专题06二元一次方程组的概念及解法复习讲义(知识梳理+11大题型+突破题型)2025-2026学年沪教版五四制六年级数学下册

专题06二元一次方程组的概念及解法复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确判断是否为二元一次方程（组）。 2.理解二元一次方程的解、二元一次方程组的解的含义，能检验一组数值是否为方程组的解。 3.牢记二元一次方程组应用的核心思路，掌握列方程组解应用题的基本步骤。 4.熟悉期中常考的应用题类型，明确各类题型的等量关系特点。 1.能快速辨析二元一次方程（组）与其他方程（组）的区别，精准判断解的合理性。 2.能根据实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决基础及中档应用题。 3.提升审题、找等量关系的能力，能规范书写解题步骤（设元、列方程、求解、检验、作答）。 4.能灵活应对常见应用题，学会转化文字信息，将实际问题转化为数学方程组问题。 1.基础题零失误：准确判断二元一次方程（组）、检验方程组的解，不丢基础分。 2.中档题稳得分：熟练列二元一次方程组，解决和差倍比、行程、工程等常考应用题。 3.规避高频易错点：不混淆 “二元一次方程” 与 “一元一次方程”，设元规范，不遗漏检验步骤，找准等量关系。 4.适配期中考查难度，能应对概念辨析、基础计算、应用题等题型，提升答题准确率和规范性。 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组解的判定 题型05.错解复原问题 题型06.方程组相同解问题 题型07.代入消元法 题型08.加减消元法 题型09.二元一次方程组的特殊解法 题型10.构造方程组求解 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 解答题7题 知识点01:二元一次方程｜3 大核心 + 判断秘籍 1.定义（精准吃透） 含有 两个未知数（如 x、y），且含未知数的项的次数都是 1，同时等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 ✅通俗理解：两个未知数、次数不超标、没有分式 / 根号，就是二元一次方程。 2.判断 “三步走”（避免踩坑） ① 看未知数：必须有且只有两个，多一个、少一个都不行； ② 看次数：含未知数的项的最高次数是 1（注意：是 “项的次数”，不是未知数个数）； ③ 看形式：整式方程，分母不能含未知数、根号下不能含未知数。 经典例题（直观辨析） ✅正确示例：2x+y=5、x−3y=0（两个未知数、次数 1、整式） ❌ 错误示例：2x+y2=7（y 的次数是 2）、+y=3（分母含未知数，不是整式）、3x=8（只有一个未知数） 知识点02:二元一次方程的解｜易错必记 1.定义：能使二元一次方程左右两边相的 一组未知数的值（如 x=2，y=1 是2x+y=5的一个解），叫做这个二元一次方程的一个解。 2.核心特点（必背）：一个二元一次方程有 无数组解（只要满足等式，任意找一组 x，都能算出对应的 y）。 3.检验方法：把未知数的值代入方程，左右两边相等，就是解；只要有一边不相等，就不是解。 知识点03:二元一次方程组｜定义 + 解的辨析 1.定义：由 两个二元一次方程 组成，且一共含有 两个未知数（不重复、不遗漏），这样的一组方程，叫做二元一次方程组。 ✨ 补充：方程组中，方程可以是 “二元一次方程”，也可以是 “一元一次方程”（只要整体共含两个未知数即可），如也是二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 定义：同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。 核心区别（重中之重）： 二元一次方程：无数组解 二元一次方程组：一般只有唯一一组解（特殊情况无解或无数组解，期中不考，暂不拓展） 3. 解的检验（规范步骤） ① 把未知数的值（如 x=a，y=b）分别代入方程组的两个方程； ② 若两个方程左右两边都相等，就是方程组的解； ③ 只要有一个方程不成立，就不是方程组的解。 知识点04:概念易错点｜避坑指南 误区 1：认为 “二元” 是 “两个未知数的次数都是 1”，实则是 “含未知数的项的次数是 1”（如xy=3，两个未知数相乘，项的次数是 2，不是二元一次方程）。 误区 2：分母含未知数的方程（如=2）是二元一次方程，实则不是，因为它不是整式方程。 误区 3：二元一次方程组的解，只要满足一个方程就可以，实则必须同时满足两个方程。 口诀记忆：二元两个未知数，次数为 1 是整式；方程无数解，方程组唯一解。 知识点05:核心重点：二元一次方程组的两种解法（必考！期中大题主力军） 方法一：代入消元法｜“变形代入，化二为一” 1. 适用场景（一眼判断） 方程组中有一个方程，某个未知数的系数是 1 或 −1（如y=2x+3、x−y=5），容易变形为 “用一个未知数表示另一个未知数” 的形式。 2. 解题步骤（规范 + 口诀，记牢不踩错） 口诀：一变形，二代入，三求解，四回代，五写解 代入消元易错点｜避坑提醒 1.变形时移项忘记变号（如把x−y=3变形为x=y−3，错误！正确是x=y+3）； 2.代入时，漏乘系数（如把x=y+3代入2x+3y=16，写成2y+3+3y=16，漏乘 2）； 3.回代时，代入原方程，计算繁琐易出错（建议代回变形后的式子，更简单）。 方法二：加减消元法｜“系数统一，加减消元” 加减消元易错点｜避坑提醒⚠️ 1.系数统一时，漏乘方程中的常数项（如把2x+5y=13×2，只乘 2x 和 5y，漏乘 13）； 2.两个方程相减时，后面方程的每一项都要变号，容易漏变常数项； 3.消元后，求解一元一次方程时，符号出错、计算失误； 4.回代时，代入的方程太复杂，增加计算难度（优先选系数简单的方程） 知识点06:两种消元法对比表｜一眼选对方法（期中解题提速关键） 消元方法 适用特点 核心优点 易错点 代入消元法 有未知数系数为 ±1，式子易变形 计算简单，步骤少，不易错符号 移项变号、代入漏乘 加减消元法 未知数系数相等 / 相反 / 成倍数 不用分式变形，消元速度快 漏乘常数项、相减漏变号 ✨ 选择口诀：系数有 ±1，代入最省力；系数成倍数，加减更快速 题型01.二元一次方程组的定义 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：由二元一次方程的定义可知，四个方程中只有A选项中的方程是二元一次方程， 故选：A． 【跟踪专练1】已知关于x，y的方程是二元一次方程，则______． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是，像这样的方程叫做二元一次方程可得且，即可求解． 【详解】解：关于，的方程是二元一次方程， 且， ，， ． 故答案为：． 【跟踪专练2】若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式______． 【答案】或 【分析】根据二元一次方程组的定义：（1）含有两个未知数；（2）含有未知数的项的次数都是1． 【详解】解：若方程组是关于x，y的二元一次方程组， 则c＋3＝0，a−2＝1，b＋3＝1， 解得c＝−3，a＝3，b＝−2． 所以代数式a＋b＋c的值是−2． 或c＋3＝0，a−2＝0，b＋3＝1， 解得c＝−3，a＝2，b＝−2． 所以代数式a＋b＋c的值是−3． 综上所述，代数式a＋b＋c的值是−2或−3． 故答案为：−2或−3． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的定义，利用它的定义即可求出代数式的解． 题型02.二元一次方程的解 【典例】若是方程的解，则___________． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的解的含义及解一元一次方程，本题属于基础题型，比较简单． 由方程的解的含义，代入方程，求解关于m的一元一次方程即可． 【详解】解：∵是方程的解， ， ， 故答案为：1． 【跟踪专练1】下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，能熟记二元一次方程组的解的定义是解此题的关键． 将解，代入各选项的方程组，验证是否同时满足两个方程． 【详解】A、把代入第一个方程，等式成立， 代入第二个方程，等式成立．所以该选项正确； B、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； C、把代入第一个方程，等式不成立．所以该选项错误； D、把代入第二个方程，等式不成立．所以该选项错误． 故选：A． 【跟踪专练2】母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 【答案】B 【分析】设可以购买支康乃馨，支百合，根据总价单价数量，即可得出关于的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出小明有3种购买方案． 【详解】解：设可以购买支康乃馨，支百合， 依题意，得：， ∴． ∵均为正整数， ∴是正偶数，且即 ∴， ∴，，， ∴小明有3种购买方案． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程应用中的整数解问题，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的关键． 题型03.二元一次方程组的判定 【典例】下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程，根据二元一次方程组的定义，需满足：①共含两个未知数；②每个方程均为一次整式方程，据此对各选项逐一分析即可． 【详解】解：A. 方程组含三个未知数x、y、z，不符合“二元”条件，选项错误； B. 第一个方程含二次项，且含三个未知数x、y、z，不符合“二元一次”条件，选项错误； C. 第一个方程为分式方程，非整式方程，不符合条件，选项错误； D. 方程组含两个未知数x、y，且两个方程均为一次整式方程，符合二元一次方程组的定义，选项正确； 故选：D． 【跟踪专练1】已知x，y，z是未知数，下列各方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程组的定义，掌握二元一次方程组的定义是解题的关键． 二元一次方程组的定义：一共含有两个未知数，且含有未知数的项的最高次数是1，这样的整式方程组是二元一次方程组，由定义逐一判断即可得到答案． 【详解】解：A、是二元一次方程组，故本选项符合题意； B、，含有3个未知数，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、，未知数的最高次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； D、，含未知数项的最高次项是2，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：A 【跟踪专练2】下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】组成二元一次方程组的两个方程应共含有两个相同的未知数，且未知数的项最高次数都应是一次的整式方程． 【详解】解：①、符合二元一次方程组的定义，故①符合题意； ②、第一个方程与第二个方程所含未知数共有3个，故②不符合题意； ③、符合二元一次方程组的定义，故③符合题意； ④、该方程组中第一个方程是二次方程，故④不符合题意． 故选：． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的定义，解题时需要掌握二元一次方程组满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程． 题型04.二元一次方程组解的判定 【典例】方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【答案】A 【分析】本题主要考查了方程组的解的定义（方程组的解是使方程组中所有方程都成立的未知数的值 ），熟练掌握该定义是解题的关键．根据方程组的解的定义，判断方程组的解与其中一个方程的解的关系，即方程组的解需同时满足方程组里的两个方程，所以必然满足其中一个方程． 【详解】解：对于方程组， ∵方程组的解是能使方程组中两个方程同时成立的未知数的值， ∴方程组的解一定满足其中的每一个方程， 而是方程组中的第一个方程， ∴方程组的解一定是方程的解． 故选：A ． 【跟踪专练1】有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【答案】 ②③④ ①④ ④ 【分析】本题考查了二元一次方程的解和二元一次方程组的解，代入方程，看看是否两边相等即可，根据二元一次方程组的解的定义得出即可． 【详解】解：①②③④中， 把①代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以①不是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以②是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以③是方程的解， 把④其代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即②③④是方程的解； 把①代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以①是方程的解， 把②代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以②不是方程的解， 把③代入方程得：左边，右边，左边≠右边，所以③不是方程的解， 把④代入方程得：左边，右边，左边=右边，所以④是方程的解， 即①④是方程的解； ∴④是方程组的解． 故答案为：②③④，①④，④． 【跟踪专练2】已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 【答案】(1)所有的正整数解为或 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； （1）将方程变形，写出满足方程的正整数解即可； （2）写出满足解的一个二元一次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴所有的正整数解为或； （2）解：∵， ∴， ∴方程组的解为． 题型05.错解复原问题 【典例】甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，求代数式的值，将代入方程中可求得，将代入方程中可求得，代入所求式子即可得解，理解题意是解此题的关键． 【详解】解：将代入方程中可得，， 解得：， 将代入方程中可得， 解得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 【答案】7 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，根据题意可得满足方程，满足方程，据此求出a、b的值，再解原方程求出x、y的值即可． 【详解】解：把代入，解得， 把代入，解得， ∴原方程组为 解得， ∴， 故答案为：7． 【跟踪专练2】甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______． 【答案】0 【分析】把甲的解代入②求出b的值，把乙的解代入①求出a的值，再代入计算即可． 【详解】解：将代入方程组中的， 得：，即；        将代入方程组中的， 得：，即，                则． 故答案为：0 【点睛】此题考查了二元一次方程组的错解问题，乘方运算的含义，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值． 题型06.方程组相同解问题 【典例】若关于的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先化简得，根据题意列不含m、n的方程组求解即可． 【详解】解：整理得： ， ∵关于的二元一次方程组与有相同的解， ∴， 解得． 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，解决本题的关键是根据题意重新列方程组． 【跟踪专练1】已知方程组和方程组有相同的解，则_______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了同解方程组问题，根据方程组同解得出，解之求得x、y的值，代入另外两个方程得出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， 将此代入得： ∴， 故答案为：1． 【跟踪专练2】已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把两个方程组中不含未知数和含未知数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可． 【详解】解：关于，的方程组与有相同的解， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， ，可得， 解得， 把代入①，可得：， 解得， 原方程组的解是， 关于，的方程组的解也是关于，的方程组的解， ， 解得：， ； 故选：C． 题型07.代入消元法 【典例】将式子改写成用含x的式子表示y，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程，把x看做已知求出y即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B． 【跟踪专练1】二元一次方程组的解为______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据代入消元法计算即可． 【详解】解：， 将代入得：， 解得：， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 【跟踪专练2】如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么________． 【答案】13 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项．注意同类项定义中的两个相同是解题的关键． 根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，可先列出关于和的二元一次方程组，再解方程组求出它们的值，再代入代数式求值即可． 【详解】解：由题意得，， ， ， 故答案为：13． 题型08.加减消元法 【典例】已知方程组，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，代数式求值，能选择适当的方法求出结果是解题关键．将方程组的两个方程相加，求出，再整体代入计算求值即可． 【详解】解：， 由得：， 解得：， ， 故答案为：． 【跟踪专练1】定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为______ 【答案】或 【分析】本题主要考查了求解含参数的二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法是解题的关键． 先求出方程与它的“交换系数方程”，然后组成方程组运用加减消元法求解即可． 【详解】解：∵方程与“交换系数方程”为或， ∴它们组成的方程组为或， 解得：或． 所以方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为或． 故答案为：或． 【跟踪专练2】对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了解二元一次方程组，以及有理数的乘法，利用题中的新定义得到二元一次方程组，求出与的值然后代入求解即可，弄清题中的新定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，解得：， ∴， 故选：． 题型09.二元一次方程组的特殊解法 【典例】用换元法解方程组时，可设则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为_____． 【答案】 【分析】将代入原方程组即可得． 【详解】解：将代入方程组 得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握换元法是解题关键． 【跟踪专练1】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为_______． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 【答案】/ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．观察表格得知能使得两个方程都成立，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故答案为：． 【跟踪专练2】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是___________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，也考查了解二元一次方程组．二元一次方程组的解看成，解出x，y即可． 【详解】解：∵二元一次方程组的解是， ∴把关于二元一次方程组看作关于和 的二元一次方程组， ∴， 解得：， 则二元一次方程组的解是， 故答案为： 题型10.构造方程组求解 【典例】若+|a+b-3|=0，那么=_________________________ 【答案】 【分析】根据平方数和绝对值都为非负数，得到二元一次方程组，求解二元一次方程组即可． 【详解】解：∵，，+|a+b-3|=0 ∴， 解得， ∴ 故答案为： 【点睛】此题考查了绝对值，平方数的性质，涉及了二元一次方程的求解和乘方的运算，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 【跟踪专练1】.写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 【跟踪专练2】已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则______． 【答案】500 【分析】本题考查了解二元一次方程组．列出关于p、q的二元一次方程组是解答此题的关键． 设有p个x取，q个x取2，根据，可得出关于p，q的二元一次方程组，求出p，q的值，再把p，q及x的值代入求解． 【详解】解：设有个，q个2， ∵， ∴， 解得， ∴原式． 故答案为：500． 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 【典例】若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为_______． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解法，掌握整体代入法是解题的关键． 先把两方程相减，再利用整体代入法得到关于m的方程求解即可． 【详解】解：， 得：， 则 ， ， 解得：． 故答案为：4． 【跟踪专练1】关于，的方程组有无数多个解，则___． 【答案】 【详解】解：根据题意可知，方程组中的两个方程相同，据此可得 解方程组，得 所以，． 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一次方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 解答题 1．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解的定义，解二元一次方程，正确理解题意是解题的关键． （1）把x、y的系数都化为整数，再根据“关联系数”的定义可得答案； （2）根据“关联系数”的定义可得，再根据二元一次方程的解的定义得到，据此解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：整理得， ∴二元一次方程的“关联系数”为； （2）解：∵关于，的二元一次方程的“关联系数”为， ∴， ∵为该方程的一组解， ∴， ∴， ∴， ∵m、n都为正整数， ∴当时，； 当时，； ∴或． 2．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 【答案】(1)甲把m错看成了2，乙把n错看成了1 (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的错解复原问题，二元一次方程解的定义： （1）把代入中求出m的值，把代入求出n的值即可得到答案； （2）根据题意可得甲的结果满足②，则是方程的解，同理可得是方程的解，据此求出m、n的值，然后得到正确的原方程组，再解方程组即可得到答案． 【详解】（1）解： 把代入中得，解得， 把代入中得，解得， ∴甲把m错看成了2，乙把n错看成了1； （2）解：∵甲解题看错了①中的m， ∴甲的结果满足②， ∴是方程的解， ∴， ∴， 同理可得是方程的解， ∴， ∴； ∴原方程组为 解得． 3．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组，乘方，熟练掌握解二元一次方程组是解题的关键； （1）根据题意，可得，计算求解即可； （2）根据题意，将代入，即可求解和的值，进而求解； 【详解】（1）解：根据题意可得：， 得， 将代入①，可得， 解得：， 则这个方程组的解为； （2）解：当时， 联立，可得：； 解得：； 则； 4．解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组即可； （2）将方程组变形为，利用代入消元法解方程组即可； （3）将方程组变形为，利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：方程组可变形为， 由②①得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． （2）解：方程组可变形为， 将②代入①得：， 解得， 将代入②得：， 所以方程组的解为． （3）解：方程组可变形为， 由①②得：， 解得， 将代入①得：， 解得， 所以方程组的解为． 5．解方程组：． 【答案】 【详解】解：令， 原方程组为， 得，解得， 将代入得，解得， ， 得，解得， 将代入得，解得， ． 6．若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组．法一：把参数m当成常数，按正常的方程组求解，再把方程组的解代入满足的第三个方程得到关于m的一元一次方程即可求出m的值；法二：消参，方程①－②就可以消去m；法三：整体代入，由，可知，，即可得关于m和y的二元一次方程组，即可求出m的值． 【详解】解：法一： ①得③， ②得④， ③④得， 把代入②得， 解得， 将代入得， 解得； 法二： ①②得， ∵， ∴， 解得， 将代入得， 解得， 将，代入②得； 法三： 由，可知，，代入得， ∴， 解得． 7．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】此题考查的是新定义，二元一次方程组的应用，方和的解，能够正确理解新定义是解决此题的关键． （1）根据“反对方程”的定义直接可得答案； （2）根据“反对方程”的定义建立方程组求解可得答案； （3）根据“反对方程” 与的解均为整数，可得与都为整数，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题可知，与、均为不等于0的常数）称互为“反对方程”， 与方程互为“反对方程”， ． （2）解：将写成的形式， ∵关于的方程与方程互为“反对方程”， ∴ ∴ （3）解：的“反对方程”为， 由得，， 当，得， 与的解均为整数， 与都为整数， 也为整数， 当时，，，都为整数， 当时，，，都为整数， 的值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06二元一次方程组的概念及解法复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握二元一次方程、二元一次方程组的定义，能准确判断是否为二元一次方程（组）。 2.理解二元一次方程的解、二元一次方程组的解的含义，能检验一组数值是否为方程组的解。 3.牢记二元一次方程组应用的核心思路，掌握列方程组解应用题的基本步骤。 4.熟悉期中常考的应用题类型，明确各类题型的等量关系特点。 1.能快速辨析二元一次方程（组）与其他方程（组）的区别，精准判断解的合理性。 2.能根据实际问题中的等量关系，列出二元一次方程组，解决基础及中档应用题。 3.提升审题、找等量关系的能力，能规范书写解题步骤（设元、列方程、求解、检验、作答）。 4.能灵活应对常见应用题，学会转化文字信息，将实际问题转化为数学方程组问题。 1.基础题零失误：准确判断二元一次方程（组）、检验方程组的解，不丢基础分。 2.中档题稳得分：熟练列二元一次方程组，解决和差倍比、行程、工程等常考应用题。 3.规避高频易错点：不混淆 “二元一次方程” 与 “一元一次方程”，设元规范，不遗漏检验步骤，找准等量关系。 4.适配期中考查难度，能应对概念辨析、基础计算、应用题等题型，提升答题准确率和规范性。 题型01.二元一次方程组的定义 题型02.二元一次方程的解 题型03.二元一次方程组的判定 题型04.二元一次方程组解的判定 题型05.错解复原问题 题型06.方程组相同解问题 题型07.代入消元法 题型08.加减消元法 题型09.二元一次方程组的特殊解法 题型10.构造方程组求解 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 解答题7题 知识点01:二元一次方程｜3 大核心 + 判断秘籍 1.定义（精准吃透） 含有 两个未知数（如 x、y），且含未知数的项的次数都是 1，同时等式两边都是整式的方程，叫做二元一次方程。 ✅通俗理解：两个未知数、次数不超标、没有分式 / 根号，就是二元一次方程。 2.判断 “三步走”（避免踩坑） ① 看未知数：必须有且只有两个，多一个、少一个都不行； ② 看次数：含未知数的项的最高次数是 1（注意：是 “项的次数”，不是未知数个数）； ③ 看形式：整式方程，分母不能含未知数、根号下不能含未知数。 经典例题（直观辨析） ✅正确示例：2x+y=5、x−3y=0（两个未知数、次数 1、整式） ❌ 错误示例：2x+y2=7（y 的次数是 2）、+y=3（分母含未知数，不是整式）、3x=8（只有一个未知数） 知识点02:二元一次方程的解｜易错必记 1.定义：能使二元一次方程左右两边相的 一组未知数的值（如 x=2，y=1 是2x+y=5的一个解），叫做这个二元一次方程的一个解。 2.核心特点（必背）：一个二元一次方程有 无数组解（只要满足等式，任意找一组 x，都能算出对应的 y）。 3.检验方法：把未知数的值代入方程，左右两边相等，就是解；只要有一边不相等，就不是解。 知识点03:二元一次方程组｜定义 + 解的辨析 1.定义：由 两个二元一次方程 组成，且一共含有 两个未知数（不重复、不遗漏），这样的一组方程，叫做二元一次方程组。 ✨ 补充：方程组中，方程可以是 “二元一次方程”，也可以是 “一元一次方程”（只要整体共含两个未知数即可），如也是二元一次方程组。 2.二元一次方程组的解 定义：同时满足方程组中两个方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程组的解。 核心区别（重中之重）： 二元一次方程：无数组解 二元一次方程组：一般只有唯一一组解（特殊情况无解或无数组解，期中不考，暂不拓展） 3. 解的检验（规范步骤） ① 把未知数的值（如 x=a，y=b）分别代入方程组的两个方程； ② 若两个方程左右两边都相等，就是方程组的解； ③ 只要有一个方程不成立，就不是方程组的解。 知识点04:概念易错点｜避坑指南 误区 1：认为 “二元” 是 “两个未知数的次数都是 1”，实则是 “含未知数的项的次数是 1”（如xy=3，两个未知数相乘，项的次数是 2，不是二元一次方程）。 误区 2：分母含未知数的方程（如=2）是二元一次方程，实则不是，因为它不是整式方程。 误区 3：二元一次方程组的解，只要满足一个方程就可以，实则必须同时满足两个方程。 口诀记忆：二元两个未知数，次数为 1 是整式；方程无数解，方程组唯一解。 知识点05:核心重点：二元一次方程组的两种解法（必考！期中大题主力军） 方法一：代入消元法｜“变形代入，化二为一” 1. 适用场景（一眼判断） 方程组中有一个方程，某个未知数的系数是 1 或 −1（如y=2x+3、x−y=5），容易变形为 “用一个未知数表示另一个未知数” 的形式。 2. 解题步骤（规范 + 口诀，记牢不踩错） 口诀：一变形，二代入，三求解，四回代，五写解 代入消元易错点｜避坑提醒 1.变形时移项忘记变号（如把x−y=3变形为x=y−3，错误！正确是x=y+3）； 2.代入时，漏乘系数（如把x=y+3代入2x+3y=16，写成2y+3+3y=16，漏乘 2）； 3.回代时，代入原方程，计算繁琐易出错（建议代回变形后的式子，更简单）。 方法二：加减消元法｜“系数统一，加减消元” 加减消元易错点｜避坑提醒⚠️ 1.系数统一时，漏乘方程中的常数项（如把2x+5y=13×2，只乘 2x 和 5y，漏乘 13）； 2.两个方程相减时，后面方程的每一项都要变号，容易漏变常数项； 3.消元后，求解一元一次方程时，符号出错、计算失误； 4.回代时，代入的方程太复杂，增加计算难度（优先选系数简单的方程） 消元方法 适用特点 核心优点 易错点 代入消元法 有未知数系数为 ±1，式子易变形 计算简单，步骤少，不易错符号 移项变号、代入漏乘 加减消元法 未知数系数相等 / 相反 / 成倍数 不用分式变形，消元速度快 漏乘常数项、相减漏变号 ✨ 选择口诀：系数有 ±1，代入最省力；系数成倍数，加减更快速 题型01.二元一次方程组的定义 【典例】下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知关于x，y的方程是二元一次方程，则______． 【跟踪专练2】若方程组是关于，的二元一次方程组，则代数式______． 题型02.二元一次方程的解 【典例】若是方程的解，则___________． 【跟踪专练1】下列方程组中，解为的方程组是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】母亲节来临，小明去花店为妈妈准备节日礼物．已知康乃馨每支2元，百合每支3元．小明将20元钱全部用于购买这两种花(两种花都买)，小明的购买方案共有( ) A．2种 B．3种 C．4种 D．5种 题型03.二元一次方程组的判定 【典例】下列方程组，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知x，y，z是未知数，下列各方程组中是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】下列方程组中，二元一次方程组有（   ） ①；②；③；④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 题型04.二元一次方程组解的判定 【典例】方程组的解（    ）方程的解． A．一定是 B．一定不是 C．不一定是 D．以上都不对 【跟踪专练1】有四组数：①②③④其中，______是方程的解，______是方程的解，______是方程组的解（填写序号）． 【跟踪专练2】已知二元一次方程． (1)直接写出它所有的正整数解； (2)请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程组成的方程组的解为． 题型05.错解复原问题 【典例】甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程中的，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的，得到方程组的解为，则的值___________． 【跟踪专练1】在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，得到的解为乙看错了方程组中的，得到的解为，则______． 【跟踪专练2】甲乙两人共同解方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为；计算______． 题型06.方程组相同解问题 【典例】若关于的二元一次方程组与有相同的解，则这个解是（  ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】已知方程组和方程组有相同的解，则_______． 【跟踪专练2】已知关于，的方程组与有相同的解，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型07.代入消元法 【典例】将式子改写成用含x的式子表示y，正确的是（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练1】二元一次方程组的解为______． 【跟踪专练2】如果关于x、y的单项式与的和是一个单项式，那么________． 题型08.加减消元法 【典例】已知方程组，则的值是__________． 【跟踪专练1】定义：关于x，y的二元一次方程（其中）中的常数项c与未知数系数a，b之一互换，得到的方程叫“交换系数方程”，例如：的交换系数方程为或．方程与它的“交换系数方程”组成的方程组的解为______ 【跟踪专练2】对于任意有理数，，，，规定．若，满足， ，则（    ） A． B． C． D． 题型09.二元一次方程组的特殊解法 【典例】用换元法解方程组时，可设则原方程组可化为关于u、v的整式方程组为_____． 【跟踪专练1】观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为_______． 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … 【跟踪专练2】若关于的二元一次方程组的解是，则关于的二元一次方程组的解是___________． 题型10.构造方程组求解 【典例】若+|a+b-3|=0，那么=_________________________ 【跟踪专练1】.写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【跟踪专练2】已知中每个数只能取，0，2中的一个，且满足，则______． 题型11.由二元一次方程组解的情况求参数 【典例】若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则m的值为_______． 【跟踪专练1】关于，的方程组有无数多个解，则___． 【跟踪专练2】已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 解答题 1．关于，的二元一次方程均可以变形为的形式（其中，，均为常数且，），规定：(，，)为方程的“关联系数”． (1)二元一次方程的“关联系数”为__________； (2)已知关于，的二元一次方程的“关联系数”为，若为该方程的一组解，且，均为正整数，求，的值． 2．甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得 (1)甲把m错看成了什么？乙把n错看成了什么？ (2)试求原方程组的解． 3．已知关于x，y的二元一次方程组与方程组有相同的解 (1)求这两个方程组的相同解． (2)求的值． 4．解方程组： (1) (2) (3) 5．解方程组：． 6．若关于x，y的二元一次方程组满足，求m的值． 7．定义：关于的方程与方程（a、b均为不等于0的常数）称互为“反对方程”，例如：方程与方程互为“反对方程”． (1)若关于的方程与方程互为“反对方程”，则______； (2)若关于的方程与方程互为“反对方程”，求、的值； (3)若关于的方程与其“反对方程”的解都是整数，求整数的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $