第2讲：一元函数的导数及其应用题型讲义【十大题型】-2025-2026学年高二数学人教A版选择性必修第二册

第2讲：一元函数的导数及其应用题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：导数的概念及其几何意义 · 考点二: 导数的计算 · 考点三：利用导数研究单调性问题 · 考点四：利用导数研究极值问题 · 考点五：利用导数研究最值问题 · 考点六：导数研究恒（能）成立问题 · 考点七：导数研究零点问题 · 考点八：导数研究方程根问题 · 考点九：导数研究不等式问题 · 考点十：导数的综合压轴问题 【知识梳理】 知识点1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|.f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝y′＝ . 知识点2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点6．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 知识点7．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点8．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 【题型归纳】 题型一：导数的概念及其几何意义 【典例1】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（2026·河北沧州·二模）已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型二: 导数的计算 【典例1】．（25-26高二下·河南南阳·期中）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列函数的导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】．（25-26高二下·江苏南京·期中）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 题型三：利用导数研究单调性问题 【典例3】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 【变式1】．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【变式2】．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数 (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求实数的取值范围； 题型四：利用导数研究极值问题 【典例4】．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数在处取极值. (1)求的极大值和单调区间； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【变式2】．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【变式2】．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； 题型五：利用导数研究最值问题 【典例5】．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最值. 【变式1】．（25-26高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 【变式2】．（25-26高二下·四川乐山·期中）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围. 题型六：导数研究恒（能）成立问题 【典例6】．（25-26高二下·河南信阳·月考）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【变式1】．（25-26高二下·浙江绍兴·月考）不等式对任意的恒成立，则的取值范围为__________. 【变式2】．（25-26高二下·河北唐山·月考）已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是______． 题型七：导数研究零点问题 【典例7】．（24-25高二下·福建漳州·期中）若函数在区间上有两个零点，则常数的取值范围为__________． 【变式1】．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【变式2】．（25-26高二下·广东·期中）已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）. 题型八：导数研究方程根问题 【典例8】．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）若关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围为______. 【变式1】．（24-25高二下·四川达州·期中）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 【变式2】．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________. 题型九：导数研究不等式问题 【典例9】．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【变式1】．（25-26高二下·山东淄博·月考）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【变式2】．（2026·四川广安·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，在上的极小值点为，求证：． 注： 题型十：导数的综合压轴问题 【典例10】．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数，其中为常数，且. (1)若是奇函数，求的值； (2)证明：在上有唯一的零点； (3)设在上的零点为，证明：. 【变式1】．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【变式2】．（25-26高二下·湖南衡阳·月考）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率等于（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北邢台·月考）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数在处取得极值，则在的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知的定义域是，是的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，其中为函数的导数，则（   ） A．2 B．0 C．2026 D．2027 二、多选题 8．（25-26高二下·江苏镇江·期中）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间为 B．曲线在处的切线方程为 C．函数恰有两个极值点 D．函数有唯一零点 9．（2026·山东济南·二模）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．若，则 10．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知函数，则（    ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．恰有2个极值点 D．的图象与轴恰有2个交点 11．（25-26高二下·山东威海·月考）已知函数，其中.则下列说法正确的是（   ） A．函数必有零点 B．若，则的对称中心为 C．若有两个极值点，则的取值范围是 D．存在实数，使得在上单调递减 12．（25-26高二下·江苏扬州·月考）如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（    ） A．存在对称轴 B．存在极大值 C．在上单调递增 D．的单调递减区间为 13．（2026·云南昭通·二模）函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 三、填空题 14．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）若函数，则在点处的切线方程为__________． 15．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 16．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为___________. 17．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 18．（25-26高二下·上海·期中）已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 四、解答题 19．（25-26高二下·北京顺义·月考）已知函数 (1)求函数 的单调区间和极值点； (2)若 的极小值为 ，求函数 在 上的最大值． 20．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 21．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围. 22．（25-26高二下·广东东莞·期中）设，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值. 23．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数．当时，，，满足，求的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2讲：一元函数的导数及其应用题型精讲与精练 【考点梳理】 · 考点一：导数的概念及其几何意义 · 考点二: 导数的计算 · 考点三：利用导数研究单调性问题 · 考点四：利用导数研究极值问题 · 考点五：利用导数研究最值问题 · 考点六：导数研究恒（能）成立问题 · 考点七：导数研究零点问题 · 考点八：导数研究方程根问题 · 考点九：导数研究不等式问题 · 考点十：导数的综合压轴问题 【知识梳理】 知识点1．导数的概念 (1)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数记作f′(x0)或y′|.f′(x0)＝ ＝ . (2)函数y＝f(x)的导函数(简称导数)f′(x)＝y′＝ . 知识点2．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数的几何意义就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)． 知识点3．基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 知识点4.导数的运算法则 若f′(x)，g′(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； [f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)； ′＝(g(x)≠0)； [cf(x)]′＝cf′(x)． 知识点5．复合函数的定义及其导数 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 知识点6．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 常用结论 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． 知识点7．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点8．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 【题型归纳】 题型一：导数的概念及其几何意义 【典例1】．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）若函数在点处的切线斜率为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题可知：， ． 【变式1】．（2026·河北沧州·二模）已知函数 则曲线在点处的切线在轴上的截距为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出原函数的导函数，得到函数在处切线的斜率，再求出，利用直线方程的点斜式求切线方程，取得答案． 【详解】由，得， 所以，又， 曲线在处的切线方程为， 令得轴上的截距为． 【变式2】．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知曲线在点处的切线斜率为，则实数的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】，，所以 题型二: 导数的计算 【典例1】．（25-26高二下·河南南阳·期中）下列求函数的导数正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】对于A，，所以A错误， 对于B， ，所以B正确， 对于C，，所以C正确， 对于D，，所以D错误. 【变式1】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）下列函数的导数运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】选项A：. 正确. 选项B：. 原式错误. 选项C：.原式错误. 选项D :. 正确. 【变式2】．（25-26高二下·江苏南京·期中）下列求导运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】选项A错误， ，选项B正确， 选项C正确， 选项D正确. 题型三：利用导数研究单调性问题 【典例3】．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数，其中. (1)当时，求的值； (2)当时，讨论函数的单调性. 【详解】（1）当时，，， ∴. （2）当时，， 令， 当时，恒成立，∴，∴在上单调递减． 当时，有两个根分别为，， 当时，， 当，， ∴递减区间为，， 递增区间为. 综上所述：当时，在上单调递减． 当时，在，上单调递减，在上单调递增. 【变式1】．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）由题意可知，则， 当时，恒成立，在上单调递增， 当时，由解得，由解得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减； （2），在上恒成立， 即在上恒成立，只需即可， 令，则， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 所以，即， 则的取值范围为． 【变式2】．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数 (1)讨论的单调性． (2)若恒成立，求实数的取值范围； 【详解】（1）因为，， 所以. 当时，由，由， 所以在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，由或， 所以在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上恒成立，所以在上单调递减； 当时，由，由或， 所以在上单调递增，在和上单调递减. 综上可得：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在和上单调递减. （2）因为，. 所以，. 设，，则， 由，由. 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以， 所以，即实数的取值范围为. 题型四：利用导数研究极值问题 【典例4】．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数在处取极值. (1)求的极大值和单调区间； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【详解】（1）记的导函数为，则， 因此由是极值点知，可得， 此时，故列表如下： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 由表知的单调递增区间为，，单调递减区间为， 且在处取到极大值. （2）同上可列表如下： 1 3 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 由表知在上只有一个零点当且仅当或， 解得. 【变式2】．（2026·四川泸州·模拟预测）已知函数，其中． (1)当时，求函数的极小值； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）当时，函数，求导得： ， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 是极小值点，代入函数得． （2）恒成立， ，不等式化为， 整理得，，问题转化为， 令，则， ，令分子为0，化简得 ，整理得， ，，故，解得， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 在处取得最大值：， 当时，，时， 且对所有，成立； 当时，处，不满足条件， 的取值范围为． 【变式2】．（25-26高二下·福建龙岩·期中）已知函数． (1)若，求的单调区间； (2)若有两个极值点，求实数的取值范围； 【详解】（1）若，， 则， 令，解得，令，解得， 所以函数单调递减区间为，单调递增区间为. （2）由，可得， 由有两个极值点，则有两个变号零点，即有两个正根，所以， 解得，所以实数的取值范围为. 题型五：利用导数研究最值问题 【典例5】．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知函数. (1)求函数的极值； (2)求函数在上的最值. 【详解】（1）函数的定义域是 又， 令，得，令，得 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为 所以函数的极小值为，无极大值； （2）由（1）可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以 又因为 所以函数在上的最大值为0，即 综上所述，函数在上的最大值为0，最小值为. 【变式1】．（25-26高二下·上海·期中）已知函数. (1)当时，讨论的单调性； (2)求在上的最小值. 【答案】(1) 在 上单调递减，在 上单调递增 (2) 【分析】（1）当时，对函数求导，讨论导数符号，以此确定函数的单调区间； （2）对函数求导，根据导函数零点与区间的位置关系分类讨论，求出函数在区间上的最小值． 【详解】（1）函数 的定义域为 ， 求导： ， 当 时，，故 ，函数 单调递减； 当 时，，故 ，函数 单调递增， 因此， 在 上单调递减，在 上单调递增． （2）函数 ，定义域为 ，求导得： ， 根据 的取值范围，分三种情况讨论： 当 时：在区间上，，故 ， 在上单调递增， 最小值为： ； 当 时：当 时，，， 单调递减； 当 时，，， 单调递增， 最小值为： ； 当 时：在区间上， ，故 ， 在上单调递减， 最小值为： ． 综上，最小值函数为：． 【变式2】．（25-26高二下·四川乐山·期中）已知函数，. (1)讨论函数的单调性； (2)当时，函数在上的最大值为M，若存在，使得成立，求实数b的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， 求导得， 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，，当且仅当时取等号，函数在上单调递增； 当时，由，得或；由，得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知，时，在上单调递增，在上单调递减，所以， 由存在使，得在上的最大值大于等于， 所以有或，解得， 所以b的取值范围是. 题型六：导数研究恒（能）成立问题 【典例6】．（25-26高二下·河南信阳·月考）已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【详解】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 【变式1】．（25-26高二下·浙江绍兴·月考）不等式对任意的恒成立，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】通过分离参数，构造函数，求导，确定最值即可求解. 【详解】由不等式 对任意 恒成立， 因为，变形得：恒成立， 构造函数， 求导得： ， ​ 令 ，得 ，即 ， 当 时，，单调递增； 当 时，，单调递减， 在​ 处取最大值：， ​ 因此 ​，即的取值范围是 . 【变式2】．（25-26高二下·河北唐山·月考）已知函数，若在上恒成立，为自然对数的底数，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】由题意在上恒成立，令，利用导数求出的最大值即可得． 【详解】若在上恒成立，即在上恒成立， 令，故只需即可， ，令，得， 当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以实数的取值范围是． 题型七：导数研究零点问题 【典例7】．（24-25高二下·福建漳州·期中）若函数在区间上有两个零点，则常数的取值范围为__________． 【详解】令，则． 因为函数在区间上有两个零点， 所以函数与函数的图象在区间上有两个公共点． 又，所以在单调递减，在上单调递增， 所以．又，，所以， 所以． 故答案为： 【变式1】．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【详解】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为： 【变式2】．（25-26高二下·广东·期中）已知，若函数有两个零点，则的取值范围为______（区间或集合）. 【答案】 【分析】由题意可知直线与函数的图象有两个公共点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】根据题目可知有两个零点， 令，可得，故直线与函数的图象有两个不同的交点， 函数的定义域是， 求导可得， 令，可得， 当变化时，，的变化情况如下表 单调递增 极大值 单调递减 因此函数的增区间是，减区间是，极大值是， 根据对数函数的性质可知，当时，，当时，，当时， 由此画出函数和直线的图象， 根据图象可知，当时，直线与函数有两个交点， 因此，实数的取值范围是. 题型八：导数研究方程根问题 【典例8】．（25-26高二下·浙江嘉兴·期中）若关于x的方程有唯一实数解，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【分析】设 ，问题转化为与有唯一实数解，对求导，分析其单调性以及变化趋势即可求解. 【详解】设 ，定义域为， ， 令 ，得 ， 时，，单调递增； 当 时，，单调递减， 因此的最大值为 ， 时，；当 时，，且 . 的大致图象如图所示： 由图可知，，与 无交点，方程无解，不符合； ， 与 仅在最高点 处相切，仅有一个交点，方程有唯一解，符合； ， 仅与 在 上有一个交点（时仅 一个解）， 方程有唯一解，符合. 综上，的取值范围为 . 【变式1】．（24-25高二下·四川达州·期中）已知函数的图象与直线有两个交点，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】分析可知原题意等价于在定义域内有两个零点，求导，利用分析单调性和最值，进而分析零点即可. 【详解】令，可得， 构建， 原题意等价于在定义域内有两个零点， 因为， 令，解得；令，解得； 可知在上单调递减，在上单调递增， 则，且当趋近于或时，趋近于， 可知，即， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【变式2】．（24-25高二下·湖北孝感·期中）已知函数，关于的方程有三个不等实根，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】由题意得，， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 则， 又时，，时，， 可知函数的图象如下图所示， 令，，由方程有三个不等的实根， 即有两个不等的实根， 即有两个不等的实根，且一个根小于0，另一个根在内， 令，， 则有两个不等的实根，设为， 则，所以不妨令， 则，，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 题型九：导数研究不等式问题 【典例9】．（25-26高二下·山东青岛·月考）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，证明：． 【详解】（1）由题函数定义域为，， 则当时，在上恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 所以时单调递增，时单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）当时，由（1）可知有最大值为， 故要证，只需证，即证， 设，则， 所以时单调递增，时单调递减； 所以对任意恒成立，因为， 所以，故原不等式得证. 【变式1】．（25-26高二下·山东淄博·月考）已知函数，． (1)判断的单调性； (2)若，求的值； (3)已知，．若，证明：． 【详解】（1）由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； （3）令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 【变式2】．（2026·四川广安·二模）已知函数，． (1)讨论的单调性； (2)设，当时，在上的极小值点为，求证：． 注： 【详解】（1）由求导得， 当时，，则函数在上单调递增； 当时，由可得， 当时，，当时，. 则函数在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，， 则，因在上的极小值点为， 则，即得①， 因，，由零点存在定理，可得， 将① 代入，得， 因为该函数在上单调递减，则，故得证. 题型十：导数的综合压轴问题 【典例10】．（25-26高二下·浙江温州·期中）已知函数，其中为常数，且. (1)若是奇函数，求的值； (2)证明：在上有唯一的零点； (3)设在上的零点为，证明：. 【详解】（1），易得的定义域为. 若是奇函数，则恒成立，即， 化简得，解得，经检验满足题意，故； （2）由题意，， 在上单调递增，所以函数和在上都是连续增函数， 在上是连续增函数，又， ∴由零点存在定理可知在上有唯一的零点； （3）由在上的零点为，则， ，即， 由（2）可知，，且在上单调递增，所以， 易知函数在上单调递减， 又， ， . 【变式1】．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【详解】（1）因为，其中， ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得，由可得， 由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为． （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则，其中，恒成立， 所以由可得，由可得， 故函数的减区间为，增区间为， 所以，即，故的取值范围是． 【变式2】．（25-26高二下·湖南衡阳·月考）已知函数. (1)求函数的最大值； (2)若函数在上单调递减，求实数的取值范围； (3)若函数在上恒成立，求实数的取值范围. 【详解】（1），定义域为，， 令，得，当时，；当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以当时，取得最大值，且最大值为. （2）因为函数在上单调递减，所以在上恒成立， 即在上恒成立，即， 由（1）可知，的最大值为1，所以，即， 所以实数的取值范围为. （3）若函数在上恒成立，即在成立， 所以在上恒成立， 令， 则， 因为，所以当时，在上恒成立， 所以函数在上单调递增，所以，所以时不符合题意； 当时，令， ①当时，即时，则恒成立， 即在上恒成立，所以函数在上单调递减， 所以，所以时符合题意； ②当时，即时，令， 则， 因为，所以， 所以当时，，所以在上恒成立， 即函数在上单调递增，所以当时，， 所以时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围为. 【强化精练】 一、单选题 1．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）若定义在上的可导函数满足，则函数在处的瞬时变化率等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】， 用替换可得， 联立可得， 解得， 求导可得， 当时，. 2．（25-26高二下·河北邢台·月考）已知定义在上的函数满足，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则，所以在上单调递增，则，即，所以. 3．（25-26高二下·江苏扬州·期中）已知函数在处取得极值，则在的最大值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据函数在处取得极值可得，求得a的值，继而判断函数在上的单调性得到最值即可． 【详解】因为，所以， 由题意可得，解得，经检验满足题意. 则，， 令，可得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以． 4．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将问题转化为导函数在其定义域内有解，再求解即可. 【详解】函数的定义域为，导函数为. 函数存在单调递增区间，等价于存在使得. 因为，所以等价于 . 即在上有解. 对配方得，在上单调递增，. 要使在上有解，只需. 因此的取值范围是. 5．（25-26高二下·江苏无锡·期中）若函数有三个零点，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的导函数以及函数的单调性列不等式求解即可. 【详解】函数，其导数， 令，解得极值点，. 时，，单调递增； 时，，单调递减，时，，单调递增. 所以极大值为， 极小值为. 因为函数有三个零点，所以，解得. 6．（25-26高二下·福建宁德·期中）已知的定义域是，是的导数，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题设，可以考虑构造则所以在上单调递减，这意味着：只要 ，就有再把各选项中的点代入比较即可. 【详解】令 则 因为所以 故在上单调递减，于是当 时， 选项 A，因为所以两边同乘，得 这与选项A中的相反，所以选项A错误. 选项B，因为所以即 两边同乘，得即因此选项B错误. 选项C，因为所以 即两边同乘，得故选项C正确. 选项D，由知即 两边同乘，得即 这并不能推出故选项D错误. 7．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知，其中为函数的导数，则（   ） A．2 B．0 C．2026 D．2027 【答案】B 【分析】利用函数与导数的奇偶性求解：先判断原函数是奇函数，故 ；再判断导函数是偶函数，故 ，两者相加得结果为 ． 【详解】因为的定义域是， 且 所以为奇函数，所以 ， ， 因为的定义域是， 且 所以为偶函数，所以 ， 所以 ． 二、多选题 8．（25-26高二下·江苏镇江·期中）设函数，则下列说法正确的是（   ） A．函数的单调递增区间为 B．曲线在处的切线方程为 C．函数恰有两个极值点 D．函数有唯一零点 【答案】ABD 【详解】由求导得， 则时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减，故A正确； 则有唯一极大值，无极小值点，故C错误； 又，故函数在处的切线方程为．故B正确； 当内，因，且在上单调递增，故在上有唯一零点， 当时，恒成立，此时函数无零点，即函数有唯一零点，故D正确． 9．（2026·山东济南·二模）已知函数，则（    ） A．有两个极值点 B．当且仅当 C．当时， D．若，则 【答案】ABC 【分析】对函数求导分析其单调区间与极值点，再结合选项逐一判断. 【详解】已知，求导得， 令，得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增，极大值，极小值， 因式分解得：， 对于A选项：有两个极值点有两个实数根和， 且在这两点左右两侧导数异号，因此这两个点都是极值点，故A正确； 对于B选项，因为，其中， 要使，必须有且， 解，得，此时自然满足， 因此不等式解集为，故B正确； 对于C选项：当时，，当时，， 且，故两者均处于的单调递增区间， ，因为，所以，即， 又函数在上单调递增，故，故C正确； 对于D选项：取，计算得，为了使和为4， 需要，令，即， 分解得，解得或， 若取，满足，但此时， 因此原命题不一定成立，故D错误. 10．（25-26高三下·河北衡水·期中）已知函数，则（    ） A． B．曲线在点处的切线方程为 C．恰有2个极值点 D．的图象与轴恰有2个交点 【答案】AB 【详解】对于A，求导可得，令可得，所以，即A正确； 对于B，由A可得，则， 所以切线方程为，即，可得B正确； 对于C，易知函数的定义域为，又， 令，可得， 所以当时，，当时，， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数仅在处取得极小值，即仅有1个极值点，可知C错误； 对于D，由C中分析可知， 即对于任意,恒成立，因此D错误. 11．（25-26高二下·山东威海·月考）已知函数，其中.则下列说法正确的是（   ） A．函数必有零点 B．若，则的对称中心为 C．若有两个极值点，则的取值范围是 D．存在实数，使得在上单调递减 【答案】AB 【分析】A由零点存在定理判断；B化简，结合的性质以及图象变换得出；C求导，根据得出；D利用导函数的图象与性质推出矛盾. 【详解】选项A：，， 当时，，此时， 由零点存在定理可知在上必有零点，故A正确； 选项B：当时，得， 的对称中心为，将的图象向右平移1个单位， 再向上平移2个单位后得，所以其对称中心为，故B正确； 选项C：若有两个极值点，则有两个不相等的实根， 所以，解得，得或，故C错误； 选项D：若在上单调递减，则对任意恒成立， 因为是开口向上的二次函数，故不能恒成立，故D错误. 12．（25-26高二下·江苏扬州·月考）如图为定义在上的函数的图象，则关于它的导函数的说法正确的是（    ） A．存在对称轴 B．存在极大值 C．在上单调递增 D．的单调递减区间为 【答案】ACD 【分析】由题意得是开口向上的抛物线，对选项进行一一验证，即可得答案 【详解】由题可知为二次函数，可知函数的极大值点为，极小值点为，可得简图，可得，且两根分别是和， 所以存在极小值，不存在极大值，对称轴，单调递减区间为，单调递增区间为， 所以选项A、C、D正确，选项B错误. 13．（2026·云南昭通·二模）函数，下列结论正确的是（   ） A．若，则 B．若，则的极大值点为 C．当时，有3个零点 D．若，则 【答案】AD 【分析】对于A：直接代入求解即可；对于B：利用导数分析得单调性，进而可得极值点；对于C：利用导数分析的单调性，进而可得零点；对于D：令，构造，利用导数可证，即可得结果. 【详解】由题意可知：的定义域为，且， 令，解得或. 对于选项A：若，解得，故A正确； 对于选项B：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 所以为的极小值点，故B错误； 对于选项C：若，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，极小值为， 当趋近于时，趋近于，所以有且仅有1个零点，故C错误； 对于选项D：若，令， 构造，则， 可知在内单调递增，则， 即，可得，整理可得，故D正确. 三、填空题 14．（25-26高二下·湖北襄阳·期中）若函数，则在点处的切线方程为__________． 【答案】 【详解】由题意得，，故切点坐标为. 因为， 所以 所以在处的切线斜率， 在点处的切线方程为，即. 15．（25-26高二下·河北雄安·月考）已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】先对原函数求导得，令得或； 当，，当，，当，. 可得在和上单调递减，在上单调递增，有极大值． 因为函数在上有最大值，需要满足， 再由函数在开区间有最大值可得且. 根据已知函数的单调性，可得当时，恒成立. 故， 求解可得， 求解即，解得. 综上得到. 16．（25-26高二下·陕西宝鸡·期中）设是定义在上的可导函数，，对任意实数，有，则的解集为___________. 【答案】 【详解】令，则， 因为，所以，则在上单调递减， 因为，所以， 则即的解集为. 17．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）函数有两个不同的零点,则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】函数有两个不同的零点，等价于方程有两个不同的实根,当时，方程左边为，故不是根，因此可分离参数得： ,问题转化为：直线与函数的图象有两个不同的交点，通过求导分析的单调性、极值，即可确定的取值范围 【详解】由，得, 当时，左边，等式不成立，故不是根，； 当时，分离参数得​，令，则问题等价于与的图象有两个不同的交点, , 因此在上恒成立, 所以在和上分别单调递减， 由于当，时，，时，，此时的值域为， 当，时，，时，，此时的值域为， 则的大致图像如下： 所以要使与的图象有两个不同的交点，则 18．（25-26高二下·上海·期中）已知，对任意，都有成立，则的最小值为__________. 【答案】 【详解】定义域为，求导得， 令得，因此，，单调递减； ，，单调递增， 因此的最小值为，且时（从下方趋近于0）， 题中条件，等价于在上的最大值减去最小值的差小于等于， 若，则，最小值，最大值， 代入不等式得， 由得， 若，根据上述分析可知满足条件，但的取值大于，不是最小值， 因此的最小值为. 四、解答题 19．（25-26高二下·北京顺义·月考）已知函数 (1)求函数 的单调区间和极值点； (2)若 的极小值为 ，求函数 在 上的最大值． 【答案】(1)增区间是，减区间是和， 是函数 的极小值点； 是函数 的极大值点． (2) ． 【分析】（1）先求导函数再根据导函数正负得出函数的极值； （2）先根据极小值求出，再根据极值及边界值求最大值即可． 【详解】（1） ， 令 ，得 或 ， 的情况如下： 递减 递增 递减 所以 是函数 的极小值点； 是函数 的极大值点．增区间是，减区间是和； （2）由已知 的极小值为 ，即 解得 ， 由（1）知在上递减，在上递增， 又 ， ． 所以当 时， 取得最大值 ． 20．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当，在上有0个零点；当，在上有1个零点；当时，在上有2个零点 . 【分析】（1）求解导数，判断函数单调性，可求极值； （2）由函数单调性得到简图，结合图象可判断零点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 由，得， 令，即，解得； 令，即，解得，则当时，单调递增； 令，即，解得，则当时，单调递减； 所以当函数取极小值，无极大值. （2）由得方程，令， 则函数零点的个数就是与交点的个数，由（1）可知 当时，单调递减， 当时，单调递增， 时，;时，； 画出函数的图象如下： 当时，函数与无交点； 当或时，函数与有一个交点； 当时，函数与有两个交点- 所以当，在上有0个零点； 当，在上有1个零点； 当时，在上有2个零点 . 21．（25-26高二下·福建福州·期中）已知函数. (1)判断函数的单调性； (2)若函数在区间上有两个零点，求实数a的取值范围. 【详解】（1）已知，其定义域为.求导. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于0时，趋近于， 所以根据零点存在定理，则需满足，，解得； ，化简得，解得；又因为，可得， 所以实数a的取值范围为. 22．（25-26高二下·广东东莞·期中）设，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若函数在区间上单调递增，求的取值范围； (3)若曲线在点处的切线与曲线也相切，求的值. 【详解】（1）当时，，则. 函数的定义域为.令，解得. 当时，，则在上单调递增. 当时，，则在上单调递减. 综上，单调减区间为 ，单调增区间为 . （2）令. 则函数在区间上单调递增，等价于对任意恒成立. ，即在恒成立，解得. （3），点处切线斜率，切线方程为. 切线与相切，联立得，整理为. 相切说明方程只有一个实根，判别式，解得. 23．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设函数．当时，，，满足，求的取值范围． 【详解】（1）函数的定义域为，， 当时，则对任意的，此时函数在上单调递增； 当时，由得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，，满足，则， 因为，由可得，由得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增，则， 由（1）可知，当时，若时，即当时， 函数在上单调递增，此时，则，解得， 此时； 当时，即当时，函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即， 令，则，故函数在上单调递增， 此时，不符合题意. 综上所述，实数的取值范围是. 2 学科网（北京）股份有限公司 $