考点04 用样本估计总体（专项训练）高一数学苏教版必修第二册

考点04 用样本估计总体 考点一：平均数、众数与中位数 （1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数． （2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数叫做这组数据的中位数． （3）平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数． 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 ①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标； ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 考点二：极差、方差、标准差 1、极差 （1）定义：一组数据的最大值与最小值的差． （2）作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中． 2、方差、标准差的定义 一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为． 3、总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．如果总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，，其中出现的频数为，则总体方差为． 4、样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差． 5、方差、标准差特征 标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 考点三：百分位数 1、第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2、计算第百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据． 第2步：计算． 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数． 3、四分位数 常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 题型一：平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 （1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大． （2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势． 混淆三者适用场景，极端数据仍误用平均数；求中位数未先将数据排序直接取中间数。错把出现次数多的数当成中位数，实际众数才是频次最高值。分析实际问题时，不会结合题意选统计量，仅凭数值大小判断，导致结论错误。 1．倡导中小学生学习践行“富强､民主､文明､和谐；自由､平等､公正､法治；爱国､敬业､诚信､友善”社会主义核心价值观这24个字，其中含有12组词，每组词的笔画数的和依次为，则这12个笔画数的众数是（    ） A．17 B．16 C．1 D．24 【答案】A 【解析】题目中的数据依次为：， 因为：：各出现1次， ：出现2次， ：出现3次， 又因为出现的次数最多，所以这组数据的众数是. 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 【答案】D 【解析】由表格中的数据，可得用电量为180度的家庭最多，有7户， 所以这20户家庭该月用电量的众数是180； 将用电量按从小到大的顺序排列后，处于最中间位置的两个数是160，160， 所以这20户家庭该月用电量的中位数是160． 故选：D. 3．已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 【答案】C 【解析】由题意知，得， 若，则这五个数为45，50，50，50，55，中位数为50． 若，不妨设，则，又，所以这五个数的中位数仍是50． 4．数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】该组数据的平均数为. 5．已知一组数据的平均数为3，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为数据的平均数为，可得，解得. 故选：A. 题型二：在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数 （1）众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标． （2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和． 易错混淆三者求法：众数直接取最高矩形组中值；平均数误用区间端点，需用每组组中值 × 对应频率求和；中位数要累加频率找到 0.5 所在组，套用公式计算，不可直接取区间中点。常漏乘组距算错频率，导致三个统计量全部计算失误。 1．中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值； (2)现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？ (3)估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 【解析】（1）由频率分布直方图得所有矩形面积和为1， 即，解得. （2）年龄在内的频率为， 则抽取的样本中该区间人数为人. （3）设这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为， 由频率分布直方图计算平均数，即. 故这200名中国AI大模型用户年龄的平均数为岁 2．某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 【解析】（1）由频率分布直方图，得， 所以． （2）由频率分布直方图，样本数据在的频率为，在的频率为， 因此语文成绩的中位数，则，则， 这100名学生语文成绩的平均数为： . 3．每年七月，八月是兰州最热，用电量比较高的月份.下图是兰州市城关区某小区住户八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：. (1)求直方图中的； (2)根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数； (3)在用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在的用户应抽取多少户？ 【解析】（1）由，解得； （2）由小矩形最高的一组是，所以众数为； 所以，解得， 故月平均用电量中位数的估计值为244度； （3）用电量为的频率 用电量为的频率 用电量为的频率 用电量为的频率 则月均用电量在内应抽取（户） 4．从我校高二年级的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人. (1)求第七组的频率； (2)估计该校的名男生的身高的众数与平均数； 【解析】（1）第六组的频率为， ∴第七组的频率为. （2）由直方图得， 身高在第一组的频率为， 身高在第二组的频率为， 身高在第三组的频率为， 身高在第四组的频率为， 身高在第五组的频率为， 身高在第六组的频率为， 身高在第七组的频率为， 身高在第八组的频率为， 因为身高在第五组的频率最高，人数最多， 所以众数为. 平均数为： . 所以估计该校的500名男生的身高的众数为，平均数为. 5．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 【解析】（1）由题意可知，样本容量为，， ； （2）设中位数为m， ，则， 由题意可得：，解得， 所以本次竞赛学生成绩的中位数为71； 由频率分布直方图可知，本次竞赛学生成绩的平均数为 ， 所以本次竞赛学生成绩的平均数为70.6． 题型三：方差与标准差 1、方差的计算方法 . 2、方差的性质 (1)数据，，…，与数据，，…，的方差相等． (2)若，，…，的方差为，则，，…，的方差为. (3)若，，…，的方差为，则，，…，的方差为. 混淆方差、标准差概念，标准差是方差的算术平方根。计算时易漏掉平均数、平方运算，或分母误用数据个数减一。忽视性质：数据平移方差不变，伸缩会平方倍变化。实际应用中，错用平均水平分析波动，二者只反映数据离散、稳定程度。 1．若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 【答案】D 【解析】由已知得，， 又， 所以数据的方差为 所以， 即， 所以， 所以， 即，解得或. 2．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【解析】因的平均数为1，方差为2，则， 于是数据的平均数为， 又，则， 于是数据的方差为： . 3．已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由平均数公式可得，可得， 由方差公式可得， 整理可得，即，所以， 因为，所以， 故. 故选：D. 4．高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由条件可知，得,① 方差， 所以，② 由①，，代入②，可得 解得：或，所以. 故选：B 5．已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 【答案】C 【解析】设的平均数为，标准差为，则，， 即，. 所以，，，的平均数为 ； ，，，的方差为 ，故其标准差为10. 故选：C. 题型四：标准差与方差的应用 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高． 方差、标准差用来衡量数据波动与稳定程度，数值越小越稳定。实际决策中，易误用其判断平均水平；忽略两组数据平均数相近时，才可比较波动。记错数据变换规律：加减常数不改变方差，倍数伸缩需平方运算，常因此算错整体波动结果。 1．在篮球选修课上，男､女生各有5名编号为的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男､女生的投篮水平， (1)求男､女生投篮命中数的极差和平均数 (2)求男､女生投篮命中数的方差并判断谁的命中数更稳定. 【解析】（1）男生投篮命中数最大值为，最小值为， 所以男生投篮命中数的极差为， 男生投篮命中数的平均数为， 女生投篮命中数最大值为，最小值为， 所以女生投篮命中数的极差为， 女生投篮命中数的平均数为. （2）男生投篮命中数的方差， 女生投篮命中数的方差为， 因为，所以女生命中数更稳定. 2．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 【答案】(1) 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 (2)①甲的成绩更稳定；②乙射靶成绩比甲好；③乙更有潜力 【分析】 （1）根据图中数据，分别求出乙的平均数、中位数和甲的中位数，即可完成表格. （2）根据方差、中位数的意义及折线图的走势，分析即可得答案. 【详解】 （1）由题图可知，乙的射靶环数依次为2，4，6，8，7，7，8，9，9，10， 所以. 乙的射靶环数从小到大排列为2，4，6，7，7，8，8，9，9，10，所以中位数是. 甲的射靶环数从小到大排列为5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，所以中位数为7. 于是填充后的表格如下表所示： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 7 1 乙 7 5.4 7.5 3 （2）①甲、乙的平均数相同，均为7，但， 说明甲偏离平均数的程度小，而乙偏离平均数的程度大，故甲的成绩更稳定. ②甲、乙的平均水平相同，而乙的中位数比甲大， 故从平均数和中位数的角度分析乙射靶成绩比甲好. ③从折线图可以看出乙的成绩有明显进步，甲的较为稳定，所以乙更有潜力. 3．“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 【解析】（1）设中位数为a，∵第一组的频率为， 第二组的频率为，第三组的频率为， 又，，． 则，，则中位数为32岁． （2）5个年龄组成绩的平均数为， 方差． 5个职业组成绩的平均数为， 方差为． 所以从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更稳定． 4．某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 【解析】（1）由题意可得， 解得． （2）估计这300名顾客的单次消费金额的平均数为． （3）因为第一组的频率为，第二组的频率为， 所以第一组与第二组所有顾客单次消费金额的平均数为， 为第一组数据所占比例，即，同理， 所以估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 5．无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位：），得到如下表格： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0 土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2 规定：记第组中无土环境生长植株的平均高度为，土壤环境生长植株的平均高度为，若，则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下植株生长差异较大. (1)求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差； (2)证明：两种环境下植株生长差异较大. 【解析】（1）将土壤环境中5组植株平均高度按照从小到大的顺序排列为14.9，15.2，16.2，16.4，17.3， 易得其中位数为16.2，其极差为 （2）先计算， 计算每一组： 第一组： 第二组： 第三组： 第四组： 第五组： 求和： 计算平均值： 因此，不满足“”的条件，所以两种环境下植株生长差异较大. 题型五：用样本平均数和样本标准差估计总体 （1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差． （2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换． 易误认为样本数据完全等同于总体，忽略抽样误差。误用样本局部特征直接绝对判定总体情况；忽视样本代表性，随机抽样才能合理估计。混淆估计逻辑：样本平均数估总体平均水平，样本标准差估总体波动，不可交叉混用，片面下结论。 1．某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 【答案】D 【解析】由中位数的意义，得中位数62分为发现统计有误前的成绩由小到大排列的第53个数， 假设加分的是原成绩排第1至53名的学生，且原成绩中第52名为61分，第54名为63分， 调整后，原第52名的成绩变为66分，原第53名变为67分，而原第54名的成绩63分不变， 排序后，新成绩序列的第53项为66分，即中位数为66分， 因此调整后学生成绩的中位数不一定是 62 或 67 分. 2．已知数据是某市100个普通职工2018年8月份的收入（均不超过0.8万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，如果再加上某人2018年8月份的收入（约1万元），则相对于x，y，这101个数据（    ） A．平均数可能不变，中位数可能不变 B．平均数变大，中位数一定变小 C．平均数变大，中位数一定变大 D．平均数变大，中位数可能不变 【答案】D 【解析】不妨设该组数据从小到大依次为，即， 则，， 设加上某人2018年8月份的收入x101(约100万元)后的中位数为， 所以，而， 所以，当时，中位数不变； 设加上2018年8月份的收入x101(约1万元)后的平均数为，则 ， 所以 ，所以平均数变大. 故选：D. 3．阳澄湖大闸蟹在国内外享誉盛名，某超市从批发商那里购得10000只大闸蟹，这批大闸蟹的平均重量是100克.现在某超市员工随机抽取了一个样本容量为100的样本，检测得这100只大闸蟹的平均重量为克，则以下说法正确的是（    ） A．大于100 B．等于100 C．小于100 D．以上都有可能 【答案】D 【解析】由于样本平均数是一个随机变量， 故选：D. 4．（多选题）五名同学各投掷骰子一次，分别记录每次投掷骰子的点数，根据下列统计结果，可以推断可能投掷出点数1的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，极差为4 C．平均数为4，方差为2 D．中位数为3，众数为4 【答案】ABD 【解析】对于A，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可出现点1，A是； 对于B，当掷骰子出现的结果为1，2，3，4，5时，满足平均数为3，极差为4，可出现点1，B是； 对于C，平均数为4，若出现点数1，则最多一个1，否则， 另四个数的和为19，则最多两个4，， 因此当平均数为4，方差为2时，一定不会出现点数1，C错误； 对于D，当郑骰子出现的结果为1，2，3，4，4时，满足中位数为3，众数为4，可出现点1，D是， 故选：ABD 5．（多选题）四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是（    ）． A．平均数为3，中位数为4 B．平均数为3，方差为1 C．平均数为4，极差为4 D．平均数为2，第80百分位数为4 【答案】AC 【解析】对于A，假设这7个数据从小到大排列为， 若平均数为3，中位数为4，则， 即， 若，可以取满足条件， 所以A选项可能出现了点数6； 对于B，若平均数为，方差为，， 则由方差公式可知，， 若，则，即若出现点数6，方差会大于1， 所以B选项不可能出现了点数6； 对于C，设最大值为，最小值为， 若极差为4，则有， 若平均数为4，则有，， 若，则，7次的点数可以取， 满足平均数为4，极差为4的条件，所以C选项可能出现了点数6； 对于D，因为，所以第80百分位数是第6个数， 若平均数为2，则，若第6个数是4，第7个数是6， 那么前5个数的点数和为4，而骰子的点数最小为1， 所以D选项不可能出现了点数6. 故选：AC 题型六：百分位数的应用 1、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数． 2、求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值． 百分位数用于刻画数据排位与分层水平，如成绩等级、身高标准。易错点：计算时未先排序、下标取值错误；混淆百分位数与中位数，中位数即第 50 百分位数。误用局部数据估算整体分层，忽略其反映数据位置分布，不能衡量波动大小。 1．直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设销售额的第百分位数为， 由已知，解得， 又， ， 所以， 且， 解得， 即销售额的第百分位数为. 2．某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（   ） A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨 【答案】C 【解析】由频率分布直方图可知，前五组的频率之和为，前六组的频率之和为， 设该市月用水量的临界值为吨， 则，由，得， 故该市月用水量的临界值为28.3吨. 3．将A、B两组数据按从小到大顺序排列，A组为18，22，a，b，39，66；B组为24，c，34，42，49，58．若两组数据的分位数相等，则可能等于（   ） A．47 B．57 C．67 D．77 【答案】C 【解析】根据题意，组数据18，22，a，b，39，66，共6个数据，由，则组数据的分位数为第3项数据，即， 同理组数据的分位数为34.因为两组数据的分位数相等，所以.根据组数据从小到大排列的顺序，可得， 根据组数据从小到大排列的顺序，可得，所以，选项中只有满足. 故选：C. 4．已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 【答案】4.05 【解析】因为， 故第百分位数为第个数和第个数的平均数即为. 5．2025年1月—7月全国工业生产者出厂价格环比下降幅度（单位：%）依次为0.2，0.1，0.4，0.4，0.4，0.4，0.2，则这7个数据的45%分位数为______. 【答案】 【解析】将数据由小到大依次排序：0.1，0.2，0.2，0.4，0.4，0.4，0.4， 由于，则这7个数据的45%分位数 1．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（    ） A．4.8 B．5.2 C．5.3 D．5.6 【答案】B 【解析】， 即是关于的二次函数，则当取时取最小值， 此时. 2．已知实数，则使和最小的实数k分别为 的（ ） A．中位数，标准差 B．平均数，中位数 C．中位数，平均数 D．标准差，平均数 【答案】C 【解析】表示2 025个绝对值之和， 根据绝对值的几何意义知，绝对值的和的最小值表示距离和的最小值， 因为2 025为奇数， 所以k取的中位数时，有最小值； 显然该式可以看成关于k的一元二次函数， 故当时，有最小值， 即k为的平均数时，有最小值. 3．一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】数据，，，，，10，，20，，已是由小到大的排列，数据共个， 中位数为第个与第个数据的平均值即中位数为， 由， 因此百分位数为第个与第个数据的平均值即， 得， 解得． 4．一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 【答案】C 【解析】由长方形的面积之和为1，得： ， 所以， 所以水果质量在区间（单位：g）内的个数为个. 5．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 【答案】D 【解析】设该组数据从小到大排列为，且，， 则由题， 对A，当该组数据中位数为3时，则该组数据满足， 则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾，故A错误； 对B，因为该组数据和为8，所以该组数据4的个数至多为一个， 当该组数据有一个数据4时，则另三个数据的和为4，故该组数据只能为， 此时该组数据众数为1，故该组数据众数不可能为4，故B错误； 对C，若该组数据的极差为5，则该组数据至少有一个6和一个1， 则该组数据的和，与该组数据的和为8矛盾， 所以该组数据极差不可能为5，故C错误； 对D，当该组数据为时， 该组数据方差为，故D正确. 6．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 【答案】D 【解析】由题意得，解得， 不妨设，则，而当时，， 此时从小到大的排列顺序为，45，50，55，，而， 故第40百分位数，矛盾， 当时，，此时从小到大的排列顺序为45，，50，，55， 此时，得，于是， 此时，可知第70百分位数是，故D正确. 7．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 【答案】D 【解析】去掉最高分和最低分后，数组B的数据为， 选项A：数组A的极差为， 数组B的极差为，故A错误； 选项B、D：数组A的平均数， 数组B的平均数，故D正确； 数组A的方差为 ， 数组B的方差为，故B错误； 选项C：，则数组A的分位数为， ，则数组B的分位数为，故C错误. 8．某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】将数据从小到大排列为5，6，8，8，9，10，11，12，众数为8， 则这组数据的第百分位数为8， 又 ， 若为整数，则，解得； 若不为整数，则或， 解得或，综上，. 9．（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B．若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】AD 【解析】对于A，由样本的方差得样本容量，样本平均数，所以样本数据总和为，故正确； 对于B，样本数据标准差为8，故样本数据的方差为64， 所以数据的方差为，标准差为，故错误； 对于C，将数据从小到大排序后得12，13，14，15，17，19，23，24，27，30，共10个数， 所以，所以该组数据的第70百分位数是，故错误； 对于D，一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2， 不妨记原始数据为，则 ，，即， 现样本中又加入一个新数据5，此时样本平均值为， 样本方差为， 所以加入一个新数据5，平均数不变，方差变小，故正确. 10．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B．数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C．数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D．数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 【答案】ABD 【解析】选项A：数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4，故A正确； 选项B：数据7，9，12，15，9，14，18的极差是18-7=11，故B正确； 选项C：数据2，3，3，5，7，8，9共7个，， 则该组数据的第百分位数为7，故C错误； 选项D：数据，的平均数为， 方差为，故D正确. 11．（多选题）某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损． 成绩／分 5 6 7 8 9 10 人数 8 7 10 7 关于这40名学生的成绩，则（   ） A．众数为9 B．极差为5 C．第30百分位数为6 D．平均数小于中位数 【答案】ABD 【解析】A. 9分人数为10人，是已知各分数段中最多， 由于5分（设为x人）与6分（设为y人）总人数为8人（）， 任一分数人数最多为8，不可能超过10，因此众数必为9，故正确； B.最低分为5分，最高分为10分，极差为 ，故正确； C.总人数40，第30百分位数位置为 ，即取第12和第13个数据的平均值， 前8个数据为5分或6分，第9至16个数据均为7分 第12、13个数据均为7 第30百分位数为7，故选项错误. D.中位数：第20、21个数据位于8分区间（前16个为5/6/7分，第17–23为8分） 中位数为8， 平均数计算： ， 因 ，故 ，即平均数小于中位数. 12．某校组织全体学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是__________. ①在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有80人 ②图中的值为0.020 ③估计全校学生成绩的中位数为87 ④估计全校学生成绩的 【答案】①③④ 【解析】频率分布直方图中，所有组的频率和为1，组距为10， 因此， 解得，故②错误； 成绩在的频率为，总抽取人数为200， 因此该区间人数为人，故①正确； 成绩分的频率：， 成绩分的累计频率：， 因此中位数在内，中位数为：， 估计全校中位数为87合理，故③正确； 累计频率到90分为，累计频率到100分为， 因此80百分位数在内：，④正确. 13．某校为调查全校学生的睡眠时间，从全体学生中用随机数法抽取了一个容量为100的简单随机样本，他们的睡眠时间如下表(单位：h)： 睡眠 时间 合 计 人数 5 6 2 则这100名学生的平均睡眠时间并由此估计该校学生的日平均睡眠时间为____． 【答案】 【解析】以睡眠区间的平均值为睡眠时间，则这名学生的日平均睡眠时间为： ， 该校学生的日平均睡眠时间约为． 14．盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 【答案】3.6 【解析】由题可知摸到的号码为2，2，3，，，其中，，且， 为使平均数最大， ，，其平均数最大为. 15．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 【解析】（1）由频率分布直方图可得，解得； （2）设中位数为，前两个矩形的面积之和为， 前三个矩形的面积之和为， 所以，则，解得， 所以估计准确率的中位数为； （3）①设“优秀表现”试卷中文科题平均正确率为，则理科题平均正确率为， 优秀表现的准确率区间为， 其平均准确率为：， 则，解得， 则理科题平均正确率为； ②文科得分为，理科得分为， 则DeepSeek的平均得分为分. 16．如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 【解析】（1）根据频率分布直方图知，满足条件的频率为： 所以满足条件的人数为：（人）． （2）据题意该公司员工的平均月收入为： （元） （3）根据频率分布直方图知，最高矩形（由两个频率相同的矩形构成）的底边中点的横坐标为2500，即公司员工月收入的众数为2500元． （4）根据频率分布直方图知，中位数介于2000元至2500元之间，故可设中位数为，则由，即公司员工月收入的中位数为2400元． （5）根据频率分布直方图知，公司员工月收入小于3000元的百分比为，公司员工月收入小于3500元的百分比为（ 所以公司员工月收入的第90分位数是． 17．江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3)测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 【解析】（1）由， 解得： （2）这100人的得分的平均数 （3）测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数等价于获得奖品分数的第百分位数， 因为， ， 所以第80百分位数在，设第80百分位数为， 则， 解得：分 则测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为分 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点04 用样本估计总体 考点一：平均数、众数与中位数 （1）众数：一组数据中重复出现次数最多的数． （2）中位数：把一组数据按从小到大的顺序排列，处在中间位置（或中间两个数的平均数）的数叫做这组数据的中位数． （3）平均数：如果个数，那么叫做这个数的平均数． 频率分布直方图中的众数、中位数、平均数 ①在频率分布直方图中，众数是最高矩形中点的横坐标； ②中位数左边和右边的直方图的面积应该相等； ③平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和． 考点二：极差、方差、标准差 1、极差 （1）定义：一组数据的最大值与最小值的差． （2）作用：极差较大，数据点较分散；极差较小，数据点较集中． 2、方差、标准差的定义 一组数据，用表示这组数据的平均数，则这组数据的方差为，标准差为． 3、总体方差、总体标准差的定义 如果总体中所有个体的变量值分别为，总体平均数为，则称为总体方差，为总体标准差．如果总体的个变量值中，不同的值共有个，记为，，其中出现的频数为，则总体方差为． 4、样本方差、样本标准差的定义 如果一个样本中个体的变量值分别为，样本平均数为，则称为样本方差，为样本标准差． 5、方差、标准差特征 标准差、方差刻画了数据的离散程度或波动幅度，标准差越大，数据的离散程度越大；标准差越小，数据的离散程度越小．在刻画数据的分散程度上，方差和标准差是一样的．但在解决实际问题中，一般多采用标准差． 考点三：百分位数 1、第p百分位数的定义 一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值． 2、计算第百分位数的步骤 第1步：按从小到大排列原始数据． 第2步：计算． 第3步：若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第项数据的平均数． 3、四分位数 常用的分位数有第25百分位数、第50百分位数、第75百分位数，这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等． 题型一：平均数、中位数、众数在具体数据中的应用 （1）样本的众数、中位数和平均数常用来表示样本数据的“中心值”，其中众数和中位数容易计算，不受少数几个极端值的影响，但只能表达样本数据中的少量信息，平均数代表了数据更多的信息，但受样本中每个数据的影响，越极端的数据对平均数的影响也越大． （2）当一组数据中有不少数据重复出现时，其众数往往更能反映问题，当一组数据中个别数据较大时，可用中位数描述其集中趋势． 混淆三者适用场景，极端数据仍误用平均数；求中位数未先将数据排序直接取中间数。错把出现次数多的数当成中位数，实际众数才是频次最高值。分析实际问题时，不会结合题意选统计量，仅凭数值大小判断，导致结论错误。 1．倡导中小学生学习践行“富强､民主､文明､和谐；自由､平等､公正､法治；爱国､敬业､诚信､友善”社会主义核心价值观这24个字，其中含有12组词，每组词的笔画数的和依次为，则这12个笔画数的众数是（    ） A．17 B．16 C．1 D．24 2．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量，如下表所示： 用电量／度 120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2 则这20户家庭该月用电量的众数和中位数分别是（   ） A．180，170 B．160，180 C．160，170 D．180，160 3．已知五个数的平均数为50，则这五个数的中位数为（   ） A．45 B．47.5 C．50 D．52.5 4．数据的平均数是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．已知一组数据的平均数为3，则（    ） A． B． C． D． 题型二：在频率分布直方图中求平均数、中位数、众数 （1）众数：频率分布直方图中，最高矩形的底边中点的横坐标． （2）中位数：在频率分布直方图中，把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分的分界线与x轴交点的横坐标称为中位数． （3）平均数：平均数在频率分布直方图中等于每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和． 易错混淆三者求法：众数直接取最高矩形组中值；平均数误用区间端点，需用每组组中值 × 对应频率求和；中位数要累加频率找到 0.5 所在组，套用公式计算，不可直接取区间中点。常漏乘组距算错频率，导致三个统计量全部计算失误。 1．中国AI大模型正处于一个技术进步、市场规模增长的爆发式发展阶段．为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了200名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照、、、、进行分组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求m的值； (2)现要再对关于“AI大模型的使用体验”进行问卷调查，如果按照年龄进行分层抽样，要抽取一个容量为20的样本，则年龄在内的用户要抽取多少人？ (3)估计这200名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）． 2．某校抽取100名高二学生期中考试的语文成绩，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为：，，…，，． (1)求频率分布直方图中a的值； (2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的中位数和平均数．（保留小数点后1位） 3．每年七月，八月是兰州最热，用电量比较高的月份.下图是兰州市城关区某小区住户八月份用电量（单位：度）的频率分布直方图，其分组区间依次为：. (1)求直方图中的； (2)根据直方图估计八月份用电量的众数和中位数； (3)在用电量为的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则用电量在的用户应抽取多少户？ 4．从我校高二年级的名男生中随机抽取名测量身高，被测学生身高全部介于和之间，将测量结果按如下方式分成八组：第一组，第二组，…，第八组，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组的人数为人. (1)求第七组的频率； (2)估计该校的名男生的身高的众数与平均数； 5．某校高一举行了一次数学竞赛，为了了解本次竞赛学生的成绩情况，从中抽取了部分学生的分数（得分取正整数，满分为100）作为样本（样本容量n）进行统计，按照、、、、的分组作出频率分布直方图，已知得分在、的频数分别为8、2．    (1)求样本容量n和频率分布直方图中的x、y的值； (2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均数. 题型三：方差与标准差 1、方差的计算方法 . 2、方差的性质 (1)数据，，…，与数据，，…，的方差相等． (2)若，，…，的方差为，则，，…，的方差为. (3)若，，…，的方差为，则，，…，的方差为. 混淆方差、标准差概念，标准差是方差的算术平方根。计算时易漏掉平均数、平方运算，或分母误用数据个数减一。忽视性质：数据平移方差不变，伸缩会平方倍变化。实际应用中，错用平均水平分析波动，二者只反映数据离散、稳定程度。 1．若A组数据，，，的平均数为25，方差为5，B组数据，，，，5m的方差为8，则（   ） A．8 B．4 C．4或5 D．4或6 2．已知数据的平均数为1，方差为2，则数据的方差为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．已知样本数据、、、、的平均数为，方差为，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．高三一数学优生为了检测自己的解题速度，记录了完成五套高考模拟题所用的时间（单位：分钟）分别为，，100，105，110.已知这组数据的平均数为105，方差为，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知，，，的平均数为3，标准差为2，则，，，的（    ） A．平均数为15，标准差为10 B．平均数为15，标准差为50 C．平均数为17，标准差为10 D．平均数为17，标准差为50 题型四：标准差与方差的应用 在实际问题中，仅靠平均数不能完全反映问题，还要研究方差，方差描述了数据相对平均数的离散程度，在平均数相同的情况下，方差越大，离散程度越大，数据波动性越大，稳定性越差；方差越小，数据越集中，稳定性越高． 方差、标准差用来衡量数据波动与稳定程度，数值越小越稳定。实际决策中，易误用其判断平均水平；忽略两组数据平均数相近时，才可比较波动。记错数据变换规律：加减常数不改变方差，倍数伸缩需平方运算，常因此算错整体波动结果。 1．在篮球选修课上，男､女生各有5名编号为的学生进行投篮练习，每人投10次，投中的次数如图所示，试根据折线图通过计算比较本次投篮练习中男､女生的投篮水平， (1)求男､女生投篮命中数的极差和平均数 (2)求男､女生投篮命中数的方差并判断谁的命中数更稳定. 2．甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示. (1)填写下表： 平均数 方差 中位数 命中9环及以上 甲 7 1.2 1 乙 5.4 3 (2)请从三个不同的角度对这次测试进行分析； ①由平均数和方差结合分析谁的成绩更稳定； ②由平均数和中位数结合分析谁的成绩好些； ③由折线图上两人射击命中环数及走势分析谁更有潜力. 3．“十五五规划”是中共中央关于制定国民经济和社会发展第十五个五年规划．成都市为了解市民对“十五五规划”的认知程度，对不同年龄、不同职业的市民举办了一次“十五五规划”知识竞赛，满分为100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了x人，按年龄大小分成5组，第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有6人，从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人群中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加“十五五规划”知识竞赛，分别代表相应组的成绩，年龄组中组的成绩分别为93，96，97，94，90，职业组中组的成绩分别为93，98，94，95，90． (1)求抽取的x人的年龄的中位数（结果保留整数）； (2)分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差，并以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“十五五规划”的认知程度． 4．某奶茶店统计了300名顾客的单次消费金额（单位：元），并将所有数据按照，，，，分成5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求的值；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (2)估计这300名顾客的单次消费金额的平均数；（计算平均数时同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） (3)若频率分布直方图中第一组单次消费金额的方差为1，第二组单次消费金额的方差为6，估计第一组与第二组所有顾客单次消费金额的方差． 附：若数据，，，的平均数为，方差为，数据，，，的平均数为，方差为，将这两组数据混合在一起得到一组新的数据，设新数据的平均数为，则新数据 的方差为． 5．无土栽培是未来太空探索所必需的技术，现用相同的种子分别在无土环境与土壤环境中种植，将两种环境下生长的植株各分成五组，分别计算各组植株的平均高度（单位：），得到如下表格： 第1组 第2组 第3组 第4组 第5组 无土环境 12.8 13.2 13.1 12.9 13.0 土壤环境 15.2 16.4 14.9 17.3 16.2 规定：记第组中无土环境生长植株的平均高度为，土壤环境生长植株的平均高度为，若，则称两种环境下植株生长差异较小，否则称两种环境下植株生长差异较大. (1)求土壤环境中5组植株平均高度的中位数和极差； (2)证明：两种环境下植株生长差异较大. 题型五：用样本平均数和样本标准差估计总体 （1）标准差代表数据的离散程度，考虑数据范围时需要加减标准差． （2）计算样本平均数、样本方差直接利用公式，注意公式的变形和整体代换． 易误认为样本数据完全等同于总体，忽略抽样误差。误用样本局部特征直接绝对判定总体情况；忽视样本代表性，随机抽样才能合理估计。混淆估计逻辑：样本平均数估总体平均水平，样本标准差估总体波动，不可交叉混用，片面下结论。 1．某校期中考试有 105 名学生参加，且成绩均相异，统计后得到学生成绩的中位数是 62分，后来发现成绩统计有误，其中53 名学生的成绩要各加上 5 分，其余学生成绩不变.则调整后学生成绩的中位数（   ）. A．一定是 62 分 B．一定是 67 分 C．一定是62 或67 分（均可能） D．不一定是 62 或 67 分 2．已知数据是某市100个普通职工2018年8月份的收入（均不超过0.8万元），设这100个数据的中位数为x，平均数为y，如果再加上某人2018年8月份的收入（约1万元），则相对于x，y，这101个数据（    ） A．平均数可能不变，中位数可能不变 B．平均数变大，中位数一定变小 C．平均数变大，中位数一定变大 D．平均数变大，中位数可能不变 3．阳澄湖大闸蟹在国内外享誉盛名，某超市从批发商那里购得10000只大闸蟹，这批大闸蟹的平均重量是100克.现在某超市员工随机抽取了一个样本容量为100的样本，检测得这100只大闸蟹的平均重量为克，则以下说法正确的是（    ） A．大于100 B．等于100 C．小于100 D．以上都有可能 4．（多选题）五名同学各投掷骰子一次，分别记录每次投掷骰子的点数，根据下列统计结果，可以推断可能投掷出点数1的是（    ） A．平均数为3，中位数为2 B．平均数为3，极差为4 C．平均数为4，方差为2 D．中位数为3，众数为4 5．（多选题）四名同学各掷骰子7次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现了点数6的是（    ）． A．平均数为3，中位数为4 B．平均数为3，方差为1 C．平均数为4，极差为4 D．平均数为2，第80百分位数为4 题型六：百分位数的应用 1、计算一组n个数据的第p百分位数的步骤 第1步，按从小到大排列原始数据． 第2步，计算． 第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第（i+1）项数据的平均数． 2、求总体百分位数的估计，首先要从小到大排列数据，频率直方图看作数据均匀分布在直方图上，然后计算出，当i不是整数要取整，频率直方图要计算出比例值． 百分位数用于刻画数据排位与分层水平，如成绩等级、身高标准。易错点：计算时未先排序、下标取值错误；混淆百分位数与中位数，中位数即第 50 百分位数。误用局部数据估算整体分层，忽略其反映数据位置分布，不能衡量波动大小。 1．直播带货已经成为助力乡村振兴的重要方式之一．某村统计了一合作社最近天通过直播带货销售农产品的日销售额（单位：万元），并绘制成右侧的频率分布直方图，则的第百分位数为（   ） A． B． C． D． 2．某市为了鼓励市民节约用水，计划实施阶梯水价政策.现随机抽取1000户居民，统计其月用水量（单位：吨），并绘制出如图所示的频率分布直方图.若用这1000户居民的月用水量的80%分位数作为月用水量的临界值（精确到0.1），使得月用水量不超过该值的用户不受水价上调的影响，则该市月用水量的临界值为（   ） A．26.8吨 B．27.7吨 C．28.3吨 D．29.2吨 3．将A、B两组数据按从小到大顺序排列，A组为18，22，a，b，39，66；B组为24，c，34，42，49，58．若两组数据的分位数相等，则可能等于（   ） A．47 B．57 C．67 D．77 4．已知名同学的跳远成绩（单位：）排序后如下：，，，，，，，，，，则这组数据的第百分位数是________. 5．2025年1月—7月全国工业生产者出厂价格环比下降幅度（单位：%）依次为0.2，0.1，0.4，0.4，0.4，0.4，0.2，则这7个数据的45%分位数为______. 1．用测量工具测量某物体的长度，由于工具的精度以及测量技术的原因，测得5个数据，用表示这个物体的长度，当函数取最小值时，（    ） A．4.8 B．5.2 C．5.3 D．5.6 2．已知实数，则使和最小的实数k分别为 的（ ） A．中位数，标准差 B．平均数，中位数 C．中位数，平均数 D．标准差，平均数 3．一组从小到大排列的数据：，，，，，10，，20，，若它们的百分位数是中位数的两倍，则的值为（    ） A． B． C． D． 4．一农庄的某种水果成熟后，质地较好的水果的重量在80～120g间，现随机抽查100个这种水果，将其质量（单位：g）分组为，，，，，，，，并绘制出频率分布直方图如图，则这100个水果质量在区间（单位：g）内的个数为（   ） A．66 B．68 C．70 D．72 5．一个盒子中装有大小相同、质地均匀的6个小球，这6个小球分别标有编号1，2，3，4，5，6，现从盒中有放回地任取一个球并记下编号，共取4次，得到一组编号组成的数据，若该组数据的平均数为2，则（    ） A．中位数可能为3 B．众数可能为4 C．极差可能为5 D．方差可能为1 6．某校将学生分为5个队伍进行研学活动，这5个队伍的人数分别为：50，，55，45，.已知本次研学活动的总人数为250人，且各队人数的第40百分位数不小于48，则各队人数的第70百分位数的最大值是（    ） A．51 B．52 C．53 D．54 7．某中学校园十佳歌手比赛中，7位评委对某歌手的评分分别为，记为数组，将数组中去掉一个最高分和一个最低分后保留的5个有效评分记为数组，对这两个数组进行比较，有（    ） A．极差相同 B．方差相同 C．分位数相同 D．平均数相同 8．某小组在试验中得到了一组样本数据：8，6，10，8，5，9，11，12，若这组数据的第百分位数恰为这组数据的众数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）下列说法中正确的是（    ） A．样本的方差，则这组样本数据总和等于60 B．若样本数据标准差为8，则数据的标准差为32 C．数据13，27，24，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 10．（多选题）下列命题正确的是（    ） A．数据4，4，4，6，6，7，8，8的众数是4 B．数据7，9，12，15，9，14，18的极差是11 C．数据2，3，3，5，7，8，9的第百分位数是6 D．数据的平均数为2，方差为4，则数据，的平均数为5，方差为16 11．（多选题）某学校开展了一次国防知识测试活动，满分为10分，用纸质统计了40名学生的成绩，如下表所示，最低分为5分，有部分格子破损． 成绩／分 5 6 7 8 9 10 人数 8 7 10 7 关于这40名学生的成绩，则（   ） A．众数为9 B．极差为5 C．第30百分位数为6 D．平均数小于中位数 12．某校组织全体学生参加知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组的取值区间均为左闭右开），画出频率分布直方图（如图），下列说法正确的是__________. ①在被抽取的学生中，成绩在区间内的学生有80人 ②图中的值为0.020 ③估计全校学生成绩的中位数为87 ④估计全校学生成绩的 13．某校为调查全校学生的睡眠时间，从全体学生中用随机数法抽取了一个容量为100的简单随机样本，他们的睡眠时间如下表(单位：h)： 睡眠 时间 合 计 人数 5 6 2 则这100名学生的平均睡眠时间并由此估计该校学生的日平均睡眠时间为____． 14．盒子中装有除编号（1到6）外完全相同的6个小球，从中有放回地摸球5次，记录摸到球的编号，若已知5个编号的中位数为3，唯一众数为2，则平均数最大可能为______. 15．人工智能是新一轮科技革命和产业变革的重要驱动力量，是研究、开发用于模拟、延伸和扩展人的智能的理论、方法、技术及应用系统的一门新的技术科学．很多学校已经推出基于DeepSeek的人工智能通识课程，帮助学生深入了解人工智能的历史、关键技术及其在科学研究、社会发展中的高效应用，培养跨学科思维，推动人工智能技术在多领域的深度融合与创新．某探究小组利用DeepSeek解答了50份不同的模拟试卷（每份试卷包含文科、理科共30个题），收集其准确率，整理得到如下频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)求这组数据的中位数； (3)若将准确率不低于90%定义为“优秀表现”，且已知：①每份试卷中，文科题（语文、英语、历史）与理科题（数学、物理、化学）各占比50%，DeepSeek解答理科题的平均正确率比文科题高5%；②理科题每题6分，文科题每题4分，请计算： ①DeepSeek在“优秀表现”试卷中，理科题和文科题的平均正确率分别是多少？ ②一份“优秀表现”的试卷，DeepSeek的平均得分是多少？ 16．如图是某地某公司1000名员工的月收入的直方图．根据直方图估计： (1)该公司月收入在1000元到1500元之间的人数； (2)该公司员工的月平均收入； (3)该公司员工收入的众数； (4)该公司员工月收入的中位数； (5)该公司员工月收入的第90分位数． 17．江西乐平是江南菜乡，古戏台之乡.为帮助学生更充分地了解家乡，现随机选择100名学生，对乐平相关地理文化知识进行趣味答题测验（满分120分），根据得分，制成如图所示的频率分布直方图. (1)求的值； (2)求这100人的得分的平均数（以各组的区间中点为代表）； (3)测试分数位列前的学生将得到奖品，估计获得奖品的分数至少为多少分. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $