精品解析：云南昆明市嵩明县2025-2026学年高一下学期期中质量检测数学试题

2025-2026学年（下）期中质量检测高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 3. 已知幂函数，则（ ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 4. 若函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（ ）h（精确到，参考数据：） A. 3.6 B. 5.7 C. 7.0 D. 8.0 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 已知，函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. -2 B. 2 C. D. 4 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 在复平面内所对应的点是 B. 的虚部是 C. D. 10. 如图，正方体的棱长为，分别是的中点，则下列结论正确的为（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与共面 C. 平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 若是线段上的动点，则平面 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是的一个对称中心 B. 若将图象向左平移单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 C. 若，则的最小值为1 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一长为，宽为的长方形，则其水平放置的直观图的面积为___________． 13. 在中，已知，，，则___________． 14. 在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量与的夹角为，且． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 16. 如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． （1）求该旋转体的表面积； （2）求该旋转体的体积． 17. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．对于任意的，方程有且仅有一个解，求的取值范围． 18. 如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，求的长； （3）若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 19. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．已知性质： ①； ②在上严格单调； ③； ④． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）若则，比较与的大小，并说明理由； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年（下）期中质量检测高一数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据集合的定义求出集合的全部元素，再计算集合与的交集得到结果. 【详解】已知，即，将中每个元素加1，得，  所以. 2. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直的坐标表示可得答案. 【详解】， 若，则， 即，解得. 故选：B. 3. 已知幂函数，则（ ） A. 8 B. 2 C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由幂函数的定义，知，解得，所以，则. 4. 若函数定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由复合函数、分式函数和根式函数定义域的求法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以函数的定义域为. 5. 某药在病人血液中的量低于500mg时病人就有危险．现给某病人的静脉注射了这种药2500mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过（ ）h（精确到，参考数据：） A. 3.6 B. 5.7 C. 7.0 D. 8.0 【答案】C 【解析】 【详解】因为药在血液中以每小时20%的比例衰减，所以设小时后，血液中的药量. 根据题意，整理得，两边取对数有， 由对数性质，又因为. 所以 所以再次向病人补充这种药的时间间隔不能超过. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用诱导公式得到，再利用二倍角的余弦公式求解. 【详解】因为， 所以， ， 7. 已知的解集为，则的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】由的解集为， 得和是方程的两个实数根， 所以， 所以等价于，即， 其充要条件为或. 所以和均是的既不充分也不必要条件； 或是的必要不充分条件； 或是的一个充分不必要条件. 8. 已知，函数，若恒成立，则的最小值为（ ） A. -2 B. 2 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】令，由当时，，当时，，结合恒成立，得到，即，再利用基本不等式求解. 【详解】令， 当时，，当时，， 因为恒成立，所以当时，， 当时，， 又是连续函数，所以当时，，即， 又，则，若，则， 所以， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是4. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数满足，则（ ） A. 在复平面内所对应的点是 B. 的虚部是 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先通过移项、分母有理化解方程求出复数，再结合复数的几何意义、共轭复数、复数的模的性质逐一判断选项. 【详解】因为，整理可得. 对于选项A：在复平面内所对应的点是，故A正确； 对于选项B：的虚部为，故B错误； 对于选项C：对任意复数，，则，， 所以，故C正确； 对于选项D：因为，故D错误. 10. 如图，正方体的棱长为，分别是的中点，则下列结论正确的为（ ） A. 直线与是异面直线 B. 直线与共面 C. 平面截正方体所得截面图形的周长为 D. 若是线段上的动点，则平面 【答案】BCD 【解析】 【分析】可证，即可判断AB；可知平面截正方体所得截面图形为梯形，进而可求截面周长，即可判断C；可证平面平面，结合面面平行的性质判断D. 【详解】对于选项ABC：连接， 因为分别是的中点，则，， 又因为，，可知四边形为平行四边形， 则， 可得，，即四点共面， 所以直线与共面，故A错误，B正确； 可知平面截正方体所得截面图形为梯形（图见上图）， 且，， 所以截面图形的周长为，故C正确； 对于选项D：因为，，可知四边形为平行四边形，则， 且平面，平面，则平面， 同理可得平面， 且，平面，可知平面平面， 且平面，所以平面，故D正确. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则是的一个对称中心 B. 若将图象向左平移单位长度，所得图象与原图象重合，则的最小值为4 C. 若，则的最小值为1 D. 若在内单调递减，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】A.由知是的一个对称中心；B.利用函数的周期性，以及平移后所得图像与原图像重合，得到，从而解出的取值范围，得到的最小值；C.利用，得到的满足条件，从而解出的取值范围，得到的最小值；D.利用的单调递减区间，得到的满足条件，从而解出的取值范围. 【详解】对于A，，则， 因为，所以是的一个对称中心，A正确； 对于B，将图象向左平移单位长度，所得图象与原图象重合， 所以是的最小正周期的整数倍，所以，所以， 又，所以的最小值为8，B错误； 对于C，因为，所以 ， 所以，或， 所以或，又，所以的最小值为1，C正确； 对于D，因为在内单调递减，又的单调递减区间是， 所以， 解得，因为，所以， 因为，所以当，, 的取值范围为, D正确； 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 有一长为，宽为的长方形，则其水平放置的直观图的面积为___________． 【答案】 【解析】 【详解】长方形平面图面积. 因为直观图面积为平面图面积的倍，所以直观图面积. 13. 在中，已知，，，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用三角形内角和定理求出角，再结合正弦定理求解的长度。 【详解】. 根据正弦定理，. 14. 在中，点满足，点是边上靠近的四等分点，与所成的夹角为，则的最大值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先用表示，换元简化向量，再利用已知条件转化向量关系，最后计算最大值. 【详解】由题意因为，所以 点是边上靠近的四等分点，故， 联立，解得 已知与所成的夹角为，可得， 这是关于的二次函数，开口向下，最大值在顶点处：， 此时， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知平面向量与的夹角为，且． （1）求的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由平面向量模长公式以及数量积运算，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由平面向量垂直，代入计算，即可得到结果； 【小问1详解】 ． ． 【小问2详解】 ， ，， 解得． 16. 如图，等腰梯形，已知，将等腰梯形绕直线旋转一周形成一个旋转体． （1）求该旋转体的表面积； （2）求该旋转体的体积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】分析旋转后的几何体是由两个圆锥与一个圆柱的组合体，作出图形： （1）由圆锥和圆柱的表面积公式求解即可； （2）由圆锥和圆柱的体积公式求解即可 【小问1详解】 分别过点，点作于点于点， ， ． 等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体， 两个圆锥与圆柱的底面半径，圆锥的母线， 圆柱的高, 所以两个圆锥的侧面积相等， 设每个圆锥的侧面积为，圆柱的侧面积为，旋转体的表面积为：， ． ． ． 【小问2详解】 由（1）知等腰梯形绕底边旋转一周所得的几何体为两个圆锥与一个圆柱的组合体，且两个圆锥的体积相等， 设每个圆锥的体积为，圆柱的体积为，旋转体的体积为， 则． ． ． 17. 已知函数． （1）求的解析式和对称轴； （2）将函数的图象先向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象．对于任意的，方程有且仅有一个解，求的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式结合辅助角公式求出的解析式，根据正弦函数的对称轴求解； （2）先对进行平移变换求出，再将方程有一个解转化为与有一个交点，进而作出图象求出的取值范围． 【小问1详解】 ， 正弦函数的对称轴为，故， 解得， 的对称轴为：． 【小问2详解】 的图象先向右平移个单位长度得：， 再将横坐标变为原来的2倍得：， 对于任意的，方程有且仅有一个解等价于： 与有一个交点， 由函数与的图象可知：． 18. 如图，平面四边形的内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，求的长； （3）若，设，用表示四边形面积为，并求出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理结合已知条件化简等式求出，结合三角形的内角求出； （2）根据已知条件求出相关边、角，再利用余弦定理求解； （3）根据余弦定理和三角形面积公式，结合正弦函数的性质求解． 【小问1详解】 已知，由正弦定理得， ， ， ， 又， ． 【小问2详解】 由得，为等边三角形， ， 由，得， ， 在中，已知， 由余弦定理：， 则， ． 【小问3详解】 在中，， ， ， ， ， ． 19. 在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．已知性质： ①； ②在上严格单调； ③； ④． （1）判断的奇偶性，并说明理由； （2）若则，比较与的大小，并说明理由； （3）若对任意的，不等式恒成立，求的取值范围． 【答案】（1）奇函数，理由见解析 （2），理由见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）利用双曲正弦函数的定义域关于原点对称，结合双曲正弦的定义式，通过验证，直接判定其为奇函数。 （2）先利用双曲正切的二倍角公式得到 ，再根据 在上的严格单调性，推得； （3）通过双曲恒等式将原不等式转化为关于的二次不等式，分离参数后，换元并利用均值不等式求出的最大值，从而确定的取值范围 【小问1详解】 函数的定义域为，关于原点对称． 由定义得： ， 因此，函数是奇函数． 【小问2详解】 设， 故在严格单调递增，且， 已知，且，故， 则： ，即， 又 在上严格单调递增，故. 【小问3详解】 由（2）可知，且为奇函数，故在上，． 由性质①，两边除以得， 令，则，且． 不等式，变形为： ，即， 令，则， 因为 ，当且仅当（即）取等． 故原式 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $