上海市上海中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2026上海中学高二下期中 数学教师版 (含答案、思路、解析、易错) 试卷结构：填空12题+选择4题+解答5题 考试时间：90分钟 满分：100分 整理2026年4月25日 2026上海中学高二下期中·数学教师版 1/12 一、填空题 1.抛物线2=8x的准线方程为 |答案x=-2 懈析2=8x=4·2·飞，故准线为x=-2, 2.已知椭圆C:系+祭=1(a>b>0)经过点A(0,3)、B(3,),则椭圆C的离心率为 答案2 折A0)代入得识=9B()代入：是+是=1，得a2=12所以2=及 e= e_V31 a2v3-21 3.对任意的实数x,若x6=a0+a1(c-1)+a2(c-1)2+·+a6(x-1)6,则a0= 答案1 |解析令x=1,右边只剩a0,故a0=16=1. 4.已知事件A,B相互独立，且P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(B|A)= |答案0.6 |解析A,B独立，故P(B1A)=P(B)=0.6. 5.过点(0,1)作一直线，使该直线与双曲线妥一号=1只有一个公共点，则这样的直线的条数 为 」答案4 解析设直线y=kx+1,代入双曲线得(3-42)x2-8kx-16=0. ()3-42≠0时只有一个公共点（相切）：△=192(1-k2)=0,得k=±1，共2条， 创）3-42=0即k=±Y 2,直线平行渐近线，共2条. 竖直直线x=0与双曲线无公共点，故共4条 2026上海中学高二下期中·数学教师版 2/12 6.若(x-1)2+y2=25的圆心与抛物线y2=2p(p>0)的焦点F重合，则它们的公共弦AB 的弦长为 |答案8 解析圆心(1,0)即抛物线焦点，故号=1，p=2,抛物线为y2=4虹 代入圆方程：(x-1)2+4x=25,即x2+2x-24=0,得x=4(舍x=-6). 故y2=16,弦长|AB=2.4=8. 7.甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走 的一支是红色，则另一支也是红色的概率为 答案品 解析设事件A为借走的2支笔中至少有1支红色，事件B为借走的2支笔均为红色， 则 P(B)C号 1 1 PB1A）-P0CC845-2s-7 故所求概率为 1 17 8.若圆(c-22+2=4与圆x2+(g-1)2=1的公共弦所在直线是双曲线C:号-茶=1(a> 0,b>0)的一条渐近线，则C的离心率为 |答案5 解析圆(x-2)2+y2=4化为x2+y2-4=0. 圆x2+(g-1)2=1化为x2+2-2=0. 两圆公共弦所在直线为两圆方程相减所得的根轴： -4x+2y=0, 即y=2x. 双曲线2龙 =1的渐近线为！=士，故。=2 b 于是 e=c Va2+2 h 5 a a a 9.若椭圆希+号=1的离心率为受，则该椭圆的焦距为 答案2v3或V6 2026上海中学高二下期中·数学教师版 3/12 解析由椭圆方程知m>0,半轴长平方为m,3. 若烟>3则2=m=3南2=1一器-专得 1、3、1 m=2 解得m=6,此时c2=a2-b2=3,焦距2c=2V3. m<3则心2=3.三m,由2=1X-号 此时-3}焦 3 2c=V6. 10.已知椭圆C:三+器=1(a>b>0)的左、右焦点分别为，，焦距为6，点M(1,1),直 线MF2与C交于点A,B,且M为AB中点，则△AFB的周长为 答案12v2 解析由焦距为6，得c=3,故F2(3,0),且a2-b2=9. 直线的方程为y-3。 代入椭圆方程，得 x2.3-x)2 a2+ 4b2 =1. 设交点A,B的横坐标为x1,x2,因M(1,1)为AB中点，故x1+x2=2. 整理得 4b2x2+a2(3-x)2=4a2b2, 所以 6a2 01+2=42十2=2， 即3a2=4b2+a2,得a2=2b2. 又a2-b2=9,得a2=18,a=3V2. 因F2在椭圆内部且在线段AB上，所以 APF2十BF2=AB. 故△AFB的周长为 AF+BF1+AB=(2a-AF2)+(2a-BF2)+AB=4a=12v2. 山如图所示，已知双由线C:-=1@>0,b>0)的右焦点F,过点F作直线乙交双曲线 C于A,B两点，过点F作直线1的垂线交双曲线C于点G,AB=2BF,且三点A,O,G共线 (其中O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为■ 2026上海中学高二下期中·数学教师版 4/12 B 图第11题图 |答案v 解析设F(C,0),c2=a2+b2,直线l:y=k(x-c).令x-c=X,代入双曲线得 (-)+x+器- k2 设B对应X=,由A=2B产得A对应X=3t,由根与系数关系得 l=_ 262 k2= b2-3a2 3c 4a2 /a2-b2 故A(c,- 2kb2 直线OG的斜率为 c yA 2kb2 A b2-a21 6 令r= 2,则2=3 43,故r≥3.若r=3,则k=0,1为x轴，此时0G不可能与OA共 线除故r>3点G又在过F且斜率为片的直线上，联立0G可得 2c(r-1) xG=(r-2)(r+1)1 代入双曲线方程可化为 4 (r-2)2=1. 2026上海中学高二下期中·数学教师版 5/12 因r>3,得r=4,所以 e=9=VI+r-V5. a 12.已知点P,Q分别是抛物线C:y2=4x和圆E:x2+y2-10x+21=0上的动点，若抛物线 C的焦点为F,则2PQ+IQFI的最小值为 |答案4v3 |思路系数2与1不齐，借助阿氏圆把1QF化为2QN,再用三角不等式压成两点间线段， 解析圆E化为(x-5)2+y2=4,圆心M(5,0),半径r=2;F(1,0),MF=4. 在E鞋上取A0,则MN1wQ-2W-车因号且 ∠NMQ=∠QMF(公共角)，故△MNQ~△MQF,从而对圆上任意点Q都有 IQFI=2QN. 于是 2PQI+QFI=2(PQI+QND)>2PNI, 等号当且仅当P,Q,N共线且Q在线段PN上时成立. 设P(,y)在抛物线上，y2=4c(x≥0)，则 |PN2=(x-4)2+y2=(x-4)2+4x=(x-2)2+12≥12， 当x=2时取|PNImin=2V3. 故2PQ+1QF叫的最小值为4V3. 【点评】系数不齐型的折线最值，常借阿氏圆改写其中一段距离，把kQA化为QB形式，再 用PQ+IQB≥PB收口.这里反过来用：已知圆E与定点F满足IQF=2QN|(其中 N(4,0),因此E即为对F,N的“1：2阿氏圆”. 二、选择题 13.在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型A、B、C.模型A的准确 率为0.8，模型B的准确率为0.75，模型C的准确率为0.7.已知选择模型A、B、C的概率分 别为0.4,0.4,0.2.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为0· A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86 |答案C.0.76 解析由全概率公式：P=0.8×0.4+0.75×0.4+0.7×0.2=0.32+0.30+0.14=0.76.选C. 2026上海中学高二下期中·数学教师版 6/12 14.如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线1为折痕将矩形在其下方的部分向上翻 折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直CD交直线I于点 P,则点P的轨迹为0的一部分 B 图第14题图 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 |答案D.抛物线 解析设矩形ABCD中A(0,0),B(2a,0),D(0,h),则E(a,0),动点F(x,h). 由折叠性质，折痕1是线段EF的垂直平分线，所以P在1上有PE=PF. 又FP⊥CD,故P与F横坐标相同，设P(x,y),则 PE2=(x-a)2+2,PF2=(h-)2. 由PE=PF,得 (x-a)2+y2=(h-y)2, 即 h2-(x-a)2 2h 这是抛物线的一部分，故选D. 15.现有编号分别为A(⑦=1,2,3)的三个盒子，其中A1盒中共20个小球，其中红球6个，A2 盒中共20个小球，其中红球5个，A?盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽 取一个，记事件A:“该球为红球”，事件B,:“该球出自编号为A:(亿=1,2,3)的盒中”，则下列说法 错误的是0. AP(B)=二BP)=名C,P因A)-号D.若从所有红球中随机拍取一个，则该球来 自A2盒的概率最小 丨答案B 2026上海中学高二下期中·数学教师版 7/12 解析由题意，三盒共有70个球，红球共有6+5+6=17个，故 17 9 P(A=70≠35 所以B错误. 又 P(AlB)= 63 20-10 A正确. 由全概率公式P(A)=∑P(A4B)P(B),且红球总数为17，得 P0-61-7 6+612 C正确， 656 从所有红球中随机抽鲰一个，来自A,42,4盒的概率分别为777故来自4盒的概 率最小，D正确. 16.关于曲线C:v瓦+√=1，以下命题中错误的是0· A.曲线C上一点到原点距离的取值范围是竖，] B.曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于1一军： C.曲线C上任意一点处的切线在两条坐标轴上的截距之和为定值 D.曲线C是抛物线的一部分 丨答案B |思路令√丘=t,√=1一t参数化曲线，分别检验距离、面积、切线截距与曲线类型. 解析设V元=t,则√g=1-t,0≤t≤1，所以x=2,y=(1-t)2. A中，到原点距离 d=4+(1-t)4 4+(1-t)4在t= )时取最小值S在端点取最大值1，故de B中，围成面积为 s=人-v=-2+1+日 而1- ≈0215>言所以5不大于1-至B钻误 C中，对曲线内点0<t<1,由 -0 1-t 2026上海中学高二下期中·数学教师版 8/12 得切线方程 +=1 两轴截距分别为t与1一t,和为1，C正确. D中，由√E+√=1得 (1+y-x)2=4划， 即x2-2xy+y2-2x-2y+1=0,其二次项满足B2-4AC=0,为抛物线型曲线的一部分， D正确. 易错1.面积应算(1-√@)dc,不能把曲线误认为四分之一圆弧.2.C的截距性质按内点 切线理解，端点处切线为坐标轴，常规截距讨论需排除端点. 三、解答题 x=V3sec0, 17.已知两点A(-v7,0)、B(v7,0)与曲线C: (0为参数)上一点M满足 y=2tan0, ∠AMB=90°，求△AMB的面积， 丨答案4 解折消参得曲线C:2 ,=1(双曲线). 3 由∠AMB=90°，M在以AB为直径的圆上，即x2+2=7. 联立得4r2-3y2=12与2+2=7，消2得7y=16,=V7 4 放5Awa=Ml=27=4 1 18.某地肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，但是化验结果存在错误的可能性，已 知患肝癌的人化验99%呈阳性，而没患肝癌的人99.9%呈阴性.某人检查结果呈阳性，则他患肝 癌的概率为多少？ 答案 330 1163 ≈28.4% 解析设A=患癌，B=阳性.P(A)=0.0004,P(BA)=0.99,P(BA)=0.001 由全概率公式P(B)=0.99×0.0004+0.001×0.9996=0.0013956. 由贝叶斯公式P(4B)=0,99×0.0004_330 ≈28.4%. 0.00139561163 19.已知M为圆x2+y2=9上一个动点，MN垂直于x轴，N为垂足，O为坐标原点，△OMN 2026上海中学高二下期中·数学教师版 9/12 的重心为G. (1)求点G的轨迹方程； (2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线1与曲线C相交于A,B两点，点Q(0,1),若点H(v3,0) 是△ABQ的垂心，求直线1的方程。 答案回苦1=1回y=Va:-9 解析设M(axo,yo),则x子+=9，且N(ao,0).由重心坐标公式得 G /2x0y0 33 设G云叭，则w的-影，代入圈方程得 9 4+9)2=9, 故点G的轨迹方程为至+=1. L为△ABQ的垂心，得AB L QH..因QH的斜率为故直线L的斜率为VB 1:y=V3x+b. 设A(1,),B(2,2),代入曲线C得 13x2+8v3bx+4(b2-1)=0, 8√3b 于是1+x2= 1.3,1x24(6二12.又AH1BQ,即 13 (x1-V3)x2+1(2-1)=0. 由=V3a;+b化简得 4x1x2+V3(b-1)(x1+x2)+b(b-1)=0, 代入韦达定理得562+116-16=0，解得6=1或6=-16.当6=1时，Q在直线1上， 5 △ABQ退化，舍去.故 1:y=V3x-16 1 20.已知椭圆三+-1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A,下顶点为B,C为线段OB 的中点，其中S△ABC=y. (1)求椭圆的方程； 2026上海中学高二下期中·数学教师版 10/12 (2)过点(0，一2)的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上是否存在点T使得T始终落在以 PQ为直径的圆内（含边界）·若存在，求出这样的点T的纵坐标的取值范围；若不存在，请说 明理由. 号+号=1.②存在设T=0.,则-3≤t≤2而-6 答案（四12+9 3 思路利用直径圆判定(TP.T≤0)，将过定点的弦用斜率参数化，转化为关于k2的恒成立 不等式 解折国由e后2=02-识得 =a2-c2=a2-02=3a2 4 4 A=(-a,0,B=0,-.C=0-多.故 SAABC- 1 b ab 3V3 4 =2 即ab=6V3又b三a,得a2=12,b2=9.椭圆方程为 2+=1 12+9 (2)设动直线为y=kx-2,与椭圆交于P(x1,y1),Q(x2,2.代入椭圆得 (4k2+3)x2-16kx-20=0, 所以 16k 20 1十2= 4k2+3 ，12= 4k2+3 由=kx:-2,得 12 12-362 1+2= 4k2+3' y1y2= 4k2+3 设T=(O,),T在以PQ为直径的圆内等价于 rp.TQ≤0. 即 x1x2+(t-y1)(t-2)≤0， 化简得 (42-36)k2+32+12t-8≤0. 4k2+3 要对任意k恒成立，因分母恒正，需 4t2-36≤0,3t2+12t-8≤0. 2026上海中学高二下期中·数学教师版 11/12 解得 -3≤t≤3， -6=2压≤t≤-6+2 3 3 取交集得 -3≤t≤2V5-6 3 当直线为竖直线x=0时，交点为(0,3)，(0，-3)，圆x2+y2=9在y轴上要求-3≤t≤3， 已包含在上述范围内， 易错1.以PQ为直径的圆内应使用TP.TQ≤0，边界也包含等号.2.斜率k任意时需对 k2≥0恒成立，还要包含竖直弦对应的限制2≤9. 21.抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子.每次使用 筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃；若取出的是非一 次性筷子，则使用后经过清洗再放入抽屉中.求： (1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率； (2)取了n(n为正整数)次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率 答案)芹回当n=1时，概率为0：当n≥2时， 概率为 思路设“第n次刚好取尽”为第n次取出第二双一次性筷子，按第一次取出一次性筷子的时刻 分类求和. 解析(1)设A表示第1次取出一次性筷子，B表示第2次取出非一次性筷子.则 PAnB)-号是-0 233 由全概率公式， P(B)=P(BLA)P(A)+P(BIA)P(A)= 32,3333 45+55-50 所以 3 P(AB)= PAnB-爱= 5 P(B) 33 50 (2)若第k次首次取出一次性筷子，第n次取出第二双一次性筷子，其中1≤k≤n-1.前 飞一1次均为非一次性筷子，概率为骨 :第太次取出一次性筷子，概率为？此后抽冠 中有1双一次性筷子和3双非一次性筷子，第k+1至第n一1次均取出非一次性筷子，第 2026上海中学高二下期中·数学教师版 12/12 n次取出一次性筷子，概率为 () 4 故当n≥2时， -(份运0 所以 10 33 份-()鬥 4-5 当n=1时，不可能全部取出，概率为0. 易错1.第一次取出一次性筷子后，抽屉中总数变为4双，第二次取出非一次性筷子的概率 是是不是2第包)问刚好全部陬出“应理解为第n次取击最后一双次性钱子，不是 第n次后已经取尽.2026上海中学高二下期中 数学学生版 (请在题目空白处作答) 试卷结构：填空12题+选择4题+解答5题 考试时间：90分钟 满分：100分 整理2026年4月25日 2026上海中学高二下期中·数学学生版 1/9 一、填空题（本大题共12题，1-6题每题3分，7-12题每题4分，共42 分) 1.抛物线y2=8x的准线方程为 2.已知椭圆C:三+素=1(a>b>0)经过点A(0,3)、B(3,多)，则椭圆C的离心率为 3.对任意的实数x,若x6=a0+a1(x-1)+2(x-1)2+··+a6(c-1)6,则a0= 4.已知事件A,B相互独立，且P(A)=0.2,P(B)=0.6,则P(B|A)= 5.过点(0,1)作一直线，使该直线与双曲线号-号-1只有一个公共点，则这样的直线的条数 为 6.若(x-1)2+2=25的圆心与抛物线y2=2px(p>0)的焦点F重合，则它们的公共弦AB 的弦长为 2026上海中学高二下期中·数学学生版 2/9 7.甲同学共有10支笔，其中8支黑色，2支红色.乙同学向甲同学借走2支笔.已知乙同学借走 的一支是红色，则另一支也是红色的概率为 8.若圆(c-2)2+2=4与圆x2+(g-1)2=1的公共弦所在直线是双曲线C:三-爷=1(a> 0,b>0)的一条渐近线，则C的离心率为一· 9.若椭圆品+号=1的离心率为号，则该椭圆的焦距为 10.已知椭圆C:器+茶=1(a>b>0)的左、右焦点分别为五，，焦距为6，点M(1,1),直 线MF2与C交于点A,B,且M为AB中点，则△AFB的周长为一 1.如图所示，已知双曲线C:-I>0,b>0的右焦点F,过点F作直线I交双线 C于A,B两点，过点F作直线1的垂线交双曲线C于点G,AB=2B币，且三点A,O,G共线 (其中O为坐标原点)，则双曲线C的离心率为 2026上海中学高二下期中·数学学生版 3/9 B 图第11题图 12.已知点P,Q分别是抛物线C:y2=4x和圆E:x2+y2-10x+21=0上的动点，若抛物线 C的焦点为F,则2PQ+|QF|的最小值为 二、选择题（本大题共4题，13-14题每题3分，15-16题每题5分，共 16分) 13.在一个关于AI智能助手的准确率测试中，有三种不同的AI模型A、B、C.模型A的准确 率为0.8，模型B的准确率为0.75，模型C的准确率为0.7.已知选择模型A、B、C的概率分 别为0.4,0.4,0.2.现随机选取一个模型进行测试，则准确率为0. 2026上海中学高二下期中·数学学生版 4/9 A.0.56B.0.66C.0.76D.0.86 14.如图，点E为矩形ABCD边AB的中点，以动直线1为折痕将矩形在其下方的部分向上翻 折，每次翻折后点E都落在边CD上，记该落点为F,过点F作FP垂直CD交直线I于点 P,则点P的轨迹为0的一部分. D A E B 图第14题图 A.圆B.椭圆C.双曲线D.抛物线 15.现有编号分别为A(i=1,2,3)的三个盒子，其中A1盒中共20个小球，其中红球6个，A2 盒中共20个小球，其中红球5个，A3盒中共30个小球，其中红球6个.现从所有球中随机抽 取一个，记事件A:“该球为红球”，事件B:“该球出自编号为A(位=1,2,3)的盒中”，则下列说法 错误的是0· APAB1)=品B.P=器C.PB园A)=号D.若从所有红球中随机抽取一个，则该球来 12 自A2盒的概率最小 16.关于曲线C:√瓦+v=1,以下命题中错误的是0· A.曲线C上一点到原点距离的取值范围是，1 B.曲线C与坐标轴围成的封闭图形的面积大于1-卒 C.曲线C上任意一点处的切线在两条坐标轴上的截距之和为定值 D.曲线C是抛物线的一部分 2026上海中学高二下期中·数学学生版 5/9 三、解答题（本大题共5题，共42分） x=V3sec0, 17.已知两点A(-V7,0)、B(V7,0)与曲线C: (O为参数)上一点M满足 y=2tan0, ∠AMB=90°，求△AMB的面积. 2026上海中学高二下期中·数学学生版 6/9 18.某地肝癌发病率为0.0004，现用甲胎蛋白法进行普查，但是化验结果存在错误的可能性，已 知患肝癌的人化验99%呈阳性，而没患肝癌的人999%呈阴性.某人检查结果呈阳性，则他患肝 癌的概率为多少？ 2026上海中学高二下期中·数学学生版 7/9 19.已知M为圆x2+y=9上一个动点，MN垂直于x轴，N为垂足，O为坐标原点，△OMN 的重心为G (1)求点G的轨迹方程； (2)记(1)中的轨迹为曲线C,直线1与曲线C相交于A,B两点，点Q(0,1),若点H(V3,0) 是△ABQ的垂心，求直线I的方程. 2026上海中学高二下期中·数学学生版 8/9 20.已知椭圆若+爷=1(a>b>0)的离心率e=,左顶点为A,下顶点为B,C为线段OB 的中点，其中S△4BC=3y. 2 (1)求椭圆的方程； (2)过点(0，-2)的动直线与椭圆有两个交点P,Q.在y轴上是否存在点T使得T始终落在以 PQ为直径的圆内（含边界）·若存在，求出这样的点T的纵坐标的取值范围；若不存在，请说 明理由 2026上海中学高二下期中·数学学生版 9/9 21.抽屉中装有5双规格相同的筷子，其中2双是一次性筷子，3双是非一次性筷子.每次使用 筷子时，从抽屉中随机取出1双，若取出的是一次性筷子，则使用后直接丢弃；若取出的是非一 次性筷子，则使用后经过清洗再放入抽屉中.求： (1)在第2次取出的是非一次性筷子的条件下，第1次取出的是一次性筷子的概率； (2)取了n(n为正整数)次后，所有一次性筷子刚好全部取出的概率.