期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究零点问题 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究零点问题 例1．（25-26高三下·湖北黄冈·月考）已知函数. (1)当时，求的最大值； (2)判断函数在的零点个数，并说明理由 【答案】(1) (2)1，理由见解析 【分析】（1）求导后可得函数单调性，即可得其最大值； （2）令，可得，构造函数，借助导数可研究其单调性，利用单调性与零点存在性定理即可得解. 【详解】（1）由题意得，，，令，解得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为. （2）令，则，，整理得， 令，则，， 当时，，所以在上单调递减， 又，，所以由零点存在性定理得，在上存在唯一零点， 当时，，，两个不等式等号无法同时成立， ，此时函数无零点， 综上所述，在上存在唯一零点， 即函数在上的零点个数为. 例2．（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若恒成立，求实数的取值； (3)当时，证明：函数 有个零点． 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）利用导数几何意义，先求切点坐标，再求导得切线斜率，由点斜式写出切线方程； （2）将恒成立问题转化为求函数最值，通过分类讨论参数符号确定单调性，构建新函数并利用导数求最值解出参数； （3）通过代数变形将函数拆分为易分析的部分，利用同构思想换元简化，结合零点存在性定理和函数单调性确定零点个数. 【详解】（1）当时， ，定义域为， ，切点为，求导得，切线斜率， 由点斜式得切线方程：，整理得. （2）求的取值恒成立，即 对恒成立， 设 ，求导得， 若，则，在单调递减， 当时，不满足，舍去； 若，令得，在递减，在递增， 最小值为：， 令，不等式化为 ， 设 ，，在单调递增，在单调递减，在处取最大值， 故仅当成立，得， 综上，. （3）整理得：， 求导得：， 因为，所以的符号由分子 决定， 令 ，对求导： ， 当时，和都是严格单调递增的正函数，因此在上严格单调递增， 结合条件，代入端点得：时， ； 时， ，因此， 根据零点存在性定理，存在唯一的使得， 故的单调性为：，，严格递减； ，，严格递增， 的最小值为，且时 ，故； 又时，因此存在唯一的，使得，即在上只有一个零点， 结合的符号，可得的单调性： ， ，严格单调递减； ， ，严格单调递增， 因此：在上只有个极值点（极小值点），由单调性可知最多存在个零点； 由，即，解得， 代入得 已知，则， 对取对数得，又因为，所以 即，故， 结合已证的零点存在性结论：时，与极小值， 时，因此和各存在且仅存在个零点， 即恰好有个零点，得证. 例3．（25-26高三下·海南海口·月考）已知函数. (1)若在处的切线为，求的值； (2)当时，确定在上的零点个数. 【答案】(1)， (2)存在个零点 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后利用零点存在性定理可虚设零点，结合其单调性得到最小值小于，再利用零点存在性定理判断零点个数即可得解. 【详解】（1），， 由在处的切线为，则， 故，； （2）当时，，， 当时，， 当时，由与都单调递增， 故单调递增， 又， ，故存在，使得成立，即有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 则， 令，则， 所以， 则在上单调递减， 故， 又， 故在上存在一个零点， 又， 故在上存在2个零点. 例4．（25-26高二下·四川成都·期中）已知函数在处取极值. (1)求的极大值和单调区间； (2)若函数在区间上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【答案】(1)的单调递增区间为，，单调递减区间为，极大值. (2). 【分析】（1）利用极值点处导数为零求出参数，再通过导数符号判断函数的单调性与极值； （2）先求出函数在区间上的端点值与极值，再根据 “只有一个零点” 的条件列不等式组求解的范围. 【详解】（1）记的导函数为，则， 因此由是极值点知，可得， 此时，故列表如下： 1 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 由表知的单调递增区间为，，单调递减区间为， 且在处取到极大值. （2）同上可列表如下： 1 3 + 0 - 0 + 增 极大值 减 极小值 增 由表知在上只有一个零点当且仅当或， 解得. 变式1．（2026·四川泸州·模拟预测）已知，函数. (1)当时，函数为减函数，求实数的最小值; (2)证明：曲线是中心对称图形； (3)当时，证明：方程有三个不等实根. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）将原函数单调性问题转化为导函数恒成立问题，再求出，进而建立不等式求解参数范围，最后得到最值即可； （2）利用函数的对称性证明即可； （3）利用导数结合零点存在性定理得到的零点，进而得到的单调性，最后再结合零点存在性定理证明即可. 【详解】（1）当时，记， 其中，则， 因为函数为减函数，所以恒成立 因为，当且仅当时等号成立，故， 而成立，可得，解得，故的最小值为. （2）令，解得，则函数定义域为， 因为 ， 所以关于点中心对称，即曲线是中心对称图形. （3）当时，， 当时，， 令，则， 则函数在区间上单调递减， 而，，可得， 由零点存在性定理得存在使得， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 又，则，， 而，可得方程在区间上有一解， 由曲线的对称性知，方程在区间上也有一解， 故方程在区间上有三解. 变式2．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·月考）已知函数在处取得极值. (1)求函数的解析式. (2)求曲线在处的切线方程. (3)若时，函数有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). (3) 【分析】（1）对函数求导并根据极值点处的导函数为0联立方程组可解得，可求出解析式； （2）利用导数的几何意义直接求解即可； （3）求出函数在区间上的单调性，结合图象以及零点个数即可求出的取值范围. 【详解】（1）易知， 所以，解得， 经检验符合题意， 所以函数的解析式为； （2）由（1）可得， 所以，又， 因此切线方程为，即. （3）易知，令可得或； 因此当时，，当或时，； 所以函数在上单调递减，在或上单调递增， 易知， 画出函数在时的图象如下图所示： 根据函数有三个零点可知函数的图象与有3个交点， 因此可得的取值范围为. 变式3．（25-26高二下·湖北武汉·期中）已知函数. (1)当时，求函数的极值； (2)讨论函数的零点个数. 【答案】(1)极小值，无极大值 (2)当，在上有0个零点；当，在上有1个零点；当时，在上有2个零点 . 【分析】（1）求解导数，判断函数单调性，可求极值； （2）由函数单调性得到简图，结合图象可判断零点个数. 【详解】（1）由题意，函数的定义域为， 由，得， 令，即，解得； 令，即，解得，则当时，单调递增； 令，即，解得，则当时，单调递减； 所以当函数取极小值，无极大值. （2）由得方程，令， 则函数零点的个数就是与交点的个数，由（1）可知 当时，单调递减， 当时，单调递增， 时，;时，； 画出函数的图象如下： 当时，函数与无交点； 当或时，函数与有一个交点； 当时，函数与有两个交点- 所以当，在上有0个零点； 当，在上有1个零点； 当时，在上有2个零点 . 变式4．（25-26高二下·山东济南·期中）已知函数. (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若恰有3个零点，求的取值范围. 【答案】(1)（或） (2) 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可. （2）将变形为关于的一元二次方程，令，将函数零点问题转化为二次方程根的分布问题，结合导数与单调性及最值的关系求解即可， 【详解】（1），定义域为. 则，所以， 又， 则曲线在点处的切线方程为， 即. （2）令，得， 即. 设函数，则， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则. 当时，，当时，，且当时，，当时，， 作出的大致图象，如图所示. 令，则. 显然不是方程的根， 所以函数有两个零点，因为， 所以且， 所以且， 得，即的取值范围为. 考点二 利用导数研究双变量问题 例1．（2026·山西临汾·二模）已知函数的一个极值点是． (1)讨论的单调性； (2)设，，若存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当，函数在上单调递增，在和上单调递减；当，函数在上单调递增，在和上单调递减． (2) 【分析】（1）求导，结合已知极值点得出关系，再利用导数分类讨论，分析函数单调性； （2）结合（1）的结论利用单调性分析函数在区间内的最值，分析的单调性和最值，结合已知不等式构造不等式组求解． 【详解】（1）（）， ， 函数的一个极值点是， ，即，则有， 则（）， 当时，，函数在上单调递减， 此时函数没有极值点，不符合题意，所以， （，）， ①当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： 2 － 0 ＋ 0 － 减 增 减 满足是函数的极值点； 综上：当，函数在上单调递增， 在和上单调递减； 当，函数在上单调递增， 在和上单调递减． （2）由（1）知，，且， 在单调递增，在单调递减， 又，， 在上的最大值为， 最小值为， 又时函数在单调递增， 在上的最大值为，最小值为， 存在，使得成立， 即存在，使得成立， 则， 又，解得， 实数的取值范围为． 例2．（25-26高二下·江苏无锡·期中）已知函数 (1)当时，求在点处的切线方程； (2)求证：当时，函数在上单调递增； (3)若存在、，使得，且，求整数的最大值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）利用导数结合基本不等式可得出对任意的恒成立，利用导数与函数单调性的关系可得出结论； （3）令，由化简整理得出，设，可知函数在上有零点，分析该函数的单调性可知，，其中，利用导数分析函数的单调性，求出满足的的最小整数值，即可得解. 【详解】（1）当时，，则，所以，， 此时在点处的切线方程为，即. （2）当时，，则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故对任意的恒成立， 故当时，函数在上单调递增. （3）令，因为、，则，且， 由可得， 所以，即， 整理可得， 设， 则函数在上有零点，易知， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线， 所以函数在上单调递增，故只需， 构造函数，其中，注意到， 则， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以，且， 因为，， 故满足的的最小整数值为，即，故， 所以整数的最大值为. 例3．（2026·四川达州·二模）已知，. (1)求的单调区间； (2)若方程有两个不相等的实数根. （i）求的取值范围； （ii）若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2)（i）（ii） 【分析】（1）直接求导分析的符号即可求解； （2）（i）设，把问题转化为与有两个交点，利用导数求出的最值即可求解； （ii）设，则方程变为，设两根为， 则，利用比值换元法证明对数均值不等式可得，然后再根据基本不等式即可求解. 【详解】（1）定义域为，， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以单调递减区间为，单调递增区间为. （2）（i）方程等价于， 设，问题转化为与有两个交点， ，时，， 令，，所以在上单调递增， 且，故存在唯一满足，即， 并且当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增， ， 又因为和时，，所以当时方程有两个不等实根. 故的取值范围为. （ii）原方程变形得：，设，则方程变为， 设两根为，则， 且满足， 不妨设，下面证明， 令， 则不等式变形为， 令，， 所以在上单调递增，所以， 即不等式成立，变形可得， 由基本不等式可得 ， 要使不等式恒成立，只需， 故的取值范围为. 例4．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数． (1)讨论函数在区间内极值点的个数． (2)设函数，若函数存在两个不同的零点，且． （i）求实数a的取值范围； （ii）证明：． 【答案】(1)分类讨论，答案见解析. (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）利用导数，分情况和讨论极值点； （2）（i）利用导数研究单调性，从而得，由函数存在两个不同的零点可得，得解； （ii）根据零点的分布和大小情况进行考虑入手即可. 【详解】（1）因为，所以． 若，当时，恒成立， 则函数在上单调递增，无极值点． 若，当时，，函数在上单调递减； 当时，，函数在上单调递增， 故是函数的极小值点，且函数无极大值点． 综上可知，当时，函数在区间内极值点的个数为0； 当时，函数在区间内极值点的个数为1． （2）（i）由题意知， 所以． 当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为函数存在两个不同的零点，所以，即， 所以实数a的取值范围为． （ii）下面找两个点m，，使得， 注意到，且，于是考虑找点， 下面我们证明：． ①要证，即证，设，要证明， 即设，则，则 所以在上单调递增，得， 所以在上单调递增， 故，即 因此． 设，则， 所以在上单调递增，所以， 因此，又，故，即， 又，所以．．             ②， 设，则， 易知在上单调递增，在上单调递减， 所以，即． 因为，即，所以，且， 因此， 因为，所以，所以， 即得证． 变式1．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)若函数在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若，且有两个极值点，其中，求的取值范围． 【答案】(1)极大值为，极小值为 (2) (3) 【分析】（1）利用导数判断单调性，进而求极值； （2）转化为导数恒非负问题，用分离参数基本不等式求解； （3）韦达定理消元换元构造函数，求值域即可. 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ， 所以， 令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此，函数的极大值为，极小值为． （2）的定义域为， 则题意等价于在上恒成立， 即在上恒成立， 由基本不等式知，时，， 当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为； （3）由已知， 因为有两个极值点， 所以为方程的两个不相等的实数根， 则，， 因为，所以， 又，解得， 所以 ， 设， 则， 所以在上单调递减， 又，， 所以， 即的取值范围为. 变式2．（2026·北京朝阳·模拟预测）已知函数 . (1)若，求函数的极值； (2)若 时，，求a的取值范围； (3)若函数有两个极大值点 ，求 的范围. 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2) (3) 【分析】（1）首先求函数的导数，并求导函数的零点，根据导函数的正负判断函数的单调性，求函数的极值； （2）法1，首先根据，得到命题成立的必要条件，再证明时，不等式成立； 法2，首先利用对称性转化为时，，再分区间讨论函数的单调性，证明不等式； 法3，利用换元，，等价于时，，再根据，讨论的取值，判断函数的单调性，证明不等式； （3）首先根据导函数的零点个数，确定，再转化为在有两个不等实根，再代入韦达定理求得，即可求解. 【详解】（1） 时， 令 或（舍去）或（舍去） （0,2） 2 （2,4） + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极大值为 ，函数无极小值； （2）法 1： 所以 时， ，所以 ． 当 时， ， ． 综上，的取值范围是 ． 法 2： 因为 ， 所以关于对称， 所以时，等价于时， ． 首先：由时，得 ． 其次：证明时，时， ， 当时，在递增， ． 当时， ① 当，即 时， 递增． ② 当 ，即时， 存在唯一使得 ，即 ． 递增：递减． ③ 当，即时， 递减． 综上，最小值为 ， 因为 ， 所以 时， ． 综上，的取值范围是 ． 法 3：令 ， ． 令 ， 时，，等价于时， ， ． ① 当 时，递增． ② 当 时，存在唯一使得 ． 递增， 递减． ③ 当 时，， 在 上递减，其最小值为 ， 欲满足题意，需 ，即 ， 结合条件，此情况下的范围是 ， 综上时， ， 因为 ， 所以时，，当且仅当 ． 综上，的取值范围是 . （3）当时， 只有一个极值点． 当时， ， 令或 ． 若函数有两个极大值点， 则在有两个不等实根 ， 所以 ，且 ． + 0 - 0 + 0 - ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ 由表可知，函数 的两个极大值点为 ，极小值点为 ， ，， 变式3．（2025·四川成都·一模）已知，其中. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的最值； (3)若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)最大值为，最小值为 (3) 【分析】（1）对进行求导，利用导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）对进行求导，利用导数与函数单调性的关系求出的单调性，利用单调性即可求出最值； （3）将不等式恒成立转化为，求出在的最小值和在的最大值，解不等式即可求出答案. 【详解】（1）当时，，， ，曲线在点处的切线斜率为， 则切线方程为，即， 所以曲线在点处的切线方程为. （2）因为， 所以， 因为，所以， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递增， 令，解得，即， 此时，，所以在上单调递减， 所以，当时，取得最大值，最大值为， 当时，取得最小值，最小值为， 所以的最大值为，最小值为. （3）， 当，， 令， 因为，则， 则在上单调递增， 又因为时，，， 则，使得，即，可化为 当时，，即，则函数在上单调递减， 当时，，即，则函数在上单调递增， 则， 即. 由（2）知，当时，， 若对任意，不等式恒成立， 则，即， 令，，则函数在上单调递增， 又因为，所以的解集为， 所以实数的取值范围为. 变式4．（25-26高三上·天津河东·期中）已知函数． (1)当时，在区间上存在极值，求的取值范围； (2)若的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围； (3)设，当时，若对任意给定的，总存在唯一的，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，利用导数求出函数的极值点，得出不等式，即可解得； （2）讨论函数的单调性，结合图象即可求出的取值范围； （3）求出，的值域，由题意得的值域是的值域的子集，即可求解. 【详解】（1）当时，由已知， 令，解得或， 因为， 所以要使函数在区间上存在极值，只需，       解得． （2）当时，，的图象与轴没有交点；          当时，令，解得或． 当时， 0 2 0 0 极大值 极小值 ，． 若函数的图象与轴有且只有一个交点，则，解得， 所以；                    当时， 0 2 0 0 极小值 极大值 ，． 则函数的图象与轴有且只有一个交点， 所以；                            综上， （3）由题意知，， 因为，， 所以由，解或，由，解得， 故的单调递增区间为，单调递减区间为和， ，，，，    又因为在上单调递增， 所以的值域为，         依题意，对任意给定的，总存在唯一的，使得成立， 可得，即，         解得的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 考点目录 利用导数研究零点问题 利用导数研究双变量问题 考点一 利用导数研究零点问题 例1.(25-26高三下.湖北黄冈月考)已知函数f(x=2sinx-x. (1)当x∈[0，π时，求f(x的最大值； (②判断函数8-(+)+1在5+切的零点个数，并说明理由 例2.(2026陕西咸阳·模拟预测)已知函数f(x)=m1-x)-lx-1. (1)当m=1时，求曲线y=f(x)在点1，f1)处的切线方程； (2)若f(x≥-1恒成立，求实数m的取值； (3)当m>1时，证明：函数h(x=f(x+xe-m有2个零点. 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 例3.2s26商三下-海肩海月考)已知函数f八=x-46inx+p) (1)若y=fx在x=0处的切线为y=-4x,求9的值： (2)当p=0时，确定fx)在0，+0上的零点个数 例4.(25-26高二下·四川成都期中)已知函数f(x)=x3+3ax+b(a,b∈R)在x=1处取极值 (1)求f(x)的极大值和单调区间； (2)若函数∫(x)在区间-3,3上有且仅有一个零点，求b的取值范围. 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 变式1.(2026四川泸州模拟预测)已知aeR,函数f纠=m(ar-a-h(2】 (I)当a=0时，函数y=fx)-bx为减函数，求实数b的最小值； (②)证明：曲线y=∫x是中心对称图形； (3)当=x时，证明：方程∫(x)=0有三个不等实根 变式2.(25-26高二下·黑龙江佳木斯月考)己知函数f(x)=ax3+bx2-3x在x=±1处取得极值. (1)求函数f(x)的解析式， (2)求曲线y=f(x在x=2处的切线方程 国者（时，函或=-e有三个零后，求约取值花围 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 变式3.(25-26高二下…湖北武汉·期中)已知函数f(x)=(x-2)e*-a(a∈R) (1)当a=0时，求函数f(x)的极值； (2)讨论函数f(x)的零点个数 变式4.(25-26高二下山东济南·期中)已知函数f(x)=(1nx-ax21nr2-x4 (1)求曲线y=f(x在点1，f(1)处的切线方程； (2)若f(x)恰有3个零点，求a的取值范围， 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 考点二 利用导数研究双变量问题 例1.(2026~山西临汾二模)已知函数f=+ar-b的一个极值点是r=2. (I)讨论f(x的单调性： (②设a>0,g)=e,若存在，馬e0,,使得/(x)-g,小<子成立，求实数a的取值范围。 例2.2526商二下-江苏无锡期巾)）已知函数=lnx+号+aaeR (1)当a=1时，求y=f(x在点(1，f1)处的切线方程： (2)求证：当a≥-2时，函数f(x)在(0，+0）上单调递增： 3)若存在x、x∈[l,+o(x<x),使得f(x)=fx),且点=-a,求整数a的最大值. 5 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 例3.(2026四川达州二模)已知f(x=xe,gx)=lnx+x+aa∈R) (1)求(x)的单调区间； (2)若方程f（x=g(x)有两个不相等的实数根x,x2· (i)求a的取值范围； 1 1 (i)若ff 、>k恒成立，求实数k的取值范围 例4.(2026陕西榆林·模拟预测)己知函数f(x)=x-2a-alnx(a∈R. (1)讨论函数f(x)在区间(L,+∞)内极值点的个数. (2)设函数g()=f()++(a-)nx,若函数g(x)存在两个不同的零点x,x,且x<,. (i)求实数a的取值范围； (i)证明：x2-x< 4a2-2a-1 2a-1 6 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 变式1.(25-26高二上江苏南京·期末)已知函数f(x)=2lnx+x2-mx,meR. (1)当m=5时，求f(x)的极值； (②)若函数∫(x)在其定义域内单调递增，求实数的取值范围； (3)若4<m<5,且f(x)有两个极值点x,x2,其中x<x2,求f(x)-fx2)的取值范围. 变式2.(2026北京朝阳模拟预测)已知函数f(x)=a(x-2'+lnx+ln(4-x),aeR· (1)若a=-1,求函数f(x的极值： (2)若xe[1,3]时，f(4-x)2ln3,求a的取值范围； ()若函数fx)有两个极大值点x,求+16-，的范围 a 期中培优：利用导数研究零点问题、双变量问题专项训练 变式3.(2025·四川成都一模)已知fx=xe-alnx-ax,其中a∈(0，+oo),gx)=2cosx+sin2x (1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程； (2)求gx)的最值： (③)若对任意，e0,，不等式f之25。g恒成立，求实数a的取值范围 9 变式4.(25-26高三上天津河东期中)已知函数f(x)=ar3-3ax2+4(a∈R). (1)当a>0时，f(x)在区间 ?。2-》上存在极值，求4的取值范国： (2)若f(x)的图象与x轴有且只有一个交点，求a的取值范围： (国版8=号+6，当：<0时，若对任意给定的%2引总存在唯一的写[2引，俊得=8废 立，求a的取值范围.