第08讲：正态分布【七大题型】讲义-2025-2026学年高二下学期数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教A版选择性必修第三册）

第08讲：正态分布 · 考点一、正态曲线的认识 · 考点二、标准正态分布应用 · 考点三：指定区间概率 · 考点四：特殊区间的概率 · 考点五、3σ原则的应用 · 考点六：正态分布的对称性求参数 · 考点七：正态分布的实际应用 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 题型一、正态曲线的认识 【典例1】．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从正态曲线关于直线对称，看的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中．看出的大小即可解决． 【详解】从正态曲线的对称轴的位置看，显然， 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，越小，则，所以A正确. 故选：A. 【变式1】．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由正态分布的图像中对称轴位置比较均值大小，图像胖瘦判断标准差的大小. 【详解】由题图中的对称轴知：， 与(一样)瘦高，而胖矮， 所以. 故选：C 【变式2】．（23-24高三上·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布曲线的性质判断大小关系即可. 【详解】由、分布曲线关于轴对称， 则， ∵越大，正态分布曲线越扁平， ∴. 故选：C 【变式3】．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正态曲线即可求得，又根据正态曲线可得，进而即可求得． 【详解】根据题意，且，则， 由正态曲线得，所以． 故选：C． 题型二、标准正态分布应用 【典例2】．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 【答案】C 【分析】利用频率估计概率结合正态分布的对称性可得考试成绩在分的概率，据此估计相应人数． 【详解】因为成绩近似服从正态分布，所以其对称轴为， 由，根据对称性可得， 因此，成绩在分的概率为， 则此次考试成绩在分的人数约为， 故选：C． 【变式1】．（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【答案】B 【分析】根据正态分布的基本概念和性质，计算特定区间的概率解决实际中的人数估计问题． 【详解】整个年级成绩的平均分为470，标准差为50， 所以，，所以， 即，即求． 由，得， 所以， 那么成绩落在区间（395，545）内的人数大约为， 故选：B． 【变式2】．（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【答案】A 【分析】根据题意，由正态分布的性质可得，即可得到结果. 【详解】因为数学考试成绩服从正态分布，又， 所以， 则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为. 故选：A 【变式3】．（24-25高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 【答案】B 【分析】利用正态分布曲线的意义以及对称性，对四个选项逐一分析判断即可． 【详解】因为，， 将化为标准正态分布，则， 因为，所以，故A错误； 又，，故B正确； 因为，所以如果有38分钟可用，小明应选择自行车，故C错误； 因为，所以如果有34分钟可用，小明应选择坐公交车，故D错误. 故选：B． 题型三：指定区间概率 【典例3】．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为随机变量服从正态分布，所以正态曲线关于直线对称. 根据正态分布的对称性，且， 设，则，解得. 故选： 【变式1】．（2026·广西南宁·一模）设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正态分布的对称性及概率加法公式计算可得. 【详解】因为随机变量，所以. 因为，所以，所以. 所以. 所以. 故选：C. 【变式2】．（25-26高三上·江苏常州·期末）某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据题意结合正态分布的性质可得，，从而得出的最大值. 【详解】因为产品质量指标服从正态分布，， 且质量指标介于96至104之间的产品为良品，良品率达到99.73%， 所以，， 解得， 所以不超过， 故选：D 【变式3】．（2026·贵州毕节·一模）在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】A 【分析】根据正态分布曲线的对称性，结合题设条件，即可求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则， 则. 故选：A 题型四：特殊区间的概率 【典例4】．（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 【答案】C 【分析】利用特殊区间的概率及正态分布的对称性估计该班数学成绩良好的学生比例即可. 【详解】由题设 . 故选：C 【变式1】．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，若恒成立，求出的取值范围，即可得到，，再由正态曲线的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 若对任意实数恒成立，则，所以， 又，所以，，，，，， 所以，， 则. 故选：A. 【变式2】．（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【答案】C 【分析】计算出，从而估计出单果质量不低于70g的猕猴桃个数. 【详解】，， 又， 故， 估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为. 故选：C 【变式3】．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A．变量服从正态分布 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二项分布的期望和方差公式可得，进而可求解AB，根据正态分布的对称性，即可求解CD. 【详解】依题意，，， 对于A，变量服从正态分布，A错误； 对于B, ,故B错误， 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：D 题型五、3σ原则的应用 【典例5】．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 【答案】1 【分析】根据题意以及正态曲线的特征可知，，然后列不等式组可解． 【详解】依题意可知，，又， 所以，要使合格率达到99.74%，则， 所以，解得：，故至多为1． 故答案为：1． 【变式1】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某校高二年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为______． 参考数据：，，． 【答案】95 【分析】首先根据正态分布确定的值，然后根据对称性求出等级分在的概率，进而可求出人数. 【详解】根据题意可知，考试等级分服从正态分布， 则.而， 所以. 所以这次考试等级分在内的人数约为人. 故答案为：95. 【变式2】．（24-25高二下·辽宁·期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 【答案】32 【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可. 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量32次. 故答案为：32 【变式3】．（23-24高二下·河南信阳·期末）某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为_________.（附：，） 【答案】91 【分析】根据正态分布的对称性得到，进而得到，求出答案. 【详解】依题意，，， ， ，. 故答案为：91 题型六：正态分布的对称性求参数 【典例6】．（2025·四川泸州·模拟预测）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_______. 【答案】 【分析】由正态分布的对称性可得出，则，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【详解】因为随机变量满足，，， 由正态分布的对称性可得， 所以正实数、满足， 故， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 【变式1】．（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量，，且，，则______． 【答案】/ 【分析】由得出，由得出的表达式，由，即可求出的值. 【详解】由题意， 由于服从正态分布，且， ∴均值， 而Y服从二项分布，故， ∵， ∴，解得， 故答案为： 【变式2】．（24-25高二下·吉林长春·月考）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973、至少要测量______次．（若，则） 【答案】48 【分析】利用正态分布的三段区间概率公式及性质计算即可. 【详解】由误差，得， 由误差在的概率不小于0.9973，得， 因此，解得，于是，解得， 所以至少要测量48次. 故答案为：48 【变式3】．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知随机变量，且，则的最小值为______. 【答案】 【分析】先根据正态分布的性质得出，再结合常值代换应用不等式求出最值即可. 【详解】因为随机变量，所以正态分布的曲线的对称轴为， 又因为，所以，解得， 当时， ， 当且仅当，即时等号成立，故最小值为． 故答案为：. 题型七：正态分布的实际应用 【典例7】．（25-26高二下·全国·课堂例题）搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 【答案】(1)①6；② (2)厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由见解析 【分析】(1)①根据正态分布的性质，均值即为中位数，因此由条件可直接得出，即等级系数的平均值；②已知，所以由此可得区间对应于,利用正态分布的概率性质，该区间内的概率约为0.6827,设为10000件产品中等级系数位于该区间内的件数，则服从二项分布，期望； (2)根据样本数据计算厂产品的等级系数平均值，公式为各等级系数值乘以对应频数之和除以总件数，然后分别计算厂和厂的值，，比较两者大小，依据“值越大，产品越具可购买性”的标准判断哪个工厂的产品更具可购买性. 【详解】（1）①根据题意，，得，即厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为6． ②， ，则， 易知一件搪瓷水杯等级系数位于区间内的概率约为0.6827，依题意知的二项分布， ． （2）厂生产的搪瓷水杯更具可购买性，理由如下： 用样本估计总体，可得厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为． 厂生产搪瓷水杯的等级系数的平均值为6，价格为36元/件， ， 厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值为4.8，价格为30元/件，， 又，故厂生产的搪瓷水杯更具可购买性． 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 【答案】(1)甲有资格参加决赛 (2) 【分析】（1）根据正态分布的概率算出不低于88分的人数，从而判断； （2）根据二项分布的期望性质，方差性质进行求解. 【详解】（1）由题意得 故全校2000名参加初赛的学生中成绩不低于88分的人数为， 所以甲有资格参加决赛； （2）设决赛中学生乙答对的题数为，其决赛成绩为，则， 由题意得，则， 所以. 【变式2】．（25-26高三上·重庆·月考）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得每个分组的中点值，结合表格数据求得平均数估计值，根据正态分布的性质，利用概率加法，可得答案； （2）根据概率的乘法公式，建立不等式，由对数运算，可得答案. 【详解】（1）由题意可知个分组的中点值分别为， 则样本平均数估计值， 可得. 由，则，， 因为，所以 . （2）设“从高一年级随机选取一名学生的竟赛成绩在范围内”为事件，则； 可得从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，他们的成绩均在范围内的概率为； 由，两边取对数可得； 因为，， 所以，由为正整数，所以的最大值为. 【变式3】．（24-25高二下·湖南长沙·期末）某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图. (1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、； (2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由； ②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分； (3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数. 参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；； ②若，则，，. 【答案】(1)，，， (2)①组更有可能是专业评委组，理由见解析；② (3)大约为人 【分析】（1）根据题意结合平均数公式可求得、，并结合标准差公式可求得、； （2）①比较、的大小，进而可得出结论； ②根据题中公式可求得的值； （3）计算出正态分布的均值，标准差，利用原则求得，再乘以可得结果. 【详解】（1）由题意可知，， ， （2）①因为，因此组更有可能是专业评委组； ②； （3）由（1）（2）可知，正态分布的参数，. 设某评委打出的分数为随机变量，则， 故 . ，于是估计位评委中，打分在分以上的人数大约为人. 一、单选题 1．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正态分布特性求出的值，再根据二项分布的方差公式求出，最后代入题中所给等式求解即可． 【详解】正态分布关于均值对称，又， 可得，所以，又， 所以， 由此可得，解得． 2．（25-26高二下·河南南阳·月考）在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 【答案】B 【分析】利用正态分布的性质及区间概率值，即可求得指定区间概率. 【详解】由，得， 则 . 故选：B. 3．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 【答案】D 【分析】根据正态分布的性质，求得的值，再由样本容量求得频数，即可得到答案. 【详解】因为，且， 所以， 所以样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（辆）. 故选：D. 4．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】利用正态分布的性质求解即可. 【详解】因为，，所以， 所以，又，， 所以，解得. 故选：C. 5．（25-26高二上·河南南阳·期末）某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（   ）（参考数据：若随机变量，则） A．0.8185 B．0.9544 C．0.9759 D．0.9974 【答案】C 【分析】求出，，结合参考数据计算即可. 【详解】因为，所以，. 由题意可知，“”表示事件“饼干是合格品”， 所以 故选：C. 6．（2026·江苏南通·一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据标准正态分布的对称性可得，运算求解结合选项分析判断. 【详解】因为，则， 可得，解得， 即“过高”等级中的株高，结合选项可知D正确，ABC错误. 故选：D. 7．（2026·云南大理·二模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】先由正态分布对称性求出，进而利用基本不等式“1”的妙用求解最小值. 【详解】由随机变量，且，得， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以所求最小值为3． 故选：C. 8．（2026高三·全国·专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】越小，正态密度曲线越“高瘦”，可知选项A正确；根据正态密度曲线的对称性，可判断BCD正误． 【详解】对于选项A：因为为数据的方差，所以越小，数据在均值附近越集中， 所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于选项D：因为， ， 若越小，数据在均值附近越集中，则， 即， 所以该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，故D错误. 故选：D. 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 【答案】ACD 【分析】首先根据正态密度函数解析式确定和，判断AD，再根据对称性判断BC. 【详解】由函数解析式知这次考试的数学平均成绩为80分，标准差为10，故A，D正确． 因为函数图象关于直线对称，所以分数在120分以上的人数与分数在40分以下的人数相同； 分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同，故B错误，C正确． 故选：ACD 10．（25-26高二下·全国·单元测试）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（   ） 附：随机变量服从正态分布，则，，． A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率超过0.8 D．学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 【答案】AC 【分析】根据正态分布的性质，结合的原则，即可判断. 【详解】数学成绩服从正态分布，则数学成绩的期望为100，数学成绩的标准差为10，故A正确，B错误； 及格率，故C正确； 不及格率，优秀率，，所以学生数学成绩不及格的人数大于优秀的人数，故D错误． 故选：AC 11．（25-26高二上·安徽六安·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据正态密度曲线易得，，然后可逐项判断. 【详解】，， 两曲线分别关于直线、对称，由图可知，故A正确； 又，所以，故C错误； 又的正态密度曲线比的正态密度曲线更“高瘦”，所以，故B错误； 又，所以，故D正确； 故选：AD. 12．（25-26高二上·广西桂林·期末）工厂生产了20000件零件，其尺寸X服从正态分布.已知随机变量X服从正态分布，则.下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．尺寸在区间的零件约有13654件 D．若，则 【答案】ABC 【分析】正态分布中, 为均值, 为标准差,正态曲线关于直线对称.,根据这些正态分布性质对选项逐一分析. 【详解】对于选项A,若,所以.所以 .因为对于正态分布其图像关于直线对称. 当时,.而,则,所以. 故A正确. 对于选项B,因为,所以对称轴为.所以. 又因为,且,所以. 即.故B正确. 对于选项C,则,.所以 所以尺寸在的零件约有件.故C正确. 对于选项D,因为,所以对称轴为.若根据正态分布对称性可知,即.故D错误. 故选:ABC. 13．（2026·重庆九龙坡·一模）近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 【答案】ABC 【分析】根据正态分布的概念，判断分布曲线的对称轴和方差，根据正态分布的对称性，以及条件概率公式，逐一判断各选项正误. 【详解】由题意，则随机变量服从正态分布，对称轴为，， 因为，即， 所以，A正确； 由，可知， 所以，B正确； 由正态分布曲线的对称轴为，所以，， 设事件为蜜柚重量大于1500克，则，事件为蜜柚为优等品，则， 由条件概率可知蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为，C正确； 蜜柚是合格品的概率为，重量不小于1500克的概率为， 设事件为蜜柚是合格品，则，设事件为蜜柚重量不小于1500克，则， 由条件概率可知蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为，D错误； 故选：ABC 三、填空题 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）在正态分布中，数据落在内的概率为________． 【答案】0.9973 【分析】利用正态分布三段区间的概率值即可求解. 【详解】由题可得， 故答案为：0.9973 15．（2026高二下·全国·专题练习）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则________． 【答案】 【分析】利用正态分布的对称性求解. 【详解】服从正态分布，且， ． 故答案为：. 16．（25-26高二上·贵州遵义·期末）某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 【答案】 【分析】根据正态分布，明确分布关于均值对称，结合已知条件计算，再利用对称转化求出，进而求出实际人数． 【详解】已知数学成绩，则分布关于对称， ， 已知，则， ，根据正态分布的对称性可知：， 正态分布是连续分布， ，故， 已知总人数为， 数学成绩为分以上的人数为：． 故答案为：． 17．（2026高三·全国·专题练习）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果精确到0.01） 附：，，． 【答案】 【分析】利用正态分布性质和条件概率公式求解即可. 【详解】由题知，事件为“该同学的成绩”， 因为，， 所以， 又， 所以. 故答案为： 四、解答题 18．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，由频率分布直方图的性质，代入计算，即可得到结果： （2）根据题意，由正态分布的概率公式可得，再由二项分布的期望公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由频率分布直方图，得，解得． （2）由题意得 ， 则，， ，， 即随机变量Y的期望约为. 19．（24-25高二下·广东中山·月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 【答案】(1)0.8186 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据正态分布性质得到； （2）由条件概率得到，证明出结论； （3）由（2）得，利用对立事件求概率即可. 【详解】（1），其中，故， ， 由题设，得， （2）由题设，得 ， . 所以. （3）由（2）得， 所以第天系统仍正常工作，元件，必须至少有一个正常工作， 因此所求概率为. 20．（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 【答案】(1)分布列见解析，数学期望为 (2)（ⅰ）；（ⅱ）方案2该平台赠送的学习视频总时长更多，答案见解析 【分析】（1）利用分层抽样求解前3组各组抽取的人数，然后确定的所有可能取值，求出对应的概率，进而求解分布列和数学期望，求解期望时也可用超几何分布的期望公式； （2）（i）由平均数的计算公式求出，再由原则求解即可； （ii）对于方案2，设每位学生所获赠学习视频的小时数为，求出的所有可能取值及其概率，再求出，与方案1比较即可得出答案. 【详解】（1）因为抽样比为， 所以从中抽取（人），从中抽取（人）， 从中抽取（人）． 则的所有可能取值为0，1，2，3，4， ，， ，， ， 故的分布列为： X 0 1 2 3 4 P 方法一：． 方法二 ：服从参数的超几何分布，故． （2）（ⅰ），， 所以，，，． 所以． （ⅱ）对于方案2：设每位学生所获赠学习视频小时数为，则可取． ， ， ． ， 因为，所以方案2该平台赠送的学习视频总时长更多. 21．（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 【答案】(1) (2)（ⅰ）；（ⅱ）答案见解析 【分析】（1）利用频率分布直方图的平均数计算公式计算即可； （2）（ⅰ）由题意，由可求得，进而可得这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）根据正态分布的性质及原则分析即可． 【详解】（1）由题意可知，． （2）（ⅰ）由题意，， 则， 则，即． 则这批产品质量指标值在的数量约为． （ⅱ）如果生产状态正常，此时一件产品的质量指标值在之外的概率只有， 一天内抽取10件产品中，发现产品质量指标值在之外的概率只有，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为生产线在这一天的生产过程中可能出现异常，需要对当天的生产过程进行检查，可见这种监控生产过程的方法合理． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第08讲：正态分布 · 考点一、正态曲线的认识 · 考点二、标准正态分布应用 · 考点三：指定区间概率 · 考点四：特殊区间的概率 · 考点五、3σ原则的应用 · 考点六：正态分布的对称性求参数 · 考点七：正态分布的实际应用 知识点一　正态曲线与正态分布 1．我们称f(x)＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，为正态密度函数，称其图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2．若随机变量X的概率密度函数为f(x)，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)． 特别地，当μ＝0，σ＝1时，称随机变量X服从标准正态分布． 3．若X～N(μ，σ2)，如图所示，X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积，而P(a≤X≤b)为区域B的面积． 知识点二　正态曲线的特点 1．对∀x∈R，f(x)>0，它的图象在x轴的上方．2．曲线与x轴之间的面积为1. 3．曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称．4．曲线在x＝μ处达到峰值. 5．当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． 6．当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图①. 7．当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ较小时曲线“瘦高”，表示随机变量X的分布比较集中；σ较大时，曲线“矮胖”，表示随机变量X的分布比较分散，如图②. 知识点三　正态总体在三个特殊区间内取值的概率值及3σ原则 P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7；P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5；P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 尽管正态变量的取值范围是(－∞，＋∞)，但在一次试验中，X的取值几乎总是落在区间[μ－3σ，μ＋3σ]内，而在此区间以外取值的概率大约只有0.002 7，通常认为这种情况在一次试验中几乎不可能发生． 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N(μ，σ2)的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则． 题型一、正态曲线的认识 【典例1】．（25-26高二上·黑龙江佳木斯·期末）设两个正态分布和曲线如图所示，则有（    ）    A． B． C． D． 【变式1】．（21-22高二下·河南南阳·期末）已知三个正态密度函数（，）的图像如图所示，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】．（23-24高三上·广东揭阳·期中）设随机变量，随机变量，与之间的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式3】．（2023·浙江宁波·二模）设随机变量服从正态分布，的分布密度曲线如图所示，若，则与分别为（    ） A． B． C． D． 题型二、标准正态分布应用 【典例2】．（25-26高二上·陕西汉中·期末）在某市举行的高三适应性考试中对数学成绩统计显示，学校1200名学生的成绩近似服从正态分布，且成绩低于70分的占，则成绩在分的有多少人（   ） A．240 B．360 C．480 D．600 【变式1】．（2025·甘肃白银·模拟预测）正态分布通常记作，当，时的正态分布称为标准正态分布．在统计中为了方便在不同分布的各个原始数据之间进行比较，常将正态分布转化为标准正态分布．转化过程为令，则可得．如果，那么对任意的，通常记（）．某校高三某次考试的1500名学生的成绩近似服从正态分布，且整个年级成绩的平均分为470，标准差为50，若，则成绩落在区间内的人数大约为（   ） A．1262 B．1300 C．1366 D．1400． 【变式2】．（22-23高二下·上海崇明·期末）某校高中三年级1600名学生参加了区第二次高考模拟统一考试，已知数学考试成绩X服从正态分布（试卷满分为150分），统计结果显示，数学考试成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的，则此次统考中成绩不低于120分的学生人数约为（    ） A．200 B．150 C．250 D．100 【变式3】．（24-25高二下·广东广州·期末）小明上学有时坐公交车，有时骑自行车，他记录多次数据，分析得到：坐公交车平均用时30min，样本方差为36；骑自行车平均用时34min，样本方差为4，假设坐公交车用时，骑自行车用时，则（    ） A． B． C．如果有38分钟可用，小明应选择坐公交车 D．如果有34分钟可用，小明应选择自行车 题型三：指定区间概率 【典例3】．（25-26高二上·江西宜春·期末）已知随机变量服从正态分布，，则（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·广西南宁·一模）设随机变量，则（       ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高三上·江苏常州·期末）某产品的质量指标服从正态分布，质量指标介于96至104之间的产品为良品，为使这种产品的良品率达到99.73%，则需要较高的生产工艺，使得不超过（备注：若，则（   ） A． B． C．1 D． 【变式3】．（2026·贵州毕节·一模）在一次数学适应性考试中，高三年级某班的数学成绩服从正态分布，且，则的值为（    ） A．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4 题型四：特殊区间的概率 【典例4】．（24-25高二下·河南周口·期末）已知某班学生的数学期末考试成绩，若规定这次考试数学成绩在区间内的为良好，则该班数学成绩良好的学生比例约为（   ） 参考数据：，，． A．34.135% B．15.73% C．13.59% D．4.28% 【变式1】．（24-25高二下·湖北武汉·期末）设随机变量，函数在定义域R上是单调递减函数的概率为，则（   ） 附：若，则，． A．0.1355 B．0.1587 C．0.2718 D．0. 3413 【变式2】．（24-25高二下·河南南阳·期末）西峡猕猴桃是河南特产、中国国家地理标志产品.据统计，西峡县某种植基地新品种猕猴桃的单果质量（单位：g）近似服从正态分布，现有随机采摘的该新品种猕猴桃10000个，估计其中单果质量不低于70g的猕猴桃个数为（   ） 参考数据：若，则，，. A．8413 B．9544 C．9772 D．9987 【变式3】．（24-25高二下·辽宁沈阳·期中）如果服从二项分布，当且时，可以近似的认为服从正态分布，据统计高中学生的近视率，某校有600名高中学生．设为该校高中学生近视人数，且服从正态分布，下列说法正确的是（   ） （参考数据：，） A．变量服从正态分布 B． C． D． 题型五、3σ原则的应用 【典例5】．（25-26高二上·辽宁葫芦岛·期末）某产品的质量指标服从正态分布.质量指标介于593至599之间的产品为合格品，为使这种产品的合格率达到，则需调整生产技术，使得至多为___________.（参考数据：若，则） 【变式1】．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）某校高二年级选考某科的学生有200名，将他们该科的某次考试分数转换为等级分．若等级分，则这次考试等级分在内的人数约为______． 参考数据：，，． 【变式2】．（24-25高二下·辽宁·期中）对一个物理量做n次测量，最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973，则至少要测量______次．（若，则） 【变式3】．（23-24高二下·河南信阳·期末）某校进行的“校园安全”知识竞赛成绩，若成绩在90分以上为“优秀”，该校有4000人参加竞赛，则获得“优秀”的人数为_________.（附：，） 题型六：正态分布的对称性求参数 【典例6】．（2025·四川泸州·模拟预测）已知随机变量满足，，，正实数、满足，则的最小值为_______. 【变式1】．（24-25高二下·河北·期末）已知随机变量，，且，，则______． 【变式2】．（24-25高二下·吉林长春·月考）对一个物理量做n次测量，并以测量结果的平均值作为该物理值的最后结果．已知最后结果的误差，为使误差在的概率不小于0.9973、至少要测量______次．（若，则） 【变式3】．（24-25高二下·湖南郴州·期中）已知随机变量，且，则的最小值为______. 题型七：正态分布的实际应用 【典例7】．（25-26高二下·全国·课堂例题）搪瓷是涂烧在金属底坯表面上的无机玻璃瓷釉．搪瓷制品曾经是人们不可或缺的生活必备品，如厨房用具中锅碗瓢盆、喝茶用到的杯子、洗脸用到的脸盆、婚嫁礼品等，可以说搪瓷制品浓缩了上世纪一个时代的记忆．某搪瓷设计公司新开发了一种新型复古搪瓷水杯，并交给生产水平不同的A和B两个厂生产．已知A厂生产的该种搪瓷水杯的等级系数X服从正态分布，且，在电商平台上A厂生产的搪瓷水杯的零售价为36元/件，B厂生产的搪瓷水杯的零售价为30元/件． (1)①求A厂生产的搪瓷水杯的等级系数的平均值； ②若A厂生产了10000件这种搪瓷水杯，记表示这10000件搪瓷水杯等级系数X位于区间的产品件数，求． (2)从B厂生产的搪瓷水杯中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如图所示． 设，若以“的值越大，产品越具可购买性”为判断标准，根据以上数据，哪个工厂生产的搪瓷水杯更具可购买性？说明理由． 注：若，则，，． 【变式1】．（25-26高二上·黑龙江绥化·期中）为科普航空航天知识，某学校举办了一次“航空航天知识竞赛”，此次竞赛分为初赛和决赛两个阶段，初赛成绩排名前100名的学生可以参加决赛.已知共有2000名学生参加了初赛，初赛成绩服从正态分布，其中. (1)已知学生甲的初赛成绩为88分，利用该正态分布，估计学生甲是否有资格参加决赛； (2)决赛规则如下： ①每位学生的初赛成绩直接计入决赛成绩； ②每位学生需解答10道决赛题，每题5分；每答对一道题，决赛成绩加5分，答错时既不加分也不减分； 已知参加决赛的学生乙的初赛成绩为95分，他答对每道题的概率均为0.8，且每题答对与否都相互独立，求他决赛成绩的数学期望和方差. 附：若，则，. 【变式2】．（25-26高三上·重庆·月考）近期我校被评为全国首批智能研修平台规模化应用领航培育校，中央电教馆在我校举办项目启动活动，并特设南开专场活动.为了了解AINK人工智能对学生学习的助力情况，学校组织了高一学生参加“AINK人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位:分），将他们的成绩分成以下6组:，，，，，统计结果如下面的频数分布表所示. 组别 频数 10 15 20 30 15 10 已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. (1)从高一年级随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）. (2)现从高一年级随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于，求的最大值（为正整数） 参考数据:，若，则. 【变式3】．（24-25高二下·湖南长沙·期末）某次歌手大赛设有专业评委组和业余评委组两个评委组，每组人.每首参赛歌曲都需要位评委打分（满分为分，且各评委打分相互独立）.从专业评委组的个分数中去掉一个最高分，去掉一个最低分，可求出剩余个有效得分的平均分，按照同样的方法可得到业余评委组打分的平均分.参赛选手该歌曲的最终得分为.在该比赛中，对某选手在初赛中参赛歌曲的得分进行整理，得到如下茎叶图. (1)计算、两小组各自有效得分的均值、及标准差、； (2)①专业评委组由于其专业性，有效打分通常比较集中；业余评委组由于水平不一，有效打分通常比较分散.利用（1）的计算结果推断、两个小组中的哪一个更有可能是专业评委组？请说明理由； ②在①的推断下，计算此选手初赛歌曲的最终得分； (3)若（2）的推断正确，且该选手成功进入复赛，复赛中位评委所打分数大致服从正态分布，试估计位评委中，打分在分以上的人数. 参考数据：①组名评委打分总和为，组名评委打分总和为；；； ②若，则，，. 一、单选题 1．（2026·山东德州·一模）已知随机变量，且，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河南南阳·月考）在天文学中，星体的视星等是观测者用肉眼所看到的星体亮度，数值越小亮度越高.已知满月的视星等为，由于大气湍流和仪器误差，单次测量满月的视星等服从正态分布，即，则（    ） 参考数据：若，则，． A．0.2715 B．0.8186 C．0.34135 D．0.97725 3．（25-26高三上·浙江绍兴·期末）新能源汽车具有零排放、能源利用率高等特点，近年来备受青睐.某新能源汽车制造企业为调查其旗下A型号新能源汽车的耗电量（单位：kW·h/100km）情况，随机调查得到了1000个样本，据统计该型号新能源汽车的耗电量，若，则样本中耗电量小于12kW·h/100km的汽车大约有（   ） A．700辆 B．350辆 C．300辆 D．150辆 4．（25-26高三下·福建厦门·开学考试）已知随机变量，若，且，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 5．（25-26高二上·河南南阳·期末）某食品厂生产的袋装饼干的重量（单位：克）服从正态分布，质检部门规定重量在94克到109克之间的产品为合格产品，则从该食品厂生产的袋装饼干中随机抽取1袋饼干，抽到的饼干是合格品的概率约为（   ）（参考数据：若随机变量，则） A．0.8185 B．0.9544 C．0.9759 D．0.9974 6．（2026·江苏南通·一模）某生物学兴趣小组对某地同种成年向日葵的株高（单位：cm）进行了测量，发现株高近似服从正态分布．已知测量的向日葵平均株高为，标准差为14.5．现按株高将这批向日葵划分为四个等级：过矮（后）、正常偏矮、正常偏高、过高（前）．若，则“过高”等级中最矮株高可能为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·云南大理·二模）已知随机变量，且，则当时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2026高三·全国·专题练习）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 二、多选题 9．（25-26高二下·全国·课后作业）某市组织一次高三调研考试，考试后统计的数学成绩（单位：分）服从正态分布，其概率密度函数为，则下列说法正确的是（   ） A．这次考试的数学平均成绩为80分 B．分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同 C．分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同 D．这次考试的数学成绩的标准差为10 10．（25-26高二下·全国·单元测试）已知在某一次学情检测中，学生的数学成绩服从正态分布，其中90分为及格线，120分为优秀线，则下列说法正确的是（   ） 附：随机变量服从正态分布，则，，． A．学生数学成绩的期望为100 B．学生数学成绩的标准差为100 C．学生数学成绩及格率超过0.8 D．学生数学成绩不及格的人数和优秀的人数大致相等 11．（25-26高二上·安徽六安·期末）设随机变量，随机变量，其正态密度曲线如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 12．（25-26高二上·广西桂林·期末）工厂生产了20000件零件，其尺寸X服从正态分布.已知随机变量X服从正态分布，则.下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．尺寸在区间的零件约有13654件 D．若，则 13．（2026·重庆九龙坡·一模）近年来，巫溪县大力发展生态农业，蒲莲蜜柚因其形大、汁多、味甜深受消费者追捧．已知某批次蜜柚的重量（单位：克），，规定重量不小于1300克的蜜柚为合格品，重量在1500克到1700克之间的蜜柚为优等品．现从该批次蜜柚中随机抽取一个，下列说法正确的有（   ） A．该蜜柚是优等品的概率为 B．该蜜柚是合格品的概率为 C．若该蜜柚重量大于1500克，则其为优等品的概率为m D．若该蜜柚是合格品，则其重量不小于1500克的概率为 三、填空题 14．（25-26高二下·全国·课堂例题）在正态分布中，数据落在内的概率为________． 15．（2026高二下·全国·专题练习）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的准点率服从正态分布且，则________． 16．（25-26高二上·贵州遵义·期末）某中学高二年级学生有人，在某次数学考试中，数学成绩近似服从正态分布．已知，则本次考试数学成绩大于分的人数约为______． 17．（2026高三·全国·专题练习）某校高二学生的一次数学诊断考试成绩（单位：分）服从正态分布，从中抽取一个同学的数学成绩，记该同学的成绩为事件，记该同学的成绩为事件，则在事件发生的条件下事件发生的概率______．（结果精确到0.01） 附：，，． 四、解答题 18．（25-26高二上·陕西铜川·期末）毒品是人类的公敌，禁毒是社会的责任，当前宁德市正在创建全国禁毒示范城市，我市组织学生参加禁毒知识竞赛，为了解学生对禁毒有关知识的掌握情况，采用随机抽样的方法抽取了500名学生进行调查，成绩全部分布在75到145分之间，根据调查结果绘制的学生成绩的频率分布直方图如图所示．    (1)求频率分布直方图中a的值； (2)由频率分布直方图可认为这次全市学生的竞赛成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数（同一组数据用该组数据的区间中点值作代表），，现从全市所有参赛的学生中随机抽取10人进行座谈，设其中竞赛成绩超过135.2分的人数为Y，求随机变量Y的期望．（结果精确到0.01，，，） 19．（24-25高二下·广东中山·月考）正态分布与指数分布均是用于描述连续型随机变量的概率分布.对于一个给定的连续型随机变量，定义其累积分布函数为.已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成，在电源电压正常的情况下，至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行，电源及各元件之间工作相互独立. (1)已知电源电压（单位：）服从正态分布，且的累积分布函数为，求的值. (2)在数理统计中，指数分布常用于描述事件发生的时间间隔或等待时间.已知随机变量（单位：天）表示某高稳定性元件的使用寿命，且服从指数分布，其累积分布函数为设，证明： (3)若元件均为（2）中所述的高稳定性元件，其寿命相互独立. 已知在第n天初，元件B和C均正常工作，而元件A发生故障，求第天系统正常运行的概率. 附：若随机变量服从正态分布，则，. 20．（25-26高二上·全国·期末）近年来，随着电脑、智能手机的迅速普及，我国在线教育行业出现了较大的发展．某在线教育平台为了解利用该平台学习的高一学生化学学习效果，举行了一次化学测试，并从中随机抽查了200名学生的化学成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，…，，统计结果如下面的频数分布表所示． 组别 频数 20 30 40 60 30 20 (1)现利用分层随机抽样的方法从前3组中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人调查其成绩不理想的原因，设这4人中来自前2组的人数为，求的分布列和期望． (2)高一学生的这次化学成绩近似服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本的标准差，并已求得． （ⅰ）试估计这些学生这次化学成绩在区间内的概率（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． （ⅱ）为了提升学生的成绩，该平台决定免费赠送给在平台学习的学生若干学习视频，具体赠送方案如下： 方案1：每人均赠送25小时学习视频． 方案2：这次测试中化学成绩不高于56.19分的学生赠送40小时的学习视频，化学成绩在内的学生赠送30小时的学习视频，化学成绩高于84.81分的学生赠送10小时的学习视频．问：哪种方案该平台赠送的学习视频总时长更多？请根据数据计算说明． 参考数据：若，则，． 21．（25-26高二上·全国·单元测试）从某企业生产的某种产品中随机抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：    (1)求这1000件产品质量指标值的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表）． (2)由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，已知的估计值为12.61. （ⅰ）试估计这批产品质量指标值在的数量； （ⅱ）为监控该产品的生产质量，每天抽取10件产品进行检测，若出现了质量指标值在，之外的产品，就认为这一天的生产过程中可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查，请说明上述监控生产过程方法的合理性． 参考数据：若，则，，，． 2 学科网（北京）股份有限公司 $