广西南宁市第三中学2025-2026学年高二下学期4月段考数学试题

南宁三中2025~2026学年度下学期高二段考 数学试题 2026.4 命题人：钟慧戴陈敏张祖兰 审题人：钟慧戴陈敏张祖兰 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。 1.若A2=4C1,则n=（) A.4 B.5 C.6 D.7 2.某商场举行抽奖活动，规则如下：从一个装有3个红球和2个白球的箱子中随机摸出2个球，若摸 出的2个球颜色相同则中奖，则中奖的概率为() A B.3 c. D.5 4 3.已知等差数列{a}的前n项和为Sn，,若S-S=6,则S。=() A.36 B.32 C.24 D.18 4.某公司为了增加某商品的销售利润，调查了该商品投入的广告费用：x(单位：万元)与销售利润y (单位：万元)的相关数据，根据下表中数据，得到经验回归方程1：)=bx+,则下列结论中错误 的是（). 广告费用x 3 4 5 8 销售利润y 4 5 7 8 A.b>0 B.a>0 C.直线l必过点(4,7) D.直线l必过点(5,6) 5.某小组5人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中抽取一张，则恰有1人抽到自己写的贺年 卡的不同分配方式有() A.9种 B.11种 C.44种 D.45种 6,对于事件A8,P-P4=后P(4u)=1,则P(团=（ 7 A:0 B. D 7.用1,2,3,4,5,6组成六位数（没有重复数字)，在任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1 和2相邻的概率是（) 5 A·18 B c. D.号 8.端午将至，超市特推出“粽情一夏，情浓端午”为主题的甲乙两款端午粽子礼盒，但是由于工作人员 分装时的疏忽，礼盒内的粽子发生了错乱，此时甲款礼盒内已有一个肉粽，乙款礼盒内有三个肉粽 和三个甜粽，现从乙款礼盒内随机取出B个粽子，其中含？个肉粽，放入甲款礼盒后，再从甲款礼 盒内随机取出一个粽子，记取到肉粽的个数为，其中，B∈N,下列说法正确的是() A.当B=2时，随机变量Y服从两点分布B.随着B的增大，E(a)减少，D(a)增加 C.当B=2时，随机变量Y服从二项分布 D.随着B的增大，E()增加，D()减小 高二段考数学试题第1页共4页 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.关于(2x-1)的展开式，下列说法正确的是() A.展开式共有6项 B.展开式的二项式系数之和为64 C.展开式各项的系数之和为1 D.展开式中第4项的二项式系数最大 10.一个不透明的口袋中有8个大小相同的球，其中红球5个，白球2个，黑球1个，则下列选项正确 的有() ☐袋中任取3个球，设取出的红球个数为5，则数学期壁 B.每次从该口袋中任取一个球，记录下颜色后放回口袋，先后取了3次，设取出的红球次数为刀， 则方若2(0)- 令=双雕索"性X身腹斑9阻杂狂女维中辞口会Y门 D.每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，设拿出的白球的个数为Y,则数学期望 EM-号 11.现有甲、乙、丙、丁四人组队传球，其中甲、乙为A队，丙、丁为B队.已知甲、乙传给队友的概 率为}，丙、丁传给队友的概率为了，且任一传球者会等可能地传球给非队友成员，现从甲开始传 球，设传球次数为n(n∈N且n≥2)，则() A,传球次后，球在甲手中的概率和球在乙手中的概率始终相等 B.n=3时，球在乙手中的概率为7 C.传球次后，球在A队成员手中的概率恒为一个常数 。.微球在乙手中的瓶率为2，圆以- m>2) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X服从正态分布N(2,o2),若P(X≤0)=0.2，则P(X≤4)= 13.某社区有驿站取件”和“上门配送”两种快递服务方式，居民首次选择服务方式时，选择两种服务方 式的概率均为0.5.己知：若首次选了“驿站取件”，第二次继续选择“驿站取件”的概率为0.7.若 首次选了“上门配送”，第二次换选择“驿站取件”的概率为0.2.则居民第二次选择“驿站取件”的概 率为 14已知桶图C:若茶=1(a>b0)的左、右焦点分别为月，片，C上的点E与c的上.下顶店 连线的斜率之积为号过点R的直线与C交于P,2两点（均异于左、右顶点，若2Q=P, 则os∠PF,2= 高二段考数学试题第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分，其中第15题13分，第16题15分，第17题15分，第18题 17分，第19题17分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)人工智能技术（简称AI技术）已成为引领世界新一轮科技革命和产业改革的战略性技术， 并迅速在各行各业中得到应用和推广，教育行业也不例外.某市教体局为调查本市中学教师使用 A虹技术辅助教学的情况，随机抽取了该市120名中学教师，统计了他们一周内使用A虹技术帮助制 作课件的情况，并将一周内使用A虹技术帮助制作课件的节次不少于4次的认定为喜欢使用A虹技 术，否则认定为不喜欢使用AI技术，经统计得到如下2×2列联表， 是否喜欢使用AI技术 年龄 合计 是 否 不超过45岁 46 超过45岁 28 合计 78 (1)补全上述2×2列联表。 (2)依据小概率值=0.01的独立性检验，能否认为该市中学教师是否喜欢使用AI技术与年龄有关： (3)将频率视为概率，现从所抽取的120名中学教师中随机抽取一人，在抽中喜欢使用A1技术的教 师的条件下，求此人年龄超过45岁的概率， n(ad-be) 附：x2= 其中n=a+b+c+d, (a+b)(c+d)(a+c)b+d) 0.1 0.01 0.001 Xa 2.706 6.635 10.828 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，AD⊥平面PAB,CDLAP,AD∥BC,AB=BC=AD (I)证明：CD⊥平面PAC; (2)若AP=AB,E为PD的中点，F为棱PB上靠近点P的三等分点，求平面ACE与平面ACF夹角 的余弦值， 高二段考数学试题第3页共4页 17.(15分)已知焦点在x轴上的双曲线C,离心率等于2，实轴长为2√3 3 (1)求此双曲线C的标准方程； (2)若直线y=ax+1与双曲线C相交于M,N两点，O为坐标原点.如果OM⊥ON,求a的值. 18.(17分)第13届女排世界杯于2019年9月14日在日本举行，共有12支参赛队伍.本次比赛启用 了新的排球用球MKSA-V200W,已知这种球的质量指标5（单位g)服从正态分布N(270,52).比赛 赛制采取单循环方式，即每支球队进行11场比赛（采取5局3胜制），最后靠积分选出最后冠军积 分规则如下：比赛中以3：0或3：1取胜的球队积3分，负队积0分；而在比赛中以3：2取胜的球队积2 分，负队积1分.已知第10轮中国队对抗塞尔维亚队，设每局比赛中国队取胜的概率为p(0p<1), (1)如果比赛准备了1000个排球，估计质量指标在(260,265]内的排球个数（计算结果取整数）. (2)第10轮比赛中，记中国队3：1取胜的概率为f(p) (i)求出p)的最大值点P。; (i)若以P。作为p的值记第10轮比赛中，中国队所得积分为X,求X的分布列. 参考数据：5~Nu,o2),则p(u-0<X什o)≈0.6826，p(-2o<X<+2o)0.9544. 19.(17分)已知函数f(x)=xe+asinx. ①当a=0时，求证：四>x+1: (2)若f(x)>0对于x∈(0，π)恒成立，求a的取值范围； (3)若存在x,x2∈(0，)，使得∫(5)=∫'(x2)=0,求证：<2x2· 高二段考数学试题第4页共4页 南宁三中2025~2026学年度下学期高二段考 数学试题 题号 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A A C C B C B BCD ABD BCD 1.A【详解】由A=4C,可得：n0m-1)=4×0n-0-2),且n-3≥0，解得：n=4.故选A 2.A【详解】若摸出的2个球颜色相同则中奖，则两个球的颜色依次为红红或白白，所以中奖的概率 32.212 为×+二× 54545 3.c【详解】等差数列和}中，由8-8=6得+，=6，所以8-8）-4，+a上46=24。 2 4.C【详解】由题意可得x=3+4+5+8=5,可=4+5+7+8=6，即样本中心为5,6)，所以直线必 4 4。 过点(5,6)，D正确，C错误：而∑(x-)(y-)=(-2)×(仁2)+(-1)×(-1)+0×1+3×2=11， Σ(--可) 2(x-=(-2)2+(-12+0+3=14,因此6= (- a=-标=2所AB 11 14 正确。 5.D【详解】除抽到自己的人，其它4人各写一张贺年卡集中起来，再每人从中抽取一张，标记这4 人为B、C、D、E,其对应的贺卡为b、c、d、,则4人均未抽到自己的贺年卡情况如下列树状图 所以： B: C: b C: C:d d d 由树状图可知，这4人均未抽到自己贺卡情况下抽到的贺年卡情况共有9种，所以5人各写一张贺 年卡，集中起来再每人从中抽取一张，恰有1人抽到自己写的贺年卡的不同分配方式有5×9=45 种.故选：D 6B【1自条作瓶率会成可得叫4小-4智行放-之小日 ,又因 P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=1,P(B)=1- 6号所以P4国1-p到-=月 7.C【详解】将3个偶数排成一排有A种，再将3个奇数分两种情况插空有2A种，所以任意相邻两 个数字的奇偶性不同的6位数有2AA=72种，任意相邻两个数字的奇偶性不同且1和2相邻，分 高二段考数学答案第1页共8页 两种情况讨论：当个位是偶数：2在个位，则1在十位，此时有AA=4种；2不在个位：将4或6 放在个位，百位或万位上放2，在2的两侧选一个位置放1，最后剩余的2个位置放其它两个奇数， 此时有CCC2A=16种；所以个位是偶数共有20种；同理，个位是奇数也有20种，则任意相邻两 个数字的奇偶性不同且1和2相邻数有40种，所以任意相邻两个数字的奇偶性不同的条件下，1和 2相邻的概率是0=。.故选：C 729 8.B【详解】由题意可知，从乙礼盒里随机取出B个粽子，含有肉粽个数Y服从超几何分布，即 y~H(6,3,B).故A,C错误.其中P(y=k)=- fC C ,其中keN,k≤3且k≤B,B)=32-2」 6放 从甲礼盒取棕了，相当于从含有号+1个肉粽的B+1个棕子中取1棕子，取到肉棕个数为口，故 P(a=1)=- +111，随机变量a服从两点分布，所以z(=P氏a=)= 2 E+11+ 1 B+122B+2 B+122B+2 41 随者B的增大，B@减小：D四L-Pa=Aa)20+2随者P的增大，D@增 大.故B正确，D错误. 9.BCD【详解】展开式共6+1=7项，故A错误；展开式的二项式系数之和为2=64，故B正确；令 x=1,则(2x-1)=1,则展开式各项的系数之和为1，故C正确；共7项，则展开式中第4项的二项 式系数最大，故D正确.故选：BCD 10.ABD【详解】对选项A,从该口袋中任取3个球，取出的红球个数5的可能取值为0,1,2,3， 则0心-是云=器品g-小-晋-兴限 C-105 5628,P(5=3)=c56 则E()=0 +1x15 +3x515 15 56 1×56+2×28+3×288,故A正确：对选项B,每次从该口袋中任取一个球， +2x 是红球的概率为。，则取出的红球次数为刀~B3,8, 则方差D()=3x。×名-5，故B正确： 8864 对选项C,从该口袋中任取3个球，取出的球的颜色有X种，X的可能取值为1,2,3，则 P(X=1)= 5628,P(x=3)=CCC-105 C-10-5 C5628'则 Px--1-x-名京8品期2品=2.夜 C错误；对选项D,每次从该口袋中任取一个球，不放回，拿出红球即停，拿出白球的个数Y的可 能取估。12刚P(Y=0)=片+=67，==+2×=+35 CiCCCc288421’ Y=2=1-PY=0-PY=-1专克-光则)=0x+1x 5 27*2x 11 213,故D正确； 故选：ABD 高二段考数学答案第2页共8页 111 11.BCD【详解】对于B:由已知，甲传给乙、丙、丁的概率分别为333：乙传给甲、丙、丁的概率 分别人号：丙传始甲、乙、丁份超率分制为后若号丁传给甲、乙、丙的绣率分别为后号 传球的路线可能是①甲-乙-丙-乙；②甲-乙-甲-乙；③甲-乙-丁-乙；④甲-丙-甲-乙；⑤甲-丙-丁-乙： ⑥甲.丁-甲-乙；⑦甲.丁-丙-乙.其概率为 111,11、1111,111,121,1、1、1,1215 3*写。+3×写×+×。+3x。+3。十3。x33x3后27B正确：对于C:设传 1 1 T4=T+0。 3 31 球次后，球在A队成员手中的概率为T,在B队成员手中的概率为2，则 2 3 3 所以号=2，所以工-买）)-又，所以红；是指数列C正绵：对于D:当传球3次时 T 球在甲手中，传球的可能路线①甲-乙-丙-甲；②甲-乙-丁-甲；③甲-丙-丁-甲：④甲-丙-乙-甲；⑤甲 丁-丙-甲；⑥甲.丁-乙-甲.其概率为 111.111121,111.12、1,111 4 33633633636333636327 ,所以球在A队成员手中的概率为 }由C可知，传球n次后，球在A队成员手巾的概率为}，在B队成员于中的概率为号，所以 比数当n2时言，坚理得言+（ D正确：对于A:由 3时，球在乙中的感率为月君（门 27 ,154 结合C可知球在甲手中的概率为32727' 故两个概率不相等，A错误.故选：BCD 12.0.8【详解】由X~N2,a)可得u=2,因P(X≤0)=02，由正态曲线对称性，得 P(X>4)=P(X≤0=0.2，则P(X≤4)=1-P(X>4)=1-0.2=0.8. 13.0.45【详解】设A表示首次选驿站取件”，则P(A)=0.5,A表示首次选“上门配送”，则P(A)=0.5, B表示第二次选驿站取件则P(BA)=0.7,P(BA)=0.2根据全概率公式可得 P(B)=P(A)P(BA)+P(A)P(BA=0.5×0.7+0.5×0.2=0.45, 14.【详解】设E(5,%),上下顶点坐标分别为(0，b)和(0，-b),所以 4 XoXo *:-日E-90Q网=，=，测P=h2x, 高二段考数学答案第3页共8页 l2引=2a-x,因为∠PE,+∠QFE,=180°，所以cos∠PF,+cos∠Qr=0,则 4+4c2a-2x+4ca-xj.0,整理为4m=3d-3c=3d-35 4a2 a 3 ，得 8cx 4cx 3 x号所以P四=3=a,照=a智智p=a号，△PRQ中，根据余孩定理 16d225a2 cos∠PF,Q=9 4 2x40x50 33 15.(1) 是否喜欢使用AI技术 年龄 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 (2)能认为有关 6 3)39 【详解】(1) 是否喜欢使用AI技术 年龄 合计 是 否 不超过45岁 46 14 60 超过45岁 32 28 60 合计 78 42 120 超过45岁喜欢使用AI的人数：78-46=32， 不超过45岁不喜欢使用AI的人数：60-46=14， (总人数120，超过45岁合计32+28=60，故不超过45岁合计120-60=60)， 不喜欢使用AI的总人数：14+28=42，符合总人数78+42=120； …3分（全对3分，部分对1分） (2)零假设H。:该市中学教师是否喜欢使用A技术与年龄无关。…5分 根据卡方公式计算：设a=46,b=14,c=32,d=28,n=120, n(ad-be)2 120×(46×28-14×32)2 X=(a+b)(c+d)(a+c)(b+d) …7分 60×60×78×42 高二段考数学答案第4页共8页 280 ≈7.179， …9分 39 已知小概率值a=0.01对应的临界值x。=6.635,由于7.179>6.635，因此拒绝H。, 依据o=0.01的独立性检验，能认为该市中学教师是否喜欢使用A虹技术与年龄有关；…11分 (3)设事件A:抽中喜欢使用AI技术的教师， 事件B:抽中教师年龄超过45岁，要求P(BA), 根据条件概率公式：PB|A)=n(AB) n(A)' 其中(AB)=32(喜欢且年龄超过45岁的人数)，(A)=78(喜欢的总人数)， 因此：P(BA)=7839 3216 …13分 16.(1)证明见解析 (3)6 9 【详解】(1)因为AD⊥平面PAB,ABC平面PAB,所以AD⊥AB,…1分 又因为AD∥BC,所以BC⊥AB,又因为AB=BC,所以△ABC是等腰直角三角形， 所以∠CAB=45°，AC=√2AB,所以∠CAD=45°， 在△ACD中，由余弦定理得，CD2=AC2+AD2-2×AC×ADXc0S45=2AB, 即CD=√2AB,所以AC=CD,所以∠CAD=∠CDA=45°， 所以△ACD是等腰直角三角形，所以AC⊥CD, …4分 又因为CD⊥AP,且AC∩AP=A,AC,APC平面PAC,所以CD⊥平面PAC6分 (2)因为AD⊥平面PAB,APG平面PAB,所以AD⊥AP, 又CD⊥AP且CD∩AD=D,CD,ADC平面ABCD,所以AP⊥平面ABCD, 又ABC平面ABCD,所以AP⊥AB, …7分 所以以AB,AD,AP所在直线分别为x,y,二轴建立空间直角坐标系. …8分 设AB=2,则有A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),P(0,02),D(0,4,0) 则AC=(2,2,0),因为E为PD的中点，所以E(0,2,1),A亚=(0,2,1)， 因为F为棱PB上靠近点P的三等分点，所以PF=1PB, 3 所以-+丽-（居)】 …9分 mAC=0∫2x+2y=0 设平面ACE的法向量为=（x,y,z),则 mAE=02y+z=0’ 高二段考数学答案第5页共8页 令x=1,则y=-1,三=2，所以m=(1,-1,2),…11分 设平面ACF的法向量为n=(a,b,c), AC=0 2a+2b=0 则 ,令a=2,则b=-2,c=-1,所以n=(2,-2,-1), …13分 iAF=0 2a+4c=0 4 3 6 记平面ACE与平面ACF夹角的余弦值为O,所以c0s8= →+ …15分 9 x2 17.0)iy=1 (2)±1 【详解】D依题意设双曲线方程为。广1Q>Q.6>0 2W5 2a= a= 3 则e=c=2 ,解得c= 2W3 …4分 a }°，所以双曲线C的标准方程为1-户=1 c2=a2+b2 b=1 3 (2)设M(3,y),N(x2,y2),由 面，，消去y整理得3-a)x2-2-2=0, 2a 3 所以x+5=3a,=3a' …7分 则3-ad2≠0且△=4a2+8(3-a2)>0,则ad2≠3且a2<6, …9分 因为OM⊥ON,OM=(xy),ON=2y2), 所以OM.ON=xx2+yy2=0, …10分 所以yy=(m+l10(a,+l)）=ax+a(s+)+l=-2a+2a 3-r3a+1=1, 即、、2 3-a+1=0, …13分 解得a=±1，符合题意， 所以a=±l. …15分 高二段考数学答案第6页共8页 18.【详解】(1)因为服从正态分布N270,5,所以P(260<5<265)=0.9544,06826-01359, 2 …2分 所以质量指标在(260,265]内的排球个数为1000×0.1359≈136个； …3分 (2)(i)f(p)=Cp(1-p)=3p(1-p), …4分 f(p)=33p(1-p)tp3×(-1]=3p(3-4p) …5分 令fp叭=0，得卫-子当p@孕时，f小0,0)在@子上单调递箱：…7分 当pe存，)时，fp)<0,f)在C存，)上单调递减：所以f)的最大值点B, 3 …9分 (i)X的可能取值为0,1,2,3. …10分 P(x=0)=0-p+Cp1-p2=13 56 …12分 P(X=D=Cip'a-p)-27 2 …13分 P(X=2)=cipia- …14分 Px=r+cp-pn-器 …16分 所以X的分布列为 0 1 2 3 13 27 81 189 256 512 512 256 …17分 19.【详解】1)由a=0,得f(y)=c.要证f四>x+1,只需证c-x-1>0.…1分 令g(x)=e-x-1,则g(x)=e-1. …2分 当x∈(-o,0)时，8'(x)<0,则8(x)单调递减， 当x∈(0，+∞)时，g'(x)>0,则g(x)单调递增， …3分 所以g(d)>g(0)=0,故e>x+1,因此f(四>x+1. …4分 (2)f'(x)=(x+1)e+acosx,,令m(x)=f'(x),则m(x)=（(x+2)e-asinx …5分 ①当a≥0时，由x∈(0，π)，得xe*>0,asinx≥0，因此f(x)>0,满足题意.…6分 高二段考数学答案第7页共8页 ②当a<0时，由x∈(0，元)，得(x+2)e>0,-sinx>0, 因此(x)>0,则∫”(x)在(0，)上单调递增.…7分 1°若-1≤a<0,则f'(x)>(0)=1+a≥0， 则f(x)在(0，D)上单调递增，所以f(x)>f(0)=0,满足题意： …8分 2°若a<-1,则f(0)<0,f' 习》0，因此了y在(0四存在唯一的零点，且。 当0<x<x时，∫(x)<0,f(x)单调递减， 当x。<x<π时，f'(x)>0,f(x)单调递增， …10分 所以f(x)<f(0)=0,不合题意，综上，a的取值范围为[-1，+o). …11分 (3)由(2)知a<-1,设x=x2,则f(x)在(0，x2)上单调递减，在(x2,)上单调递增， 注意到f(0)=0,f()<f(0)=0,f()=πe>0,故f(x)在(0，)上存在唯一的零点x,x∈(，). 注意到x,2x∈(x2,),且f(x)在(x2,π)上单调递增.要证明x<2x2,只需证f(x)<f(2x2), 因为f(x)=0,所以只需证f(2x2)>0,即证2x,e2+asn2x2>0.…13分 因为化+l)e+a0s,=0,即a=-s+1e心，所以，只需证2，e_任+1 -sin2x2>0, COSY> COSX, 只需证c-化+m>≥00到 (*) …14分 由(1)得e>x2+1, 因此x,e-(x2+1)sinx,>x2+x2-(化2+1)sinr2=(x,+1)(x,-inx,), 设4)=r-snc0<r号 …15分 则h(y)=1-cosx>0,所以h()在0,2) 上单调递增，所以h(x)>h(O)=0, 从而h(x)>0,即x,-sinx2>0,因此(*)得证，从而5<2x· …17分 高二段考数学答案第8页共8页