第03讲：计数原理高频考点题型讲义【十一大题型】-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

第3讲：计数原理题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：两个计算原理的综合问题 · 考点二：涂色问题 · 考点三：排列组合公式 · 考点四：排列应用题 · 考点五：组合应用题 · 考点六：二项式定理 · 考点七：二项式系数问题 · 考点八：项的系数问题 · 考点九：二项式定理的应用 · 考点十： 排列组合综合 · 考点十一 二项式定理综合问题 【知识梳理】 知识点1：两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 常用结论 1．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 知识点2．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 2.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 常用结论 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 知识点3．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…，n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 常用结论 1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2．C＝C＋C. 【题型归纳】 题型一：两个计算原理的综合问题 【典例1】．（25-26高二下·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【答案】D 【分析】先分组再分配，利用分步乘法计数原理进行计算. 【详解】先将6本不同诗集分成3组，可分三种情况： 情况一：按分组：则有种； 情况二：按分组：则有种； 情况三：按分组：则有种； 所以6本不同诗集全部奖励给3名同学共有种分配方案. 【变式1】．（25-26高二下·河北保定·月考）某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（    ） A．120 B．180 C．240 D．320 【答案】C 【详解】因为甲、乙不负责模型训练，则需要从另外4人中选出1人负责模型训练，共有种情况， 然后从剩下的5人中选出3人负责另外三项任务，共有种情况， 再根据分步乘法计数原理可得符合要求的安排方案种数为种. 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理求解. 【详解】三个人任选一部电影观看，共分三步， 第一步，甲从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第二步，乙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法； 第三步，丙从四部电影中任选一部，有4种不同的选法， 根据分步乘法计数原理，不同的选法共有， 故选：D. 题型二：涂色问题 【典例2】．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【答案】B 【详解】现有6种不同的花可供选择，要求每个区域只种1种花且相邻区域的花不同， 则四块区域最少种2种花，最多种4种花，所以分三类： 若种2种花，则A和C相同，B和D相同，有种方法； 若种3种花，则需要其中两块区域种同一种花，A和C相同或B和D相同，有种； 若种4种花，有种， 则不同的种法总数为． 【变式1】．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【答案】A 【分析】利用分步乘法原理可得答案. 【详解】I区域有4种涂法，II区域有3种涂法，III区域有2种涂法，IV区域有2种涂法，共有种. 【变式2】．（25-26高二下·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排列数公式可求得结果. 【详解】用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完， 则不同的涂色方法种数为种. 题型三：排列组合公式 【典例3】．（24-25高二下·广东中山·月考）求值、解方程或解不等式 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 【答案】(1)1 (2)165 (3) (4)或 (5) 【详解】（1）； （2）因为， 所以； （3）由，得， 化简得， 解得， 经检验是原方程的解， ∴原方程的解是； （4），则或 解得：或，经检验均符合， 故或； （5）由，可得， 所以，整理得， 解得， 又因为，所以. 【变式1】．（24-25高二下·宁夏银川·期中）（1）计算：已知，则求的值． （2）计算：； （3）解方程：； 【答案】（1） ；（2）；（3） ． 【分析】（1）根据已知条件及组合数公式求得，再利用组合数的性质递推关系及组合数公式即可求解； （2）利用组合数和排列数公式计算求值； （3）利用组合数和排列数公式代入计算，化简求解方程即可. 【详解】（1）由，得，解得． 所以． （2）. （3）由得：，整理可得， 由题意，，故解得. 【变式2】．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 【答案】(1)165 (2)或 (3) 【分析】（1）首先根据组合数的性质将原式进行化简，然后根据求出原式的值. （2）根据组合数的性质：，则或进行求解方程. （3）首先根据组合数的计算公式化简等式，得到关于的等式，最后求出的值. 【详解】（1）根据组合数的性质，且， 所以. 根据可求得：. 所以. （2）因为，所以或者. 当时，； 当时，. 所以或. （3），. 因为， 所以，化简得： ，即. 解得或者. 又在中，，即，所以. 题型四：排列应用题 【典例4】．（25-26高二下·江苏盐城·期中）某学校有4名男教师和3名女教师一起去培训，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种? (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种? 【答案】(1)576 (2)1440 【分析】（1）由捆绑法及分步乘法计数原理即可求解； （2）由插空法及分步乘法计数原理，即可求解． 【详解】（1）根据题意，先将4名男教师排在一起，有种坐法， 将排好的男教师视为一个整体，与3名女教师进行排列，共有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法. （2）根据题意，先将4名男教师排好，有种坐法， 再在这4名男教师之间及两头的5个空位中插入3名女教师，有种坐法， 由分步乘法计数原理，共有种坐法. 【变式1】．（25-26高二下·江苏镇江·期中）有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ (3)可以组成多少个有重复数字三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）百位不能为0，有种选择（）； 十位从剩余个数字选，有种选择； 个位从剩余个数字选，有种选择； 总数：. （2）偶数个位为0,2,4，分两类： ①个位为：百位种，十位种，共； ②个位为2或4：个位种，百位种，十位种，共； 总数：. （3）总三位数（可重复）：百位种，十位种，个位种，共； 无重复三位数为； 有重复数：. （4）千位为：百位需，有种（），剩余两位，共； 千位为：千位种，剩余三位，共； 总数：. 【变式2】．（25-26高二下·广东东莞·期中）若3男3女排成一排，分别求下列排列的种数. (1)一共有多少种不同的排法? (2)男生甲在排头或在排尾的排法总数? (3)男生甲、乙相邻的排法总数? (4)男女生相间的排法总数? (5)甲乙两人相隔2人的排法总数? 【答案】(1)720 (2)240 (3)240 (4)72 (5)144 【详解】（1） 6个人任意排列，总排法为6的全排列种. （2） 先排甲，甲只能在排头/排尾，共2种位置选择， 剩余5人全排列种. （3）将甲乙捆绑为1个整体，共5个元素全排列， 甲乙内部可互换顺序种. （4）3男3女人数相等，相间排列只有两种模式：男女男女男女和女男女男女男， 每种模式中男女分别全排列种. （5）先确定甲乙位置：两人相隔2人即位置差为3，确定甲乙位置的方法共有种， 剩余4人全排列种. 题型五：组合应用题 【典例5】．（25-26高二下·上海闵行·期中）现有10名学生，其中女生4名，男生6名. (1)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ (2)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ (3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 【答案】(1)90 (2)30 (3)140 【分析】（1）由分步乘法计数原理结合组合数即可求解； （2）分1男1女和2名女讨论求解即可； （3）通过间接法求解即可. 【详解】（1）根据题意，从4名女生中任选2人的选法有种， 从6名男生中任选2人的选法有种， 则从中选出男、女各2名的选法有种； （2）根据题意，分2种情况讨论： ①选出的2名代表为1男1女，有种选法； ②选出的2名代表都为女生，有种选法； 则必须有女生的选法有种； （3）从10人中任选4人， 要求男生甲与女生乙至少有1人在内， 利用排除法有种选法. 【变式1】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛． (1)如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？（用数字作答） (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） (3)如果人中必须既有男生又有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题目要求直接选取即可； （2）先算出总选法数，减去甲乙都不在的选法数即可； （3）先算出既有男生又有女生的选法数，然后减去既有男生又有女生但甲乙都不在的选法数即可； 【详解】（1）对于男生，从个男生中选人，选法数为种，对于女生，从个女生中选人，选法数为种， 根据乘法原理，总选法数为种， 因此，如果男生女生各选人，共种选法. （2）根据题意，从人中选取人，总选法数为种， 若男生中的甲和女生中的乙都不在，则从剩下的人中选取人，选法数为种， 因此，男生中的甲和女生中的乙至少有人在内的选法数为种 （3）由（2）得，从人中选取人，总选法数为种， 从人中选取人，全部为男生的选法数为种，全部为女生的选法数为种， 因此，从人中选取人，既有男生又有女生的选法数为种， 若男生中的甲和女生中的乙都不在，则从剩下的人中选取人，选法数为种， 此时还剩下了个男生和个女生，在这种条件下 选取的人全部为男生的选法数为种，选取的人全部为女生的选法数为种， 因此，从人中选取人，男生中的甲和女生中的乙都不在且既有男生又有女生的选法数为种， 综上所述，从人中选取人，男生中的甲和女生中的乙至少有人在内且既有男生又有女生的选法数为种， 【变式2】．（25-26高二下·重庆·期中）在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. (1)若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； (2)若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； (3)就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把每对夫妇看成一个整体，A，B也看成一个整体，转化为5个元素的排列，再求安排到圆桌的排法即可； （2）利用捆绑法与插空法求解即可； （3）先选出符合条件的6人，再利用捆绑法求解即可. 【详解】（1）每对夫妇看成一个整体，当作一个元素，A，B也看成一个整体，当作一个元素， 所以问题就是5个不同的元素的排序问题，5个不同的元素排成一列有种不同的排法， 把这一列的5个元素排在一个圆桌上时有种不同的排法； 又每个元素内部各有2种不同的排法， 所以共有； （2）甲、乙两对夫妇相邻，且甲妻与乙妻相邻，则这四人形成一个整体，内部排法有(甲-甲妻-乙妻-乙)和(乙-乙妻-甲妻-甲)2种把这两对夫妇看作一个元素， 另外每对夫妇看作一个元素，这3个元素排成一列有种不同的排法， 再安排到圆桌就座时有种不同的方法， 再把，A，B插入前面三个元素形成的三个空位中有种不同的方法， 又前面三个元素内部各有2种不同的排法，所以共有种不同的排法； （3）4对夫妇任选1对夫妇有种不同的选法，再从3对夫妇和A，B共选4人， 若A，B都选，从3对夫妇选2人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 若A，B选1人，从3对夫妇选3人（不是夫妇）有种选法， 所以6人站成一排合影，选到的1对夫妇相邻的排法有， 所以共有； 综上所述：随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻的排法有. 题型六：二项式定理 【典例6】．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知的展开式中，第7项为常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【答案】(1)； (2)和. 【分析】（1）结合二项式展开式中第项为常数可列式求得； （2）结合二项式展开式的通项公式，求得展开式中所有有理项即可 【详解】（1）已知在的展开式中的第7项为， 所以，解得； （2）因为展开式的通项公式为， 展开式中的有理项的指数为整数，令，， 所以，因为，且为整数，所以或时，满足条件，即或， 所以有理项为和. 【变式1】．（25-26高二下·湖南邵阳·月考）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求展开式中含项的系数； (2)求展开式的第六项． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由二项式性质得二项式系数之和是，根据题目可得二项式系数之和是128， 可得，解得，则变为， 由二项式定理得的通项公式为， 令，解得，代入可得含项的系数为. （2）令，解得，代入通项公式可得. 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第六项． 【答案】(1) (2)-280 (3) 【详解】（1）因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． （2）二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为． （3）根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 题型七：二项式系数问题 【典例7】．（25-26高二下·江苏扬州·期中）的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 【答案】70 【详解】由二项式系数及组合数的性质知， 的展开式中二项式系数的最大值为. 【变式1】．（24-25高二下·四川广安·期末）在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 【答案】 【分析】写出二项展开式通项，令的指数为，结合题干条件可得出关于参数的方程组，解出的值，结合二项式系数的性质可得结果. 【详解】根据二项式定理可知的展开式的通项为 ． 由已知可得，解得， 根据二项式定理的性质可知，该展开式共有7项，则二项式系数最大的是第项． 【变式2】．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则的值为__________，展开式中各项系数之和为__________． 【答案】 6 729 【分析】本题可先根据二项式展开式的通项公式求出第6项和第7项的系数，再根据已知的系数之比列出方程，进而求解的值，接着令可求得各项系数之和. 【详解】展开式的通项公式为， 根据通项公式，第6项即，其系数为， 第7项即，其系数为， 由第6项系数与第7项系数之比为，则可列出， 即，根据组合数关系，代入得：， 所以，解得，令，得系数之和为. 故答案为：6；729. 题型八：项的系数问题 【典例8】．（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 【答案】20 【详解】因为的展开式中的项为， 所以的展开式中的系数为. 【变式1】．（25-26高二下·浙江温州·期中）的展开式中，含项的系数为__________．（用数字作答） 【答案】119 【分析】写出含有项的系数，再利用二项式系数的性质化简可得结果． 【详解】解：展开式中含有项的系数为： ． 【变式2】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）展开式中系数为________． 【答案】 【详解】五次式展开， 项来自：从 个括号中选个取，剩下个取常数.   所以 的系数就是各因式中常数的和：. 题型九：二项式定理的应用 【典例9】．（25-26高二下·湖北·期中）若，则的值被8除的余数为____________． 【答案】1 【分析】利用赋值法，可得系数之和，根据二项式定理可得展开式，可得系数的正负，从而可得系数绝对值之和，结合二项式定理，可得答案． 【详解】令，得， 因为， 所以当为奇数时，展开式中偶数项的系数为负，即， 当为偶数时，展开式中奇数项的系数为正，即， 所以， 又， 故被除余1． 【变式1】．（25-26高二上·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 【答案】6 【分析】利用二项式定理，将原式写成，再利用二项展开式的形式求解. 【详解】， 要使能被7整除，则能被7整除.又是正整数，所以的最小值为6. 【变式2】．（25-26高二上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为，则被除所得余式为____________ 【答案】 【分析】由题意可设，由被除之余式为，则代入可得，从而可化简，即可得解. 【详解】由被除之余式为，被除之余式为， 则可设， 且有，故， 则， 故被除所得余式为. 故答案为：. 题型十： 排列组合综合 【典例10】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）2026年4月学校举办趣味运动会，甲、乙、丙3名同学负责A，B，C，D四个任务．若每人至少负责一个任务，每个任务都必须有人负责，则甲同学负责任务的分配方法共有__________种． 【答案】12 【分析】根据甲负责任务的数量进行分类讨论，再分别计算每类的分配方法数，最后根据分类加法原理求出总分配方法数. 【详解】根据题意，3人分4个任务，每人至少1个任务， 因此必然是1人负责2个任务，另外两人各负责1个任务，且甲必须负责A任务， 所以当甲只负责A任务（仅1个任务） 剩余B、C、D三个任务分给乙、丙两人， 共 种分配方法， 当甲除A外还负责1个额外任务（共2个任务） 先从剩余B、C、D三个任务中选1个给甲， 共种选法，剩余2个任务分给乙、丙两人，每人1个，共种排列， 因此这部分共种分配方法。 因此总分配方法为种. 【变式1】．（25-26高二下·山东枣庄·期中）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【答案】150 【详解】先将5位教师分成3组，且每组至少1人，一共有2种分组方式： 其中1、1、3分配方式有种； 1、2、2分组方式有种； 再将分好组的3组教师分配到3所乡村中学，其分法有种， 所以分配方案的总数为 【变式2】．（25-26高二下·河南平顶山·期中）某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有______种 【答案】2160 【详解】将7所学校分成1，2，2，2四组，当甲或乙单独一组时，有种不同的分组方法； 当甲、乙分别与其他学校一组时，种不同的分组方法， 根据分类加法计数原理可知，甲、乙两校不安排在同一天宣讲，共有种不同的分组方法. 将分好的4组安排到4天中，共有种不同的安排方法， 根据分步乘法计数原理，共有种不同的安排方法. 题型十一 二项式定理综合问题 【典例11】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)求该展开式中系数的绝对值最大的项. 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）已知，展开式的通项， 因为，所以，所以等价于展开式中各项系数之和， 令，得 ． （2）对， 两边同时求导得， 令，得 ． （3）设第项的系数绝对值最大，即最大， 所以，即，化简得，解得，即， 因为，所以，所以，该展开式中系数的绝对值最大的项为． 【变式1】．（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知. (1)证明：. (2)求的值. (3)证明：能被147整除. 【详解】（1）证明：令，得， 令，得， 所以. （2）因为为的展开式各项系数之和， 所以， 所以. （3）由， 得， 即， 令，得， 因为能被147整除，所以能被147整除. 【变式2】．（25-26高二下·浙江·期中）已知． (1)当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍， ①求的值； ②求展开式中系数最大的项； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）①由已知得：，所以， 解得：． ②通项公式为， 设，设最大， 令所以 化简得，又，所以． 所以当时，系数最大项为． （2）若时，， 则 ； 设，则恒成立； ， 当时，恒成立，所以在上单调递增， 又时，， 所以，要想恒成立，需满足， 解得，结合，所以． 当时，，， 所以在单调递减，在单调递增， 故 ， 又，由，故． 综上． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·月考）某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】直接用间接法计算可得. 【详解】因为从人中选人一共有种不同的选法， 若选中的人均为专家人员的有种不同的选法， 所以至少有一名工程师被选中的选法共有种不同的选法. 2．（25-26高二下·山西晋中·期中）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（   ） A．2520 B．1440 C． D． 【答案】B 【分析】由题意，赋值法求出a的值，再由二项式通项公式求解即可. 【详解】由题意，的展开式中各项系数的和为3，令，得，即， 故原式， 因为， 的通项， 所以的展开式中的常数项， 所以的展开式中的常数项， 故该展开式中常数项为. 3．（25-26高二下·浙江宁波·期中）在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 【答案】C 【分析】分三种情况讨论即可求解. 【详解】4位志愿者分到两个服务站，每个站至少1人，分组情况有三种： 1人去，3人去：种 2人去，2人去：种 3人去，1人去：种 总方案数：种 4．（25-26高二下·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 【答案】B 【分析】先代入特值求出系数和，再求出，二者作差即为所求. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减得. 5．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、，则花盆有种颜色可选，然后对、是否同色进行分类讨论，确定、、的涂色种数，以及、、同色时的涂法种数，结合分类、分步计数原理以及间接法可得结果. 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 6．（25-26高二下·浙江·期中）某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（    ） A．40种 B．20种 C．10种 D．6种 【答案】C 【详解】由题意可得社区2名､社区2名或者社区3名､社区1名， 所以不同的分配方案数为10． 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位，第行的第个机器人的动作难度为，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分析可知第行的第3个机器人的动作难度为，结合组合数的性质运算求解即可. 【详解】由题意可知：第行的第3个机器人的动作难度为， 则动作难度之和为 . 8．（25-26高二下·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】根据题意将豆包、即梦捆绑为一个整体，则内部排列数为， 将豆包和即梦捆绑为一个整体，先排列该整体与元宝，所以排列数为， 2个元素排完后会产生 个空位， 又因为文心一言和讯飞星火不相邻， 所以从3个空位中选2个放入文心一言、讯飞星火，即排列数为 ， 所以总方法数为：. 9．（25-26高二下·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 【答案】C 【分析】由捆绑法即可求解. 【详解】由于立春和春分相邻，先将二者捆绑，二者内部有顺序，排列数为 种； 捆绑后得到1个整体，和剩余3块展板共4个元素，对4个元素全排列，排列数为 ， 分步计数求总数：根据分步乘法计数原理，总放置方式为 . 10．（25-26高二下·山东济南·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊位数学老师负责学校校本课程的授课任务，学校提供数独、数学建模、数学史、解题逻辑四门课程供学生选择，每位老师仅负责一门课程，每门课程至少有位老师负责，已知甲、乙不能讲授数独但能讲授另外三门课程，丙、丁、戊能讲授这四门课程中的任意一门，则不同安排方案的种数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对讲授数独课程的教师人数进行分类讨论，结合分组分配法求解即可. 【详解】对讲授数独课程的教师人数进行分类讨论， ①若只有一位教师讲授数独课程，只能是丙、丁、戊中的一位，有种选择， 再将剩余的四位老师分为三组，每组人数分别为、、， 再将这三组老师分配给三门课程，不同的分配方法种数为种； ②若有两位老师讲授数独课程，可从丙、丁、戊中三位老师中选择两位，有种选择， 然后再将剩余的三位老师分配给三门课程，则不同的分配方法种数为种. 综上所述，不同的分配方法种数为种. 二、多选题 11．（25-26高二下·广东东莞·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知，那么 B． C．分配6本不同的书，平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本共有90种不同的分配方法 D．分配6本不同的书，分成3份，1份4本，另外2份每份1本共有30种不同的分配方法 【答案】ABC 【详解】选项A.，整理得，解得正整数，A正确. 选项B. ，， 则，B正确. 选项C.6本不同的书分给不同的甲、乙、丙三人，每人2本.先给甲选2本，再给乙选2本，剩余给丙， 总方法数，C正确. 选项D.分成3份（无序），1份4本，另两份各1本，则总方法数，D错误. 12．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则下列选项正确的有（    ） A． B．展开式中的系数为-192 C．展开式中的二项式系数最大项为第3项 D．当时，除以8的余数为1 【答案】BD 【分析】赋值计算判断A；求出指定项的系数判断B；利用二项式系数的性质判断C；利用二项式定理，结合整除思想判断D. 【详解】对于A，取，得，取，得， 因此，A错误； 对于B，展开式中的系数，B正确； 对于C，展开式共7项，则展开式中的二项式系数最大项为第4项，C错误； 对于D，当时，展开式的前6项都是整数，且都含有因数8， 展开式的最后一项是1，因此除以8的余数为1，D正确. 13．（25-26高二下·江苏扬州·期中）身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（   ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B．A与C同学不相邻，共有72种站法 C．A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 【答案】ABC 【分析】A利用定序法解；B利用插空法求解；C分A在排尾、A不在排尾两种情况求解；D利用捆绑法求解. 【详解】A选项，所有同学排列有种，其中A、C、D三位同学的相对顺序固定， 故站法共有种，故A正确； B选项，B、D、E同学有种站法，再将A与C同学排在个空位置中， 故站法共有种，故B正确； C选项，若A在排尾，则共有种站法； 若A不在排尾，则A有种站法，B有种站法，共有种站法， 故共有种站法，故C正确； D选项，由题意知，A、C、D三位同学有种站法，再将其当作整体与其余两位同学排列， 共有种站法，故D错误. 14．（25-26高二下·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ） A．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有40种 B．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有72种 C．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种 D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种 【答案】ACD 【分析】对于A：讨论甲、乙之间有几位同学，分析运算即可；对于B：讨论甲、乙所在位置，分析运算即可；对于C：先求甲、乙相邻的安排方法，再排除甲、乙相邻且甲、丙相邻的安排方法；对于D：先将学生安排出去，再排除有社区没有人去的可能. 【详解】对于选项A：可知有三种可能： 甲、乙之间只有一位同学，则不同的排法有种； 甲、乙之间有两位同学，则不同的排法有种； 甲、乙之间有三位同学，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故A正确； 对于选项B：符合要求的排法有四种可能： 甲在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种； 甲在最右端，乙不在最左端，则不同的排法有种； 甲不在最右端，乙在最左端，则不同的排法有种； 甲不在最右端也不在最左端，乙不在最左端也不在最右端，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故B错误； 对于选项C：若甲、乙相邻，则不同的排法有种； 若甲、乙必须相邻且甲、丙相邻，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故C正确； 对于选项D：若每位同学只去一个社区，则不同的排法有种； 若有社区没有人去，则有两种可能： 所有人去了一个社区，则不同的排法有种； 所有人去了两个社区，则不同的排法有种； 不同的排法共有种，故D正确； 15．（25-26高二下·四川成都·期中）从名男生和名女生任选人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（   ） A．若名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有种 B．若至少有一名女生入选，则一共有种选法 C．若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有种选法 D．入选的人恰为两名男生两名女生的概率为 【答案】AC 【分析】利用排列组合的插空法，间接法求解. 【详解】总共有人任选人，总选法为 ，逐一分析选项. 选项A， 名男生全入选后排队，求甲乙不相邻的排法： 用插空法，先排其余名男生，共种排法，产生个空位，将甲乙插入空位共 种，总排法为种，A正确； 选项B，至少名女生入选，用间接法：总选法减去全男生的选法，全男生选法仅种，因此符合条件的选法为，B错误； 选项C， 甲、乙至少人入选，间接法：总选法减去甲乙都不入选的选法.甲乙都不入选时，从剩余人中选人，选法为，因此符合条件的选法为，C正确； 选项D，恰为男女的选法为，概率为，D错误. 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A．乘积展开后有36项 B． C．个班分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法 D．老师把张相同的游园门票分给人中的人，则不同分法有种 【答案】AB 【详解】选项，根据分步乘法计数原理，每个括号依次有，，项， 所以展开后共有项，正确； 选项，由题知，则， 因为奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和， 所以，正确； 选项，根据分步乘法计数原理，每个班均有种选择，则共有种，错误； 选项，因为门票均相同，分给人即可，不需要考虑顺序，所以共有种，错误. 三、填空题 17．（25-26高二下·山东菏泽·月考）甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 【答案】30 【详解】设3所学校分别为A，B，C，先把甲乙两人安排到不同学校，有种， 不妨设甲在A，乙在B，只需剩余2人至少有1人去C即可， 利用间接法计算，有种不同安排方法， 根据分步乘法计数原理可知，共有6×5=30种不同安排方法． 方法二：先将4人分成三组，共有种分法，其中甲、乙在一组的分法只有一种， 所以满足题意的分组方法有种， 再将三组分配到3所学校，共有种分配方法， 所以不同的安排方法共有种方法. 18．（25-26高二下·湖北武汉·期中）除以得到的余数是________ 【答案】 【分析】先将转化为与相关的表达式，再利用二项式定理展开，通过分析展开式各项与的关系，从而确定其被除所得的余数即可. 【详解】将改写为，由二项式展开得： ， 展开式中，除第一项外，其余所有项都含有因数，均为的倍数， 因此余数就是第一项的. 19．（25-26高二下·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    【答案】72 【分析】设各区域为，中间区域A与其他区域都相邻，从开始分步填涂其它区域可解. 【详解】根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：    ①，对于 区域，有4种涂法， ②，对于区域，与相邻，有3种涂法， ③，对于区域，与相邻，有2种涂法， ④，对于区域，若其与区域同色，则有2种涂法， 若区域与区域不同色，则有1种涂法，则区域有种涂色方法， 则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种. 20．（25-26高二下·上海闵行·期中），则______. 【答案】6 【分析】结合组合数的运算，即可得到结果. 【详解】展开式中，每个括号可选， 要得到项，需要满足四个括号中选的项的指数和为2， 故两次选，两次选1，对应的组合数为， 又， 因此. 21．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某校需要从含甲的4位优秀老师中选3位去，，三个乡村支教，每个乡村1人，每人至多去1个乡村，其中甲不能安排在乡村，则不同的安排方法种数为______. 【答案】18 【分析】从含甲的4位优秀老师中选3位去、、三个乡村，每个乡村1人，甲不能去村，优先安排受限位置的村 【详解】村不能是甲，因此从剩余3位老师中选1位，有3种选法， 剩余、村从剩下的3位老师（含甲）中选2位排列，有种方法， 总方法数为 四、解答题 22．（25-26高二下·上海闵行·期中）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求展开式中含项的系数. 【详解】（1）由二项式定理可知，展开式中前3项的二项式系数 分别为，，，则由题意知， 即，整理可得，即， 因为，所以解得，或（舍去）， 所以展开式中所有项的二项式系数的和为； （2）由（1）可知二项式为，其通项为， 令，解得， 所以展开式中含项的系数为. 23．（25-26高二下·上海·期中）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得:，解得. 二项式第项展开式的通项公式为 ， 当为整数时，该项为有理项，因为且， 所以，时，，时，，时，. 所以，展开式中所有的有理项为. （2）设展开式中系数最大的项是第项， 则有，解得，即， 因为，所以，即展开式中最大的项是第5项， . 24．（25-26高二下·上海·月考）有标号1，2，3，4，5，6的六个小球和标有A，B，C，D的四个盒子．（结果均使用数值表示） (1)若将小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，有多少种放法？ (2)若每盒放入一球，1号球、2号球不能放入A盒和D盒，有多少种放法？ (3)若将小球全部放入盒中，恰有两个盒子为空且盒中球的数量不超过4个，有多少种放法？ 【答案】(1)4096 (2)144 (3)300 【详解】（1）因为小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，则每个球均有4种选择， 所以有种不同放法. （2）若每盒放入一球，1号球、2号球不能放入A盒和D盒， 先排A盒和D盒，有种不同放法， 再排B盒和C盒，有种不同放法， 所以有种不同放法. （3）若恰有两个盒子为空，有种不同选法， 且小球全部放入盒中，剩余两个盒中球的数量不超过4个， 若其中一个盒中球的数量为4个，有种不同放法； 若其中一个盒中球的数量为3个，有种不同放法； 所以有种不同放法. 25．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知的二项展开式中二项式系数之和为64． (1)求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数； (2)求常数项； (3)求二项展开式中各项系数之和． 【答案】(1)，第3项二项式系数为15，系数为240 (2)60 (3)729 【详解】（1）二项式系数之和为，由题意得，解得， 所以二项展开式的第项， 第3项即时，二项式系数为，系数为． （2）令，解得， 所以常数项为． （3）令，代入原式得 ， 所以各项系数之和为729． 26．（25-26高二下·山东枣庄·期中）学校在暑假的某一天给新生安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6科讲座． (1)如果数学讲座必须比物理讲座先开讲，则不同的排法有多少种？ (2)如果语文讲座不能排在第一场，数学讲座不能排在最后一场，则不同的排法有多少种？ (3)如果在安排新增的政治、历史、地理3场讲座时，原定的6场讲座的相对顺序保持不变，则这9场讲座总共的不同排法有多少种？ 【答案】(1)360 (2)504 (3)504 【详解】（1）如果数学讲座必须比物理讲座先开讲，则不同的排法种数有 种. （2）分为两种情况讨论，当语文讲座排在最后一场时，不同的排法种数有种， 当语文讲座不排在最后一场，也不排在第一场时，不同的排法种数有种， 综上所述，如果语文讲座不能排在第一场，数学讲座不能排在最后一场，则不同的排法有种. （3）如果在安排新增的政治、历史和地理3场讲座时，原定的6场讲座的相对顺序保持不变，则这9场讲座总共的不同排法种数有种. 27．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知函数，其中，，．当时，． (1)求的值； (2)求时，的值； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3)3 【详解】（1）当时，，， ∵，∴， ∵，∴， （2）当时，， ， 当时，①， 当时，②， ①-②得：， ∴． （3）∵， ∴ =3. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲：计数原理题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：两个计算原理的综合问题 · 考点二：涂色问题 · 考点三：排列组合公式 · 考点四：排列应用题 · 考点五：组合应用题 · 考点六：二项式定理 · 考点七：二项式系数问题 · 考点八：项的系数问题 · 考点九：二项式定理的应用 · 考点十： 排列组合综合 · 考点十一 二项式定理综合问题 【知识梳理】 知识点1：两个计数原理 (1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m＋n种不同的方法． (2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m×n种不同的方法. 常用结论 1．分类加法计数原理的推广：完成一件事有n类不同方案，在第1类方案中有m1种不同的方法，在第2类方案中有m2种不同的方法，……，在第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝ m1＋m2＋…＋mn种不同的方法． 2．分步乘法计数原理的推广：完成一件事需要n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法，……，做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同的方法． 知识点2．排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照一定的顺序排成一列 组合 作为一组 2.排列数与组合数 (1)排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，用符号A表示． (2)组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，用符号C表示． 3．排列数、组合数的公式及性质 公式 (1)A＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2)C＝＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地，C＝1 性质 (1)0！＝1；A＝n！. (2)C＝C；C＝C＋C 常用结论 1．排列数、组合数常用公式 (1)A＝(n－m＋1)A. (2)A＝nA. (3)(n＋1)！－n！＝n·n！. (4)kC＝nC. (5)C＋C＋…＋C＋C＝C. 2．解决排列、组合问题的十种技巧 (1)特殊元素优先安排． (2)合理分类与准确分步． (3)排列、组合混合问题要先选后排． (4)相邻问题捆绑处理． (5)不相邻问题插空处理． (6)定序问题倍缩法处理． (7)分排问题直排处理． (8)“小集团”排列问题先整体后局部． (9)构造模型． (10)正难则反，等价转化． 知识点3．二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*) 二项展开式的通项 Tk＋1＝Can－kbk，它表示展开式的第k＋1项 二项式系数 C(k＝0,1，…，n) 2.二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项取得最大值；当n是奇数时，中间的两项与相等，且同时取得最大值． (3)各二项式系数的和：(a＋b)n的展开式的各二项式系数的和为C＋C＋C＋…＋C＝2n. 常用结论 1．C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1. 2．C＝C＋C. 【题型归纳】 题型一：两个计算原理的综合问题 【典例1】．（25-26高二下·江苏扬州·期中）“江畔何人初见月，江月何年初照人.”是扬州诗人张若虚笔下的千古名句.现有收录了《春江花月夜》的6本不同诗集，语文老师要将他们全部奖励给3名同学，每人至少分得一本，则共有（   ）种分配方案 A．90 B．120 C．360 D．540 【变式1】．（25-26高二下·河北保定·月考）某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（    ） A．120 B．180 C．240 D．320 【变式2】．（25-26高二上·江苏南京·期末）甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《疯狂动物城2》、《狂野时代》、《得闲谨制》、及《开心岭》四部电影中任选一部，则不同的选法种数为（   ） A．61 B．62 C．63 D．64 题型二：涂色问题 【典例2】．（25-26高二下·重庆·期中）给如图所示的花圃中A，B，C，D四块区域种花，中间圆形区域不种花.现有6种不同的花可供选择，每块区域种1种花，且相邻区域种不同的花.则不同的种法总数为（   ） A．320 B．630 C．720 D．1560 【变式1】．（24-25高二下·江苏宿迁·期中）现有4种不同的颜色，对如图所示的4个区域进行涂色，每个区域只涂一种颜色，要求有公共边的两个区域不能涂同一种颜色，则不同的涂色方法种数为（   ） A．48 B．36 C．24 D．18 【变式2】．（25-26高二下·湖北·期中）涠水漾波映华灯，元宵欢歌满帝乡．某市元宵无人机灯光秀在淂水法治广场震撼启幕，架无人机以天为幕、以光为笔，为市民与游客献上一场兼具科技感、文化味与烟火气的视觉盛宴，让元宵之夜焕发出别样光彩．已知其中一幅无人机表演图片展示的是其名片之一——皇桃．现用种颜色对如图所示四个部分进行染色，要求每个区域用一种颜色，相邻区域染不同的颜色，所有颜色均用完，则一共有多少种不同的染色方法（   ） A． B． C． D． 题型三：排列组合公式 【典例3】．（24-25高二下·广东中山·月考）求值、解方程或解不等式 (1)求值： (2)求值：； (3)解方程： (4)解方程：已知（），求 (5)解关于的不等式 【变式1】．（24-25高二下·宁夏银川·期中）（1）计算：已知，则求的值． （2）计算：； （3）解方程：； 【变式2】．（24-25高二下·重庆九龙坡·期中）计算下列各小题，结果用数字作答，写出必要过程. (1)求值：； (2)解方程：； (3)已知，求. 题型四：排列应用题 【典例4】．（25-26高二下·江苏盐城·期中）某学校有4名男教师和3名女教师一起去培训，他们的座位在同一排且连在一起.求： (1)4名男教师必须坐在一起的坐法有多少种? (2)3名女教师互不相邻的坐法有多少种? 【变式1】．（25-26高二下·江苏镇江·期中）有这个数字，写出必要的步骤，用数字作答． (1)可以组成多少个无重复数字的三位数？ (2)可以组成多少个无重复数字且为偶数的三位数？ (3)可以组成多少个有重复数字三位数？ (4)可以组成多少个无重复数字且比1300大的四位数？ 【变式2】．（25-26高二下·广东东莞·期中）若3男3女排成一排，分别求下列排列的种数. (1)一共有多少种不同的排法? (2)男生甲在排头或在排尾的排法总数? (3)男生甲、乙相邻的排法总数? (4)男女生相间的排法总数? (5)甲乙两人相隔2人的排法总数? 题型五：组合应用题 【典例5】．（25-26高二下·上海闵行·期中）现有10名学生，其中女生4名，男生6名. (1)从中选出男、女各2名的不同选法有多少种？ (2)从中选2名代表，必须有女生的不同选法有多少种？ (3)从中选4人，若男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内，有多少种选法？ 【变式1】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）从名男生和名女生中选出人去参加一项创新大赛． (1)如果人中男生女生各选人，那么有多少种选法？（用数字作答） (2)如果男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） (3)如果人中必须既有男生又有女生，且男生中的甲和女生中的乙至少要有人在内，那么有多少种选法？（用数字作答） 【变式2】．（25-26高二下·重庆·期中）在一场婚宴上，4对夫妇（包含甲、乙两位男性）和A，B共10人安排在一张有10个座位的圆桌上就餐（旋转后视为相同的坐法）. (1)若4对夫妇都相邻而坐，A，B也相邻而坐，求不同的坐法种数； (2)若4对夫妇都相邻而坐，其中甲、乙两人的妻子因是好友要相邻而坐，A，B不相邻，求不同的坐法种数； (3)就餐后进行合影留念，若随机选择6人站成一排合影，且恰好只有1对夫妇被选中并在合影时相邻，求不同的排法种数． 题型六：二项式定理 【典例6】．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知的展开式中，第7项为常数项． (1)求n的值； (2)求展开式中所有的有理项． 【变式1】．（25-26高二下·湖南邵阳·月考）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求展开式中含项的系数； (2)求展开式的第六项． 【变式2】．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． (1)求； (2)求展开式中含项的系数； (3)求展开式的第六项． 题型七：二项式系数问题 【典例7】．（25-26高二下·江苏扬州·期中）的展开式中二项式系数的最大值是______．（用数字作答） 【变式1】．（24-25高二下·四川广安·期末）在的展开式中含项的系数为，则展开式中二项式系数最大的是第_______项． 【变式2】．（25-26高二上·福建莆田·期末）已知的展开式中，第6项系数与第7项系数之比为3:1．则的值为__________，展开式中各项系数之和为__________． 题型八：项的系数问题 【典例8】．（2026·天津东丽·一模）在的展开式中的系数为______． 【变式1】．（25-26高二下·浙江温州·期中）的展开式中，含项的系数为__________．（用数字作答） 【变式2】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）展开式中系数为________． 题型九：二项式定理的应用 【典例9】．（25-26高二下·湖北·期中）若，则的值被8除的余数为____________． 【变式1】．（25-26高二上·安徽淮北·期末）若能被7整除，则正整数的最小值为____. 【变式2】．（25-26高二上·广东东莞·期中）若被除之余式为，被除之余式为，则被除所得余式为____________ 题型十： 排列组合综合 【典例10】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）2026年4月学校举办趣味运动会，甲、乙、丙3名同学负责A，B，C，D四个任务．若每人至少负责一个任务，每个任务都必须有人负责，则甲同学负责任务的分配方法共有__________种． 【变式1】．（25-26高二下·山东枣庄·期中）某重点中学5位教师响应上级号召到某对口西部地区的乡村中学支教，若将这5位教师分配到该地区的3所乡村中学，每所学校至少分配1人，则分配方案的总数为______（用数字作答）． 【变式2】．（25-26高二下·河南平顶山·期中）某市推出“文明出行，平安上学”宣传活动，某宣传志愿者计划利用4天到7所学校进行宣讲，要求每天至多宣讲两所学校，7所学校中相距较远的甲、乙两校不安排在同一天宣讲，则不同的安排方法有______种 题型十一 二项式定理综合问题 【典例11】．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)求该展开式中系数的绝对值最大的项. 【变式1】．（25-26高二下·河北邯郸·期中）已知. (1)证明：. (2)求的值. (3)证明：能被147整除. 【变式2】．（25-26高二下·浙江·期中）已知． (1)当时，展开式中第三项的二项式系数是第二项二项式系数的4倍， ①求的值； ②求展开式中系数最大的项； (2)若时，在上恒成立，求的取值范围． 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高二下·北京·月考）某科技公司要组建一个人的科研团队，现有名工程师和名专家可选，则至少有一名工程师被选中的选法共有（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 2．（25-26高二下·山西晋中·期中）的展开式中各项系数的和为3，则该展开式中常数项为（   ） A．2520 B．1440 C． D． 3．（25-26高二下·浙江宁波·期中）在2026年3月15日举行的宁波市马拉松比赛活动中，有4位志愿者被派往A、B两个服务站，若每个服务站至少派一位志愿者，且每位志愿者只能被派往一个服务站，则不同的分配方案有（    ） A．6种 B．12种 C．14种 D．28种 4．（25-26高二下·江苏盐城·期中）设，则（    ） A．16 B．31 C．32 D．64 5．（2026·青海西宁·二模）如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（   ） A．种 B．种 C．种 D．种 6．（25-26高二下·浙江·期中）某班级寒假期间安排4名优秀团员到两个社区参加志愿者活动，社区要求至少2名志愿者，社区要求至少1名志愿者，每位团员都要参加活动，且只能参加一个社区的活动，则不同的分配方案有（    ） A．40种 B．20种 C．10种 D．6种 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）在2026年春晚节目《武BOT》中，机器人完成了后空翻、跳马等高难度动作，其表演融合了科技与武术元素，也见证了“中国智造”的飞跃速度.若该节目的机器人按杨辉三角队形站位，第行的第个机器人的动作难度为，则从第3行到第2025行，每行第3个机器人动作难度之和为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·湖北武汉·期中）某中学准备在校园科技节展示5款不同的AI学习软件，分别是：豆包、讯飞星火、文心一言、元宝、即梦．在展台中要求豆包和即梦两块展板相邻，且文心一言与讯飞星火两块展板不相邻，则有（   ）种不同的放置方式． A．12 B．24 C．36 D．48 9．（25-26高二下·广西河池·月考）某中学为了弘扬我国二十四节气文化，特制作出“立春”、“雨水”、“惊蛰”、“春分”、“清明”五张知识展板放置在五个并列的文化橱窗里，要求“立春”和“春分”两块展板相邻，则不同的放置方式种数为（   ） A．12 B．24 C．48 D．120 10．（25-26高二下·山东济南·期中）现安排甲、乙、丙、丁、戊位数学老师负责学校校本课程的授课任务，学校提供数独、数学建模、数学史、解题逻辑四门课程供学生选择，每位老师仅负责一门课程，每门课程至少有位老师负责，已知甲、乙不能讲授数独但能讲授另外三门课程，丙、丁、戊能讲授这四门课程中的任意一门，则不同安排方案的种数是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 11．（25-26高二下·广东东莞·期中）下列说法正确的是（    ） A．已知，那么 B． C．分配6本不同的书，平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本共有90种不同的分配方法 D．分配6本不同的书，分成3份，1份4本，另外2份每份1本共有30种不同的分配方法 12．（25-26高二下·浙江宁波·期中）已知，则下列选项正确的有（    ） A． B．展开式中的系数为-192 C．展开式中的二项式系数最大项为第3项 D．当时，除以8的余数为1 13．（25-26高二下·江苏扬州·期中）身高各不相同的五位同学A、B、C、D、E站成一排照相，则说法正确的是（   ） A．A、C、D三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有20种站法 B．A与C同学不相邻，共有72种站法 C．A不在排头，B不在排尾，共有78种站法 D．A、C、D三位同学必须站在一起，且A只能在C与D的中间，共有24种站法 14．（25-26高二下·福建厦门·月考）有甲、乙、丙、丁、戊五位同学，下列说法正确的是（    ） A．若丙在甲、乙的中间（可不相邻）排队，则不同的排法有40种 B．若五位同学排队甲不在最左端，乙不在最右端，则不同的排法共有72种 C．若五位同学排队要求甲、乙必须相邻且甲、丙不能相邻，则不同的排法有36种 D．若甲、乙、丙、丁、戊五位同学被分配到三个社区参加志愿活动，每位同学只去一个社区，每个社区至少一位同学，则不同的分配方案有150种 15．（25-26高二下·四川成都·期中）从名男生和名女生任选人去参加一项创新大赛，下列说法正确的是（   ） A．若名男生入选，且排成一排，则男生甲与男生乙不相邻的排法有种 B．若至少有一名女生入选，则一共有种选法 C．若男生甲和女生乙至少要有一人入选，那么有种选法 D．入选的人恰为两名男生两名女生的概率为 16．（25-26高二下·湖北武汉·期中）下列说法正确的是（   ） A．乘积展开后有36项 B． C．个班分别从个景点中选择一处游览，有种不同选法 D．老师把张相同的游园门票分给人中的人，则不同分法有种 三、填空题 17．（25-26高二下·山东菏泽·月考）甲、乙等4位老师到某地3所学校进行送教服务，要求每人只去一所学校，每所学校不能少于1人，且甲、乙不在同一所学校，则不同的安排方法有______种． 18．（25-26高二下·湖北武汉·期中）除以得到的余数是________ 19．（25-26高二下·广东梅州·月考）如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有___________种．    20．（25-26高二下·上海闵行·期中），则______. 21．（2026·陕西咸阳·模拟预测）某校需要从含甲的4位优秀老师中选3位去，，三个乡村支教，每个乡村1人，每人至多去1个乡村，其中甲不能安排在乡村，则不同的安排方法种数为______. 四、解答题 22．（25-26高二下·上海闵行·期中）在二项式的展开式中前3项的二项式系数和为16. (1)求展开式中所有项的二项式系数的和. (2)求展开式中含项的系数. 23．（25-26高二下·上海·期中）已知在的展开式中，第3项的二项式系数与第2项的二项式系数的比为5:2. （说明：二项式系数指组合数，.） (1)求的值，并求展开式中所有的有理项； (2)求展开式中系数最大的项. 24．（25-26高二下·上海·月考）有标号1，2，3，4，5，6的六个小球和标有A，B，C，D的四个盒子．（结果均使用数值表示） (1)若将小球全部放入盒中，每盒中小球数量没有限制，有多少种放法？ (2)若每盒放入一球，1号球、2号球不能放入A盒和D盒，有多少种放法？ (3)若将小球全部放入盒中，恰有两个盒子为空且盒中球的数量不超过4个，有多少种放法？ 25．（25-26高二下·浙江舟山·期中）已知的二项展开式中二项式系数之和为64． (1)求正整数的值，第3项二项式系数及第3项系数； (2)求常数项； (3)求二项展开式中各项系数之和． 26．（25-26高二下·山东枣庄·期中）学校在暑假的某一天给新生安排了语文、数学、英语、物理、化学、生物共6科讲座． (1)如果数学讲座必须比物理讲座先开讲，则不同的排法有多少种？ (2)如果语文讲座不能排在第一场，数学讲座不能排在最后一场，则不同的排法有多少种？ (3)如果在安排新增的政治、历史、地理3场讲座时，原定的6场讲座的相对顺序保持不变，则这9场讲座总共的不同排法有多少种？ 27．（25-26高二下·山东泰安·期中）已知函数，其中，，．当时，． (1)求的值； (2)求时，的值； (3)求的值． 2 学科网（北京）股份有限公司 $