14.4 用样本估计总体【十大题型 】-2024-2025学年高一数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（苏教版2019必修第二册）

14.4 用样本估计总体 【考点梳理】 · 考点一、平均数、中位数、众数 · 考点二：茎叶图问题 · 考点三：平均数的和差部分性质 · 考点四：频率分布直方图的中位数、众数、平均数的计算 · 考点五、极差、方差、标准差的计算与应用 · 考点六：各数据加减乘除对方差的影响 · 考点七：频率分布直方图中的方差、标准差 · 考点八：频率分布直方图估计总体分布 · 考点九：百分位数 · 考点十：用样本估计总体的综合问题 【知识梳理】 知识点01、用样本估计总体的集中趋势参数 1.平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。 知识点02“技巧归纳：平均数、中位数和众数的特点 (1)平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.容易受极端值的影响； (2)中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中（数据个数为奇数或数据个数为偶数且中间两数相等），也可能不在所给的数据中（数据个数为偶数且中间两数不相等）。当一组数据的个别数据变动较大时，可以用中位数描述其集中趋势 (3)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有多个数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 知识点03：频率直方图中的数字特征 (1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 (2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积相等”来求出。 (3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。 知识点03、用样本估计总体的离散程度参数 1.极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。 2.方差和标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 知识点04、百分位数 1.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步，计算 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步，如果 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。 3.四分位数常用的分位数有25百分位数，50百分位数(即中位数)和75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数。 【题型归纳】 题型一、平均数、中位数、众数 1．（23-24高一下·新疆·期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（    ） A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84 【答案】D 【分析】根据平均数和众数的概念求解. 【详解】将样本数据按升序排列为79，84，84，84，86，87，93，95，可得平均数， 因为84出现了三次，且次数最多，所以众数为84. 故选：D 2．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为，则该组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．86，84 B．， C．， D．85，84 【答案】C 【分析】将数据排序，求出平均值和中位数即可. 【详解】将样本数据按升序排列为， 可得平均数， 因为有8个数据，所以中位数为， 故选:C. 3．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（   ） A．5 B．12 C．18 D．20 【答案】C 【分析】设丢失的数据为，即可求出平均数与众数，再对分和两种情况讨论，得到中位数，即可得到方程，解得即可； 【详解】设丢失的数据为，则这七个数据的平均数为，众数是3， 若，则中位数为，此时，解得； 若，则中位数为5，此时，解得. 综上所述，丢失的数据可能是4，18. 故选：C. 题型二：茎叶图问题 4．（23-24高一下·重庆长寿·期末）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 【答案】C 【分析】直接根据茎叶图知识求出中位数和众数即可． 【详解】根据题意，有30个数据，所以中位数为排序后第15和16个数的平均值：     ，众数为出现最多的数，为45. 故选：C. 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（    ） A．这8位同学数学月考成绩的极差是14 B．这8位同学数学月考成绩的中位数是122 C．这8位同学数学月考成绩的众数是118 D．这8位同学数学月考成绩的平均数是124 【答案】B 【分析】根据一组数据的极差，中位数，众数和平均数定义即可判断或求得. 【详解】学生数学成绩从小到大为， 对于选项A，极差是，故A错误； 对于选项B，中位数是 ，故B正确； 对于选项C，众数是117，故C错误； 对于选项D，平均数是，故D错误. 故选:B. 6．（2023高三·河北·学业考试）某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如图所示，以下说法正确的是（    ） A．这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站 B．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数 C．这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167 D．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值 【答案】C 【分析】根据茎叶图数据逐个判断各个选项即可. 【详解】由茎叶图易知A错误； 甲监测站污染物浓度的中位数是，乙监测站污染物浓度的中位数是167，B错误； 这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值，即众数是167，C正确； 甲监测站该污染物浓度的平均值 ，，D错误; 故选:C． 题型三：平均数的和差部分性质 7．（23-24高一下·山西大同·期末）若数据的平均数为a，数据，则数据的平均数为（　　） A．a B．2+a C．2 D．2a 【答案】B 【分析】根据平均数的计算公式即可求解. 【详解】∵， ∴数据的平均数 . 故选：. 8．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（    ） A．12 B．10 C．2 D．11 【答案】B 【分析】依题意总平均数等于总数据和除以总数据的个数，直接解出即可. 【详解】根据题意可得，解得. 故选：B. 9．（22-23高一下·河南）已知一组数据，，，，，的平均数为16，则另一组数据，，，，，的平均数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】根据平均数的定义直接计算. 【详解】由题意得， 得，所以所求的平均数为． 故选：C 题型四：频率分布直方图的中位数、众数、平均数的计算 10．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由频率分布直方图结合中位数以及众数的计算即可比较大小. 【详解】观察频率分布直方图，发现是属于右边“拖尾”，所以平均数大于中位数为， 由于第一个小矩形面积为， 前2个小矩形面积之和为， 所以中位数位于之间，故可得，解得， 由频率分布直方图可知众数， 故， 故选：D. 11．（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为（    ） A．125，125 B．125.1，125 C．124.5，124 D．125，124 【答案】D 【分析】根据平均数、中位数与频率分布直方图的关系即可计算正确答案. 【详解】由题图可知(a＋a－0.005)×10＝1－(0.010＋0.015＋0.030)×10，解得a＝0.025， 则＝105×0.1＋115×0.3＋125×0.25＋135×0.2＋145×0.15＝125. 因为(0.010＋0.030)×10＝0.4<0.5，0.4＋0.025×10＝0.65>0.5， 所以中位数在[120,130)内，设中位数为x， 则0.4＋0.025×(x－120)＝0.5， 解得x＝124. 故选:D. 12．（2023高二下·浙江温州·学业考试）某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）    A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 【答案】D 【分析】根据直方图写出对应该滑冰馆的锻炼天数区间的频率，再结合各选项的描述及中位数、平均数、众数以及利用频率估计总体的求法判断正误. 【详解】由图知：、、、、、的频率分别为、、、、、， A：平均天数为天，故A错误； B：由上述频率知，则众数位于之间，则众数取中间值17.5，故B错误； C：人，故C错误； D：由、、频率和为，若中位数为x， 则，可得，故D正确； 故选：D. 题型五、极差、方差、标准差的计算与应用 13．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，若，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】C 【分析】根据平均值的性质求得平均数，然后利用方差的概念求解即可判断各项. 【详解】由题意可知，， 所以，则， 所以数据的平均数是， 又 ，， 与的分子相同，比较分母，可知． 故选：C 14．（23-24高一下·吉林·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了组，每组投篮次，每组投篮命中的个数分别为，，，，，，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平均数与方差的公式列方程可得解. 【详解】因为这组数据的平均数为，方差为， 所以整理得， 设，则， 因为， 所以， 即，则， 故选：A. 15．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 . 【答案】37 【分析】按男女生比例抽取样本，结合相应公式计算均值和方差即可． 【详解】由题意知， 总样本的平均数为， 总样本的方差为. 故答案为：37 题型六：各数据加减乘除对方差的影响 16．（24-25高一下·河北保定）若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 【答案】 13 64 【分析】已知，设的平均数为，方差为，的平均数为，方差为，则即可求解. 【详解】设，设的平均数为，方差为， 的平均数为，方差为，则， 则. 故答案为：. 17．（23-24高一下·全国·课堂例题）若数据的平均数为10，方差为6，则数据，，，，的平均数为 ，方差为 . 【答案】 【分析】根据原数据的平均数、方差，计算出新数据的平均数、方差. 【详解】根据样本平均数、方差公式计算结果. 因为数据，，，，的平均数为10，方差为6， 所以数据，，，，的平均数为：， 方差为：. 故答案为：17；24 18．（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差为 . 【答案】/ 【分析】根据方差的性质进行计算即可. 【详解】一组数据的方差是， 另一组数据的方差为. 故答案为： 题型七：频率分布直方图中的方差、标准差 19．（2023·贵州·模拟预测）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：），绘制了下面频率分布直方图.根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，标准差分别为，则于（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图求出平均数与方差，即可判断. 【详解】根据频率分布直方图可知， ， ， 所以，. 故选：D 20．（22-23高二上·四川资阳·期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：    令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】根据频率分布图分别计算，，比较大小可得. 【详解】由图可知， ， ， 所以，. 故选：D. 21．（19-20高一下·全国·课后作业）在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为 .（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 【答案】110 【解析】根据频率分布直方图，直接利用平均数与方差的公式，即可得到本题答案. 【详解】由题，得 ， 方差 . 故答案为：110 【点睛】本题主要考查利用频率分布图求数据平均数与方差的问题. 题型八：频率分布直方图估计总体分布 22．（23-24高一下·四川达州·期末）在某次考试成绩中随机抽取50个，成绩均在之间，将这些成绩共分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的众数和中位数（中位数精确到个位）分别是（    ）． A．65，70 B．65，71 C．65，72 D．65，73 【答案】D 【分析】本题根据众数和中位数的概念以及在频率分布直方图的表达方法即可计算求解. 【详解】众数是频率分布直方图中最高的矩形的中点的坐标，即众数为， 设把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标为， 先求图中的a值，由得，， 则，所以. 故选：D. 23．（23-24高一下·河南三门峡·期末）某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召，调查该校3 000名学生每周平均体育运动时长的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4∶3∶3的比例进行分层随机抽样，收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据，整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是（　　）    A．估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时 B．估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300 C．估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10% D．估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为600 【答案】C 【分析】利用频率分布直方图计算出样本的平均数可判断A；根据频率分布直方图计算出高一年级每周平均体育运动时间不足小时的人数，可判断B；根据频率分布直方图计算出该校学生每周平均体育运动时间不少于小时的频率与人数，可判断CD. 【详解】对于A，估计该校学生每周平均体育运动时长为 （小时），故选项A正确； 对于B，该校高一年级的总人数为，由题中频率分布直方图可知， 该校学生每周平均体育运动时长不足4小时的频率为， 所以估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为， 故选项B正确； 对于C，估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为 ，故选项C错误； 对于D，估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为， 故选项D正确. 故选：C. 24．（23-24高一下·天津和平·期末）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ） ①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25； ②估计居民月均用水量的中位数约为2.1 ③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3的人数为6万； ④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取3人 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由频率分布直方图求频率判断①，结合直方图中位数的求法计算中位数，即可判断②；用频率估计总体即可判断③，结合分层抽样的概念即可判断④. 【详解】由频率分布直方图可知， 居民月均用水量低于的概率，故①正确， 三组的频率之和为， 而前四组频率之和为， 故中位数位于，由，②正确 估计万居民中月均用水量不低于3的人数为，③正确 根据用水量对这100位居民进行分层，用分层抽样的方法抽取20人，则用水量在中应抽取人，④错误， 故选：C 题型九：百分位数 25．（2025·陕西汉中·二模）某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（   ） 学习时间／分钟 60 70 80 90 100 110 120 人数 9 10 14 12 8 5 2 A．75分钟 B．90分钟 C．95分钟 D．100分钟 【答案】C 【分析】应用百分位数定义计算求解. 【详解】因为，所以第75百分位数是所有数据从小到大排列的第45项和第46项的平均数， 由表中数据可知，第45项为90，第46项为100，所以第75百分位数是分钟． 故选：C. 26．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（   ）    A．估计该年级学生成绩的众数约为75 B． C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图中众数的估计方法可判断A；利用各组频率之和为1可判断B；根据百分位数的估计方法可判断C；根据平均数的估计方法可判断D． 【详解】由图易知成绩在分之间的人数最多， 故可估计该年级学生成绩的众数为75，A正确； 由频率分布直方图可知，解得，B错误； 由于前三组的频率之和为，前四组的频率之和为， 故估计该年级学生成绩的75百分位数约为，C正确； 由频率分布直方图可知成绩在分之间和分之间的频率之比为， 故估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数为，D正确． 故选：B． 27．（23-24高一下·江苏苏州·期末）某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第百分位数为（    ） A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5 【答案】B 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】因为， ， 所以第百分位数位于，设为， 则，解得. 故选：B 题型十：用样本估计总体的综合问题 28．（24-25高一下·河北保定）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)样本数据的第62百分位数约为多少； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 【答案】(1)0.030 (2)79分 (3)， 【分析】（1）根据每组小矩形的面积之和为1列式即可求解； （2）由频率分布直方图求第百分位数的计算公式即可求解； （3）利用分层抽样的平均数和方差的计算公式即可求解. 【详解】（1）由，解得； （2）因为， ， 所以样本数据的第62百分位数在内， 可得， 所以样本数据的第62百分位数为分； （3）样本数据落在的个数为， 落在的个数为， ， 总方差. 29．（24-25高二上·四川·期末）2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? (3)四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 【答案】(1)，79.5 (2)合格 (3)总样本平均值为86，总样本方差为96 【分析】（1）利用频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为1，可求出a的值，再利用平均数的定义求解； （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于或等于75，利用百分位数的定义求解； （3）利用分层随机抽样的均值和方差公式求解. 【详解】（1）由题意知，解得． 估计满意度得分的平均值为． （2）超过的人满意度在75分及以上，即为分位数大于等于75， 因为满意度在的频率为，满意度在的频率为， 可知分位数位于． 则，可以估计40%分位数为， 所以有超过60%的人满意度在75分及以上，河北省5月份文旅成绩合格了． （3）把6月1日-6月15日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 把6月16日-6月30日的样本记为，其平均数记为，方差记为， 则总样本平均数， 则总样本方差 ， 所以总样本平均值为86，总样本方差为96. 30．（23-24高一下·云南昆明·期末）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛. 为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计. 请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表： 组别 分组 频数 频率 第1组 8 0.16 第2组 第3组 20 0.40 第4组 0.08 第5组 2 合计 频率分布直方图： (1)写出 的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰 同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差 ，若剔除其中的100和80这两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差. 【答案】(1) (2) (3)， 【分析】（1）根据频率和频数的关系以及直方图中小矩形的面积代表频率，进行计算即可； （2）利用频率分布直方图计算第90百分位数即可； （3）根据平均数和方差的计算公式求解即可. 【详解】（1）由题意可知抽取的学生人数为：， 则第四组人数为：， 所以， ，，. （2）成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 设第90百分位数为， 则，解得， 故晋级分数线划为82.5合理. （3）因为，所以. 标准差，所以， 则， 剔除其中的100和80两个分数，设剩余8个数为， 设平均数与标准差分别为， 则剩余8个分数的平均数为， 方差为， 故标准差为. 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·期中）已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（    ） A．8 B．64 C． D．33 【答案】A 【分析】根据求解即可. 【详解】由题意，样本数据的方差为16， 则样本，，，…，的方差为， 所以样本，，，…，的标准差为． 故选：A 2．（2025·贵州铜仁·三模）在处理一组数据时，若未计入数值9，计算所得的平均值为9，方差为3．若将数值9纳入分析，则该组数据（    ） A．平均数等于9，方差等于3 B．平均数等于9，方差小于3 C．平均数大于9，方差小于3 D．平均数小于9，方差大于3 【答案】B 【分析】根据几个数的平均数计算公式与方差计算公式求解即可判断每个选项的正误． 【详解】设末计入9时的数据有个，这些数的和为， 那么加入9后，数据总和为，数据个数变为，新的平均数为． 根据方差公式，加入9后，，且分母增大，所以方差变小. 故选：B． 3．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的第20百分位数是（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】根据百分位数的定义求解即可. 【详解】这组数据从小到大的顺序为3，4，5，6，7，8，9，10， 因为，所以第20百分位数是这组数据的第二个数， 所以这组数据的第20百分位数为. 故选：. 4．（2025·黑龙江·一模）在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】D 【分析】根据中位数是极差求出的值，再计算第60百分位数即可. 【详解】已知数据，，，，10，12，数据个数为偶数，所以中位数是中间两个数和的平均数，即中位数为. 极差是最大值12减去最小值，即极差为. 因为该组数据的中位数是这组数据的极差，所以.可得：. 此时这组数据为，，，10，10，12. 计算，所以第60百分位数是第个数，即10. 故选：D. 5．（2025·湖北鄂州·一模）随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深，某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取了100名学生进行了测试，将他们的成绩适当分组后，画出的频率分布直方图如下图所示，则下列数据一定不位于区间内的是（    ）    A．众数 B．第70百分位数 C．中位数 D．平均数 【答案】B 【分析】根据频率分布直方图分别求出众数、第70百分位数、中位数以及平均数，由此即可得解. 【详解】对于A，众数为； 对于BC，， 设中位数、第70百分位数分别为， 注意到， 设， 解得； 对于D，设平均数为，则. 故选：B. 6．（24-25高一上·河南·阶段练习）若一组数据的方差为0.4，则另一组数据的方差为（   ） A．1.6 B．0.8 C．0.4 D．0.1 【答案】A 【分析】根据平均值与方差的计算公式，可得答案. 【详解】数据的平均数， 数据的方差 数据的平均数， 数据的方差 ， 所以数据的方差为. 故选：A. 7．（23-24高一下·青海·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 【答案】A 【分析】根据平均数与方差的公式列方程可得解. 【详解】因为这组数据的平均数为48，方差为7， 所以 整理得 设，则， 因为50，所以，即， 则． 故选：A 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 【答案】D 【分析】根据百分位数、极差、平均数、方差的概念及含义计算分析可得． 【详解】对于A，，所以这组数据的40%分位数是，故A错误； 对于B，不妨取这组数据为1，2，3，4，5， 此时的平均数为3，的平均数均为3，故B错误； 对于C，由可知，数据比数据更分散， 所以的方差小于的方差，故C错误； 对于D，因为，所以，故D正确； 故选：D． 9．（24-25高三上·广西南宁）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 【答案】D 【分析】根据频率分布直方图求出的频率，A项可由各矩形高度可得；B项由频率计算可得；C项分别求出平均数、中位数比较可知；D项由极差定义可得. 【详解】设组的频率为，则由各组频率之和为1可得 ，解得； ，，，，各组频率依次为：， A项， 组频率最大，即成绩在上的人数最多，故A正确； B项，成绩低于70分的学生频率为，即不低于70分的学生频率为， 所以成绩不低于70分的学生所占比例为，故B正确； C项，根据频率分布直方图，可得50名学生成绩的平均数是 ， 由，故50名学生成绩的中位数为80， 所以50名学生成绩的平均分小于中位数，故选项C正确； D项，极差为数据中最大值与最小值的差， 已知50名学生的成绩都在区间内， 但成绩的最大值不一定是100，最小值也不一定是， 故极差小于等于，但不一定等于50，故D错误. 故选：D. 10．（24-25高三上·海南）已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．若，则数据的第75百分位数为7.5 C．平均数不变 D．方差变小 【答案】B 【分析】利用中位数、百分位数、平均数和方差的定义分析计算即可. 【详解】原来的中位数与现在的中位数均为，故中位数不变，故A正确； 当时，数据按从小到大顺序排列：. 因为，所以该组数据的第75百分位数是第8个数8，故B错误； 由于，故,,,,, 原来的平均数为， 去掉后的平均数为，平均数不变，故C正确； 原来的方差为， 去掉后的方差为， 方差变小，故D正确. 故选：B. 二、多选题 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（   ） A．众数为65 B．极差为7 C．平均数为65.4 D．80%分位数为67.5 【答案】ABD 【分析】根据众数、极差、平均数以及百分位数的概念，一一判断各选项，即可得答案. 【详解】由题意知样本数据从小到大排列如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69， 65出现次数最多，故众数为65，故A正确； 极差为，故B正确； 平均数，故C错误； ，所以80%分位数为，故D正确． 故选：ABD． 12．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76 【答案】ABC 【分析】根据频率之和为1即可求解A，根据众数，中位数以及平均数的计算即可分别求解BCD． 【详解】对于A，，解得，故A正确； 对于B，由图可知，70－80段的频率/组距值最大，所以众数为，故B正确； 对于C，前三组的频率之和为0.1+0.15+0.35=0.6＜0.75，前四组的频率之和为0.6+0.3=0.9＞0.75，则75%分位数，故，所以C正确； 对于D，，故D错误； 故选：ABC. 13．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（    ） A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是 C．新数据的60%分位数是 D．新数据的极差是 【答案】AC 【分析】由平均数、方差、极差、百分位数的概念逐个判断即可； 【详解】因为，所以，故A正确； 因为，所以，故B错误； 不妨设，所以，又，所以数据，，，，，的60%分位数为， 新数据，，，，，的60%分位数为，故C正确； 不妨设，所以，所以数据，，，，，的极差， 新数据，，，，，的极差为，故D错误. 故选：AC. 14．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据极差，平均数和方差的计算公式，通过计算，然后判断选项的正误. 【详解】假设最小，最大，则， 若,则另外一组数据最小，最大， 此时极差为，A错误. 易得所以，B，D正确，C错误. 故选：BD. 15．（24-25高三上·湖南·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 B．若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16 C．数据的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 【答案】ABD 【分析】对于A，由题意可得样本容量为20，平均数是从而可得样本数据的总和，即可判断；对于B，根据标准差为8，可得方差为64，从而可得新数据的方差及标准差，即可判断；对于C，根据百分位数的定义，求出第70百分位数，即可判断；对于D，由题意可求得新数据的平均数及方差，即可判断. 【详解】解：对于A，因为样本的方差 所以这个样本有20个数据，平均数是这组样本数据的总和为A正确； 对于B，已知样本数据的标准差为，则， 数据的方差为，其标准差为，故B正确； 对于C，数据共10个数， 从小到大排列为，由于， 故选择第7和第8个数的平均数作为第70百分位数，即， 所以第70百分位数是23.5，故C错误； 对于D，某8个数的平均数为5，方差为2，现又加入一个新数据5， 设此时这9个数的平均数为，方差为，则，故D正确. 故选：ABD. 16．（23-24高一下·福建龙岩·期末）某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲/kg 560 580 570 590 600 乙/kg 550 600 580 580 590 若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．乙种水稻的产量有三年位于之间 【答案】ABD 【分析】根据方差，极差等概念即可求解. 【详解】A. ，，所以,故A正确； B. , , 所以，故B正确； C. 甲种水稻产量的极差为：，乙种水稻产量的极差为：，甲种水稻产量的极差小于乙种水稻产量的极差，故C错误； D. ，所以为，因为,所以,,所以乙种水稻的产量有三年位于之间，故D正确. 故选：ABD 三、填空题 17．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）某市11月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是 . 【答案】86 【分析】利用百分位数的定义求解. 【详解】解：因为数据为35，53，54，58，72，80，85，86，111， 125， 所以， 所以这组数据的第75百分位数是86， 故答案为：86 18．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是 . 【答案】85 【分析】根据平均数、方差的计算公式求解即可. 【详解】设更正前甲,乙,丙...的成绩依次为， 则， 即， 所以， ， 即， 所以. 更正后的平均分， 更正后的方差 . 故答案为：. 19．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 . 【答案】 19 8 【分析】利用平均数的性质和方差的性质求解． 【详解】因为的平均数为，方差为， 所以，的平均数为, 方差为. 故答案为：19；8. 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）设x，y，z都是正整数，且，，，当x，y，z的取值依次为 时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值） 【答案】（或） 【分析】根据方差定义计算方差，再由方差最小，确定后转化为关于的二次函数，利用二次函数求最小值即可得解. 【详解】设， 则 ， 要使方差最小，三个数据应尽量靠近，故， 则， 关于的二次函数的对称轴为，又且为正整数， 所以当或时，方差最小，最小值为. 故满足条件的为或. 故答案为：（或）. 21．（23-24高一下·安徽亳州·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.则频率分布直方图中的值为 ；样本成绩的第75百分位数为 . 【答案】 84 【分析】空1：根据每组小矩形的面积之和为1即可求解；空2：由频率分布直方图求百分位数的计算公式即可求解； 【详解】∵每组小矩形的面积之和为1， ∴， ∴. 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 设第75百分位数为m， 由，得，故第75百分位数为84. 故答案为：；84. 四、解答题 22．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 【答案】(1) (2)平均数分，方差 【分析】（1）先计算频率分布直方图求出得分低于60分的样本在不同组的数列， 再利用古典概型的概率公式计算这2个样本的得分在同一组的概率； （2）根据加权平均数公式和方差的性质计算内的样本得分的平均数和方差. 【详解】（1）由图可知，，解得， 则在内的样本容量为，将这2个样本分别记为， 在内的样本容量为，将这4个样本分别记为． 从中随机地选取2个，可知样本空间 ， 共有15个样本点． 用事件表示“这2个样本的得分在同一组”， 则，有7个样本点， 则，即这2个样本得分在同一组的概率为． （2）由图可知，在内的样本数与在内的样本数之比为， 所以在内的样本得分的平均数分， 方差 23．（23-24高一下·广东广州·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为．记总样本数据的均值为，总样本数据的方差为． (1)写出与的计算公式（直接写出结果，不需证明）； (2)某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30． （i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差； （ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)（i）均值为（），方差为；（ii）均值为（），方差为，不合适，理由见解析 【分析】（1）写出分层抽样的均值与方差公式即可； （2）（i）按男女生比例抽取样本，可按相应公式计算均值和方差；（ii）已知样本量，可按样本量所占比计算均值与方差，但不具代表性，个体不是等概率抽取的． 【详解】（1）依题意可得， . （2）（i）男、女的样本量按比例分配， 则总样本的均值为（）， 总样本的方差为； （ii）男、女的样本量都是， 总样本的均值为（）， 总样本的方差为， 不能作为总体均值和方差的估计，因为分层抽样中未按比例抽样，总体中每个个体被抽到的可能性不完全相同，因而样本的代表性差. 24．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 【答案】(1)平均数69.5，第25百分位数为63； (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别表示出各组的频率，由第一、二组的频率之和为0.3及总的频率之和为1列方程组解出，的值；分别写出每一组的频率，由平均数计算公式得到平均数，根据频率和得到第25百分位数所在的组，由概率和为0.25解出第25百分位数的值； （2）由第二组、第四组的频率之比得到分层抽样后两组人数所占比例，再结合两组各自的平均数和方差，由公式，分别求出两组所有面试者的方差． 【详解】（1）由题意可知：， 解得； 由图可知，每组的频率依次为：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05， 所以平均数为， 因为，设第25百分位数为，则，， 则，解得， 故第25百分位数为63； （2）设第二组、第四组面试者的面试成绩的平均数与方差分别为， 且两组频率之比为， 则第二组和第四组所有面试者的面试成绩的平均数 第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差 ． 故估计第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差是． 25．（23-24高一下·吉林长春·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【答案】(1)28家 (2)① 487.5元；②280 【分析】（1）根据分层抽样的定义结合图①求解即可； （2）①先根据频率和为1求出，然后列方程求解第75百分位数，②根据频率分布直方图求出平均均日利润超过480元的频率，然后乘以1000可得答案. 【详解】（1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家； （2）①根据题意可得，解得， 设75百分位数为x， 因为，， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．     ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． 26．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 【答案】(1)， (2)众数75，中位数70.5，平均数70.2 (3)80；37.5 【分析】（1）由前两组频数关系得频率关系解可得，由各组频率之和为求； （2）由最高小矩形底边矩形中点作为众数的估计值，利用中位数左右的直方图面积相等求解中位数，用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形面积的乘积之和近似代替平均数； （3）根据平均数和方差的计算公式求出结果. 【详解】（1）由第二组的频数是第一组的2倍，可得第二组的频率为第一组的2倍，所以，解得， 又，解得， 所以，； （2）由题知，估计众数为=75； 成绩落在内的频率为：， 落在内的频率为：， 因此中位数落在区间内， 设中位数为m，则，解得． 由题知各组频率分别为0.16，0.32，0.4，0.08，0.04， 各组区间中点值分别为55，65，75，85，95， 所以平均数的近似值为， 故估计这次竞赛成绩的众数约为，中位数约为，平均数约为； （3）由，得：． 又， 所以：， 剔除其中的75和85两个分数，设剩余8个数为， 平均数与标准差分别为，， 则剩余8个分数的平均数：； 所以 即： 方差：. 故剩余8个分数的平均数为，方差为. 27．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 【答案】(1)一区有420个，二区有200个 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图分别求出一区生产车间与二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率，再乘以500，可求出500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； （2）根据频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率，二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率，从而可表示出，再根据可求出其范围. 【详解】（1）由频率分面上直方图可知，一区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以一区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个， 二区生产车间生产的零件尺寸大于60的频率为 ， 所以二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数为 个； （2）频率分面上直方图求出一区生产车间生产的零件尺寸小于或等于M的频率为 ， 二区生产车间生产的零件尺寸大于M的频率为 ， 所以 ， 因为，所以， 即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.4 用样本估计总体 【考点梳理】 · 考点一、平均数、中位数、众数 · 考点二：茎叶图问题 · 考点三：平均数的和差部分性质 · 考点四：频率分布直方图的中位数、众数、平均数的计算 · 考点五、极差、方差、标准差的计算与应用 · 考点六：各数据加减乘除对方差的影响 · 考点七：频率分布直方图中的方差、标准差 · 考点八：频率分布直方图估计总体分布 · 考点九：百分位数 · 考点十：用样本估计总体的综合问题 【知识梳理】 知识点01、用样本估计总体的集中趋势参数 1.平均数 (1)均值：一般地、把总体中所有数据的算术平均数称为总体的均值，它通常可以代表总体的水平。 (2)平均数：如果给定的一组数是，，…，是则这组数的平均数为 即 。 (3)一般地，若取值为，，…，的频率分别为，，…，则其平均数为+++……+。 (4)如果将总体分为k层，第j层抽取的样本为，，……，第j层的样本量为，样本平均数为，j=1，2，…，k。记，则所有数据的样本平均数为。 2.众数 一般地，我们将一组数据中出现次数最多的那个数据叫作该组数据的众数。众数是一种刻画数据集中趋势的度量值。 3.中位数 一般地，将一组数据按照从小到大的顺序排成一列，如果数据的个数为奇数，那么排在正中间的数据就是这组数据的中位数；如果数据的个数为偶数，那么，排在正中间的两个数据的平均数即为这组数据的中位数。 知识点02“技巧归纳：平均数、中位数和众数的特点 (1)平均数的大小与一组数据里每一个数据均有关系，任何一个数据的变化都会引起平均数的变化.容易受极端值的影响； (2)中位数仅与数据排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，中位数可能在所给数据中（数据个数为奇数或数据个数为偶数且中间两数相等），也可能不在所给的数据中（数据个数为偶数且中间两数不相等）。当一组数据的个别数据变动较大时，可以用中位数描述其集中趋势 (3)众数只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有多个数据多次重复出现时，众数往往更能反映问题。 知识点03：频率直方图中的数字特征 (1)样本平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似代替。 (2)样本中位数可依据“中位数左边和右边的直方图的面积相等”来求出。 (3)样本众数可以用最高的矩形底边中点的横坐标近似代替。 知识点03、用样本估计总体的离散程度参数 1.极差我们把一组数据的最大值与最小值的差称为极差。 2.方差和标准差 假设一组数据是，，…，用表示这组数据的平均数，则为这组数据的方差。有时为了计算方差的方便，我们还把方差写成的形式。我们对方差开平方，取它的算术平方根，即为这组数据的标准差。 知识点04、百分位数 1.k百分位数的特点：一般地，一组数据的k百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有k%的数据小于或等于，且至少有(100-k)%的数据大于或等于 2.计算有n个数据的大样本的k百分位数的一般步骤 第1步，将所有数值按从小到大的顺序排列； 第2步，计算 第3步，如果结果为整数，那么k百分位数位于第k· 位和下一位数之间，通常取这两个位置上数值的平均数为k百分位数； 第4步，如果 不是整数，那么将其向上取整(即其整数部分加上1)，在该位置上的数值即为k百分位数。 3.四分位数常用的分位数有25百分位数，50百分位数(即中位数)和75百分位数。这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数。其中25百分位数称为下四分位数，75百分位数称为上四分位数。 【题型归纳】 题型一、平均数、中位数、众数 1．（23-24高一下·新疆·期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为84，79，84，86，95，84，87，93，则该组数据的平均数和众数分别是（    ） A．86，84 B．84.5，85 C．85，84 D．86.5，84 2．（23-24高一下·广东云浮·期末）已知在高考前最后一次模拟考试中，高三某班8名同学的物理成绩分别为，则该组数据的平均数和中位数分别是（    ） A．86，84 B．， C．， D．85，84 3．（23-24高一下·云南曲靖·期末）已知一组数据丢失了其中一个大于3的数据，剩下的六个数据分别是3，3，5，3，6，11，若这组数据的平均数与众数的和是中位数的2倍，则丢失的数据可能是（   ） A．5 B．12 C．18 D．20 题型二：茎叶图问题 4．（23-24高一下·重庆长寿·期末）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本的中位数、众数分别是  （     ） A．45，45 B．45，46 C．46，45 D．47，45 5．（2024·四川成都·模拟预测）如图是根据某校高三8位同学的数学月考成绩（单位：分）画出的茎叶图，其中左边的数字从左到右分别表示学生数学月考成绩的百位数字和十位数字，右边的数字表示学生数学月考成绩的个位数字，则下列结论正确的是（    ） A．这8位同学数学月考成绩的极差是14 B．这8位同学数学月考成绩的中位数是122 C．这8位同学数学月考成绩的众数是118 D．这8位同学数学月考成绩的平均数是124 6．（2023高三·河北·学业考试）某市甲、乙两个监测站在10日内分别对空气中某污染物实施监测，统计数据（单位：g/m3）如图所示，以下说法正确的是（    ） A．这10日内任何一天甲监测站的大气环境质量均好于乙监测站 B．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的中位数小于乙监测站读数的中位数 C．这10日内乙监测站该污染物浓度读数中出现频率最大的数值是167 D．这10日内甲监测站该污染物浓度读数的平均值小于乙监测站读数的平均值 题型三：平均数的和差部分性质 7．（23-24高一下·山西大同·期末）若数据的平均数为a，数据，则数据的平均数为（　　） A．a B．2+a C．2 D．2a 8．（23-24高一下·河南·阶段练习）已知样本数据的平均数为，样本数据的平均数为，若样本数据的平均数为，则（    ） A．12 B．10 C．2 D．11 9．（22-23高一下·河南）已知一组数据，，，，，的平均数为16，则另一组数据，，，，，的平均数为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 题型四：频率分布直方图的中位数、众数、平均数的计算 10．（2024·广东韶关·一模）众数､平均数和中位数都描述了数据的集中趋势，它们的大小关系和数据的分布形态有关.根据某小区1000户居民的月均用水量数据（单位：），得到如图所示的频率分布直方图，记该组数据的众数为，中位数为，平均数为，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一下·内蒙古通辽·阶段练习）从某中学高一年级中随机抽取100名学生的成绩(单位：分)，绘制成频率分布直方图(如图)，则这100名学生成绩的平均数、中位数分别为（    ） A．125，125 B．125.1，125 C．124.5，124 D．125，124 12．（2023高二下·浙江温州·学业考试）某游泳馆统计了2022年8月1日到30日某小区居民在该游泳馆的锻炼天数，得到如图所示的频率分布直方图（将频率视为概率），则下列说法正确的是（    ）    A．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的平均值为14 B．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的众数为18 C．已知天数在区间锻炼人数为30人，则总共锻炼了500人 D．估计该小区居民在该游泳馆的锻炼天数的中位数约为14.255 题型五、极差、方差、标准差的计算与应用 13．（24-25高一下·安徽宿州·期中）已知互不相等的一组数的平均数为，方差为，若，的方差为，则（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 14．（23-24高一下·吉林·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了组，每组投篮次，每组投篮命中的个数分别为，，，，，，，，，．已知这组数据的平均数为，方差为，则（   ） A． B． C． D． 15．（23-24高一下·浙江杭州·期末）在对树人中学高一年级学生身高的调查中，采用样本比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男生20人，其平均数和方差分别为170和10，抽取了女生30人，其平均数和方差分别为160和15.则估计出总样本的方差为 . 题型六：各数据加减乘除对方差的影响 16．（24-25高一下·河北保定）若数据的平均数为3，方差为4，则数据的平均数为 方差为 . 17．（23-24高一下·全国·课堂例题）若数据的平均数为10，方差为6，则数据，，，，的平均数为 ，方差为 . 18．（23-24高一下·浙江湖州·阶段练习）已知一组数据的平均数是2，方差是，那么另一组数据的方差为 . 题型七：频率分布直方图中的方差、标准差 19．（2023·贵州·模拟预测）某校为了解高一学生一周课外阅读情况，随机抽取甲，乙两个班的学生，收集并整理他们一周阅读时间（单位：），绘制了下面频率分布直方图.根据直方图，得到甲，乙两校学生一周阅读时间的平均数分别为，标准差分别为，则于（    ） A．， B．， C．， D．， 20．（22-23高二上·四川资阳·期末）已知甲、乙两位同学在一次射击练习中各射靶10次，射中环数频率分布如图所示：    令，分别表示甲、乙射中环数的均值；，分别表示甲、乙射中环数的方差，则（    ） A．， B．， C．， D．， 21．（19-20高一下·全国·课后作业）在一次区域统考中，为了了解各学科的成绩情况，从所有考生成绩中随机抽出20位考生的成绩进行统计分析，其中数学学科的频率分布直方图如图所示，据此估计，在本次考试中数学成绩的方差为 .（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表） 题型八：频率分布直方图估计总体分布 22．（23-24高一下·四川达州·期末）在某次考试成绩中随机抽取50个，成绩均在之间，将这些成绩共分成五组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，由图中数据估计总体的众数和中位数（中位数精确到个位）分别是（    ）． A．65，70 B．65，71 C．65，72 D．65，73 23．（23-24高一下·河南三门峡·期末）某高中为了积极响应国家“阳光体育运动”的号召，调查该校3 000名学生每周平均体育运动时长的情况，从高一、高二、高三三个年级学生中按照4∶3∶3的比例进行分层随机抽样，收集了300名学生每周平均体育运动时长（单位:小时）的数据，整理后得到如图所示的频率分布直方图.下列说法不正确的是（　　）    A．估计该校学生每周平均体育运动时长为5.8小时 B．估计该校高一年级学生每周平均体育运动时长不足4小时的人数为300 C．估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的百分比为10% D．估计该校学生每周平均体育运动时长不少于8小时的人数为600 24．（23-24高一下·天津和平·期末）某市为了减少水资源浪费，计划对居民生活用水实施阶梯水价制度，为确定一个比较合理的标准，从该市随机调查了100位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图，则以下四个说法正确的个数为（    ） ①估计居民月均用水量低于1.5的概率为0.25； ②估计居民月均用水量的中位数约为2.1 ③该市有40万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3的人数为6万； ④根据这100位居民的用水量，采用样本量按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取了容量为20人的样本，则在用水量区间中应抽取3人 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型九：百分位数 25．（2025·陕西汉中·二模）某中学随机抽取了60名学生，统计了他们某天学习数学的时间，数据如下表，则该组数据的第75百分位数是（   ） 学习时间／分钟 60 70 80 90 100 110 120 人数 9 10 14 12 8 5 2 A．75分钟 B．90分钟 C．95分钟 D．100分钟 26．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某次数学考试后，为分析学生的学习情况，某校从某年级中随机抽取了100名学生的成绩，整理得到如图所示的频率分布直方图．则下列说法错误的是（   ）    A．估计该年级学生成绩的众数约为75 B． C．估计该年级学生成绩的75百分位数约为85 D．估计该年级成绩在80分及以上的学生成绩的平均数约为87.50 27．（23-24高一下·江苏苏州·期末）某科研单位对ChatGPT的使用情况进行满意度调查，在一批用户的有效问卷（用户打分在50分到100分之间的问卷）中随机抽取了100份，按分数进行分组（每组为左闭右开的区间），得到如图所示的频率分布直方图，估计这批用户问卷的得分的第百分位数为（    ） A．78.5 B．82.5 C．85 D．87.5 题型十：用样本估计总体的综合问题 28．（24-25高一下·河北保定）某学校为提高学生对《红楼梦》的了解，举办了"我知红楼"知识竞赛，现从所有答卷卷面成绩中随机抽取100份作为样本，将样本数据（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，并作出如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)样本数据的第62百分位数约为多少； (3)若落在中的样本数据平均数是52，方差是6；落在中的样本数据平均数是64，方差是3，求这两组数据的总平均数和方差. 29．（24-25高二上·四川·期末）2024年以来，四川省文化和旅游厅制定出台推动文旅市场恢复振兴的系列措施，为进一步发展四川文旅，提升四川经济，在5月份对来川旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿、交通、服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中． (1)求图中a的值并估计满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (2)若有超过的人满意度在75分及以上，则认为该月文旅成绩合格．四川省5月份文旅成绩合格了吗? (3)四川文旅6月份继续对来川旅游的游客发起满意度调查，采用样本量比例分配的分层随机抽样，现知6月1日-6月15日调查的4万份数据中其满意度的平均值为80，方差为75；6月16日-6月30日调查的6万份数据中满意度的平均值为90，方差为70．由这些数据计算6月份的总样本的平均数与方差． 30．（23-24高一下·云南昆明·期末）某中学举行了一次“环保知识竞赛”，全校学生参加了这次竞赛. 为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计. 请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分布表（如图所示）和频率分布直方图（如图所示）解决下列问题：频率分布表： 组别 分组 频数 频率 第1组 8 0.16 第2组 第3组 20 0.40 第4组 0.08 第5组 2 合计 频率分布直方图： (1)写出 的值； (2)若根据这次成绩，学校准备淘汰 同学，仅留 的同学进入下一轮竞赛，请问晋级分数线划为多少合理？ (3)某老师在此次考试成绩中抽取10名学生的分数：，已知这10个分数的平均数，标准差 ，若剔除其中的100和80这两个分数，求剩余8个分数的平均数与标准差. 【双基达标】 一、单选题 1．（24-25高一下·河南·期中）已知样本的方差为16，则样本，，，…，的标准差为（    ） A．8 B．64 C． D．33 2．（2025·贵州铜仁·三模）在处理一组数据时，若未计入数值9，计算所得的平均值为9，方差为3．若将数值9纳入分析，则该组数据（    ） A．平均数等于9，方差等于3 B．平均数等于9，方差小于3 C．平均数大于9，方差小于3 D．平均数小于9，方差大于3 3．（24-25高一下·甘肃兰州·阶段练习）已知一组数据3，4，5，6，7，8，9，10，则这组数据的第20百分位数是（   ） A． B．4 C． D．5 4．（2025·黑龙江·一模）在高三某次调研考试时，某学习小组对本组6名同学的考试成绩进行统计，其中数学试卷上有一道满分为12分的解答题，6名同学的得分按从低到高的顺序排列为，若该组数据的中位数是这组数据极差，则该组数据的第60百分位数是（   ） A．7 B．8 C．9 D．10 5．（2025·湖北鄂州·一模）随着春节申遗成功，世界对中国文化的理解和认同进一步加深，某学校为了解学生对春节习俗的认知情况，随机抽取了100名学生进行了测试，将他们的成绩适当分组后，画出的频率分布直方图如下图所示，则下列数据一定不位于区间内的是（    ）    A．众数 B．第70百分位数 C．中位数 D．平均数 6．（24-25高一上·河南·阶段练习）若一组数据的方差为0.4，则另一组数据的方差为（   ） A．1.6 B．0.8 C．0.4 D．0.1 7．（23-24高一下·青海·期末）某篮球运动员进行投篮训练，共进行了10组，每组投篮55次，每组投篮命中的个数分别为m，n，48，47，48，50，45，47，49，50.已知这组数据的平均数为48，方差为7，则（    ） A．10 B． C． D．5 8．（23-24高一下·江苏无锡·期末）已知一组数据满足 ，则下列说法正确的是（    ） A．这组数据的40%分位数是 B．的平均数小于的平均数 C．的方差大于的方差 D．的极差小于的极差 9．（24-25高三上·广西南宁）某校组织50名学生参加庆祝中华人民共和国成立75周年知识竞赛，经统计这50名学生的成绩都在区间内，按分数分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图（不完整），根据图中数据，下列结论错误的是（    ） A．成绩在上的人数最多 B．成绩不低于70分的学生所占比例为 C．50名学生成绩的平均分小于中位数 D．50名学生成绩的极差为50 10．（24-25高三上·海南）已知数据，满足：，若去掉后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，下列说法错误的是（    ） A．中位数不变 B．若，则数据的第75百分位数为7.5 C．平均数不变 D．方差变小 二、多选题 11．（24-25高一下·安徽宿州·期中）一组样本数据如下：62，63，65，65，65，66，67，67，68，69，则这组数据的（   ） A．众数为65 B．极差为7 C．平均数为65.4 D．80%分位数为67.5 12．（24-25高一下·江西南昌·阶段练习）近日，数字化构建社区服务新模式成为一种时尚．某社区为优化数字化社区服务，问卷调查调研数字化社区服务的满意度，满意度采用计分制（满分100分），统计满意度绘制成如下频率分布直方图，图中，则下列结论正确的是（    ） A． B．满意度计分的众数为75分 C．满意度计分的75%分位数是85分 D．满意度计分的平均分是76 13．（24-25高一下·江西宜春·阶段练习）已知数据，，，，，的平均数为，方差为，60%分位数为，极差为，由这组数据得到新数据，，，，，，其中，则下列说法正确的是（    ） A．新数据的平均数是 B．新数据的方差是 C．新数据的60%分位数是 D．新数据的极差是 14．（24-25高一上·广西钦州·期末）已知一组数据，的极差为m，平均数为a，方差为b，另外一组数据的极差为9，平均数为11，方差为13，则（    ） A． B． C． D． 15．（24-25高三上·湖南·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．一个样本的方差，则这组样本数据的总和等于60 B．若样本数据的标准差为8，则数据，的标准差为16 C．数据的第70百分位数是23 D．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2，现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数不变，方差变小 16．（23-24高一下·福建龙岩·期末）某农场种植的甲、乙两种水稻，在面积相等的两块稻田中连续5年的产量如下： 品种 第1年 第2年 第3年 第4年 第5年 甲/kg 560 580 570 590 600 乙/kg 550 600 580 580 590 若，分别表示甲、乙两种水稻产量的平均值，，分别表示甲、乙两种水稻产量的方差，则下列选项正确的是（    ） A． B． C．甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等 D．乙种水稻的产量有三年位于之间 三、填空题 17．（24-25高一上·辽宁·阶段练习）某市11月前10天的空气质量指数为35，54，80，86，72，85，58，125，111，53，则这组数据的第75百分位数是 . 18．（24-25高二上·安徽阜阳·期中）某高一班级有40名学生，在一次物理考试中统计出平均分数为70，方差为95，后来发现有2名同学的成绩有误，甲实得70分却记为50分，乙实得60分却记为80分，则更正后的方差是 . 19．（24-25高二上·四川成都·期中）已知一组数据的平均数为10，方差为2，若这组数据，的平均数为，方差为，则 . 20．（23-24高一下·江苏常州·期末）设x，y，z都是正整数，且，，，当x，y，z的取值依次为 时，x，y，z这三个数的方差最小．（若存在多组取值符合条件，只需写出其中一组取值） 21．（23-24高一下·安徽亳州·期中）文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者.某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图.则频率分布直方图中的值为 ；样本成绩的第75百分位数为 . 四、解答题 22．（24-25高一下·江西抚州·阶段练习）其校为了解学生的综合素养情况，从该校学生中随机地抽取了40名学生作为样本，进行综合素养测评，将他们的得分（满分：100分）分成，共六组．根据他们的得分绘制了如图所示的频率分布直方图． (1)从得分低于60分的样本中随机地选取2个样本，求这2个样本的得分在同一组的概率； (2)若在内的样本得分的平均数为86分，方差为10，在内的样本得分的平均数为92分，方差为6，求在内的样本得分的平均数和方差． 23．（23-24高一下·广东广州·期末）已知总体划分为2层，通过分层随机抽样，第层抽取的样本量、样本均值和样本方差分别为．记总样本数据的均值为，总样本数据的方差为． (1)写出与的计算公式（直接写出结果，不需证明）； (2)某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．现采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值（单位：），计算得男生样本的均值为172.5，方差为16，女生样本的均值为162.5，方差为30． （i）如果已知男、女样本量按比例分配，试计算出总样本的均值与方差； （ii）如果已知男、女的样本量都是50，试计算出总样本的均值与方差，此时将它们分别作为总体的均值与方差的估计合适吗？请说明理由． 24．（23-24高一下·广东深圳·阶段练习）2023年10月22日，汉江生态城2023襄阳马拉松在湖北省襄阳市成功举行，志愿者的服务工作是马拉松成功举办的重要保障，襄阳市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组，第二组，第三组，第四组，第五组，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第一、二组的频率之和为0.3，第一组和第五组的频率相同． (1)估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数； (2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者．若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为72和30，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为90和60，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差． 25．（23-24高一下·吉林长春·期末）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 26．（23-24高一下·西藏拉萨·期末）2024年5月22日至5月28日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”.拉萨市某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩x（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计将成绩进行整理后，分为五组（，，，，），其中第二组的频数是第一组频数的2倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图（如图所示）解决下列问题： (1)求a，b的值； (2)估计这次竞赛成绩的众数，中位数和平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）； (3)某老师在此次竞赛成绩中抽取了10名学生的分数：，，，……，，已知这10个分数的平均数，标准差，若剔除其中的75和85这两个分数，求剩余8个分数的平均数与方差． 27．（23-24高一下·福建福州·期末）已知某工厂一区生产车间与二区生产车间均生产某种型号的零件，这两个生产车间生产的该种型号的零件尺寸的频率分布直方图如图所示（每组区间均为左开右闭）. 尺寸大于M的零件用于大型机器制造，尺寸小于或等于M的零件用于小型机器制造. (1)若，试分别估计该工厂一区生产车间生产的500个该种型号的零件和二区生产车间生产的500个该种型号的零件中用于大型机器制造的零件个数； (2)若，现有足够多的来自一区生产车间与二区生产车间的零件，分别用于大型机器、小型机器各1000台的制造，每台机器仅使用一个该种型号的零件.现将一区生产车间生产的零件都用于大型机器制造，其中尺寸小于或等于M的零件若用于大型机器制造，每台会使得工厂损失200元；将二区生产车间生产的零件都用于小型机器制造，其中尺寸大于M的零件若用于小型机器制造，每台会使得工厂损失100元.求工厂损失费用的估计值H（M）（单位：元）的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$