第5章 一元函数的导数及其应用期中复习 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

第5章 一元函数的导数及其应用期中复习章节练习题 （原卷版） 【思维导图】 【知识梳理】 1. 导数定义： 知识点一　平均变化率 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋Δx，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋Δx)．这时，x的变化量为Δx，y的变化量为Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0).我们把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 知识点二　瞬时变化率 如果当Δx→0时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称 y＝f(x)在x＝x0处可导，并把这个确定的值叫做y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率)，记作f′(x0)或，即f′(x0)＝ ＝ . 二.导数的几何意义及导函数的概念 知识点一　导数的几何意义 (1)在曲线y＝f(x)上任取一点P(x，f(x))，如果当点P(x，f(x))沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0(x0，f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T称为曲线y＝f(x)在点P0处的切线. (2)函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)． 知识点二　导函数的概念 当x变化时，y＝f′(x)就是x的函数，我们称它为y＝f(x)的导函数(简称导数)．y＝f(x)的导函数有时也记作y′，即f′(x)＝y′＝. 注意： 1. 曲线在点处切线：斜率。 相应的切线方程是： 2.曲线过点处切线：先设切点为 ,则斜率k=，切点 在曲线上，切点也在切线上，把切点坐标代入曲线和切线方程可以得到关于a,b的方程组，通过解方程组来确定切点坐标，进而求出斜率k=，最后确定切线方程。 三.常见函数的导数公式: ①；②；③；④； ⑤；⑥；⑦；⑧ 。 四.导数的四则运算和复合函数的求导法则： 知识点一　导数的四则运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x). (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x). 特别地，当g(x)＝c(c为常数)时， [cf(x)]′＝cf′(x). (3)′＝(g(x)≠0)． 知识点二　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 知识点三　复合函数的求导法则 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x.即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 五.导数的应用： 1.利用导数判断函数单调性： 知识点一　函数的单调性与导数 在区间(a，b)内，函数y＝f(x)的单调性与其导数 f′(x)的关系： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 知识点二　判断函数y＝f(x)的单调性的步骤 第1步，确定函数的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 知识点三　导数的绝对值与函数值变化的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 较大 较快 比较“陡峭”(向上或向下) 较小 较慢 比较“平缓” 2.利用导数求极值： 知识点一　极值点与极值 如右图，函数y＝f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点 x＝a附近其他点处的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a 附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.类似地，函数y＝f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点处的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0.我们把a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值；b叫做函数y＝f(x) 的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 知识点二　求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时： (1)如果在x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； (2)如果在x0附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值. 3.利用导数求最值：比较端点值和极值 知识点 求函数在[]上的最大值与最小值的步骤： 一般地，求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下： (1)求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值； (2)将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. 特别提醒： ①是极值点的充要条件是点两侧导数异号，而不仅是＝0，＝0是为极值点的必要而不充分条件。 ②给出函数极大(小)值的条件，一定要既考虑，又要考虑检验“左正右负”(“左负右正”)的转化，否则条件没有用完，这一点一定要切记！ 【章节练习题】 一、单项选择题 1．函数f(x)＝x2＋x在x＝1处的导数f′(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 2．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围(　　) A．[－1,1] B． C. D． 5．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　) A. B．－ C. D．－或 7．已知当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋bx2＋3取得最大值2，则f(3)＝(　　) A．2ln 3＋2 B．－ C．2ln 3－6 D．－4 8．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B． C． D． 二、多项选择题： 9．函数f（x）＝x2﹣3x+lnx在下列哪个区间单调递增（　　） A． B．（1，+∞） C． D． 10.(2023·新高考全国Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 11．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B． C． D． 三、填空题 12．已知函数满足，则 ． 13．若直线是曲线的一条切线，则 . 14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0.若当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是____________ 四、解答题： 15.已知函数f (x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f (x)的解析式； (2)求函数f (x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值． 16.已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 17.已知函数f (x)＝xex－a(ln x＋x)，a∈R. (1)当a＝e时，求f (x)的单调区间； (2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围． 18.设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． 19.已知函数 ，其中 . (1)若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 的值; (2)若函数 在定义域内不单调，求 的取值范围； (3)若 ，对任意的 恒成立，求 的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第5章 一元函数的导数及其应用期中复习章节练习题 （解析版） 一、选择题 1．函数f(x)＝x2＋x在x＝1处的导数f′(1)＝(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：因为f(x)＝x2＋x，所以f′(x)＝2x＋1，所以f′(1)＝2×1＋1＝3. 2．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D错误. 3．若函数在上单调递减，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【详解】因为，所以， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 所以，即在上恒成立， 令，则只需即可， 当时，由反比例函数的性质得单调递减， 所以， 所以，即的取值范围是， 4．若函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A．[－1,1] B． C. D． C　解析：(方法一：特殊值法)不妨取a＝－1， 则f(x)＝x－sin 2x－sin x， f′(x)＝1－cos 2x－cos x，但f′(0)＝1－－1＝－<0，不满足f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增的条件，排除A，B，D.故选C. (方法二：综合法)因为函数f(x)＝x－sin 2x＋asin x在(－∞，＋∞)上单调递增， 所以f′(x)＝1－cos 2x＋acos x ＝1－(2cos2x－1)＋acos x ＝－cos2x＋acos x＋≥0， 即acos x≥cos2x－在(－∞，＋∞)上恒成立． 当cos x＝0时，恒有0≥－，得a∈R； 当0<cos x≤1时，得a≥cos x－，令t＝cos x，g(t)＝t－在(0,1]上单调递增，得a≥g(1)＝－； 当－1≤cos x<0时，得a≤cos x－，令t＝cos x，g(t)＝t－在[－1,0)上单调递增，得a≤g(－1)＝.综上，可得a的取值范围是.故选C. 5．点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【详解】因为点是曲线上任意一点， 所以当点处的切线和直线平行时，点到直线的距离最小． 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得或(舍去)， 所以在曲线上与直线平行的切线经过的切点坐标为， 所以点P到直线的最小距离为. 6．下面四个图象中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R)的导函数y＝f′(x)的图象，则f(－1)＝(　　) A. B．－ C. D．－或 解析：因为f′(x)＝x2＋2ax＋a2－1，所以y＝f′(x)的图象开口向上，排除②④.若y＝f′(x)的图象为①，则a＝0，f(－1)＝.若y＝f′(x)的图象为③，则a2－1＝0，得a＝±1.又对称轴x＝－a>0，所以a＝－1，所以f(－1)＝－. 7．已知当x＝1时，函数f(x)＝aln x＋bx2＋3取得最大值2，则f(3)＝(　　) A．2ln 3＋2 B．－ C．2ln 3－6 D．－4 解析：f′(x)＝＋2bx，因为当x＝1时，函数f(x) 取得最大值2， 所以即解得 所以f(x)＝2ln x－x2＋3，f′(x)＝－2x＝. 令f′(x)>0，得0<x<1；令f′(x)<0，得x>1. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减， 则f(x)max＝f(1)＝2，符合题意，所以f(3)＝2ln 3－6. 故选C. 8．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B． C． D． 解析：f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A. 二、选择题： 9．函数f（x）＝x2﹣3x+lnx在下列哪个区间单调递增（　　） A． B．（1，+∞） C． D． 解：求导得．令f′（x）＞0，即， 因为x＞0（lnx中x＞0），两边同乘x得2x2﹣3x+1＞0．解得x＞1或， 所以f（x）的单调递增区间是和（1，+∞）． 故B，D选项符合题意． 10.(2023·新高考全国Ⅱ卷)(多选)若函数f(x)＝aln x＋＋(a≠0)既有极大值也有极小值，则(　　) A．bc>0 B．ab>0 C．b2＋8ac>0 D．ac<0 解：函数f(x)＝aln x＋＋的定义域为(0，＋∞)，求导得f′(x)＝－－＝. 因为函数f(x)既有极大值也有极小值，所以函数f′(x)在(0，＋∞)上有两个变号零点，而a≠0， 因此方程ax2－bx－2c＝0有两个不相等的正根x1，x2. 于是即有b2＋8ac>0，ab>0，ac<0，显然a2bc<0，即bc<0，A错误，B，C，D正确． 11．(2024·全国甲卷)设函数f(x)＝，则曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为(　　) A. B． C． D． 解析：f′(x)＝，所以f′(0)＝3，所以曲线y＝f(x)在点(0,1)处的切线方程为y－1＝3(x－0)，即3x－y＋1＝0，切线与两坐标轴的交点分别为(0,1)，，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×＝.故选A. 三、填空题 12．已知函数满足，则 ． 【详解】因为， 所以， 则，即. 13．若直线是曲线的一条切线，则 . 【详解】法一：对于，其导数为， 因为直线是曲线的切线，直线的斜率为2， 令，即，解得， 将代入切线方程，可得， 所以切点坐标为， 因为切点在曲线上， 所以，即，解得. 14．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)＝0.若当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，则不等式xf(x)>0的解集是____________ 解：设g(x)＝xf(x)，则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)．因为当x>0时，xf′(x)＋f(x)>0，所以g(x)在(0，＋∞)上单调递增．因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以g(x)是定义在R上的偶函数．又f(2)＝0，则g(2)＝2f(2)＝0，所以不等式xf(x)>0等价于g(x)>0＝g(2)，所以|x|>2，解得x<－2或x>2，所以不等式xf(x)>0的解集是(－∞，－2)∪(2，＋∞)． 四、解答题： 15.已知函数f (x)＝x3＋ax2＋b的图象上一点P(1，0)且在点P处的切线与直线3x＋y＝0平行． (1)求函数f (x)的解析式； (2)求函数f (x)在区间[0，t](0＜t＜3)上的最大值和最小值． 【解析】　(1)因为f ′(x)＝3x2＋2ax，曲线在P(1，0)处的切线斜率为f ′(1)＝3＋2a，即3＋2a＝－3，a＝－3. 又函数过(1，0)点，即－2＋b＝0，b＝2. 所以a＝－3，b＝2，f (x)＝x3－3x2＋2. (2)由(1)得f (x)＝x3－3x2＋2， 得f ′(x)＝3x2－6x. 由f ′(x)＝0，得x＝0或x＝2. ①当0＜t≤2时，在区间(0，t)上，f ′(x)＜0，f (x)在[0，t]上是减函数，所以f (x)max＝f (0)＝2，f (x)min＝f (t)＝t3－3t2＋2. ②当2＜t＜3时，当x变化时，f ′(x)，f (x)的变化情况如下表： x 0 (0，2) 2 (2，t) t f ′(x) 0 － 0 ＋ f (x) 2 ↘ －2 ↗ t3－3t2＋2 f (x)min＝f (2)＝－2，f (x)max为f (0)与f (t)中较大的一个． f (t)－f (0)＝t3－3t2＝t2(t－3)＜0， 所以f (x)max＝f (0)＝2. 16．已知函数f(x)＝ex－ax－a3. (1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程； (2)若f(x)有极小值，且极小值小于0，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，则f(x)＝ex－x－1，f′(x)＝ex－1， 可得f(1)＝e－2，f′(1)＝e－1， 即切点坐标为(1，e－2)，切线斜率k＝e－1， 所以切线方程为y－(e－2)＝(e－1)(x－1)，即(e－1)x－y－1＝0. (2)(方法一)因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a， 若a≤0，则f′(x)>0对任意x∈R恒成立， 可知f(x)在R上单调递增，无极值，不合题意． 若a>0，令f′(x)＝0，解得x＝ln a. 当x>ln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x<ln a时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 故f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值． 由题意可得f(ln a)＝a－aln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0. 设g(a)＝a2＋ln a－1，a>0， 则g′(a)＝2a＋>0， 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞)． (方法二)因为f(x)的定义域为R，且f′(x)＝ex－a， 若f(x)有极小值，则f′(x)＝ex－a有零点， 令f′(x)＝ex－a＝0，可得ex＝a， 可知y＝ex的图象与直线y＝a有交点，则a>0. 若a>0，令f′(x)＝0，解得x＝ln a. 当x>ln a时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当x<ln a时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增， 则f(x)有极小值f(ln a)＝a－aln a－a3，无极大值，符合题意， 由题意可得f(ln a)＝a－aln a－a3<0， 即a2＋ln a－1>0， 设g(a)＝a2＋ln a－1，a>0. 因为y＝a2，y＝ln a－1在(0，＋∞)上单调递增， 可知g(a)在(0，＋∞)上单调递增，且g(1)＝0， 不等式a2＋ln a－1>0等价于g(a)>g(1)，解得a>1， 所以a的取值范围为(1，＋∞)． 17.已知函数f (x)＝xex－a(ln x＋x)，a∈R. (1)当a＝e时，求f (x)的单调区间； (2)若f (x)有两个零点，求实数a的取值范围． 【解析】　(1)f (x)的定义域为(0，＋∞)，当a＝e时，f (x)＝xex－eln x－ex， f ′(x)＝，令f ′(x)＞0，解得x＞1，令f ′(x)＜0，解得0＜x＜1，∴f (x)在(0，1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数． (2)令t＝ln x＋x，则t＝ln x＋x在(0，＋∞)上单调递增，且t∈R， ∴f (x)＝xex－a(ln x＋x)＝et－at，令g(t)＝et－at. ∴f (x)在(0，＋∞)上有两个零点等价于g(t)＝et－at在t∈R上有两个零点． ①当a＝0时，g(t)＝et在R上递增，且g(t)＞0，故g(t)无零点； ②当a＜0时，g′(t)＝et－a＞0，g(t)在R上单调递增， 又g(0)＝1＞0，g＝e－1＜0，故g(t)在R上只有一个零点； ③当a＞0时，由g′(t)＝et－a＝0，可知t∈(－∞，ln a)时，g′(t)＜0，g(t)为减函数；t∈(ln a，＋∞)时，g′(t)＞0，g(t)为增函数，∴g(t)在t＝ln a时有唯一的一个极小值g(ln a)＝a(1－ln a)． 若0＜a＜e，则g(t)min＝g(ln a)＝a(1－ln a)＞0，g(t)无零点；若a＝e，则g(t)min＝0，g(t)只有一个零点；若a＞e，则g(t)min＝g(ln a)＝a(1－ln a)＜0，而g(0)＝1＞0，由于f (x)＝在x＞e时为减函数，可知当a＞e时，ea＞ae＞a2. 从而g(a)＝ea－a2＞0，∴f (x)在(0，ln a)和(ln a，＋∞)上各有一个零点． 综上可知：当a＞e时，f (x)有两个零点，即所求a的取值范围是(e，＋∞)． 18.设函数f(x)＝x3－6x＋5，x∈R. (1)求函数f(x)的单调区间和极值； (2)若关于x的方程f(x)＝a有三个不同的实根，求实数a的取值范围； (3)已知当x∈(1，＋∞)时，f(x)≥k(x－1)恒成立，求实数k的取值范围． 解：(1)f′(x)＝3x2－6，令f′(x)＝0， 解得x1＝－，x2＝. 因为当x>或x<－时，f′(x)>0，f(x)单调递增； 当－<x<时，f′(x)<0，f(x)单调递减． 所以f(x)的单调递增区间为(－∞，－)和(，＋∞)，单调递减区间为(－，)． 当x＝－时，f(x)有极大值5＋4； 当x＝时，f(x)有极小值5－4. (2)由(1)知y＝f(x)的图象的大致形状及走向如图所示，故当5－4<a<5＋4时，直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点，即方程 f(x)＝a有三个不同的实根． (3)f(x)≥k(x－1)，即(x－1)(x2＋x－5)≥k(x－1)． 因为x>1，所以k≤x2＋x－5在(1，＋∞)上恒成立． 令g(x)＝x2＋x－5，g(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以g(x)>g(1)＝－3. 所以实数k的取值范围是(－∞，－3]． 19.已知函数 ，其中 . (1)若曲线 在点 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为 ,求 的值; (2)若函数 在定义域内不单调，求 的取值范围； (3)若 ，对任意的 恒成立，求 的最小值. 解: (1) 因为 ,切线与坐标轴围成的三角形的面积为 , 所以切线与 轴交点的坐标为 . 所以切线斜率 , 所以 的值为 −1 或 2 . −4 分 (2)由题意得 . ① ， ， 在 单调递减， ， 存在 ,使得 , 所以 在 单调递增,在 单调递减,即 不单调. ② ， ， ， 在 单调递增， 在 单调递减, ,令 ,即 , 此时存在 ,使得 , 所以 在 单调递减,在 单调递增,在 单调递减, 即 不单调. 综上所述 的取值范围为 . (3)由(2)知当 时， 在 单调递减， ， ， 存在 ,使得 , 所以 在 单调递增,在 单调递减, 所以 ,即 , 令 因为 当 时, 单调递增,当 时, 单调递减, 当 时, 单调递增, , 所以 , 所以 的最小值为 . 学科网（北京）股份有限公司 $