精品解析：上海市上海中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2026上海中学高二下期中数学学生版 试卷结构:填空12题+选择4题+解答5题 考试时间:90分钟满分:100分 一、填空题(每题3分，共36分) 1. 设抛物线的准线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意结合抛物线的标准方程确定其准线方程即可. 【详解】由抛物线方程可得，则，故准线方程为. 故答案为． 【点睛】本题主要考查由抛物线方程确定其准线的方法，属于基础题. 2. 已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为_____. 【答案】## 【解析】 【详解】因为椭圆经过点， 则，解得，则， 所以椭圆的离心率为 3. 对任意的实数，若，则_____. 【答案】1 【解析】 【详解】令，等式左边，等式右边​，因此 4. 已知事件相互独立，且，则_____. 【答案】## 【解析】 【详解】因为事件相互独立，所以 5. 过点作一直线，使该直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线的条数为_____. 【答案】4 【解析】 【分析】设直线的方程为，与双曲线方程联立，根据二次项系数为零以及方程根的判别式为零依次求解即得. 【详解】依题意，该直线的斜率存在，可设其方程为， 代入，消去，可得， 则当时，即时，方程只有一解，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点，符合题意； 当时，由，解得， 经检验，当时，直线分别与双曲线有且只有一个交点(相切)，符合题意. 综上，这样的直线的条数为4. 6. 若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，，则抛物线方程为， 联立，得，得（负值舍去）， 令，则，则，故弦的弦长为. 7. 甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____. 【答案】 【解析】 【详解】设事件表示“借走的两支笔中有一支是红色的”，事件表示“借走的两支笔都是红色的”； 则，； . 8. 若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 【答案】 【解析】 【分析】由两圆的方程相减整理即得两圆的公共弦方程，依题意可得，再由双曲线的离心率定义求解即得. 【详解】由圆与圆， 两方程相减，得， 即得恰为双曲线的一条渐近线，则有， 故的离心率为. 9. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为_____. 【答案】或 【解析】 【分析】考虑焦点在轴上和焦点在轴上两种情况，使用公式求解. 【详解】若焦点在轴上，则，解得，此时，，焦距； 若焦点在轴上，则，解得，此时，，焦距， 所以椭圆的焦距为：或 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______． 【答案】 【解析】 【分析】设A，B两点坐标分别为，利用点差法可得，结合，即可求得a的值，再结合的周长为4a，即得答案. 【详解】由题意知， 设A，B两点坐标分别为， 两式相减得， 由题意为AB中点， 则，代入整理得． 即由题意知， 因此，所以，由焦距为6，解得． 由椭圆定义知的周长为． 故答案为： 11. 如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用双曲线的几何定义，设就可以来研究各焦半径的长度，再利用两个勾股定理就可以求出离心率. 【详解】 设另一个焦点，连接，设则 再根据双曲线的定义可知： 由双曲线的对称性可知，是的中点，也是的中点， 所以四边形是平行四边形，又因为，所以可得， 所以由勾股定理得：， 化简得：， 再由勾股定理得：， 代入得：， 故答案为：. 12. 已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为______ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，将转化为的形式，寻求定点，使得恒成立，再通过转化求的最小值. 【详解】由抛物线，可得焦点坐标为， 又由圆，可化为， 可得圆心坐标为，半径， 设定点，满足成立，且， 即恒成立， 其中，代入两边平方可得： ，解得：，， 所以定点满足恒成立， 可得， 如图所示，当且仅当在一条直线上时， 此时取得最小值， 即， 设，满足， 所以， ， 当时，等号成立. 所以的最小值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题的关键是转化距离，再转化求得点M的坐标. 二、选择题(每题4分，共16分.每题有且只有一个正确选项) 13. 在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ） A. 0.56 B. 0.66 C. 0.76 D. 0.86 【答案】C 【解析】 【分析】直接由全概率公式进行计算即可求解. 【详解】由全概率公式可知，所求准确率为. 故选：C. 14. 如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（ ）的一部分. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 【答案】D 【解析】 【详解】由题意知翻折后点E与落点F重合，因此折痕l是线段的垂直平分线， 点P在l上，根据垂直平分线性质可得， 结合抛物线定义判断：已知，因此PF就是点P到定直线CD的距离， 即点P满足：到定点E的距离等于到定直线CD的距离，符合抛物线的定义， 因此点P的轨迹是抛物线的一部分. 另解： 如下图所示，以为原点，方向为轴，方向为轴，建立平面直角坐标系， 设，，则，，，， 因为是的中点，所以， 因为翻折后落在上，落点为，所以设的坐标为， 折痕是和连线的垂直平分线，的中点坐标为， 的斜率为，因此的斜率为， 所以的点斜式方程为， 在上，且，设P的坐标为， 代入可得，化简可得， 因为点的坐标为，把替换成可得点的轨迹方程为， 是一个二次函数，所以点的轨迹为抛物线的一部分. 15. 现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 【答案】B 【解析】 【分析】选项A，条件概率计算；选项B，用全概率公式计算；选项C，利用对立事件转化为，再用贝叶斯公式计算；选项D，分别计算各盒红球在总红球中的占比再比较大小. 【详解】先整理基本量：总球数，红球总数，逐个验证选项： 选项A，，A正确； 选项B，由全概率公式，，B错误； 选项C，，C正确； 选项D，从所有红球中抽取，来自概率概率概率概率最小，D正确. 16. 关于曲线，以下命题中错误的是（ ） A. 曲线上一点到原点距离的取值范围是 B. 曲线与坐标轴围成的封闭图形的面积大于. C. 曲线上任意非端点处的切线在两条坐标轴上的截距之和为定值 D. 曲线是抛物线的一部分 【答案】B 【解析】 【详解】对于选项A，由可得， 由，得，化简得， 由基本不等式可知，得，解得， 则，化简得， 令，设， 可知二次函数对称轴为，即在上单调递减， 可知，则，即， 可知曲线上一点到原点距离的取值范围是，选项A正确； 对于选项B，可知，且，则， 可得，则， 即曲线上的点到点的距离大于，即曲线在圆的下方， 即曲线与坐标轴围成的封闭图形的面积小于，所以选项B错误； 对于选项C，可知， 令函数，则， 设曲线上非端点的点处的切线为，化简得， 当时，，即在轴上的截距为 ， 当时，，即在轴上的截距为，可知 ， 所以曲线上任意一点处的切线在两条坐标轴上的截距之和为定值，选项C正确； 对于选项D，可知，所以曲线是抛物线的一部分，选项D正确； 三、解答题(共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知两点与曲线，（为参数）上一点满足，求的面积. 【答案】4 【解析】 【分析】由化简曲线为，由题意得点在圆上，联立方程求得，再结合三角形面积公式计算可解. 【详解】因为， 所以曲线可化为， 因为，所以点在以为直径的圆上， 由已知得，线段的中点为， 所以以为直径的圆的方程为， 即点在圆上， 又因为点在曲线上，设， 则，解得， 所以的面积为. 18. 某地肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，但是化验结果存在错误的可能性，已知患肝癌的人化验99%呈阳性，而未患肝癌的人99.9%呈阴性.某人化验结果呈阳性，则他患肝癌的概率为多少? 【答案】 【解析】 【分析】记事件：某人患肝癌，事件：化验结果呈阳性，利用全概率公式求出的值，再利用条件概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】记事件：某人患肝癌，事件：化验结果呈阳性， 由题意可知，，， 所以， 现在某人的化验结果呈阳性，则他实际患肝癌的概率是 . 19. 已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. （1）求点G的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据为的重心，得，代入，化简即可求解. （2）根据垂心的概念求得，设直线方程，与椭圆联立韦达定理，利用得，将韦达定理代入化简即可求解. 【小问1详解】 设，则，因为的重心， 故有：，解得，代入，化简得， 又，故，所以的轨迹方程为. 【小问2详解】 因为的垂心，故有， 又，所以，故设直线的方程为， 与联立消去得：， 由得， 设，则， 由，得，所以， 所以， 所以，化简得， 解得（舍去）或（满足），故直线的方程为. 20. 已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，为线段的中点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）过点的动直线与椭圆有两个交点.在轴上是否存在点使得始终落在以为直径的圆内(含边界).若存在，求出这样的点的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【小问1详解】 因为椭圆的离心率为，故，，其中为半焦距， 所以，故， 故，所以，，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 若过点的动直线的斜率存在，则可设该直线方程为：， 设， 由，可得， 故且 而， 故 ， 因为恒成立，故，解得. 若过点的动直线的斜率不存在，则或， 当且仅当在之间（或与重合），满足，即， 两者结合可得. 综上，存在，使得恒成立. 21. 抽屉中装有双规格相同的筷子，其中双是一次性筷子，双是非一次性筷子.每次使用筷子时，从抽屉中随机取出双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃；若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再放入抽屉中.求: （1）在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率； （2）取了为正整数)次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用条件概率公式计算； （2）运用独立事件的概率乘法公式结合等比数列求和计算即可. 【小问1详解】 设第一次取出的是一次性筷子为事件，第二次取出的是非一次性筷子为事件， 则 ， ， 所以在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率. 【小问2详解】 易知时，， 当时，若取了次后，所有一次性筷子刚好全部取出， 则最后一次取出的是一次性筷子，则前次中有一次取得一次性筷子， 所以 . 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026上海中学高二下期中数学学生版 试卷结构:填空12题+选择4题+解答5题 考试时间:90分钟满分:100分 一、填空题(每题3分，共36分) 1. 设抛物线的准线方程为__________. 2. 已知椭圆经过点，则椭圆的离心率为_____. 3. 对任意的实数，若，则_____. 4. 已知事件相互独立，且，则_____. 5. 过点作一直线，使该直线与双曲线只有一个公共点，则这样的直线的条数为_____. 6. 若的圆心与抛物线的焦点重合，则它们的公共弦的弦长为_____. 7. 甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走的一支是红色，则另一支也是红色的概率为_____. 8. 若圆与圆的公共弦所在直线是双曲线的一条渐近线，则的离心率为_____. 9. 若椭圆的离心率为，则该椭圆的焦距为_____. 10. 已知椭圆的左、右焦点分别为，焦距为6，点，直线与交于A，B两点，且为AB中点，则的周长为______． 11. 如图所示，已知双曲线的右焦点F，过点F作直线l交双曲线C于两点，过点F作直线l的垂线交双曲线C于点G，，且三点共线（其中O为坐标原点），则双曲线C的离心率为_________． 12. 已知点P，Q分别是拋物线和圆上的动点，若抛物线的焦点为，则的最小值为______ 二、选择题(每题4分，共16分.每题有且只有一个正确选项) 13. 在一个关于智能助手的准确率测试中，有三种不同的模型，，.模型的准确率为0.8，模型的准确率为0.75，模型的准确率为0.7.已知选择模型，，的概率分别为，，.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为（ ） A. 0.56 B. 0.66 C. 0.76 D. 0.86 14. 如图，点为矩形边的中点，以动直线为折痕将矩形在其下方的部分向上翻折，每次翻折后点都落在边上，记该落点为，过点作垂直交直线于点，则点的轨迹为（ ）的一部分. A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 15. 现有编号分别为的三个盒子，其中盒中共20个小球，其中红球6个，盒中共20个小球，其中红球5个，盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽取一个，记事件：“该球为红球”，事件：“该球出自编号为的盒中”，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 若从所有红球中随机抽取一个，则该球来自盒的概率最小 16. 关于曲线，以下命题中错误的是（ ） A. 曲线上一点到原点距离的取值范围是 B. 曲线与坐标轴围成的封闭图形的面积大于. C. 曲线上任意非端点处的切线在两条坐标轴上的截距之和为定值 D. 曲线是抛物线的一部分 三、解答题(共48分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. 已知两点与曲线，（为参数）上一点满足，求的面积. 18. 某地肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，但是化验结果存在错误的可能性，已知患肝癌的人化验99%呈阳性，而未患肝癌的人99.9%呈阴性.某人化验结果呈阳性，则他患肝癌的概率为多少? 19. 已知M为圆上一个动点，垂直x轴，垂足为N，O为坐标原点，的重心为G. （1）求点G的轨迹方程； （2）记（1）中的轨迹为曲线C，直线与曲线C相交于A、B两点，点，若点恰好是的垂心，求直线的方程. 20. 已知椭圆的离心率，左顶点为，下顶点为，为线段的中点，其中. （1）求椭圆的方程； （2）过点的动直线与椭圆有两个交点.在轴上是否存在点使得始终落在以为直径的圆内(含边界).若存在，求出这样的点的纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由. 21. 抽屉中装有双规格相同的筷子，其中双是一次性筷子，双是非一次性筷子.每次使用筷子时，从抽屉中随机取出双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃；若取出的是非一次性筷子，则使用后经过清洗再放入抽屉中.求: （1）在第次取出的是非一次性筷子的条件下，第次取出的是一次性筷子的概率； （2）取了为正整数)次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $