第04讲 等比数列的概念（知识清单+8题型讲解举三反三+强化训练）讲义-【满分全攻略备考系列】2025-2026学年（人教A版选择性必修二）数学高二重难点讲义与测试

第04讲等比数列的概念 知识清单 知识点01：等比数列的概念 知识点02：等比中项 知识点03：等比数列的通项公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：等比数列的定义 题型2：确定等比中项、等比中项的应用 题型3：写出等比数列的通项公式 题型4：等比数列通项公式的基本量计算 题型5：由递推关系证明等比数列 题型6：等比数列下标和性质及应用 题型7：等比数列的单调性 题型8：利用等比数列的通项公式求数列中的项 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 递推 关系 或 知识点02等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 知识点03等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 题型1：等比数列的定义 【例1-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由等比数列定义逐一分析充分性和必要性即可得解. 【详解】若为等比数列，则， 所以，即一定是等比数列，故必要性成立； 若为等比数列，则， 所以，即不一定是等比数列，故充分性不成立． 故“为等比数列”是“为等比数列”的必要不充分条件. 故选：B 【例1-2】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 【例1-3】已知数列是等比数列，且，，则 . 【答案】 【分析】根据等比数列的定义得到，然后利用已知项的值即可得到结果. 【详解】由是等比数列，知. 所以. 故答案为：. 【变式1-1】（23-24高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据已知及等比数列的定义可得结果. 【详解】因为为等比数列且通项公式为， 所以公比， 故选：A. 【变式1-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合等差数列与等比数列的定义检验充分及必要性即可判断. 【详解】因为，则， 若为正项等比数列，则， 所以为常数，即为等差数列，充分性成立； 若为等差数列，则， 所以，即为正项等比数列，即必要性成立． 故选：A. 【变式1-3】已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝ ． 【答案】2 【分析】由定义直接求出公比. 【详解】因为在等比数列{}中，， 所以{}的公比q＝. 故答案为：2 题型2：确定等比中项、等比中项的应用 【例2-1】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等比中项的定义即可得到方程，解出即可. 【详解】由题意得，解得. 故选：D. 【例2-2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知，，成等比数列，则的值是 【答案】 【分析】根据等比中项建立等式求解即可． 【详解】根据题意可知：， 解得：． 故答案为： 【例2-3】求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】根据等比中项的性质可求各小问中的等比中项. 【详解】（1）和的等比中项为. （2）和的等比中项为 （3）和的等比中项为 【变式2-1】（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由韦达定理可得，，根据等比中项可求，注意符号的判定. 【详解】因为等比数列，，为方程的两根， 所以，故， 又因为， 所以，同为负数，由等比数列的性质可知，等比数列的隔项同号， 所以. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）在等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】由等比中项的性质易得结果. 【详解】由题意，可得，所以. 故答案为：. 【变式2-3】（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式，前n项和； (2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)答案见解析 (2)存在，n＝41 【分析】（1）由已知列式求解公差，可得数列的通项公式及前n项和； （2）把Sn分类代入，求解得答案． 【详解】（1）设等差数列的公差为d， 由，且成等比数列， 得，解得或， 当时，，； 当时，，． （2）当时，，此时不存在正整数n，使得成立； 当时，由，得，解得或． 此时存在正整数，使得成立 题型3：写出等比数列的通项公式 【例3-1】（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等比数列的通项公式求得. 【详解】由等比数列的通项公式易得. 故选：B 【例3-2】（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等比数列，若，，则 . 【答案】 【分析】根据题意将，代入即可. 【详解】因为为等比数列，所以 故答案为：. 【例3-3】（24-25高二下·北京房山·期中）等比数列满足如下条件：①，②数列单调递减，写出满足上述两个条件的数列的一个通项公式 . 【答案】(答案不唯一) 【分析】根据等比数列的性质进行求解即可. 【详解】等比数列为单调递减数列， ， ，满足上述条件的一个数列的通项公式为： 故答案为：(答案不唯一) 【变式3-1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【答案】C 【分析】可根据数列通项公式写出的表达式，进而得出结果. 【详解】，则， 当或4时，表达式取得最大值：． 故选：C． 【变式3-2】（24-25高二·上海·随堂练习）在数列中，，且，则 ． 【答案】8 【分析】先判断数列为等比数列，利用等比数列的通项公式求解第四项； 【详解】因为，，所以为公比为2的等比数列，所以. 故答案为：8. 【变式3-3】（25-26高二下·全国·随堂练习）已知等比数列中，，公比，则 . 【答案】 【分析】由等比数列的通项公式即可得到结果. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 题型4：等比数列通项公式的基本量计算 【例4-1】（25-26高二上·广东汕头·期末）等比数列满足，则公比q的取值为（   ） A． B．2 C．或2 D．3或 【答案】C 【分析】根据等比数列的通项公式，列式求解. 【详解】设等比数列的公比为，则，且， 所以，解得：或. 故选：C 【例4-2】（25-26高二上·天津南开·月考）已知是等比数列，，，则公比 ． 【答案】2 【分析】根据等比数列的通项公式的性质直接运算即可. 【详解】因为，所以，所以. 故答案为：2 【例4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，，，且，，成等差数列．求数列的通项公式． 【答案】 【分析】根据等差数列的性质求出 q的值，然后通过分奇偶项讨论求数列的通项公式. 【详解】因为，，成等差数列． 所以， 即，所以． 又因为，故，由，得． 当时，； 当时，． 所以的通项公式为． 【变式4-1】（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．9 B．36 C．54 D．72 【答案】B 【分析】设出等比数列的公比，利用等比数列的通项公式化简等式，可得答案. 【详解】因为数列为等比数列，设等比数列的公比为， 因为， 则，可得，解得， 所以. 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·吉林·期末）在等比数列中，，公比.若，则的值为 . 【答案】6 【分析】根据等比数列的通项公式求解. 【详解】因为且，，所以，所以. 故答案为：6. 【变式4-3】（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若为正项等比数列，且，，求． 【答案】(1) (2)81 【分析】（1）由题目列方程组求出所以. （2）结合（1）结果列方程组求出，，所以. 【详解】（1）设的公差为．由得 所以. （2）设的公比为．由 得（舍去），． 所以． 题型5：由递推关系证明等比数列 【例5-1】如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】A 【分析】根据“和差等比数列”的定义，可得，化简可得，进而得到数列是首项为1，公比为2的等比数列，进而求出，再解不等式即可求解. 【详解】依题意，，化简得， 则数列是首项为1，公比为2的等比数列， 所以， 令，即，又，则， 即，所以满足使不等式的的最小值是8. 故选：A. 【例5-2】（24-25高二下·重庆·月考）在数列中，，则 ． 【答案】 【分析】令，得到的比值是定值，由等比数列的定义知道数列是等比数列，并知道首项和公比，由等比数列的通项公式得到. 【详解】当时，，即 ， ∴数列是首项，公比的等比数列， ∴. 故答案为：. 【例5-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列满足：，，．求证：成等比数列. 【答案】证明见解析 【分析】令，根据已知条件证明为常数即可. 【详解】由题意，，，即， 令，即， 则， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， 所以， 故数列为等比数列. 【变式5-1】已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等比数列、充要条件的定义判断可得答案. 【详解】若， 当时，，所以， 当时，， 所以， 可得，即， 可得是公比为2首项的等比数列； 若为等比数列， 可得当时，，所以，即， 则“”是“为等比数列”的充要条件. 故选：C. 【变式5-2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则 . 【答案】 【分析】由递推关系结合，确定，再对递推关系取倒数可得，再证明数列为等比数列，结合等比数列通项公式求数列的通项公式，再求结论. 【详解】因为，， 所以，，，，， 即，， 所以， 所以，又因为， 所以，， 所以， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以， 所以，故， 故答案为：. 【变式5-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列中，，.求证：数列是等比数列. 【答案】证明见解析 【分析】由变形为，结合等比数列定义证明即可. 【详解】因为，则， 且，所以数列是以2为首项，4为公比的等比数列. 题型6：等比数列下标和性质及应用 【例6-1】（25-26高二上·福建·月考）在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据韦达定理以及等比数列的性质即可求解. 【详解】由于是方程的两个根，故，， 因此，从而， 又是等比数列，故，， 故选：B 【例6-2】（25-26高二上·北京·月考）在等比数列中，，，则 . 【答案】6 【分析】先应用等比数列下标和性质得出，进而得出，最后应用通项公式计算求值. 【详解】等比数列中，，则， 又因为，则， 设等比数列中公比为，则，所以， 则. 故答案为：6. 【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）已知在各项都为正数的等比数列中，，，求此数列的通项公式． 【答案】或． 【分析】根据下标和性质得到，即可求出、，从而求出公比，从而求出通项公式. 【详解】设等比数列的公比为， 因为，，， 所以 因为数列的各项均为正数， 所以，解得或， 所以公比或， 所以或． 【变式6-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等比数列的性质和等比中项的性质即可求解. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比数列的性质可得，， 所以，，所以. 故选：C. 【变式6-2】（25-26高二上·天津·月考）设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式将转化为的等式，通过计算得到的值，即的值，利用等比数列的性质得到，代入计算得解. 【详解】是各项均为正数的等比数列，，， ，， ， . 故答案为：. 【变式6-3】已知是等比数列，，且，求 【答案】 【分析】根据等比数列的性质求得正确答案. 【详解】根据等比数列的性质可知： ， 由于，所以. 题型7：等比数列的单调性 【例7-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】利用等比数列的概念结合必要不充分条件定义即可得解. 【详解】若为递减数列，则对任意有即， 所以或， 如满足和的数列均为递减数列，故充分性不成立； 若，，则数列为递减数列，所以必要性成立. 所以甲是乙的必要不充分条件. 故选：B 【例7-2】（24-25高二下·北京海淀·期中）设无穷等比数列，则“为递减数列是”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据题意验证其充分性与必要性即可. 【详解】充分性，由为递减数列，则有2种情况①，此时， ②，此时，综上，充分性不成立， 必要性，因为无穷等比数列，，则， 所以且，即为递减数列，故必要性成立， 综上，为递减数列是的必要不充分条件， 故选：B. 【例7-3】写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式： ； ①数列是递减数列，② 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题属于开放性问题，只需找到符合题意的，令，再检验即可. 【详解】令，因为函数在定义域上单调递减，且当时， 所以单调递减，且，符合题意. 故答案为：（答案不唯一） 【变式7-1】（24-25高二下·河南周口·月考）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设等比数列的公比为，根据已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，可求出等比数列的通项公式，解不等式，即可得出结果. 【详解】设等比数列的公比为，则，解得， 故，所以，且是递增数列. 由可得，可得，解得， 所以当时，，当时，， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 【变式7-2】）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据充分条件、必要条件的定义及等比数列的单调性与通项公式判断即可. 【详解】设等比数列的公比为，， 若，则， 当 时，由 得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 当时，由，得，解得或， 若，则，此时与已知矛盾； 若，则，此时为递增数列． 反之，若是递增数列，则， 所以“对于任意的，”是“是递增数列”的充要条件． 故选：C． 【变式7-3】等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 【答案】2 【分析】由题意可得，且，由条件可得，化简得，再由，求得的值． 【详解】解：等比数列是递减数列，其前项的积为，若，设公比为， 则由题意可得，且． ，． 又由等比数列的性质可得，． 故答案为：2． 题型8：利用等比数列的通项公式求数列中的项 【例8-1】（24-25高二下·吉林长春·期末）等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 【答案】C 【分析】由等比数列通项公式求公比，进而求指定项. 【详解】若等比数列的公比为，则，故. 故选：C 【例8-2】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）在等比数列中，，则 . 【答案】 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】由题知，所以，所以. 故答案为：. 【例8-3】已知为等比数列，其中，，，求． 【答案】 【分析】先设出等比数列的公比，根据题意列方程，求出公比，再根据等比数列的通项公式，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， ，，， ， 可得，即， . 【变式8-1】（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【答案】B 【分析】根据已知及等比数列的通项公式列方程求基本量，进而求项. 【详解】设数列的公比为，则， 由题意得：，，且， 所以，，则， 整理得，解得，舍去）， 所以，则. 故选：B 【变式8-2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【答案】512 【分析】利用等比数列的通项公式即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由可得，把代入方程整理得 或(舍去). 所以. 故答案为：512 【变式8-3】（24-25高二上·山东临沂·月考）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的前三项求出公比，再用等比数列的通项公式即可求解. （2）根据等比数列的通项公式列方程求出首项即可. 【详解】（1）设等比数列的公比为， 因为，，所以. （2）因为是等比数列，又，，， 所以，即，解得 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期中）如果，a，b，c，成等比数列，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等比数列性质求解. 【详解】依题意，，，得， 所以. 故选：B 2．（25-26高二上·广东·期末）已知数列满足，且，那么＝（　　） A．190 B．191 C．192 D．128 【答案】B 【分析】构造等比数列,进而求得数列的通项公式得出的值即可 【详解】因为,故, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. 故,故. 故. 故选：B． 3．（25-26高二上·湖南·月考）在等比数列中，，则公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据等比数列的通项公式列式求值. 【详解】由，可得，所以. 故选：B 4．（25-26高二上·山西晋中·月考）在等比数列中，，是方程的根，则（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系可得，结合等比数列的性质即可求得. 【详解】因为，是方程的根，所以，，所以，； 设等比数列的公比为，则，所以，解得； 又，所以，所以. 故选：C. 5．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知3是与的等差中项，1是与的等比中项，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．34 【答案】D 【分析】根据等差中项和等比中项的定义列式计算即可. 【详解】根据题意，由等差中项和等比中项定义知： ， 所以. 故选： D 6．（24-25高二下·贵州黔西·期末）记为各项均为正数的数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C．是递增数列 D． 【答案】B 【分析】令即可判断A；将代入中得到，利用时，即可求出可判断B；根据可判断C；将代入即可判断D. 【详解】令，由得，解得或，又，所以，故A错误； 可化为， 当时，，即，且，不等于0， 所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，故B正确； 因为，所以是常数列，故C错误； ，故D错误. 故选：B. 7．（25-26高二上·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用等差数列的等差中项的定义及等比数列的通项公式计算即可． 【详解】设等比数列 的公比为，则， 故， 由成等差数列，得， 即由于等比数列 中，， 故可得，解得：或， 由于，故即得， 故． 故选：D. 8．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用与的关系以及的值证明得到数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列，得 【详解】已知， 则当时，， 两式相减得到，即 ； 所以数列是从第 2 项起是公比为 3 的等比数列， 当时，； 所以数列是从第 1项起是公比为 3 的等比数列， 所以； 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·云南玉溪·月考）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．4与9的等比中项为 C．在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D．等比数列是递增数列，则的公比 【答案】ABC 【分析】A选项利用等差数列，等比数列的定义进行验证即可；B选项利用等比中项定义求解；C选项由等比数列的性质可知，即可求解；D选项举反例可判断. 【详解】对于A选项，设非零常数列的通项公式为， 则，所以是公差为的等差数列， 又，所以是公比为的等比数列， 所以非零常数列既是等差数列，又是等比数列.故A正确； 对于B选项，4与9的等比中项为，故B正确； 对于C选项，由等比数列的性质可知，且， 所以，的可能值为，或，或，或，或，， 则，或，或，故C正确； 对于D选项，当，时，数列是递增数列，故D错误. 故选：ABC 10．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的有（    ） A．在等差数列中，，，则前9项和 B．在等差数列中，，，则 C．数列为等比数列，，，则 D．数列的前n项和为 【答案】ACD 【分析】利用等差数列的性质结合求和公式，可判断A的真假；利用等差数列的前项和的性质判断B的真假；根据等比数列的通项公式可判断C的真假；利用裂项求和法求和，可判断D的真假. 【详解】对A：因为，故A正确； 对B：因为为等差数列，所以为等差数列， 所以.故B错误； 对C：因为数列为等比数列，所以， 所以.故C正确； 对D：因为，所以， 所以数列的前n项和为： .故D正确. 故选：ACD 11．（25-26高二上·山西·月考）已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ） A． B．是等比数列 C． D． 【答案】ACD 【分析】由的递推公式得出数列是常数列可判断A；由得出是等比数列，求出可判断B；逐一列举出重合的项，确定数列中含的个数可判断C；通过计算的部分项之和与公共项之和的差可判断D. 【详解】对于A：由，可得， 所以数列是各项为的常数列，所以，故A正确； 对于B：，所以， ，所以，所以， 所以是首项为2，公比为2的等比数列，故，则， 则，不是等比数列，故B错误； 对于C：数列的第106项为， 又，，，，，，， 所以在数列的前106项中，共有这6项也属于数列， 故的第项（即）为， 所以，故C正确； 所以的前项和为 ，故D正确； 故选：ACD 三、填空题 12．（25-26高二上·天津北辰·月考）已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则 ． 【答案】 【分析】取对数得，再结合等差数列、等比数列的性质和对数运算性质，即可求解． 【详解】，两边同时取以为底的对数，得，， 又是等差数列，则（常数）， 故，故是等比数列， 则， 又， . 故答案为：. 13．（2025高二上·全国·专题练习）在数列中，已知，，则的通项公式为 . 【答案】 【分析】通过凑配法证得是等比数列，进而可求的通项公式. 【详解】由，得， 所以，即， 所以是首项为，公比为的等比数列. . 故答案为：. 14．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】根据等比数列通项公式即可得到方程组，解出即可. 【详解】由题意得，结合，解得， 则. 故答案为：. 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列满足，且求数列的通项公式； 【答案】 【分析】对已知等式分解因式化简可得，则数列是以3为公比，3为首项的等比数列，从而可求出其通项公式. 【详解】由，得， 因为，所以，即， 因为， 所以数列是以3为公比，3为首项的等比数列， 所以； 16．（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合等比数列的性质进行求解即可； （2）运用裂项相消法进行计算证明即可. 【详解】（1）由题意，得且， 解得 所以. （2）证明：由（1）得，因为， 所以. 则 因为，所以，所以. 17．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将条件关系利用等差数列的通项公式和前项和公式转化为的方程，解方程求，再结合公式求出答案； （2）根据等比中项的性质，结合（1）的结论列方程求即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 因为，， 所以，解得， 所以数列的通项公式为，数列的前项和为． （2）因为，，成等比数列，所以， 即，解得， 又，所以. 18．（2025高二上·全国·专题练习）在数列中，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列中是否存在不同的三项，，恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据题意，求得，且，得到为等比数列，结合等比数列的通项公式，即可求解； （2）由（1）求得，假设中是否存在不同的三项，，恰好成等差数列，且，化简得到，结合是奇数，是偶数，得出矛盾，即可得到结论. 【详解】（1）解：由，且， 可得，即， 又因为，可得，所以数列是首项为2、公比为2的等比数列， 所以数列的通项公式为. （2）解：由（1）知：，可得，所以， 假设中是否存在不同的三项，， 恰好成等差数列， 不妨设，则， 可得，所以， 因为，且，所以是奇数，是偶数， 所以等式不可能成立， 所以不存在不同的三项，，成等差数列. 19．（25-26高二上·福建莆田·期中）在数列，中，，且，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记的前项和为，证明：. 【答案】(1)，. (2) (3)证明见解析 【分析】（1）通过对两数列递推公式赋值代入依次求出，，即可； （2）由数列递推式构造，即得等比数列，利用等比数列基本量运算即得其通项； （3）化简得，利用裂项相消法求和，并根据数列单调性即可证明. 【详解】（1）对于，当时，，即，解得， 当时，，① 对于，当时，，即得，代入① ，可得. 故，. （2）由可得，即， 故数列是等比数列，其首项为，公比为2， 故的通项公式为. （3）因， 则 因，则，故； 又数列是递增数列，由可得 ， 综上可得：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第04讲等比数列的概念 知识清单 知识点01：等比数列的概念 知识点02：等比中项 知识点03：等比数列的通项公式 题型讲解 （举三反三） 题型1：等比数列的定义 题型2：确定等比中项、等比中项的应用 题型3：写出等比数列的通项公式 题型4：等比数列通项公式的基本量计算 题型5：由递推关系证明等比数列 题型6：等比数列下标和性质及应用 题型7：等比数列的单调性 题型8：利用等比数列的通项公式求数列中的项 强化训练 一、单选题（8） 二、多选题（3） 三、填空题（3） 四、解答题（5） 知识点01等比数列的概念 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0) 递推 关系 或 知识点02等比中项 如果在a与b中间插入一个数G(G≠0)，使a,G,b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 若G是a与b的等比中项，则，所以=ab，即G=. 知识点03等比数列的通项公式 若等比数列{}的首项为，公比为q，则这个等比数列的通项公式是=(,q≠0). 题型1：等比数列的定义 【例1-1】（24-25高二下·辽宁辽阳·期末）“为等比数列”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【例1-3】已知数列是等比数列，且，，则 . 【变式1-1】（23-24高二下·北京房山·期中）已知等比数列的通项公式，则数列的公比为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式1-2】（24-25高二上·广东深圳·期末）已知，则“为正项等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】已知等比数列{}中，，则{}的公比q＝ ． 题型2：确定等比中项、等比中项的应用 【例2-1】（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知实数成等比数列，则（   ） A． B． C． D． 【例2-2】（25-26高二上·江苏淮安·月考）已知，，成等比数列，则的值是 【例2-3】求下列各组数的等比中项： (1)和； (2)和； (3)和． 【变式2-1】（24-25高二下·贵州黔南·期末）已知等比数列，若，为方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·上海·期末）在等比数列中，，则 . 【变式2-3】（24-25高二下·北京·期中）已知等差数列满足：，且成等比数列，数列的前n项和为． (1)求数列的通项公式，前n项和； (2)是否存在正整数n，使得？若存在，求n的最小值；若不存在，说明理由． 题型3：写出等比数列的通项公式 【例3-1】（24-25高二下·新疆吐鲁番·期中）已知在等比数列中，，公比，则数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【例3-2】（24-25高二上·天津红桥·期末）已知为等比数列，若，，则 . 【例3-3】（24-25高二下·北京房山·期中）等比数列满足如下条件：①，②数列单调递减，写出满足上述两个条件的数列的一个通项公式 . 【变式3-1】（24-25高二上·重庆沙坪坝·期末）已知数列为等比数列，，公比，则的最大值为（   ） A．16 B．32 C．64 D．128 【变式3-2】（24-25高二·上海·随堂练习）在数列中，，且，则 ． 【变式3-3】（25-26高二下·全国·随堂练习）已知等比数列中，，公比，则 . 题型4：等比数列通项公式的基本量计算 【例4-1】（25-26高二上·广东汕头·期末）等比数列满足，则公比q的取值为（   ） A． B．2 C．或2 D．3或 【例4-2】（25-26高二上·天津南开·月考）已知是等比数列，，，则公比 ． 【例4-3】（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，，，且，，成等差数列．求数列的通项公式． 【变式4-1】（24-25高二上·云南玉溪·期末）已知等比数列满足，则（    ） A．9 B．36 C．54 D．72 【变式4-2】（25-26高二上·吉林·期末）在等比数列中，，公比.若，则的值为 . 【变式4-3】（25-26高二上·河北邢台·月考）在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)若为正项等比数列，且，，求． 题型5：由递推关系证明等比数列 【例5-1】如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的和除以与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做“和差等比数列”已知是“和差等比数列”，，，则满足使不等式的的最小值是（   ） A．8 B．7 C．6 D．5 【例5-2】（24-25高二下·重庆·月考）在数列中，，则 ． 【例5-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列满足：，，．求证：成等比数列. 【变式5-1】已知数列的前项和，则“”是“为等比数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】（24-25高二下·河南南阳·期中）已知数列满足，且，则 . 【变式5-3】（25-26高二·全国·假期作业）已知数列中，，.求证：数列是等比数列. 题型6：等比数列下标和性质及应用 【例6-1】（25-26高二上·福建·月考）在等比数列中，若是方程的两个根，则的值是（    ） A． B． C．2 D． 【例6-2】（25-26高二上·北京·月考）在等比数列中，，，则 . 【例6-3】（2025高二·全国·专题练习）已知在各项都为正数的等比数列中，，，求此数列的通项公式． 【变式6-1】（25-26高二上·甘肃兰州·期中）已知实数成等比数列，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26高二上·天津·月考）设各项均为正数的等比数列满足，则等于 . 【变式6-3】已知是等比数列，，且，求 题型7：等比数列的单调性 【例7-1】（24-25高二下·河南南阳·期末）已知等比数列的公比为.设甲：为递减数列，乙：，，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例7-2】（24-25高二下·北京海淀·期中）设无穷等比数列，则“为递减数列是”的（   ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【例7-3】写出同时满足下列条件的数列的一个通项公式： ； ①数列是递减数列，② 【变式7-1】（24-25高二下·河南周口·月考）在等比数列中，，，则当取得最小值时， （    ） A． B． C． D． 【变式7-2】）数列是等比数列，则对于“对于任意的，”是“是递增数列”的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要 【变式7-3】等比数列是递减数列，前n项的积为，若，则 ． 题型8：利用等比数列的通项公式求数列中的项 【例8-1】（24-25高二下·吉林长春·期末）等比数列中，，则（   ） A．8 B． C．16 D． 【例8-2】（25-26高二上·甘肃兰州·月考）在等比数列中，，则 . 【例8-3】已知为等比数列，其中，，，求． 【变式8-1】（25-26高二上·广东·期末）已知正项等比数列的前2项和为6，，则（    ） A．128 B．64 C．32 D．16 【变式8-2】（25-26高二上·江苏苏州·月考）已知数列是递增的等比数列，若，则 . 【变式8-3】（24-25高二上·山东临沂·月考）在等比数列中. (1)若它的前三项分别为，，，求； (2)若，，，求； 一、单选题 1．（24-25高二上·北京·期中）如果，a，b，c，成等比数列，那么（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26高二上·广东·期末）已知数列满足，且，那么＝（　　） A．190 B．191 C．192 D．128 3．（25-26高二上·湖南·月考）在等比数列中，，则公比（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二上·山西晋中·月考）在等比数列中，，是方程的根，则（   ） A． B．2 C． D．1 5．（25-26高二上·甘肃白银·期末）已知3是与的等差中项，1是与的等比中项，则（    ） A．8 B．9 C．16 D．34 6．（24-25高二下·贵州黔西·期末）记为各项均为正数的数列的前n项和，且，则（   ） A． B． C．是递增数列 D． 7．（25-26高二上·重庆·月考）在等比数列 中，成等差数列，则 （   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·天津滨海新·月考）已知数列的前项和为，且，则（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·云南玉溪·月考）下列说法正确的是（   ） A．非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B．4与9的等比中项为 C．在公比不为1的等比数列中，若，则mn的值可能为8 D．等比数列是递增数列，则的公比 10．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）下列说法正确的有（    ） A．在等差数列中，，，则前9项和 B．在等差数列中，，，则 C．数列为等比数列，，，则 D．数列的前n项和为 11．（25-26高二上·山西·月考）已知数列满足，数列满足，设中不在中的项按从小到大的顺序构成新数列，记的前项和为，则（ ） A． B．是等比数列 C． D． 三、填空题 12．（25-26高二上·天津北辰·月考）已知数列，满足，，其中是等差数列，且，则 ． 13．（2025高二上·全国·专题练习）在数列中，已知，，则的通项公式为 . 14．（24-25高二上·福建福州·期末）已知等比数列满足，则数列的通项公式 . 四、解答题 15．（2025高二上·全国·专题练习）已知正项数列满足，且求数列的通项公式； 16．（25-26高二上·河南·月考）已知等差数列的公差，且成等比数列． (1)求数列的通项公式； (2)若，数列的前项和为，求证：． 17．（24-25高二上·宁夏·期末）设为等差数列的前项和，，． (1)求数列的通项公式和前项和； (2)若，，成等比数列，求的值． 18．（2025高二上·全国·专题练习）在数列中，，. (1)设，求数列的通项公式； (2)数列中是否存在不同的三项，，恰好成等差数列？若存在，求出的关系；若不存在，说明理由. 19．（25-26高二上·福建莆田·期中）在数列，中，，且，． (1)求，的值； (2)求的通项公式； (3)设，记的前项和为，证明：. 1 学科网（北京）股份有限公司 $