能张怡宁胜利也可能小学生胜利，故为随机事件； ③中，因为，所以，有可能有名学生的生日相同，也有可能没有名学生的生日相同，故为随机事件； ④中，根据集合的包含关系，④中说法正确，故为必然事件； ⑤中的说法不正确，故为不可能事件； ⑥中任意两奇数和均为偶数，说法正确，故为必然事件. 故答案为：②③；④⑥；①⑤. 重难点二、事件的分类 6．为了解某市参加升学考试的学生的数学成绩，从参加考试的学生中随机抽取1000名学生的数学成绩进行统计分析，在这个问题中，下列说法正确的是（   ） A．总体指的是该市参加升学考试的全体学生 B．样本指的是抽取的1000名学生的数学成绩 C．样本量指的是抽取的1000名学生 D．个体指的是抽取的1000名学生中的每一名学生 【答案】B 【详解】对于A，总体指的是该市参加升学考试的全体学生的数学成绩，故A错误； 对于B，样本指的是抽取的1000名学生的数学成绩，故B正确； 对于C，样本量是1000，故C错误； 对于D，个体指的是抽取的1000名学生中每名学生的数学成绩，故D错误． 故选：B. 7．从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得的2张卡片上的数字，设抽得的第1张卡片上的数字大于第2张卡片上的数字为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为（    ） A．8 B．10 C．11 D．15 【答案】B 【详解】如表所示，表中点的横坐标表示抽得的第1张卡片上的数字，纵坐标表示抽得的第2张卡片上的数字， 1 2 3 4 5 1 （1，1） （1，2） （1，3） （1，4） （1，5） 2 （2，1） （2，2） （2，3） （2，4） （2，5） 3 （3，1） （3，2） （3，3） （3，4） （3，5） 4 （4，1） （4，2） （4，3） （4，4） （4，5） 5 （5，1） （5，2） （5，3） （5，4） （5，5） 则事件． 所以事件Q中含有10个样本点． 故选：B. 8．某市市场监管局从所管辖十五中、十七中、常青一中三校周边超市在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查．在这个问题中，18是（   ） A．总体 B．个体 C．样本 D．样本量 【答案】D 【详解】我们把与所研究问题有关的全体对象称为总体；个体：把组成总体的每个对象称为个体； 样本：从总体中，抽取的一部分个体组成了一个样本； 样本量：样本中个体的个数叫样本量，其不带单位； 在售的28种雪糕中抽取了18种雪糕，对其质量进行了检查， 在这个问题中，28种雪糕是总体，每一种雪糕是个体，18种雪糕是样本，18是样本量． 故选：D 9．向上抛掷一枚均匀的骰子两次，事件表示两次点数之和小于8，事件表示两次点数之和既能被2整除又能被3整除，则事件用样本点表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，事件表示两次点数和为6， 因此件用样本点表示为. 故选：A 10．从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，若“这2个数的和大于4”为事件A，“这2个数的和为偶数” 为事件，则和包含的样本点数分别为（   ） A．1，6 B．4，2 C．5，1 D．6，1 【答案】C 【详解】从1，2，3，4这4个数中，任取2个数求和，则试验的样本空间． 其中事件A包含的样本点有：，，，共4个． 事件包含的样本点有：，共2个． 所以事件包含的样本点有：，，，，共5个； 事件包含的样本点有：共1个． 故选：C （1）在利用集合表示随机事件时,首先用字母或数字等形式表示样本点. （2）样本点的列举为防止遗漏和重复,可按照确定顺序来写. 重难点三、用频率估算概率 11．《九章算术》中有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送米1805石（古代容量单位），验得米内夹谷，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒，则这批米内夹谷约为（   ） A．361石 B．341石 C．314石 D．360石 【答案】A 【详解】根据题意，抽样取米一把，数得155粒内夹谷31粒， 则样本中夹谷的频率为， 则这批米内夹谷约为（石. 故选：A 12．为了解某地区九年级男生的身高情况，随机选取了该地区100名九年级男生进行测量，他们的身高x（cm）统计如下表： 组别     人数 13 43 36 8 根据上表，抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是 ． 【答案】0.44/ 【详解】因为身高高于170cm的频率为， 抽查该地区一名九年级男生，估计他的身高高于170cm的概率是0.44. 故答案为：0.44 13．我国古代的数学名著《数书九章》中记载了“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得粒内夹谷粒，则这批米内夹谷的石数约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为粒内夹谷粒， 所以估计这批米内夹谷的概率为， 设这批米内夹谷的石数为，则， 即这批米内夹谷的石数约为石. 故选：C. 14．（多选）中国篮球职业联赛（CBA）中，某篮球运动员在最近几次参加的比赛中的得分情况（不包括罚球）如表： 投篮次数 投中两分球的次数 投中三分球次数 100 55 18 记该运动员在一次投篮中，“投中两分球”为事件A，“投中三分球”为事件B，“没投中”为事件C，用频率估计概率的方法，得到的下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【详解】依题意，，ABC正确； ，D错误. 故选：ABC 15．在一个袋子中装有大小与质地均相同的红色和黄色小球共5个，小明每次从中抽取一个观察颜色后并放回，进行100次后统计发现，红色小球出现了58次，黄色小球出现了42次．则袋中红球最有可能有 个． 【答案】3 【详解】红色出现的频率为，所以红球出现的概率应接近， 设袋子中红球的个数为， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，最接近， 所以袋中红球最有可能有3个. 故答案为：3. 频率是事件发生的次数与试验总次数的比值,利用此公式可求出它们的频率.频率本身是随机变量,当很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率. 重难点四、互斥事件及对立事件的辨析 16．已知事件和事件满足，则下列说法正确的是（   ）． A．事件和事件独立 B．事件和事件互斥 C．事件和事件对立 D．事件和事件互斥 【答案】B 【详解】因为事件和事件满足，则一定可以得到事件和事件互斥，但不一定对立，故B正确，C错误； 因为，当，不为时，事件和事件不独立，故A错误； 抛掷一枚骰子，记出现点为事件，出现点为事件， 则，，显然事件和事件不互斥，故D错误. 故选：B 17．抛掷一枚骰子，记事件为“落地时向上的点数是奇数”，事件为“落地时向上的点数是偶数”，事件为“落地时向上的点数是4的倍数”，则上述事件是互斥事件但不是对立事件的两个事件是 ． 【答案】与 【详解】因为发生事件和事件的概率和为1，所以事件和事件是对立事件， 而事件与事件不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 事件与事件会同时发生，所以它们不是互斥事件. 故答案为：与 18．掷一颗质地均匀的骰子，观察朝上面的点数．设事件：点数是奇数，事件：点数是偶数，事件：点数是3的倍数，事件：点数是4．下列每对事件中，不是互斥事件的为（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【详解】对于选项A，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项A错误， 对于选项B，当朝上面的点数为时，与同时发生，即与不是互斥事件，所以选项B正确， 对于选项C，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项C错误， 对于选项D，因为事件和事件不能同时发生，所以与互斥，故选项D错误， 故选：B. 19．从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，那么“至少有1个红球”的对立事件是（   ） A．至少有2个红球 B．至少有2个黄球 C．都是黄球 D．至多2个红球 【答案】C 【详解】从装有3个红球和4个黄球的口袋内任取3个球，只有三红、两红一黄、一红两黄、三黄这四种情况， 则“至少有1个红球”的对立事件是“都是黄球”. 故选：C. 20．（多选）将颜色分别为红、绿、白的3个小球随机分给甲、乙、丙三个人，每人1个，则（   ） A．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”互斥 B．事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”互斥 C．事件“甲分得红球，乙分得绿球”的对立事件是“丙分得红球或绿球” D．事件“甲分得红球，乙分得绿球”发生的概率是 【答案】AB 【详解】试验的样本空间(甲红,乙绿,丙白),(甲红,乙白,丙绿),(甲绿,乙白,丙红),(甲绿,乙红,丙白),(甲白,乙绿,丙红),(甲白,乙红,丙绿)， 对于A，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”不可能同时发生，它们互斥，A正确； 对于B，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“甲分得红球，乙分得白球”不可能同时发生，它们互斥，B正确； 对于C，事件“甲分得红球，乙分得绿球”与事件“丙分得红球或绿球”可以同时不发生，它们不对立，C错误； 对于D，样本空间共有6个样本点，事件"甲分得红球，乙分得绿球"发生的概率是，D错误. 故选：AB. 设事件与所含的结果组成的集合分别为. ①若事件件与互斥,则集合; ②若事件件与对立,则集合且. 重难点五、古典概型的性质应用 21．已知事件和事件互斥，若且，则 . 【答案】/ 【详解】因为随机事件A和B互斥，且， 所以， 而， 所以. 故答案为： 22．（多选）下列叙述正确的是（    ） A．互斥事件不一定是对立事件，但是对立事件一定是互斥事件 B．甲､乙两人下棋，两人下成和棋的概率为 ，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为 C．从装有个红球和个黑球的口袋内任取个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件 D．在件产品中，有件一等品和件二等品，从中任取件，那么事件“至多一件一等品”的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A选项：互斥事件是不可能同时发生的两个事件，它可以同时不发生， 对立事件是必有一个发生的互斥事件，A正确； 对于B选项：甲不输的事件是下成和棋的事件与甲获胜的事件和，它们互斥， 则甲不输的概率为，B正确； 对于C选项：由给定条件知，至少有一个黑球与至少有一个红球这两个事件都含有一红一黑的两个球这一基本事件，即它们不互斥，C错误； 对于D选项：5件产品中任取两件有10个基本事件，它们等可能， 其中“至多一件一等品”的对立事件为“恰两件一等品”，有3个基本事件， 从而所求概率为，D正确. 故选：ABD. 23．废弃矿山的治理事关我国的生态环境保护，甲、乙两种植物可以在一定程度上加快污染地生态的恢复．若在某一片污染地上甲、乙至少有一种可以存活，且甲存活的概率是0.6，乙存活的概率是0.5，则在该片污染地上甲、乙都存活的概率为（    ） A．0.4 B．0.3 C．0.2 D．0.1 【答案】D 【详解】设甲存活为事件，乙存活为事件，则，， 则甲乙至少有一种存活的概率为 ， 则所以甲、乙都存活的概率为. 故选：D. 24．算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.现有一把初始状态的算盘如图所示，自右向左，分别表示个位、十位、百位、千位等，上面一粒珠子（简称上珠）代表，下面一粒珠子（简称下珠）代表，五粒下珠表示的数的大小等于同组一粒上珠表示的数的大小.例如，个位拨动一粒上珠，十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字.现将算盘的个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上，设事件“表示的四位数能被整除”，“表示的四位数能被整除”，则 . 【答案】/ 【详解】因为只拨动一粒珠子至梁上，因此数字只表示或， 因为个位、十位、百位、千位分别随机拨动一粒珠子至梁上， 所以所得的四位数的个数为个， 能被整除的四位数，数字和各出现个，这样的四位数有：、、、、、，共个， 所以， 能被整除的四位数，个位数为，则这样的四位数为：、、、、、、、，共个， 所以， 所以，. 故答案为：. 25．玻璃球盒中装有除颜色外完全相同的球共12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球，求从中取1球： (1)取得红球或黑球的概率； (2)取得红球或黑球或白球的概率． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）记事件表示“任取1球为红球”，表示“任取1球为黑球”，表示“任取1球为白球”，表示“任取1球为绿球”， 则，，，． 解法一：利用互斥事件求概率． 根据题意知，事件，，，彼此互斥，由互斥事件概率公式，得 取出1球为红球或黑球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 由解法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球， 即的对立事件为．所以取得1球为红球或，黑球的概率为： ． （2）解法一：利用互斥事件求概率． 取出1球为红球或黑球或白球的概率为． 解法二：利用对立事件求概率． 的对立事件为，则． 26．从1~30这30个整数中随机选择一个数，设事件M表示选到的数能被2整除，事件N表示选到的数能被3整除．求下列事件的概率： (1)这个数既能被2整除也能被3整除； (2)这个数能被2整除或能被3整除； (3)这个数既不能被2整除也不能被3整除． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）1~30这30个整数中既能被2整除也能被3整除的有5个，∴； （2）1~30这30个整数中能被2整除的有15个，能被3整除的有10个，所以，， ； （3）由于事件“这个数既不能被2整除也不能被3整除”与事件“这个数能被2整除或能被3整除”互为对立事件， 则． 重难点六、独立事件的判断 27．（多选）已知事件满足，则下列说法正确的有（    ） A．若事件独立，则事件独立 B．若事件独立，则事件独立 C．若事件独立，则事件独立 D．若事件独立，则事件独立 【答案】AC 【详解】A.由事件独立得， ∴，故事件独立，A正确； B.要使事件独立，则需事件两两独立，且满足， 条件中只给出事件独立，没有说明事件和事件独立，B错误； C.∵事件独立，∴，又， 因，故，即事件独立，故C正确； D.由选项C可知根据事件独立可得事件独立，结合选项B可得选项D错误. 故选：AC. 28．（多选）甲、乙、丙、丁4人报名参加周末公益活动，有，3个单位需要招志愿者，每个单位各招1人，设事件“单位招到甲或乙”，事件“单位招到甲或丙”，事件“单位招到丙或丁”，事件“单位招到甲或乙”，则下列说法错误的是（   ） A．事件相互独立 B．事件相互独立 C．事件相互独立 D．事件相互独立 【答案】BCD 【详解】，两个单位招志愿者的不同选法种数为， 因为事件所包含的基本事件为（招甲、招丙），（招乙、招甲），（招乙、招丙），共3个， 所以，因为，所以为独立事件，故A项正确； ，同理得，故B项错误； ，同理得，故C项错误； 因为为对立事件，所以，故D项错误. 故选：BCD 29．分别抛掷3枚质地均匀的硬币，设事件“至少有2枚正面朝上”，事件“3枚硬币都正面朝上”，判断事件A与事件B是否相互独立． 【答案】不相互独立 【详解】分别抛掷3枚质地均匀的硬币，样本空间为{(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,正)，(反,正,正)，(正,反,反)，(反,正,反)，(反,反,正)，(反,反,反)｝，共8个样本点， 事件“至少有2枚正面朝上”，则{(正,正,正)，(正,正,反)，(正,反,正)，(反,正,正)}，共4个样本点，故． 事件“3枚硬币都正面朝上”，则{(正,正,正)}，共1个样本点，故． 显然，则，所以事件与事件不相互独立． 30．某公司年会拟通过摸球抽奖的方式对员工发红包.先在一个不透明的袋子中装入个标有一定金额的球（除标注的金额不同外，其余均相同），其中标注的金额为元，元，元的球分别有个，个，个.参与的员工每次从袋中随机摸出个球，记录球上标注的金额后放回袋中，连续摸次.规定：每人摸出的球上所标注的金额之和为其所获得的红包的总金额. (1)当时，求甲员工所获得的红包金额不高于元的概率； (2)当时，设事件“甲员工获得的红包总金额不低于元”，事件“甲员工获得的红包总金额不高于元”，试判断事件是否相互独立，并说明理由. 【答案】(1) (2)事件不相互独立，理由见解析 【详解】（1）因为，即只摸次球， 红包总金额不高于元，即为元或元， 从袋中随机摸出个球，对应的红包金额为元的概率为，为元的概率为， 故甲员工所获得的红包金额不高于200元的概率为. （2）当时，“甲员工获得的红包总金额为元或元或元”， 因为，所以. 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 所以； 事件的对立事件为“甲员工获得的红包总金额为元”， 因为，所以， 所以， 所以事件不相互独立. 31．袋子中有6个大小质地完全相同的小球，其中红球有2个，编号分别为1，2；白球有个，编号分别为，不放回地随机摸出两个球. (1)写出实验的样本空间； (2)记事件为“摸出的两个球中有红球”，求事件A发生的概率； (3)记事件为“摸出的两个球全是白球”，事件为“摸出的两个球的编号之和为偶数”，求和，判断事件是否相互独立. 【答案】(1)； (2)； (3)，，不相互独立. 【详解】（1）摸出编号为的两个球的基本事件记为， 所以实验的样本空间. （2）由（1）知，，事件，， 所以事件A发生的概率. （3）由（1），事件，，事件M的概率为， 事件，，事件M的概率为， 事件，，则，而， 显然，所以事件M，N不相互独立. 事件的独立性的判断:①定义法:事件相互独立⇔；②由事件本身的性质直接判定两个事件的发生是否相互影响； 重难点七、独立事件概率的计算 32．已知某科技公司研发的A，B两款智能软件均需分别通过甲、乙两道工序检测才能投入使用，且软件A通过两道工序检测的概率均为，软件B通过两道工序检测的概率均为，两款软件检测过程相互独立．现A，B两款软件各有1个需接受两道工序检测，则甲、乙两工序各自检测结果仅有1个软件通过但2个软件均无法投入使用的概率为 ． 【答案】 【详解】由题意：事件含{软件过甲不过乙，软件过乙不过甲}，{软件过乙不过甲，软件过甲不过乙}两种情况， 所以． 故答案为： 33．甲、乙两人进行投篮比赛，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮，无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为，乙每次投篮的命中率均为．若第一次由甲开始投篮，则第五次是乙投篮的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可分两类情况，第1类为第四次甲投篮，第2类为第四次乙投篮． 类别 1 2 3 4 5 概率 第1类 甲 甲 乙 甲 乙 甲 乙 甲 甲 乙 甲 甲 甲 甲 乙 甲 乙 乙 甲 乙 第2类 甲 甲 乙 乙 乙 甲 甲 甲 乙 乙 甲 乙 甲 乙 乙 甲 乙 乙 乙 乙 所以第五次由乙投篮的概率是， 故选：B． 34．甲、乙、丙三人做投篮游戏，规则如下：先抽签确定三人的投篮顺序，每次投篮，若投中，则该人继续投篮，直至未投中，若未投中，则换下一个人投篮.已知甲每次投篮投中的概率均为，乙每次投篮投中的概率均为，丙每次投篮投中的概率均为，且甲、乙、丙每次投篮的结果都相互独立.若三人投篮的顺序是甲、乙、丙，则第次是丙投篮的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题可得第次是丙投篮的所有情况如下表所示： 第1次投篮 第2次投篮 第3次投篮 第4次投篮 第5次投篮 情况1 甲（投中） 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙 情况2 甲（投中） 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况3 甲（未投中） 乙（投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙 情况4 甲（投中） 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况5 甲（未投中） 乙（投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙 情况6 甲（未投中） 乙（未投中） 丙（投中） 丙（投中） 丙 因此第次是丙投篮的概率为， 故选：B. 35．甲、乙、丙三人各自计划去珠海市旅游，他们在5月13日到5月15日这三天中的一天到达珠海市，他们在哪一天到达珠海市相互独立，且他们各自在5月13日到5月15日到达珠海市的概率如下表所示（，，）. 到达日期 5月13日 5月14日 5月15日 0.4 0.4 0.2 0.3 0.2 0.5 0.7 若甲、乙两人同一天到达珠海市的概率为，乙、丙两人同一天到达珠海市的概率为，甲、丙两人同一天到达珠海市的概率为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知：，，，可得， 则， ， ， 因为，所以， 所以. 故选：C. 36．一个袋中装有大小质地相同的9个小球，其中白球2个，红球3个，黑球4个，现从中不放回地摸球，每次摸一球，则前三次能摸到红球的概率为 . 【答案】 【详解】袋中有非红球6个，则第一次没有摸到红球的概率为， 第二次没有摸到红球的概率为，第三次没有摸到红球的概率为， 所以前三次均未摸到红球的概率为， 所以前三次至少有一次摸到红球的概率为. 故答案为：. 37．甲、乙两人猜字谜，规则如下：每轮游戏由一方出字谜，另一方猜，若猜中，则猜者得1分，对方得0分，若未猜中，则猜者得0分，对方得1分；当一方领先对方2分时获胜，游戏结束，否则游戏继续．已知甲出字谜，乙猜中的概率为，乙出字谜，甲猜中的概率为．第一轮由甲出字谜，从第二轮开始，由上一轮得1分者出字谜，若准备的字谜足够多，则甲获胜的概率是 ． 【答案】 【详解】若经过若干次比赛后，甲、乙平局． 设平局后，甲先出字谜，甲获胜的概率是x；平局后，乙先出字谜，甲获胜的概率为y． 部分比赛过程如图1，2，圈中展示了甲与乙的比分及甲与乙的比赛状态． 如图1，平局后，甲出字谜，2局后结果有4种，分别是甲获胜、平局且下一轮由乙出字谜、平局且下一轮由甲出字谜、乙获胜， 所以①． 如图2，平局后，乙出字谜，2局后结果有4种，分别是甲获胜、平局且下一轮由乙出字谜、平局且下一轮由甲出字谜、乙获胜， 所以②． ①②联立，解得． 故答案为： 求相互独立事件的概率的步骤：①先用字母表示出事件,再分析题中涉及的事件,并把题中涉及的事件分为若干个彼此互斥事件的和;②求出这些彼此互斥事件的概率;③根据互斥事件的概率计算公式求出结果. 重难点八、统计概率的综合 38．我国是世界上严重缺水的国家，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划调整居民生活用水收费方案，拟确定一个合理的月用水量标准（吨），一位居民的月用水量不超过的部分按平价收费，超出的部分按议价收费.为了了解居民用水情况，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图. (1)求直方图中的值； (2)估计该地区月均用水量的60%分位数； (3)现在该地区居民中任选2位居民，将月均用水量落入各组的频率视为概率，不同居民的月均用水量相互独立，求恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）根据题意，可得， 解得. （2）数据落在区间的频率为， 数据落在区间的频率和为，则用水量的分位数， ，解得， 所以估计该地区月均用水量的分位数为. （3）设事件表示第位居民月均用水量大于分位数，， 事件表示恰有1位居民月均用水量大于分位数，， 所以. 所以恰有1位居民月均用水量大于60%分位数的概率为. 39．云南一学校高二年级共有400人，在一次数学月考考试中，统计了他们的数学成绩分别在之间，其中共有80人，共有100人，共有120人，共有60人. (1)根据以上数据，求出每个成绩区间的频率，并画出这组数据的频率分布直方图； (2)利用第（1）问的直方图，学校决定将数学成绩在排名超过80%以上的学生定义为985院校目标生，那么本次考试需达到多少分可以成为985院校目标生？（四舍五入只保留整数部分） (3)从，两个成绩区间中按分层抽样的方式选出5人，再从这5人中任选2人参加一个问卷，求选出的2人来自同一个成绩区间的概率？ 【答案】(1)见解析. (2)估计本次考试须达到分可以成为985院校目标生. (3) 【详解】（1）由题意可得：的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 的频率为：，所以该组的高为：， 所以频率分布直方图如下： （2）因为前几组的频率依次为：， 所以80%分位数位于内，且为， 所以估计本次考试须达到分可以成为985院校目标生. （3）因为与的频率之比为：， 所以从中抽3人，记为，中抽2人，记为， 再从这5人中任选2人参加一个问卷基本事件有：，，，共种， 求选出的2人来自同一个成绩区间的基本事件有：，，，共种， 所以概率为. 40．杭州市某学校组织学生参加线上环保知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请解决下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取5人成绩，求5人中成绩不高于50分的人数： (2)已知落在成绩的平均值为66，方差是7；落在成绩的平均值为75，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差； (3)若该学校安排甲､乙两位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，甲､乙是否获优秀等级互不影响，求至少有一位同学复赛获优秀等级的概率. 【答案】(1)人 (2)， (3) 【详解】（1）人，人，不高于50分的抽到人. （2）由题意可知，解得. 由图中可知：落在的学生人数为30人，落在的学生人数为60人， 故， . （3）记“至少有一位同学复赛获优秀等级”事件A， 则至少有一位同学复赛获优秀等级的概率为. 41．为迎接第二届湖南旅发大会，郴州某校举办“走遍五大洲，最美有郴州”知识能力测评，共有1000名学生参加，随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成4组：，并整理得到如下频率分布直方图：    (1)根据直方图，估计这次知识能力测评的平均数； (2)用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生，再从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，求第二个交流分享的学生成绩在区间的概率； (3)学校决定从知识能力测评中抽出成绩最好的两个同学甲乙进行现场知识抢答赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得1分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，甲至少得1分的概率是，甲乙两人谁获得最终胜利的可能性大？并说明理由． 【答案】(1)分 (2) (3)甲最终获胜的可能性大；理由见解析 【详解】（1）解：由频率分布直方图，根据平均数的计算公式，估计这次知识能力测评的平均数： 分. （2）解：由频率分布直方图，可得的频率为，的频率为， 所以用分层随机抽样的方法从，两个区间共抽取出4名学生， 可得从抽取人，即为，从中抽取人，即为， 从这4名学生中随机抽取2名依次进行交流分享，有 ，共有12个基本事件； 其中第二个交流分享的学生成绩在区间的有：，共有3个， 所以概率为. （3）解：甲最终获胜的可能性大. 理由如下：由题意，甲至少得1分的概率是， 可得，其中，解得， 则甲的2分或3分的概率为：， 所以乙得分为2分或3分的概率为， 因为，所以甲最终获胜的可能性更大. 42．某市高一年级数学期末考试，满分为100分，为做好分析评价工作，现从中随机抽取100名学生成绩，经统计，这批学生的成绩全部介于40和100之间，将数据按照，，，，，分成6组，制成如图所示的频率直方图． (1)求频率直方图中m的值，并估计这100名学生的平均成绩； (2)若成绩在 的为A等级，的为B等级，其他为C等级， ①在这100名学生中用分层抽样的方法在A，B，C三个等级中抽取25人，求从B等级中抽取的人数． ②以样本估计总体，用频率代替概率，从该市所有参加考试的高一年级学生中随机抽取3人，求至少有一人为B等级的概率．（注：当总体数比较大时，不放回抽取可视为有放回抽取） 【答案】(1)0.012，68.4 (2)①10人，②0.784 【详解】（1）由频率直方图知(0.004＋0.022＋0.030＋0.028＋m＋0.004)×10＝1， ∴0.012 易知，，，，，相应的频率分别为 0.04，0.22，0.30，0.28，0.12，0.04 ， ∴100名同学的平均成绩估计值为： 0.04×45＋0.22×55＋0.30×65＋0.28×75＋0.12×85＋0.04×95＝68.4. （2）①由(1)知A等级的频率为0.04，A等级的人数为100×0.04＝4人， B等级的频率为(0.28＋0.12)＝0.4，B等级的人数为100×0.4＝40人， C等级的频率为(0.04＋0.22＋0.30)＝0.56，C等级的人数为100×0.56＝56人， ∴抽取25人中B等级中的人数为25×＝10人. ②用频率代替概率，所以抽取一次，B等级被抽中的概率为0.4 ， 抽取三次都没有抽中B等级的概率＝(1－0.4)3＝0.216， 所以随机抽取3人至少有一人为B等级的概率＝1－0.216＝0.784. 43．航天员安全返回，中国航天再创辉煌1去年6月4日，当地时间6时20分许，神舟十五号载人飞船成功着陆，费俊龙、邓清明、张陆等航天员安全顺利地出舱，身体状况良好．这标志着神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功．某学校高一年级利用高考放假期间开展组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率直方图，根据图形，请回答下列问题： (1)若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人成绩，求10人中成绩不高于50分的人数； (2)求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； (3)由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】(1)4 (2)平均数为，中位数为 (3) 【详解】（1）因为抽取的200名学生中, 不高于50分的人数为（人）， 50分到60分的人数为（人）， 所以从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人的成绩，不高于50分的人数为（人）. （2）由，解得， 平均数， 因为成绩不高于70分的频率为， 成绩不高于80分的频率为， 所以中位数位于内，则中位数为. （3）三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率为， . 一、单选题 1．已知事件A，B相互独立，且，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为事件是相互独立事件，所以与相互独立， 所以， 则. 故选：C. 2．投掷一枚均匀的骰子，事件: 点数大于 2 ; 事件: 点数小于4 ; 事件: 点数为偶数. 则下列关于事件描述正确的是（     ） A．与是互斥事件 B．与是对立事件 C．与是独立事件 D．与是独立事件 【答案】C 【详解】依题意事件，事件，事件， 所以与不是互斥事件，显然不可能是对立事件，故A、B错误； 因为，所以，又，， 所以，所以与是独立事件，故C正确； 因为，所以，又， 所以，所以与不是独立事件，故D错误； 故选：C 3．先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列事件包含3个样本点的是（   ） A．“至少一枚硬币正面向上” B．“只有一枚硬币正面向上” C．“两枚硬币都是正面向上” D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 【答案】A 【详解】先后投掷均匀的五角、一元硬币各一枚，共有4个样本点： 五角向上，一元向上；五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，一元向下； “至少一枚硬币正面向上”包括“五角向上，一元向下”“五角向下，一元向上”五角、一元都向上”三个样本点，正确； “只有一枚硬币正面向上”包括五角向上，一元向下；五角向下，一元向上；两个样本点，错误； “两枚硬币都是正面向上”包括一个样本点；错误； “两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上” 包括一元向下；五角向下，一元向上；五角向下，两个样本点，错误； 故选：A 4．同时抛掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2，3，4，…，11，12中的一个，记事件A为“点数之和是2，4，7，12”，事件B为“点数之和是2，4，6，8，10，12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件，事件， 又事件，． 故选：C 5．某公司有甲，乙两个部门，每个部门各有7名员工，其中甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，乙部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，现从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，交换完成后，再从甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从甲部门和乙部门各随机选出一名员工进行交换，有以下四种情况： 第一种，甲部门经验丰富的员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第二种，甲部门新员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第三种，甲部门经验丰富的员工与乙部门新员工交换，则概率为， 第四种，甲部门新员工与乙部门经验丰富的员工交换，则概率为， 第一种与第二种甲部门有5名经验丰富的员工和2名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第三种甲部门有4名经验丰富的员工和3名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 第四种甲部门有6名经验丰富的员工和1名新员工，则随机选出一名员工，为经验丰富的员工的概率为， 故甲部门随机选出一名员工，则该员工是经验丰富的员工的概率为. 故选：C. 6．连续掷两次骰子，设先后得到的点数分别为m，n，A表示事件“”，B表示事件“n为偶数”，C表示事件“”，D表示事件“”，则不相互独立的事件是（   ） A．A与B B．A与D C．B与C D．B与D 【答案】C 【详解】对于A,掷一次骰子，的概率. 掷一次骰子，为偶数的概率. 与同时发生，即且为偶数，故先后得到的点数为， 故. 因为，所以与是独立事件.   对于B,要使，有这种情况, , 与同时发生即且即，故. 而，所以与是独立事件.   对于C, 为偶数的概率. 的情况有：当时，；时，、； 时，、、；时，、、、； 时，、、、、； 时，、、、、、，共21种情况， 所以. 与同时发生，即为偶数且的情况有： 当时，；时，；时，、； 时，、；时，、、； 时，、、，共12种情况，所以. 而，所以与不是独立事件.   对于D, 为偶数的概率. . 与D同时发生，即为偶数且的情况有： 当时，；时，；时，，共3种情况， 所以. 而，所以与D是独立事件.   故与与与相互独立，与不相互独立． 故选：C. 二、多选题 7．已知事件，且，则（    ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【详解】由于对立事件的概率和为1，但，A错误； 若事件与事件互斥，则，B正确； 若事件与事件互斥，则不可能同时发生，即，C错误； 因为，所以事件与事件相互独立， 则事件与事件相互独立，D正确． 故选：BD. 8．在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立，发送0时，收到1的概率为收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为收到1的概率为．共有两种传输方案：单次传输和三次传输．单次传输是指每个信号只发一次；三次传输是指每个信号重复发送3次．收到信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到0，1，1，则译码为1）．则（   ） A．采用单次传输方案，若依次发送0，0，则收到两个译码恰好有一个正确的概率为 B．采用三次传输方案，若发送1，则收到的译码为1的概率为 C．采用单次传输方案，若随机发送一个信号（发送0和发送1的概率都是），则收到的译码为1的概率为 D．当时，若发送0，采用三次传输方案译码为0的概率大于采用单次传输方案译码为0的概率 【答案】BCD 【详解】对于A，由题意，采用单次传输方案，收到两个译码恰好有一个正确的概率为 ，故A错误； 对于B，采用三次传输方案，若发送1，译码为1的情况分别为“”、“”、“”、“”， 则译码为1的概率为，故B正确； 对于C，采用单次传输方案，则收到的译码为1的概率为 ，故C正确； 对于D，若发送0，采用三次传输方案译码为0的情况有“”、“”、“”、“”， 所以收到译码为0的概率； 若发送0，采用单次传输方案译码为0的概率为， 由，且， 则，即，故D正确； 故选：BCD. 三、填空题 9．有一个游戏，规则如下：如图，在圆上有共八个点，一枚棋子起始位置在点处，每个相邻的两点间称为1步．抛掷一枚均匀的骰子，若骰子正面向上的点数为，则棋子按顺时针方向前进步到另一个点，抛掷两次骰子后，游戏结束．试问游戏结束时棋子回到点处的概率为 ． 【答案】 【详解】两次数字和为的有，，，，共个结果， 其中拋次骰子共有种结果， 所以游戏结束时棋子回到点处的概率. 故答案为： 10．本福特定律，也称为本福特法则，指的是在进位制中，以数起头的多位数出现的概率为．本福特定律可以用于检查各种数据是否存在造假，例如在会计审计中，可以利用本福特定律来检测财务报表数据的真实性．在从实际生活得出的一组十进制数据中，以1为首位数字的多位数出现的概率约为 ；首位数字为2的多位数出现的概率与首位数字为5的多位数出现的概率的比值约为 ．（结果均保留两位有效数字，参考数据：） 【答案】 0.30 2.2 【详解】依本福特定律知，在一组十进制数据中，一个多位数的首位数字是1的概率为． 十进制中，一个多位数的首位数字是2的概率为， 一个多位数的首位数字是5的概率为，则． 故答案为：0.30；2.2 11.已知正整数，欧拉函数表示、、、、中与互素的整数的个数，例如，，.若小明从、、、、中随机取一个数，小红从、、、、中随机取一个数，则的概率为 . 【答案】/ 【详解】由题意可得，，，，，， ，，，， 因为，， 满足的数组有：、、、， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题 12．口袋内有红、白、黄大小完全相同的三个小球，若从袋中依次无放回地摸出两球，求第一次摸出红球，第二次摸出白球的概率． 【答案】 【详解】由题意无放回地取球，故样本空间为｛（红，白），（红，黄），（白，红），（白，黄）， （黄，红），（黄，白）｝，有6种结果，其中第一次摸出红球，第二次摸出白球的情况只有1种， 所以先摸出红球，再摸出白球的概率是． 13．“科学技术是第一生产力”.科技进步能够更好地推动高质量发展，如人工智能中的DeepSeek.某公司部门有员工100名，公司拟开展DeepSeek培训，分三轮进行，每位员工一轮至三轮培训达到“优秀”的概率分别为，，，每轮相互独立，有两轮及两轮以上获得“优秀”的员工才能应用DeepSeek. (1)估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数（去尾法精确到个位）； (2)已知开展DeepSeek培训前，员工每人每年为公司创造利润6万元；开展DeepSeek培训后，能应用DeepSeek的员工每人每年平均为公司创造利润10万元.DeepSeek培训平均每人每年成本为1万元.根据公司发展需要，计划先将部门的部分员工随机调至公司其他部门，然后对其余员工开展DeepSeek培训.要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润，部门最多可以调多少人到其他部门？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意每个员工“优秀”的概率 ， 则估计部门员工经过培训能应用DeepSeek的人数为个， 按去尾法取整，有人； （2）设调出人， 调整前的利润为（万元）， 调整后的利润为， 要保证培训后部门的年利润不低于员工调整前的年利润， 则，解得， 因为为整数，所以最大值为， 即部门最多可以调人到其他部门. 14．某农科所在同一块试验田种植了，两个品种的小麦，成熟后，分别从这两个品种的小麦中均随机选取100份，每份含1千粒小麦，测量其重量（g），按，，，，，分为6组（每份重量（g）均在内），两个品种小麦的频率分布直方图如图所示，两个品种的小麦千粒重相互独立. (1)求的值及品种小麦千粒重的中位数； (2)用频率估计概率，从，两个品种的小麦中各抽取一份，估计这两份的重量恰有一个不低于45g的概率. 【答案】(1)，品种千粒重的中位数为43.75g； (2). 【详解】（1）由品种小麦的频率分布直方图，得，所以； 设品种小麦千粒重的中位数为，由品种小麦的频率分布直方图， 得，，则， 于是，解得，即品种千粒重的中位数为43.75g. （2）设事件，分别表示从，两个品种中取出的小麦的千粒重不低于45g， 事件表示两个样本小麦的千粒重恰有一个不低于45g，则， 用频率估计概率，则，， 由，相互独立，所以 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$