云南普洱市墨江第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试卷

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4,本试卷主要考试内容：人教A版必修第一册，必修第二册第六章至第八章第4节。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的、 1.与三棱台的顶点数相同的几何体可以是 A.三棱锥 B.四棱锥 C.四棱柱 D.五棱锥 2.集合A=(x∈N3<x2<17)的子集个数为 A.3 B.4 C.8 D.9 3.已知z=一3，则泛= A1-3i B.1+3i C.3-i D.3+i 4.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“b>2c"”是“sinB>sin2C”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 5.不等式x2+mx+15≥0对任意x∈[3,5]恒成立，则m的最小值是 A-√15 B.-2√15 C.15 D.2√15 6.一个正方体的展开图如图所示，若将它还原为正方体，则 A.BD//EF B.EF∥AB C.BC//EF D.AB⊥BC 7.已知D是△ABC的重心，AB=3,AC=2,∠BAC=号，则A方在A店上的投 形向量为 A诚 B号 c庙 D店 8.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选择与塔底B在同一水平面内的 两个测量点C与D,先测得∠BCD=45°，∠BDC=105°，CD=40米，并 在点C处测得塔顶A的仰角为30°，则塔高AB= A.60520E米 B,603-20V6 3 米 3 c60,2+205米 D.605+206米 3 【高一数学第1页（共4页）】 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.关于平面向量a,b,c,下列结论不正确的是 A.若a+b=0,则|a|=|b B.若a·b=0,则a=0或b=0 C.若a⊥b,a⊥c,则b=c D.若a·b=a·c,则b=c 10.已知函数f(x)=lnx,g(x)=f(66-x)十f(x一22)，则 A.g(x)在(22,44)上单调递增 B.g(x)的值域为(0,2ln22] C.g(x)的图象关于直线x=44对称 D.g(x)恰有1个零点 1.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,bc,若C=号，且△ABC的面积S-g,则 A.acos B+bcos A=√3 B.a+b≥23 C.sin 1E(xlz=cos A+cos B) D关于B的方程3sinB+osB-2日 2sinB=1存在2个不相等的实数根 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知之1=2一i,之2=3十2i,则之1一之2的虚部为 13.如图，△A'B'C是用斜二测画法画出的水平放置的△ABC的 y 直观图，A',C分别在y,x轴上，且A'B=B'C=3,A'B'⊥ B'C',A'B'/O'C',则在△ABC中，BC=▲ 14.已知向量a,b,c满足|a|=6,1b|=5,a·b=18,且(c-a)·(c -2b)=-12,则1c-b1的最大值为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤。 15.(13分) 已知向量a=(1,-3),b=(-1,1). (1)求|a+2b|: (2)求向量a十2b与2a一b夹角的余弦值 【高一数学第2页（共4页）】 16.(15分) 已知函数f(x)=4sin(wzx十p)(u>0,lp<2)的部分图象如图所示，点M(0,一2)，点 N(5,2). (1)求f(x)的解析式： (2)求f(x)的单调递增区间； (3)求fx)在[百，]上的值域。 17.(15分) 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,E为B1D1的中点，AC1与平面B1D1C交于点F. (1)求三棱锥C1-B1D,C的体积； (2)求三棱锥C1-B1D,C外接球的表面积； (3)证明：C,F,E三点共线 E 【高一数学第3页（共4页）】 18.(17分) 如图，在长方形ABCD中，AB=4,AD=2,E是CD的中点，F是线段BE上的点（含 端点). (1)若E萨=2F克，用AB,AD表示A: (2)求AC·A下的取值范围： (3)延长AF到点G,使得CG⊥AE,若AF=√10，求EG. E 19.(17分) 如图，在平面图边形ABCD中，AB=BC=CD-号AD, a若器-求ca∠BCD (2)判断√2cos∠BAD一cos∠BCD是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由， D<2AB,设△ABD,△BCD的面积分别为S1,S2,求 【高一数学第4页（共4页）】高一数学参考答案 题序 9 10 11 12 13 14 答案 D BCD AC ACD -3 9 5 【评分细则】 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分 【2】第9,11题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分；第10题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分， 【3】第12,13,14题，其他结果均不得分. 1.D三棱台的顶点数为6，三棱锥的顶点数为4，四棱锥的顶点数为5，四棱柱的顶点数为8，五 棱锥的顶点数为6. 2.C由题意得A={2,3,4},其元素个数为3，子集个数为23=8. 3.C之=-3i3=-1+3i,则这=i(-1-3i)=3-i. 4.A由b>2c,得sinB>2sinC>2 sin Ccos C=sin2C,即sinB>sin2C;由sinB>sin2C, 得sinB>2 sin Ccos C,则b>2 ccos C,不一定满足b>2c.故“b>2c”是“sinB>sin2C”的充 分不必要条件 5.B根据题意可得m≥-(x+盟)对任意x∈[3,5]恒成立，设f(x)=-(x+),x∈[3， 5引，则m≥f)x+5≥2压，当且仅当x=1时，等号成立，fx)-2压，所以m ≥-2√15，m的最小值为-2√15， 6.B以AB所在平面作为下底面还原，还原成如图所示的正方体，由图可 得BD与EF异面，A错误.显然EF∥AB,B正确.BC与EF异面，C错 误.连接CD,则△BCD为等边三角形，D错误， 7.D因为D是△ABC的重心，所以A市-A店+号AC,则A市在店上 的投影向量为市：正.店+A正.店-花 |AB12 27 BC 8.C由题可知∠CBD=30°，则 CD sin∠BDC=sin∠CBD,则BC=80sin105°=80sin(45°+60) =20(W2+6)米.因为∠BCA=30,所以AB=B℃_20,5+60巨米 9.BCD由a十b=0,得a=一b,则|a=|b|,A正确.由a·b=0,得a=0或b=0或a⊥b,B 不正确.若a⊥b,a⊥c,则b,c不一定相等，C不正确.若a·b=a·c,则a⊥(b一c),D不 【高一数学·参考答案第1页（共6页）】 正确. 10.ACg(x)的定义域为(22,66)，因为g(88-x)=ln(x-22)+ln(66-x)=g(x),所以 g(x)的图象关于直线x=44对称，C正确.因为g(x)=ln[(66-x)(x-22)],且函数t= (66一x)(x一22)在(22,44)上单调递增，h(t)=lnt在其定义域内单调递增，所以g(x)在 (22,44)上单调递增，A正确.当x∈(22,66)时，t=(66-x)(x-22)∈(0,484]，所以g(x) 的值域为(-∞，2ln22],B错误.令g(x)=0,易得方程(66-x)(x-22)=1在(22,66)内 有两解，D错误。 1AGD因为C-青所以S=略-bC-96,则=3. 由sinC=sin(A+B)=sin Acos B十cos Asin B,可得c=acos B+bcos A=√3，A正确. 为c2=a2+b22 abcos C,所以3=a2+62一ab=(a+b)2一3ab>a,当且仅当 -b时，等号成立，则a十6≤25，B不正确c0sA+cosB=cosA十cos(管-A)=2osA +snA=n(A+晋）由0<A<经，得音<A+吾<警，因为答<1<晋，所以m1E {xz=cosA+cosB),C正确.√3sinB+cosB-2sinB √3_2，W3sinB+2 sin Bcos B-√3 2sin B sin 2B-3cos 2B_sin(2B-) 2sin B sin B -1,则m(2B-）=nB.由0<B<径得吾 2B-子<，则2B-否=B或2B-否+B=,得B=否或B-,D正确， 12.一3之1一之2--1-3i,虚部为一3. 13.9由题可知，A'C'=O'A'=3√2，则在实物图中，OA=6√2，OC=6,AB=3,则BC= √32+(6√2)2=9. 14.5如图，记0A=a,Oi=b,0元=c,O币=2b,则0A=6, 0D=10,o∠0D-合-号可得AD=8取AD 的中点E,则c-a=OC-OA=AC=A立+EC,c-2b= O元-Oi=D元=D2+EC=-AE+EC,则(c-a)·(c- 2b)=(A龙+EC)·(-A龙+EC)=EC-AE2-EC-16=-12,则1EC1=2,故C是以E 为圆心，2为半径的圆上的动点，c-b=O心--BC.易得BE=专A0=3,所以1≤ BC≤5. 15.解：(1)因为a=(1,-3),b=（-1,1),所以a+2b=（-1,-1),…2分 【高一数学·参考答案第2页（共6页）】 则川|a+2b1=√(-1)2+(-1)2=√2. 5分 (2)因为a=(1,-3),b=(-1,1),所以2a-b=(3,-7),…7分 则|2a-b|=√32十（-7)2=W/58.… 10分 设a+2b与2a-b的夹角为0，则c0s0=a+2b):2a-b)=-1×3+(-1D×(-2)_ a+2b1|2a-b √2X√58 2v√29 29 ……13分 16,解：1①由图可得所以T-，即- T …1分 解得ω=3. 2分 1 将M(0,一2)的坐标代人f(x)=4sin(3x十p)中，得4sinp=一2，即sin9=-2,…3分 所以9=一晋+2，因为19<受，所以9=一吾 …4分 故f(x)=4sim(3x-), 5分 (②令-吾+2≤3x-吾≤受+2xk∈Z, …7分 得行+2欢≤乙≤十2张k∈乙.9 3 所以f)的单调递增区间为晋+资，经+2装]k∈D …10分 3)设=3x看由xe[哥]，得[吾]， …12分 所以f(x)mx=4sin2 13分 =2， 所以f(x)m=4sin6 14分 故fx)在[行，行]上的值域为[2,4幻.… 15分 1.(1)解，三棱锥C-B,D,C的体积为号××2×2X2= 1 3分 (2)解：易知三棱锥C1-B1D1C的外接球即为正方体ABCD-A1B1C1D1的外接球，… ……5分 易得正方体ABCD-A1B1C1D1外接球的直径AC1=2√3，所以外接球的半径为3，· …7分 则三棱锥C1-B1D1C外接球的表面积为4πX(W3)2=12π.…9分 (3)证明：连接A1C1,AC(图略)，易得A1C1∥AC,所以A1,C1,A,C四点共面.·10分 【高一数学·参考答案第3页（共6页）】 由E为B1D1的中点，得E为A1C1的中点，则E∈A1C1. 因为A1C1C平面A1C1CA,所以E∈平面A1C1CA,…11分 因为C∈平面A1C1CA,所以ECC平面A1C1CA,…12分 因为ECC平面B1D1C,所以平面A1C1CA∩平面B1D1C=EC. 因为AC1与平面B1D1C交于点F,所以F∈平面B1D1C,F∈AC. …13分 因为AC1C平面A1C1CA,所以F∈平面A1C1CA,则F为平面A1C1CA与平面B1D1C的 公共点，…14分 所以F∈EC,所以C,F,E三点共线.…15分 18.解：1)因为E成=2F店，所以A=号A+号A 2分 又E是CD的中点，所以A应-A市+D范-A市+A成， …3分 从而A-号A店+号(A心+号A)=8A+}Aò， …4分 (2)(方法一)因为F是线段BE上的点，所以A庐=xA疤+(1-x)A忘=xAD+(1-)A店 (0≤x≤1).… 。。 6分 又AC=A市+Ai,所以AC.A庐=(AD+A)·[xAD+(1-)A …7分 =zAj2+(1十2)A市.Ai+(1-2）Ai2-16-4x.… 8分 由0≤x≤1，得12≤16-4x≤16，故AC.A户的取值范围为[12,16].…10分 (方法二)AC.A市=|AC1AFc0s∠CAF,…5分 分别记E,B在AC上的射影为E1,B1· 由向量的投影可知，当F运动到点E处时，AC·A下取得最小值AC1AEI,当F运动到 点B处时，AC.A户取得最大值AC1ABI. ……6分 记AC,BE的交点为0，易得0E=号BE=2 2-,OA=2AC5】 3 …7分 则oE-8器-5,0B-206-4 OE22√5 15,…8分 则AE-65AB,-8 ，…9分 则|AC1AE1=12,AC1AB11=16,故AC.A京的取值范围为[12,16]. …10分 (3)由题可知AE⊥BE,… …11分 因为AE=22,AF=而，所以EF=E=BE.12分 又AE⊥CG,所以BE/CG,…13分 【高一数学·参考答案第4页（共6页）】 侧能-祀号从面G-受A=号×分+A=A+子a证 ,…14分 -AG-A应=子A店-A应=8A店-AD, 15分 则成-得A-a店.A市+市-， 16分 则EG=|EG=V26 2 0………………17分 19,解：设AD=2x,则AB=BC=CD=√2x.…1分 迪发，得BD=5五. 2分 在△BCD中，c0s∠BCD=BC2+CD2-BD2_2x2+2x2-5x 1 2BC·CD 4x2 …4分 (2)在△BCD中，BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos∠BCD =4x2-4x2c0S/BCD.…5分 在△ABD中，BD2=AB2+AD2-2AB·ADcos∠BAD =6x2-4W2x2c0S∠BAD,… 6分 则4x2-4x2cos∠BCD=6.x2-4V2x2coS∠BAD,…7分 得2c0s∠BAD-c0s∠BCD三7，…9 8分 故√2coS∠BAD-cos∠BCD是定值，且该定值为2： 0， 9分 (3)S,=2AB·ADsin∠BAD-Ex'sin∠BAD, S2=2BC.CDsin∠BCD=x2sin∠BCD,…10分 则（爱）-2二AD20-os∠BAD sin2∠BCD1-cos2∠BCD 11分 由(2)可w2coS∠BAD-cos∠BCD=2,则2coS∠BAD=co∠BCD+cos∠BCD+ 1 …2分 则()‘= -cas∠BCD-BCD+子 1+4os∠BCD 3 1-cos2∠BCD 1-cos2∠BCD1 ……13分 设BD=XMB(1<A<2),则cos∠BCD=BC+CD2BD_2x3+2x2-2Az2_?- 2BC·CD 4x2 2 由1<<E,得0<c∠BCD< …14分 【高一数学·参考答案第5页（共6页）】 1+ 1 ++ …15分 易知数y=-4+品+在（日孕）肉单测选减，期号<-十记+<3。 则<()< 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。e。e。04。eeee0e。e丁 则-<做子的取值范附为25，号) 17分 ▣▣ 【高一数学·参考答案第6页（共6页）】