精品解析：浙江温州环大罗山联盟期中联考2025-2026学年第二学期高一年级数学试题

浙江温州环大罗山联盟期中联考2025-2026学年第二学期高一年级数学试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 3. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且边BC上的中线长等于，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象关于点中心对称 B. 若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C. 若在单调递增，则 D. 若在上恰有三个零点，则 11. 已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，若，则（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 若的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥的母线长为4，侧面积，则此圆锥的底面半径为____________． 13. 若是关于的方程的复数根，则____________． 14. 已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 16. 在中，是AD的中点，设． （1）试用表示； （2）若，求． 17. 如图，在四棱柱中，平面平面，，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）判断的形状； （2）若为钝角三角形，为线段BC的延长线上一点，在线段CD上，且 （i）若，求AD的长； （ii）求的取值范围． 19. 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． （1）如图（2），当时，求证：平面ACD； （2）设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 浙江温州环大罗山联盟期中联考2025-2026学年第二学期高一年级数学试题 考生须知： 1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4．考试结束后，只需上交答题纸. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知i为虚数单位，若复数，则复数在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】应用复数乘法计算化简，再判断复数对应点即可. 【详解】若复数，则复数在复平面内所对应的点为，即复数对应的点位于第二象限. 2. 已知平面向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，， 因为， 所以，解得. 3. 设m，n是两条不同的直线，，β是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的判断定理可判断A的正误，根据线面平行的定义可判断B的正误，根据面面平行的性质可判断C的正误，根据面面平行的判定定理可判断D的正误. 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，若，，则或异面，故B错误； 对于C，若，，，则或异面，故B错误； 对于D，由面面平行的判定定理可证D成立， 故选：D. 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】运用投影向量的定义求解. 【详解】在上的投影向量为. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以， ． 6. 如图，小明为了测量一棵榕树的高度，他选取与树根部在同一水平面的、两点，在点测得树根部在西偏北的方向上，沿正西方向步行10米到处测得树根部在西偏北的方向上，树梢的仰角为，则树的高度是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】根据图形，在中利用正弦定理求得的值，在中求出的值． 【详解】依题意可得如下图形， 在中，，，， 由正弦定理得，，解得，， 在中，， 所以，． 所以树的高度为米 7. 设的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，且边BC上的中线长等于，则（ ） A. B. 3 C. D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义将原等式变形为，利用正弦定理和三角恒等变换的应用求得.根据和数量积的定义与运算律，建立关于的方程，解之即可. 【详解】如图，为的中点， ， 由， 得， 即， 由正弦定理，得， 即， 得， 由，得，又， 所以. 由，得， 又，， 所以，整理得， 由，解得. 故选：A 8. 如图，在棱长为2的正方体中，点在棱上，过作截面，过作截面，记正方体截面上方部分体积为，记正方体截面下方部分体积为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】先确定截面与正方体棱的交点，确定所截几何体形状，求出，体积， 最后求最小值． 【详解】 平面截正方体，设与交于，如左图； 平面截正方体，设与交于，如右图． 根据对称性，，． 设，则，． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． 是一个棱台，下底面为，面积为， 上底面为，面积为， ． ， 当，取最小值为． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知为虚数单位，为复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，则 D. 若，则的最小值为1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A：根据虚数单位的性质运算求解；对于B：根据共轭复数的定义结合复数的模分析判断；对于C：举反例说明即可；对于D：根据复数的几何意义分析判断. 【详解】对于选项A：，故A错误； 对于选项B：设，，则， 所以，故B正确； 对于选项C：例如，，则，满足， 但，两者不能比较大小，故C错误； 对于选项D：设复数在复平面内对应的点分别为， 若，可知点的轨迹是以坐标原点为圆心，半径为1的圆， 则，所以的最小值为1，故D正确. 10. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则的图象关于点中心对称 B. 若曲线的图象向左移动个单位后关于轴对称，则的最小值为2 C. 若在单调递增，则 D. 若在上恰有三个零点，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称性，结合验证法即可判断A；根据三角函数图象的平移变换和三角函数的奇偶性计算即可判断B；根据整体代换法和正弦函数的单调性建立关于的不等式组，解之即可判断C；根据和正弦函数的图象与性质计算即可求解. 【详解】A：若，则，有， 所以的图象关于点中心对称，故A正确； B：的图象向左平移个单位后， 得， 因为的图象关于轴对称，所以为偶函数， 所以，解得， 又，所以的最小值为5，故B错误； C：由，得， 即的单增区间为，又在上单调递增， 所以，解得，故C正确； D：由，得， 又在上有3个零点，所以， 解得，故D正确. 11. 已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，面积为，若，则（ ） A. 若，则为等腰直角三角形 B. 的取值范围为 C. 若，则 D. 若的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，根据三角形面积公式可得.利用基本不等式计算可得且，即可判断A；利用基本不等式计算可得，根据即可判断B；由题意可得，解之即可判断C；根据余弦定理和辅助角公式可得，结合即可判断D. 【详解】由，得， 整理得. A：当时，， 即，（当且仅当时取等号）， 由，得，又，所以， 得，且，所以为等腰直角三角形，故A正确； B：，（当且仅当时取等号）， 由，得，得， 即，所以的取值范围为，故B正确； C：当时，，得， 即，整理得， 解得，故C错误； D：由余弦定理得， 由，得， 所以， 即，（其中）， 而，所以的最大值为.故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知一个圆锥的母线长为4，侧面积，则此圆锥的底面半径为____________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积公式计算直接得出结果. 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为， 则圆锥的侧面积为， 由题意知，，解得. 故答案为：2 13. 若是关于的方程的复数根，则____________． 【答案】31 【解析】 【分析】易知是方程的另一个复数根，结合韦达定理计算即可求解. 【详解】因为是关于的方程的一个复数根， 所以是关于的方程的另一个复数根， 由韦达定理得，解得， 所以. 故答案为：31 14. 已知平面向量，满足，与的夹角为，且，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】使用得到，将问题转化为求的最大值，由与的夹角为，建立的关系式并换元求解. 【详解】，，因为，所以， ，，则要求的最小值等价于求的最大值， 因为与的夹角为，所以，令，， 则，整理后得， 令，则，该方程有正实数解， 故，解得， 又因为，所以，故的最大值为， 即的最大值为，此时， 所以的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知函数． （1）求函数的最小正周期和单调递减区间； （2）当时，求函数的值域． 【答案】（1）最小正周期为，单调递减区间是 （2） 【解析】 【分析】（1）先由三角函数的恒等变换化简得，即可得周期，解可得单调减区间； （2）先求出的范围，结合正弦函数的图象即可求解 【小问1详解】 ， 所以最小正周期为， 由， 得单调递减区间是； 【小问2详解】 当时，， 则，即时，有最小值为， ，即时，有最大值为， 所以此时的值域为． 16. 在中，是AD的中点，设． （1）试用表示； （2）若，求． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量加法减法的三角形法则及数乘运算即可求解； （2）根据（1）的结论，利用向量数量积的运算律、向量的模公式分别求出，，再根据向量的夹角公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以． . 因为E是AD的中点， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 因为， 所以 因为， ， 所以，. 所以. 17. 如图，在四棱柱中，平面平面，，且． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） 平面平面，平面平面，， 平面， 平面， . （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接，如下图所示， ，， ， ， 是等边三角形，可得，， ， ， 根据余弦定理可得，解得， ， ，即， ， 平面， 就是直线与平面所成角， ,， ， . 18. 已知的角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 （1）判断的形状； （2）若为钝角三角形，为线段BC的延长线上一点，在线段CD上，且 （i）若，求AD的长； （ii）求的取值范围． 【答案】（1）等腰三角形或直角三角形 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）法1：根据余弦定理的应用将等式变形得，进而即得；法2：根据正弦定理和三角恒等变换的应用将等式变形为，进而即得；法3：根据正弦定理和三角恒等变换的应用将等式变形为，进而即得； （2）法一：（i）由（1）可得，设，则，结合角平分线定理化简计算即可求解；（ii）由（i）得，由为钝角三角形得，解得，即可求解. 法二：（i）由（1）可得，设，则，，根据正弦定理和三角恒等变换的应用可得，求出，结合二倍角公式计算即可求解；（ii）由（i）可得，结合计算即可求解. 【小问1详解】 法1：由题意，得， 即则， 所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形； 法2：由正弦定理得， 则， ， ， 所以或， 因此为等腰三角形或直角三角形； 法3：由正弦定理得， 则， 因此， 所以， 即， 因此在中，或， 所以或, 因此为等腰三角形或直角三角形. 【小问2详解】 法一：（i）由（1）知，为等腰三角形或直角三角形， 又为钝角三角形，所以为等腰三角形， 则，因此， 因为， 所以， 设，则， 在线段CD上， 由角平分线定理，得， 则，又， 所以，解得， 因此； （ii）由（i）得，则， 因为为钝角三角形，所以，得， 所以，即，又， 故. 法2：（i）由（1）知，为等腰三角形或直角三角形， 又为钝角三角形，所以为等腰三角形，则， 所以，又，所以， 在线段CD上，， 设，则， 由正弦定理得， ， 所以， ， ， ， 故， ， 由，得， ， 所以， 在Rt中，， 因此； （ii）， 又为钝角三角形，所以为钝角，， 因此，所以， 故， 所以. 19. 如图（1），已知平面五边形中，是边长为的正三角形，，，将和分别沿AC，AD向上翻折至，使得在面ACD的同侧，且二面角的平面角和二面角的平面角的大小都为． （1）如图（2），当时，求证：平面ACD； （2）设该五面体外接球的球心为，半径为． （i）当时，求到平面的距离； （ii）求的最小值． 【答案】（1） 翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M 翻折后：如图所示，则二面角的平面角和二面角的平面角分别为和 因为，则平面平面ACD， 因此， 因为是边长为的正三角形，， 所以都是直角三角形， 由面积相等，得， 所以且， 所以四边形为平行四边形， 所以， 又平面平面ACD， 因此平面； （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）翻折前：过B，E分别作AC，AD的垂线，垂足分别为F，G，分别延长BF，EG交CD于点H，M，可得二面角的平面角和二面角的平面角分别为和，由可得，根据几何关系证明为平行四边形，结合线面平行的判定定理即可证明结论； （2）（i）取AC的中点，连接为的外心，过作交于点，设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球且面，结合长度关系即可求解； （ii）由题可得面且，得到，利用化简，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）取AC的中点，连接为的外心， 过作交于点， 因为为正三角形， 所以， 故二面角的平面角为， 设为该五面体的外接球球心，由对称性知，该五面体的外接球，即三棱锥的外接球则面， 则到平面的距离为， 由题可知， ， 所以， 因此到平面的距离为； （ii）二面角的平面角为， 面， ， 因此， 所以， 则， 故， ， 所以， 当且仅当，即时取等号， 因此的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $