第10讲 二元一次方程组应用&三元一次方程组 培优讲义 2025-2026学年沪教版（五四制）数学六年级下册

本讲义聚焦二元一次方程组应用与三元一次方程组核心知识点，系统梳理配套问题、行程工程、数字年龄等11类经典应用题型及三元一次方程组的消元解法，构建从实际问题建模到方程求解的完整学习支架。 资料以思维导图总览知识体系，17大考点精讲涵盖几何拼接、古代问题等创新题型，通过建模思想培养数学语言表达能力，逻辑推理强化数学思维，课中辅助教师高效授课，课后巩固助力学生查漏补缺，提升解决实际问题的应用意识。

第10讲 二元一次方程组应用&三元一次方程组 培优讲义 (17大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握 根据实际问题中的数量关系列出二元一次方程组，包括配套问题、几何图形拼接、方案设计、行程工程、数字年龄、销售利润、和差倍分等经典题型。 · 理解 几何图形中隐含的边长等量关系，能通过设未知数列方程组求解。 · 熟练 分析行程问题中的速度、时间、路程关系，工程问题中的工作效率关系。 · 掌握 数字问题中数位表示方法，年龄问题中年龄差不变的性质。 · 能解决 包含两个等量关系的销售利润、方案选择问题，并讨论解的合理性。 · 理解 三元一次方程组的定义，掌握代入消元、加减消元以及整体思想求解多元方程组。 · 体会 方程思想在解决实际问题中的核心地位，能根据问题背景灵活设元、列式。 ✨ 核心思想：建模 · 消元 · 分类讨论 · 整体代换 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 1. 审题： 分析题意，找出两个等量关系。 1. 设元： 设两个未知数（通常为所求的量）。 1. 列式： 根据等量关系列出两个方程，组成方程组。 1. 求解： 用代入消元法或加减消元法解方程组。 1. 检验： 检查解是否符合实际意义，并作答。 ☆ 常见应用题型及等量关系 1. 配套问题： 根据配套比例（如1张桌子配4把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 1. 几何图形问题： 根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 1. 方案问题： 根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 1. 行程问题： 基本关系：路程=速度×时间。相遇问题：总路程=速度和×时间；追及问题：路程差=速度差×时间；注意同时出发、早出发等情况。 1. 工程问题： 基本关系：工作量=工作效率×时间；常将总工作量看作1，或给出具体数值。 1. 数字问题： 两位数=10×十位数字+个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 1. 年龄问题： 年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 1. 分配问题： 如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 1. 销售利润问题： 售价=进价+利润；利润率=利润/进价；打折、提价、降价后的等量关系。 1. 和差倍分问题： 直接根据“和”、“差”、“倍”、“分”列方程。 1. 图表信息题： 从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 1. 古代数学问题： 读懂古文，将文字描述转化为现代数学语言。 ☆ 三元一次方程组 1. 定义： 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且一共有三个方程（有时只有两个方程但可求解特定整体）。 1. 解法： 代入消元法（将其中一个方程变形，代入另两个消去一个未知数，转化为二元一次方程组）；加减消元法（通过加减消去一个未知数，逐步降元）；整体思想（将三个方程相加或相减得到整体关系）。 1. 三元一次方程组的解： 同时满足三个方程的未知数的值。 △ 应用题型方法速查表 类型 核心等量关系 常用设元技巧 配套问题 生产总量满足配套比例 设生产人数或天数 几何图形 边长和、差、倍关系 设边长，根据图形列方程 行程问题 ，相遇、追及条件 设速度、时间，注意单位统一 工程问题 工作量 = 工效 × 时间 可设工效或时间，常把总量看作1 数字问题 数位表示，如 设数位上的数字 年龄问题 年龄差不变，过去/未来年龄关系 设现在年龄，用差表示 销售利润 售价 = 进价 + 利润；利润率公式 设进价、售价或数量 和差倍分 直接根据文字描述列等式 设未知数直接翻译 三元一次方程组 三个未知数的三个方程 代入或加减消元，注意整体法 核心考点 ·17类题型精讲 【考点1】根据实际问题列二元一次方程组（1-3题） ❤ 方法总结 1. 仔细审题，找出两个等量关系，通常涉及人数、天数、产品数量、价格等。 1. 配套问题中常出现“刚好配套”意味着数量成比例，如镜架与镜片2:1，桌子与椅子1:4。 1. 古代问题需准确理解题意，将“盈”“不足”转化为代数式。 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某眼镜厂有工人25人，每人每天平均生产镜架72个或镜片96片，为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，安排人生产镜架，人生产镜片．根据题意，可列方程组为__________． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．若要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排天生产桌子，天生产椅子，根据题意可列方程组为________ 3．（25-26六年级上·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【考点2】根据几何图形列二元一次方程组（4-6题） ❤ 方法总结 1. 观察图形中线段之间的相等关系，如拼接后总长度、宽度关系。 1. 设关键边长（如小正方形边长、小长方形长宽），用含未知数的式子表示其他边长。 1. 利用“无缝隙无重叠”建立方程。 4．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 5．（23-24七年级下·北京·期中）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·湖南岳阳·月考）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【考点3】方案问题（7-10题） ❤ 方法总结 1. 通常涉及两种或多种方案，需根据总费用、总数量等条件列出方程组。 1. 方案选择往往要求整数解，需讨论非负整数解。 1. 有时需要将总资金约束与整数解结合，求出所有可行方案后再比较。 7．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 9．（2024七年级下·上海·专题练习）“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【考点4】行程问题（11-14题） ❤ 方法总结 1. 分清是相遇还是追及，是否同时出发，有无提前出发。 1. 若两次不同条件，可分别列方程，注意速度、时间、路程的关系。 1. 对于往返问题，注意上坡下坡速度不同，可设上坡、下坡路程。 11．（2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 12．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 13．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 14．（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【考点5】工程问题（15-18题） ❤ 方法总结 1. 基本关系：工作量=工作效率×时间，常将总工作量设为1或具体数值。 1. 若两队合作，注意实际工作时间可能有变化（中途离开、速度变化）。 1. 可设原计划每天完成量，根据时间与进度列方程。 15．（23-24六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 16．（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 17．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 18．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【考点6】数字问题（19-22题） ❤ 方法总结 1. 两位数 = 10×十位数字 + 个位数字；三位数类推。 1. 交换数位、加写0相当于扩大10倍，需准确表示。 1. 比例问题可设内项、外项，利用比例基本性质列方程。 19．（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 20．（24-25六年级下·上海·月考）一个比例，第一项与第二项的比值为，且两个外项之和为37，差为13，则该比例为______． 21．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 22．（24-25六年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【考点7】年龄问题（23-26题） ❤ 方法总结 1. 年龄差不变是核心，即过去、现在、将来两人年龄差相等。 1. 用现在年龄表示过去或将来年龄，建立等量关系。 1. 常设现在年龄，根据“当我像你这么大时”等语句列方程。 23．（21-22九年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 24．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 25．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 26．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【考点8】分配问题（27-30题） ❤ 方法总结 1. 涉及两种或多种物品、人员的分配，根据总量和部分量关系列方程。 1. 纸盒配套问题中，注意每个竖式、横式纸盒所需不同材料数量。 1. 有时需分类讨论剩余材料情况。 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 28．（22-23六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 29．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 30．（24-25七年级下·天津和平·期中）春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【考点9】销售、利润问题（31-33题） ❤ 方法总结 1. 基本公式：售价 = 进价 + 利润；利润 = 进价×利润率；打折后的价格 = 原价×折扣。 1. 注意单价和数量的乘积等于总价。 1. 优惠方案比较：需计算两种不同优惠下的实际花费。 31．（25-26六年级上·上海普陀·月考）某同学在两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元． (1)这种复读机和书包的单价各是多少元？ (2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：超市所有商品打八折销售，超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？ 32．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 33．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 【考点10】和差倍分问题（34-36题） ❤ 方法总结 1. 直接根据“比...多/少”、“是...的几倍”等文字列方程。 1. 可设两个未知数，将倍数关系、和差关系转化为方程。 1. 注意单位统一。 34．（2024六年级下·上海·专题练习）学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 35．（2025七年级下·全国·专题练习）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 36．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【考点11】几何问题（37-39题） ❤ 方法总结 1. 通常涉及长方形、正方形等图形的边长、周长、面积关系。 1. 通过不同摆放方式得出两种测量结果，列出方程组。 1. 注意整体相加消元求解。 37．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 38．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，长方形是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，则小正方形的边长是______． 39．（25-26六年级上·上海普陀·月考）甲、乙两种无盖的长方体小盒如图1所示，它们的各个面是如图2的正方形或长方形的硬纸片．现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ 【考点12】图表信息题（40-42题） ❤ 方法总结 1. 从表格或图形中读取已知数据，找出未知量之间的关系。 1. 幻方问题常利用各行、各列、对角线之和相等列方程。 1. 九宫格可设中间量作为辅助。 40．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 41．（2025七年级上·上海·专题练习）在下面的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等． (1)如图1，则________，________ (2)如图2，则________（用含b的代数式表示） (3)如图3，则________，________ 42．（22-23七年级上·上海静安·月考）在下面的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等． (1)如图1，则________，________ (2)如图2，则________（用含b的代数式表示） (3)如图3，则________，________ 考点13】古代问题（43-46题） ❤ 方法总结 1. 读懂古文，将“盈不足”“合伙购物”等转化为现代数学语言。 1. 注意古时的度量单位（如钱、两、斤、尺）与现代单位的换算（有时不须换算）。 1. 常见的题型：牛羊值金、分银、买物、幻方等。 43．（23-24九年级下·上海·月考）《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得（　　） A． B． C． D． 44．（24-25六年级上·上海·月考）《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意为：现有几人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．问：合伙人数是______人，羊的价格是______钱． 45．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 46．（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【考点14】开放型问题（47题） ❤ 方法总结 1. 条件不足时，可先写出一般解，再补充一个条件使解唯一。 1. 答案不唯一，但需满足实际意义。 47．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【考点15】其他问题（48-50题） ❤ 方法总结 1. 如车辆租用、拆建校舍、足球联赛积分等，关键是找到题中的两个等量关系。 1. 对于积分问题，胜、平、负场数满足总数和得分方程。 48．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下： 观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆； 观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆． 某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元． (1)求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？ (2)当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因． 49．（25-26六年级上·上海闵行·月考）某区投入一笔资金改善某中学办学条件，计划拆除一部分旧校舍，另建一批新校舍．拆除旧校舍每平方米需500元，建造新校舍每平方米需2000元．计划在年内拆除的旧校舍面积与建造的新校舍面积共，在实施中为了扩大绿化面积，拆除的旧校舍的面积比原计划增加了，建造的新校舍的面积为原计划的，结果实际拆除的旧校舍和建造的新校舍的总面积和原计划相等． (1)原计划拆除旧校舍和建造新校舍各多少平方米？ (2)已知绿化需300元，如果将在实际完成的拆、建工程中比原计划节约的资金用来增加绿化面积，那么可增加绿化面积多少平方米？ 50．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【考点16】三元一次方程组的定义及解（51-54题） ❤ 方法总结 1. 解三元一次方程组的基本策略：消元通过代入或加减消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 1. 整体加减法：将三个方程相加或相减，得到整体关系，如求 的值。 1. 对于只有两个方程的三元一次方程组，通常可求出某个整体的值。 51．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 52．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 53．（24-25六年级下·上海宝山·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 54．（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【考点17】创新及压轴题（1-4题） ❤ 方法总结 1. 综合应用各类知识，常以阅读材料、新定义形式出现。 1. 整体思想、换元法、消元法是解决复杂方程组的有力工具。 1. 对于非负整数解的个数问题，可用枚举或数列求和解决。 1．（24-25六年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不变） 解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得： ，即 ． 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 阅读后，细心的你，可以解决下列问题： (1)上述材料中， ； (2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题． A．整体    B．数形结合    C．分类讨论 (3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表： 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件数 5 4 3 1 1882 第二次购买件数 9 7 5 1 2764 根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元． 2．（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．            素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 4．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． 随堂检测 · 精选练习 1. 题1 古代问题：和尚分馒头（根据人数和馒头数列方程组）。 1. 题2 古代问题：甲乙持钱（根据钱数转移列方程组）。 1. 题3 纸杯叠放高度问题（利用高度与个数的线性关系列方程组）。 1. 题4 商品价格变化问题（根据原价和调价后的总价列方程组）。 1. 题5 盐水混合浓度问题（根据溶质质量不变列方程组）。 1．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ___________． 2．（24-25六年级下·上海普陀·期末）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是______． 3．（24-25六年级下·上海金山·期末）小丽在超市帮妈妈买回一袋纸杯，她把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小丽把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________． 4．（24-25六年级下·上海·期末）原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需______元． 5．（24-25六年级下·上海·期末）甲乙两个杯子中分别装有不同浓度的200克和300克的盐水．第一次将甲杯中的一半盐水倒入乙杯，混合均匀后再将此时乙杯的一半倒回甲杯．此时甲乙两个杯子中的盐水浓度分别为和，则原来甲杯中的盐水浓度为_______． 课后巩固 · 针对性练习 1. 题1 古代“共买物”问题（盈不足模型）。 1. 题2 几何图形拼接求面积比（根据长方形宽列方程）。 1. 题3 幻方中的方程组（利用行和、列和相等）。 1. 题4 大小长方形放置问题（根据图形边长关系列方程组）。 1. 题5 古代“索子量竿”问题（绳长与竿长的二元一次方程组）。 1. 题6 四种练习本购买问题（总本数与总价列方程组）。 1. 题7 头盔采购与利润问题（单价、总价、利润计算）。 1. 题8 面包牛奶价格与折扣问题（原价与折后价列方程组）。 1. 题9 研学租车方案（载客量与租车数量关系，讨论整数解）。 1. 题10 刀鱼馄饨礼盒销售（单价与预算刚好花完的方案）。 1. 题11 长方形由正方形组成（利用边长关系列方程组）。 1. 题12 客车载客与租金方案（三元一次方程组与最优选择）。 1. 题13 烟花采购方案（单价、箱数与燃放时间，求最长时长）。 ※ 复习建议 本专题涵盖大量实际应用，建议先熟练掌握基本题型（配套、行程、工程、数字），再攻克方案设计、图表、古代问题等综合题型。对于三元一次方程组，重点掌握消元技巧和整体求值方法。务必养成检验解的实际意义的习惯。 1．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问人数和物品的价格各是多少？如果设有人，物品的价格是元，那么根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 6．（25-26七年级上·重庆·自主招生）某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 7．（24-25六年级下·上海普陀·期末）随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)A、B两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？ 8．（24-25六年级下·上海闵行·期末）乐乐五月份在一家超市买了袋面包和瓶牛奶，共花了元，六月份超市打折促销，面包打七折，一瓶牛奶的价格比五月份降低了，如果乐乐六月份以元的价格购买了袋面包和瓶牛奶，求五月份一个面包和一瓶牛奶的价格． 9．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 12．（24-25八年级上·山西运城·月考）综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 13．（24-25七年级下·浙江金华·月考）解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 第 1 页 共 28 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 二元一次方程组应用&三元一次方程组 培优讲义 (17大考点精讲+创新压轴题+课后巩固) 思维导图 · 课程内容总览 课程目标 · 精准把握学习方向 · 掌握 根据实际问题中的数量关系列出二元一次方程组，包括配套问题、几何图形拼接、方案设计、行程工程、数字年龄、销售利润、和差倍分等经典题型。 · 理解 几何图形中隐含的边长等量关系，能通过设未知数列方程组求解。 · 熟练 分析行程问题中的速度、时间、路程关系，工程问题中的工作效率关系。 · 掌握 数字问题中数位表示方法，年龄问题中年龄差不变的性质。 · 能解决 包含两个等量关系的销售利润、方案选择问题，并讨论解的合理性。 · 理解 三元一次方程组的定义，掌握代入消元、加减消元以及整体思想求解多元方程组。 · 体会 方程思想在解决实际问题中的核心地位，能根据问题背景灵活设元、列式。 ✨ 核心思想：建模 · 消元 · 分类讨论 · 整体代换 知识梳理 · 核心知识点 ☆ 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 1. 审题： 分析题意，找出两个等量关系。 1. 设元： 设两个未知数（通常为所求的量）。 1. 列式： 根据等量关系列出两个方程，组成方程组。 1. 求解： 用代入消元法或加减消元法解方程组。 1. 检验： 检查解是否符合实际意义，并作答。 ☆ 常见应用题型及等量关系 1. 配套问题： 根据配套比例（如1张桌子配4把椅子）列出方程，通常涉及生产人数、天数分配。 1. 几何图形问题： 根据图形中边长之间的相等关系（如长方形长宽关系、拼接不重叠）列方程。 1. 方案问题： 根据总费用、总数量等约束条件列出方程，并讨论整数解或最优方案。 1. 行程问题： 基本关系：路程=速度×时间。相遇问题：总路程=速度和×时间；追及问题：路程差=速度差×时间；注意同时出发、早出发等情况。 1. 工程问题： 基本关系：工作量=工作效率×时间；常将总工作量看作1，或给出具体数值。 1. 数字问题： 两位数=10×十位数字+个位数字；多位数类似；注意数位变换后的等量关系。 1. 年龄问题： 年龄差不变，每人年龄随时间同步增加。 1. 分配问题： 如物资分配、人员调配，根据总量和部分量关系列方程。 1. 销售利润问题： 售价=进价+利润；利润率=利润/进价；打折、提价、降价后的等量关系。 1. 和差倍分问题： 直接根据“和”、“差”、“倍”、“分”列方程。 1. 图表信息题： 从表格、图形中提取数据，转化为方程组。 1. 古代数学问题： 读懂古文，将文字描述转化为现代数学语言。 ☆ 三元一次方程组 1. 定义： 含有三个未知数，每个方程中含未知数的项的次数都是1，且一共有三个方程（有时只有两个方程但可求解特定整体）。 1. 解法： 代入消元法（将其中一个方程变形，代入另两个消去一个未知数，转化为二元一次方程组）；加减消元法（通过加减消去一个未知数，逐步降元）；整体思想（将三个方程相加或相减得到整体关系）。 1. 三元一次方程组的解： 同时满足三个方程的未知数的值。 △ 应用题型方法速查表 类型 核心等量关系 常用设元技巧 配套问题 生产总量满足配套比例 设生产人数或天数 几何图形 边长和、差、倍关系 设边长，根据图形列方程 行程问题 ，相遇、追及条件 设速度、时间，注意单位统一 工程问题 工作量 = 工效 × 时间 可设工效或时间，常把总量看作1 数字问题 数位表示，如 设数位上的数字 年龄问题 年龄差不变，过去/未来年龄关系 设现在年龄，用差表示 销售利润 售价 = 进价 + 利润；利润率公式 设进价、售价或数量 和差倍分 直接根据文字描述列等式 设未知数直接翻译 三元一次方程组 三个未知数的三个方程 代入或加减消元，注意整体法 核心考点 ·17类题型精讲 【考点1】根据实际问题列二元一次方程组（1-3题） ❤ 方法总结 1. 仔细审题，找出两个等量关系，通常涉及人数、天数、产品数量、价格等。 1. 配套问题中常出现“刚好配套”意味着数量成比例，如镜架与镜片2:1，桌子与椅子1:4。 1. 古代问题需准确理解题意，将“盈”“不足”转化为代数式。 1．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某眼镜厂有工人25人，每人每天平均生产镜架72个或镜片96片，为了使每天生产的镜架和镜片刚好配套，安排人生产镜架，人生产镜片．根据题意，可列方程组为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程． 设名工人生产镜架，名工人生产镜片，可得，又根据2个镜片和1个镜架恰好配一套，列方程即可． 【详解】解：设名工人生产镜架，名工人生产镜片， 根据题意得：， 故答案为：． 2．（24-25六年级下·上海闵行·期末）某家具厂设计的餐桌椅套装，1张桌子配4把椅子．该厂一天能生产桌子12张或椅子32把，决定用20天时间生产一批这样的餐桌椅．若要使生产的桌子和椅子正好配套，设安排天生产桌子，天生产椅子，根据题意可列方程组为________ 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查列出二元一次方程组的配套问题，由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设安排天生产桌子，天生产椅子，根据 1 张桌子配 4 把椅子即生产椅子数量是生产桌子数量的 4 倍可列方程组． 【详解】解：设安排天生产桌子，天生产椅子， 根据题意可列方程组为：． 故答案为：． 3．（25-26六年级上·上海崇明·期末）我国古代数学著作《孙子算经》有“多人共车”问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步．问：人与车各几何？”其大意如下：有若干人要坐车，如果每3人坐一辆车，那么有2辆空车；如果每2人坐一辆车，那么有9人需要步行，问人与车各多少？设共有人，辆车，下列四个方程：①；②；③；④其中符合题意的是（ ） A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组、古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，关键是理解两种乘车方式下车数与人数的关系，从而建立等式． 【详解】解：设共有人，辆车． 对于“每3人坐一辆车，有2辆空车”：实际使用的车辆数为，因此人数； 对于“每2人坐一辆车，有9人步行”：实际乘车人数为，因此车辆数，即， 所以，故①正确，②错误． “每3人坐一辆车，有2辆空车”：总车数；“每2人坐一辆车，有9人步行”：总车数， 所以，故③正确，④错误． 综上，符合题意的是①③， 故选：A． 【考点2】根据几何图形列二元一次方程组（4-6题） ❤ 方法总结 1. 观察图形中线段之间的相等关系，如拼接后总长度、宽度关系。 1. 设关键边长（如小正方形边长、小长方形长宽），用含未知数的式子表示其他边长。 1. 利用“无缝隙无重叠”建立方程。 4．（24-25六年级下·上海金山·期末）如图是由块颜色不同的正方形卡片无重叠无缝隙地拼成的长方形，中间最小的正方形边长为．若设标有序号的两个正方形边长分别为，，则根据题意可得到的二元一次方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形列出方程组即可，解题关键是观察图形中正方形边长的拼接关系，找出等量关系列出方程组． 【详解】解：水平方向，观察图形可知，存在由两个边长为的部分组成的水平线段，其长度等于边长为的正方形边长加最小正方形边长，即 ； 垂直方向，从垂直边的拼接关系看，边长为的正方形边长加，等于边长为的正方形边长减，即； 综上，符合条件的二元一次方程组为， 故选：． 5．（23-24七年级下·北京·期中）如图，是由8个大小相同的小长方形无缝拼接而成的一个大长方形，已知大长方形的周长为，则小长方形的周长为（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用和一元一次方程的应用，解题的关键是根据图找出小长方形长和宽之间的关系，以及大长方形的长和宽与小长方形长和宽的关系，利用大长方形的周长列出方程，求出小长方形的长与宽，进而求解． 设小长方形的长为，宽为，结合图形得到等式：（1）；（2），联立方程组并解答． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为， 由题意知，， 解①，得， 将代入②中， 解得， 即， 所以小长方形的周长为：． 故答案为：D． 6．（22-23七年级下·湖南岳阳·月考）小明在拼图时发现个一样大小的长方形恰好可以拼成一个大的长方形如图（1），小红看见了说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为的小正方形．请问每个小长方形的面积是多少？ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组、代入消元法 【分析】设每个小长方形的长是，宽是，根据图形给出的信息可知，长方形的个宽与其个长相等，个长加的和等于两个宽的和，于是得方程组，解出即可． 【详解】解：设小长方形的长是，宽是， 由图（1），得， 由图（2），得， 所以， 解得， 小长方形的长为，宽为， 小长方形的面积为， 答：每个小长方形的面积是． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组解实际问题的运用，二元一次方程组的解法的运用，解答时根据矩形和正方形的长与宽的关系建立方程组是关键． 【考点3】方案问题（7-10题） ❤ 方法总结 1. 通常涉及两种或多种方案，需根据总费用、总数量等条件列出方程组。 1. 方案选择往往要求整数解，需讨论非负整数解。 1. 有时需要将总资金约束与整数解结合，求出所有可行方案后再比较。 7．（24-25六年级下·上海黄浦·期末）2025年央视春晚节目《秧》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率．拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元． (1)求、两种型号智能机器人的单价； (2)该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台．已知型机器人每台每天可分拣22万件；型机器人每台每天可分拣18万件，则企业要购买型和型机器人各几台？ 【答案】(1)种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元 (2)该企业要购买型机器人5台，型机器人5台 【难度】0.85 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元，根据买1台型机器人、3台型机器人，共需260万元；若买3台型机器人、2台型机器人，共需360万元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设该企业要购买型机器人台，型机器人台，根据该企业预计每天需要分拣200万件快递，现准备购买、两种型号智能机器人共10台，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设种型号智能机器人的单价为万元，种型号智能机器人的单价为万元， 由题意得， 解得， 答：种型号智能机器人的单价为80万元，种型号智能机器人的单价为60万元； （2）解：设该企业要购买型机器人台，型机器人台， 由题意得， 解得， 答：该企业要购买型机器人5台，型机器人5台． 8．（23-24七年级下·浙江杭州·期中）已知用2辆型车和1辆型车装满货物一次可运货10吨；用1辆型车和2辆型车装满货物一次可运货11吨，某物流公司现有31吨货物，计划同时租用型车辆，型车辆，一次运完，且恰好每辆车都装满货物． 根据以上信息，解答下列问题： (1)一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮物流公司设计出所有可行的租车方案． (3)若型车每辆租金1000元/次，型车每辆租金1200元/次，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金费． 【答案】(1)一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨 (2)可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆 (3)最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了二元一次方程组与方案问题．解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组和二元一次方程． （1）设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨，根据题意建立二元一次方程组即可求解； （2）根据货物总重量可得，即可求解； （3）由（2）中的结论即可计算各方案所用费用，即可求解． 【详解】（1）解：设一辆型车和一辆型车装满货物一次可分别运货吨，吨， 由题意可得，， 解得：， 答：一辆型车装满货物一次可运货3吨，一辆型车装满货物一次可运货4吨； （2）由题意得：， ，只能取整数 ， 答：可租用型车9辆，型车1辆；租用型车5辆，型车4辆；租用型车1辆，型车7辆； （3）解：由题意可得， ①（元； ②（元； ③（元； 最省钱的租车方案为：租用型车1辆，型车7辆，费用为9400元． 9．（2024七年级下·上海·专题练习）“五一”节前，某商店拟购进A、B两种品牌的电风扇进行销售，已知购进3台A种品牌电风扇所需费用与购进2台B种品牌电风扇所需费用相同，购进1台A种品牌电风扇与2台B种品牌电风扇共需费用元． (1)A、B两种品牌电风扇每台的进价分别是多少元？ (2)销售时，该商店将A种品牌电风扇定价为元/台，B种品牌电风扇定价为元/台，商店拟用元购进这两种品牌电风扇（两种都有，且元刚好全部用完），为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应采用哪种进货方案？ 【答案】(1)两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元 (2)购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用及销售问题，熟练的根据题意列出方程并掌握二元一次方程组的解法是解题的关键， （1）设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元，由题意列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，列出二元一次方程，求其正整数解，再分别计算出各种方案下的利润，即可得出答案． 【详解】（1）解：设两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元， 根据题意，得 解得 答：两种品牌电风扇每台的进价分别是元，元． （2）解：设购进种品牌电风扇台，种品牌电风扇台，根据题意，得， 其正整数解为或或 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）； 当时， 利润为（元）． 因为， 所以当时，利润最大． 答：为能在销售完这两种品牌电风扇后获得最大利润，该商店应购进种品牌电风扇7台，种品牌电风扇2台． 10．（24-25七年级上·陕西西安·期末）图中是一把学生椅，主要由靠背、座板及铁架组成，经测量，该款学生椅的座板尺寸为，靠背由两块相同的靠背板组成，其尺寸均为． 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅，清点库存时发现，工厂仓库已有大量的学生椅铁架，故只需在市场上购进某型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与座板，如下图，该型号板材长为，宽为．（裁切时不计损耗） 【任务一】拟定裁切方案 （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，则可裁切靠背板______块． （2）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材同时裁切出靠背板和座板，请你设计出所有符合要求的裁切方案： 方案一：裁切靠背板______块和座板______块． 方案二：裁切靠背板______块和座板______块． 方案三：裁切靠背板______块和座板______块． 【任务二】确定搭配数量 （3）现需要制作700张学生椅，该工厂仓库现有10块靠背板，没有座板，请问还需要购买该型号板材多少张（恰好全部用完）？为方便加工，需在上述裁切方案中选定两种，并说出你选定的两种裁切方案分别需要多少块板材． 【答案】（1）30；（2）23，2；16，4；9，6；（3）需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【难度】0.4 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意，列出二元一次方程和二元一次方程组． 任务一：（1）画出图形，即可求解； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，再设一张该板材裁切靠背板块，座板块，可得：，求出正整数解即可； 任务二：分三种情况讨论，设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块，可得二元一次方程组，解方程组可得答案；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块；或设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块，同样的方法求解即可． 【详解】解：任务一： （1）在不造成板材浪费的前提下，若将一张该板材全部用来裁切靠背板，如图， 则可裁切靠背板块． 故答案为：30； （2）一张该板材先靠上裁切靠背6块，如图， 余下的，设一张该板材裁切靠背板块，座板块， 根据题意得：， ， ，为正整数， 或或， 方案一：裁切靠背板23块和座板2块． 方案二：裁切靠背板16块和座板4块． 方案三：裁切靠背板9块和座板6块； 故答案为：23，2；16，4；9，6； 任务二： 设用张板材裁切靠背16块和座板4块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背9块和座板6块， 根据题意得：， 解得：， 张， 需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 设用张板材裁切靠背23块和座板2块，用张板材裁切靠背16块和座板4块， 根据题意得：， 解得：(不合题意，舍去)， 综上，需要购买该型号板材128张，用其中34张板材裁切靠背16块和座板4块，用94张板材裁切靠背9块和座板6块或需要购买该型号板材128张，用其中17张板材裁切靠背23块和座板2块，用111张板材裁切靠背9块和座板6块． 【考点4】行程问题（11-14题） ❤ 方法总结 1. 分清是相遇还是追及，是否同时出发，有无提前出发。 1. 若两次不同条件，可分别列方程，注意速度、时间、路程的关系。 1. 对于往返问题，注意上坡下坡速度不同，可设上坡、下坡路程。 11．（2025七年级上·上海·专题练习）甲、乙二人分别从相距的A，B两地出发，相向而行，如果甲比乙早出发，那么乙出发后，他们相遇；如果他们同时出发，那么后，两人相距，则甲由A地到B地需要________ 【答案】或10 【难度】0.65 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，根据相遇问题中的路程关系列方程．当同时出发后相距时，需分两种情况讨论：相遇前相距和相遇后相距．分别与第一个条件联立解方程组，求出甲的速度，再计算甲由A地到B地所需时间． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为． 根据第一个条件：甲比乙早出发，乙出发后相遇，得方程： （1） 根据第二个条件：同时出发后相距，分两种情况： 情况一：相遇前相距，得方程： ，即（2） 联立（1）和（2）： ， 解得：，， 甲由A地到B地需要时间：， 情况二：相遇后相距，得方程： ，即（3） 联立（1）和（3）： ， 解得：， 甲由A地到B地需要时间：． 故答案为：或10． 12．（24-25六年级下·上海金山·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹；名熟练分拣员和名新手分拣员一天能分拣件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在小时内送完所有包裹；若将速度提高千米小时，行驶小时后，还剩千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹 (2)快递车的总配送路程是千米 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组是解题的关键； （1）设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹，根据题意得， 解得： 答：每名熟练分拣员每天可以分拣件包裹，新手分拣员每天可以分拣件包裹； （2）解：设快递车原速度为 千米/小时，总路程为千米，根据题意得 解得： 答：快递车的总配送路程是千米 13．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）已知甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路，一辆汽车上坡时速度为，下坡时速度为，车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时，那么甲乙两地的公路长（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为，根据“车从甲地开往乙地需9小时，若从乙地返回甲地上下坡的速度不变，时间为7.5小时”列方程组求解即可． 【详解】解：设从甲到乙中，上坡路长为，下坡路长为， 根据题意，得， 化简得， 两式相加，得， ∴， 即甲乙两地的公路长， 故选：B． 14．（24-25六年级下·上海松江·期末）小敏去相距6千米的外滩游玩，她决定先步行一段路程，之后乘坐观光车前往．整个行程共用时1小时，且在步行与换乘中的耗时忽略不计．已知小敏步行时的平均速度是每小时4千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时12千米．请计算小敏步行和乘坐观光车分别所用的时间． 【答案】小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时 【难度】0.85 【知识点】行程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确地理解题意列出方程组是解题的关键． 设小敏步行所用的时间分别为小时，乘坐观光车所用的时间为小时，根据小敏步行时的平均速度是每小时 4 千米，乘坐观光车时的平均速度是每小时 12 千米，列出方程组，即可得到结论． 【详解】解：设小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时， 根据题意得， 解得， 答：小敏步行所用的时间为小时，乘坐观光车所用的时间为小时． 【考点5】工程问题（15-18题） ❤ 方法总结 1. 基本关系：工作量=工作效率×时间，常将总工作量设为1或具体数值。 1. 若两队合作，注意实际工作时间可能有变化（中途离开、速度变化）。 1. 可设原计划每天完成量，根据时间与进度列方程。 15．（23-24六年级下·上海虹口·期末）虹口区正在创建全国文明城区，现对区内的部分河道进行整治，现有一段长340米的河道整治任务由甲、乙两个工程队先后接力完成，甲工程队每天整治15米，乙工程队每天整治20米，共用时20天．求甲、乙两工程队分别整治河道多少米？ (1)小泓和小智两位同学提出的解题思路如下，请你补全两位同学的解题思路． ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： (2)请从①②中任选一个解题思路，继续完成解答过程． 【答案】(1)①；② (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用)、根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握列方程组，解方程组是解题的关键． （1）根据题意，结合方程组的意义，补充完善即可； （2）选择适当的方法解方程组即可． 【详解】（1）解：小泓和小智两位同学提出的解题思路如下： ①小泓：设甲队整治x米，乙队整治y米 由题得： ②小智：设甲队工作m天，乙队工作n天 由题得： 故答案为：①；②． （2）若选择① 则， 解得 答：甲工程队整治河道180米，乙工程队整治河道160米． 若选择② 则， 解得 甲整治的河道长度：米；乙整治的河道长度：米． 16．（24-25八年级下·上海崇明·期中）某学校组织甲乙两班学生参加“美化校园”的义务劳动．如果甲班做2小时，乙班再做3小时，则恰好完成全部工作的一半；如果甲班做3小时，乙班再做6小时，恰好完成全部工作的．试问单独完成这项工作，甲乙两班各需多少时间? 【答案】甲班需8天，乙班需12天 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用；设甲每小时完成x，乙每小时完成y；根据题意列出二元一次方程组，求出两班单独完成的工作效率，即可求出单独完成的时间． 【详解】解：设甲每小时完成x，乙每小时完成y； 根据题意得：， 解方程组得：， 则甲班单独完成需要（天），乙班单独完成需要（天）； 答：甲班需8天，乙班需12天． 17．（2026七年级下·全国·专题练习）某城市准备对市区内的一段长的河道进行综合治理．该市把这项工程交给了甲、乙两个施工队，计划120天完成．甲、乙两队合做60天后，乙队因另外有任务要离开30天，于是甲队加快施工速度，每天多施工．乙队回来后，为了保证工期，甲队保持现在的施工速度不变，乙队每天比原来多施工，结果工程如期完工．那么，甲、乙两队原计划每天各施工多少米？ 【答案】甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找出等量关系，列二元一次方程组是解题的关键． 假设甲、乙两队原计划每天分别施工x、y米，根据题意120天完成可得方程，后逐步分析实际情况甲前60天与后60天的总工程量，乙前60天与后30天（离开30天）的工程量，总工程量与总时间按原计划未变，故可得另一方程，建立方程组，最终求出x、y的值． 【详解】解：假设甲队原计划每天施工x米，乙队原计划每天施工y米， 原计划120天合作施工， 故可得方程， 实际情况：甲先以原计划施工60天，后甲按照每天施工剩余的60天； 乙先以原计划施工60天，后停工30天，最后按照每天施工剩余的30天； 由此可得方程， 可得方程组， 化简得， 解得， 故甲队原计划每天施工96米，乙队原计划每天施工64米． 18．（2026七年级下·全国·专题练习）某服装厂接到生产一种工作服的订货任务，要求在规定期限内完成．按原来的生产进度，每天生产这种工作服套，在规定的期限内只能完成订货量的．现在，工厂改进了生产流程，每天可生产这种工作服套．按现在的生产进度，不仅比规定的期限少用1天，而且比订货量多生产了套．那么，这种工作服的订货量是多少套，要求完成的期限是多少天？ 【答案】订货量是套，要求完成的期限是天 【难度】0.65 【知识点】工程问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查的是二元一次方程组的实际应用（工程任务类），解题关键是根据 “原进度的工作量” 和 “改进后进度的工作量” 两个等量关系，设未知数并列方程组求解． 设订货量为x套，期限为y天，根据原生产情况可得方程，根据改进后生产情况可得方程，解方程组即可． 【详解】解：设订货量为x套，期限为y天． 由题意得， 解得， 经检验，方程组的解符合题意， 答：订货量是套，要求完成的期限是天． 【考点6】数字问题（19-22题） ❤ 方法总结 1. 两位数 = 10×十位数字 + 个位数字；三位数类推。 1. 交换数位、加写0相当于扩大10倍，需准确表示。 1. 比例问题可设内项、外项，利用比例基本性质列方程。 19．（24-25六年级下·上海·期中）小明和小亮做加法游戏，小明在一个加数后面多写了一个0，得到的和为57；而小亮在另一个加数后面多写了一个0，得到和为75，原来两个加数分别是________． 【答案】5和7/7或5 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，再结合两个等量关系：一个加数＋另一个加数，一个加数另一个加数可列出方程组，然后求解所得的方程组即可． 【详解】解：设原来两个加数中的一个加数为x，另一个加数为y，根据题意得： ， 解得，． 故答案为：5和7． 20．（24-25六年级下·上海·月考）一个比例，第一项与第二项的比值为，且两个外项之和为37，差为13，则该比例为______． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、 比例的基本性质 【分析】本题考查了比例的基本性质和二元一次方程组，比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，先根据两个外项之和与差求出两个外项的值，再结合第一项与第二项的比值求出比例的四项，即可作答． 【详解】解：设两个外项分别为a和， ∵两个外项之和为37，差为13， ∴， ∴， 解得， 则， ∴， ∴两个外项分别为25和12， ∵第一项与第二项的比值为， ∴第二项为或 ∴或 即该比例为或 故答案为：或 21．（24-25六年级下·上海·期末）幻方，又称“魔方阵”，是一种古老而有趣的数学游戏．最早可以追溯到夏禹时代的“洛书”．三阶幻方是指在一个的方格中填入9个不同的整数，使得每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都相等，这个共同的数值称为“幻和” (1)如图①所示幻方，求x的值； (2)如图②所示幻方，求a，b的值； (3)如图③所示幻方，若m，a为正整数，写出m，a可能的所有取值，并将对应的幻方填写完整． 【答案】(1) (2) (3)或或，补全幻方见解析 【难度】0.65 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，正确理解题意并列出方程是解题的关键． （1）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，即可； （2）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程组，即可； （3）要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，即可列出方程，再结合m，a为正整数，即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：； （2）解：根据题意得： ， 解得：； （3）解：根据题意得：， 整理得：， ∴， ∵m，a为正整数， ∴或或， 当时， 第三行的三个数从左到右依次为13，8，15，第三列三个数从上到下依次为11，10，15， 每一行、每一列以及两条对角线上的三个数之和都36， ∴第二行的三个数从左到右依次为14，12，10， ∴第一列三个数从上到下依次为11，12，13， ∴第一行的三个数从左到右依次为11，14，11， 11 14 11 12 12 10 13 8 15 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下： 15 10 11 8 12 16 13 14 9 当时， 同理将对应的幻方填写完整，如下 21 4 11 2 12 22 13 20 3 22．（24-25六年级下·上海·期末）有一个两位正整数，十位数字的8倍比原数小9，将十位数字与个位数字对换位置后所形成的新两位数的3倍比原数大1，求原来的两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为41． 【难度】0.85 【知识点】数字问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系． 设个位数字是x，十位数字是y，根据题意即可列出二元一次方程组进行求解． 【详解】解：设原数的个位数字是x，十位数字是y． 根据题意，得， 解得． 故原来两位数为41． 【考点7】年龄问题（23-26题） ❤ 方法总结 1. 年龄差不变是核心，即过去、现在、将来两人年龄差相等。 1. 用现在年龄表示过去或将来年龄，建立等量关系。 1. 常设现在年龄，根据“当我像你这么大时”等语句列方程。 23．（21-22九年级下·上海·自主招生）甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁，那么（   ） A．甲比乙大5岁 B．甲比乙大10岁 C．乙比甲大10岁 D．乙比甲大5岁 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁，根据“甲是乙现在的年龄时，乙15岁；乙是甲现在的年龄时，甲30岁”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲现在的年龄为岁，乙现在的年龄为岁， 依题意，得：， 解得：． 甲现在的年龄为25岁，乙现在的年龄为20岁， 甲比乙大5岁 故选：A． 24．（23-24七年级上·广东江门·开学考试）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为____岁， 乙的年龄为______岁． 【答案】 28 21 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁，然后根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，则甲比乙大岁， 由题意得：， 解得：， 即今年甲的年龄为28岁，乙的年龄为21岁， 故答案为：28，21． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找出合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 25．（25-26七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是（   ） A．9岁，7岁 B．10岁，6岁 C．12岁，7岁 D．12岁，6岁 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组实际应用，年龄问题，熟练掌握年龄差不变是解题的关键； 根据题目中的数量关系列出方程，进而求解哥哥和妹妹的年龄． 【详解】解：设妹妹的年龄为x岁，哥哥的年龄为y岁 由①得： 把③代入②，得 把代入③ 故方程组的解为 即妹妹的年龄为岁，哥哥的年龄为岁； 故选：B ． 26．（2025七年级上·全国·专题练习）在我国传统文化中，“喜寿”“米寿”“白寿”分别是岁，岁，岁的雅称，小花在年龄是她妈妈年龄的时曾为奶奶贺喜寿，在年龄是她妈妈年龄的时又为奶奶贺米寿小花多少岁时将为奶奶贺白寿？ 【答案】小花岁时将为奶奶贺白寿 【难度】0.65 【知识点】年龄问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，设小花为奶奶贺喜寿时小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，奶奶的年龄为岁，根据“喜寿”、“米寿”、“白寿”代表的年龄和小花与妈妈年龄的关系列出方程组． 【详解】解：设为奶奶贺喜寿时，小花的年龄为岁，妈妈的年龄为岁， 根据题意，列出表格如下： 奶奶的年龄岁 小花的年龄岁 妈妈的年龄岁 相等关系 根据表格得到方程组， 解得， 当为奶奶贺白寿时，小花的年龄为． 故小花岁时将为奶奶贺白寿． 【考点8】分配问题（27-30题） ❤ 方法总结 1. 涉及两种或多种物品、人员的分配，根据总量和部分量关系列方程。 1. 纸盒配套问题中，注意每个竖式、横式纸盒所需不同材料数量。 1. 有时需分类讨论剩余材料情况。 27．（24-25七年级下·全国·课后作业）现有甲、乙两种型号的钢板，准备用这两种钢板制成A型零件15个，制成B型零件18个．已知一块甲型钢板可制成2个A型零件和1个B型零件；一块乙型钢板可制成1个A型零件和2个B型零件．问：恰好需要甲型钢板和乙型钢板各几块？ 【答案】恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块 【难度】0.94 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据题意得出，再求解即可得出答案． 【详解】解：设需要甲型钢板块，乙型钢板块， 根据题意，得， 解得 答：恰好需要甲型钢板4块，乙型钢板7块． 28．（22-23六年级下·上海松江·期末）电动汽车在环保、节能等方面都有很大优势，目前已经成为消费者购车首选，某汽车制造商2023年计划生产安装240辆电动汽车，如果1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车， (1)每名熟练工和新工人每月分别可以安装多少辆电动汽车？ (2)为了测试该汽车续航里程，在充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米，求该汽车在充满电时的续航里程？ （续航里程：是指该电动汽车在动力蓄电池充满时可以行驶的路程．） 【答案】(1)每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车 (2)该汽车的续航里程为400千米 【难度】0.65 【知识点】行程问题(一元一次方程的应用)、分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车，根据“1名熟练工和2名新工人每月安装8辆电动汽车；2名熟练工和3名新工人每月可安装14辆电动汽车”，再列方程组解题即可； （2）设该汽车的续航里程为千米．根据“充满电后按正常速度匀速行驶，恰好可行驶10小时；如果将速度提升20千米/小时，行驶6小时后，还可以继续行驶40千米”可得方程，再解方程即可． 【详解】（1）设每名熟练工每月安装辆电动汽车，每名新工人每月安装辆电动汽车 根据题意，可得， 解得： ， 答：每名熟练工每月安装4辆电动汽车，每名新工人每月安装2辆电动汽车． （2）设该汽车的续航里程为千米． 根据题意，可得， 解得： ， 答：该汽车的续航里程为400千米． 【点睛】本题考查的是一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用，确定相等关系是解本题的关键． 29．（24-25六年级下·上海宝山·期末）某工厂用如图1所示的长方形和正方形纸板，做成如图2所示的竖式与横式两种长方体无盖纸盒． (1)现有长方形纸板170张，正方形纸板80张，做成上述两种纸盒，纸板恰好用完．求两种纸盒生产个数； (2)工厂共有52名工人，每个工人一天能生产60张长方形纸板或者100张正方形纸板，已知1个竖式纸盒与2个横式纸盒配套，问如何分配工人能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套？ (3)如果有长方形纸板170张，正方形纸板82张，做出上述两种纸盒后剩余2张纸板，问两种纸盒各生产了多少个？请直接写出结论． 【答案】(1)生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个 (2)分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套 (3)能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个 【难度】0.65 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、配套问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，找出题目中的等量关系是关键． （1）设生产竖式纸盒个，横式纸盒个，根据一个竖式纸盒需要4个长方形纸板，1个正方形纸板，一个横式纸盒需要3个长方形纸板，2个正方形纸板，根据纸板刚好用完结合长方形和正方形的纸板数列出方程组求解即可； （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板，由1个竖式纸盒与2个横式纸盒需要正方形纸板5个，长方形纸板10个，由此列出方程解答即可； （3）分析题意需分类讨论，①如果剩余两张正方形纸板；②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板；③如果剩余两张长方形纸板，再结合（1）中的方法分析即可解答． 【详解】（1）解：设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 答：生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个． （2）设分配个工人生产长方形纸板，则个工人生产正方形纸板． 根据题意，得， 解得，（人） 答：分配40个工人生产长方形纸板，12个工人生产正方形纸板，能使一天生产的竖式纸盒与横式纸盒配套． （3）①如果剩余两张正方形纸板：由（1）可知能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个； ②如果剩余一张正方形纸板、一张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 所以能生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个； ③如果剩余两张长方形纸板： 设生产竖式纸盒个，横式纸盒个． 根据题意，得， 解得 则能生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 综上所述：能生产竖式纸盒20个，横式纸盒30个；或生产竖式纸盒19个，横式纸盒31个；或生产竖式纸盒18个，横式纸盒32个． 30．（24-25七年级下·天津和平·期中）春季是传染病高发的季节，同学们要勤通风常洗手，为了同学们的身体健康，李老师为全年级师生购买洗手液，根据市场调研，李老师发现某品牌的洗手液的大瓶装和小瓶装两种产品的销售数量（按瓶计算）比为，某厂每天生产这种洗手液22.5吨，请同学们利用二元一次方程组的数学思想，帮助李老师估计一下这些洗手液应该分装多少个大瓶，多少个小瓶才是最合理的？（请同学们注意单位换算） 【答案】这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶 【难度】0.85 【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系，准确列方程组进行计算是解题关键．设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶，根据题意列出方程组，解方程组求出x，y的值，即可求解． 【详解】解：依题意，22.5吨千克克， 设这些消毒液应该分装x大瓶，y小瓶， 由题意得 ， 解得 ， 答：这些消毒液应该分装20000大瓶，50000小瓶． 【考点9】销售、利润问题（31-33题） ❤ 方法总结 1. 基本公式：售价 = 进价 + 利润；利润 = 进价×利润率；打折后的价格 = 原价×折扣。 1. 注意单价和数量的乘积等于总价。 1. 优惠方案比较：需计算两种不同优惠下的实际花费。 31．（25-26六年级上·上海普陀·月考）某同学在两家超市发现他看中的复读机的单价相同，书包单价也相同，复读机和书包的单价之和是452元，且复读机的单价比书包的单价的4倍少8元． (1)这种复读机和书包的单价各是多少元？ (2)某一天，该同学上街，恰好赶上商家促销：超市所有商品打八折销售，超市全场购物每满100元，返回购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用）．但他只带了400元钱，他能买下这两样物品吗？在哪一家超市购买更省钱？ 【答案】(1)复读机单价是360元，书包单价是92元 (2)都能买下这两样物品，在A超市购买更省钱 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用以及最优化方案问题，正确理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该同学看中的复读机单价是元，书包单价是元，根据题意列出二元一次方程组，求解即可获得答案； （2）结合题意分别计算在超市A、超市B买下看中的这两样商品所需费用，即可获得答案． 【详解】（1）解：设复读机单价是元，书包单价是元， 根据题意，可得，解得， 答：复读机单价是360元，书包单价是92元； （2）解：根据题意，在超市A买下看中的这两样商品，费用为（元）， 在超市B先买下复读机，可得， （元）， 因为都不过400元， 所以在这两家超市都可以买下看中的这两样商品， 由于， 所以在A超市购买比较省钱． 32．（24-25六年级下·上海青浦·期末）某商店销售甲、乙两种商品．现有如下信息： 信息1：甲、乙两种商品零售单价之和是元． 信息2：按零售单价购买甲商品3件和乙商品件共需支付元． (1)根据情境中的信息，求出甲、乙两种商品的单价． (2)恰逢“”活动，乙商品降价销售，已知乙商品的成本为元，求此时的盈利率． 【答案】(1)甲商品的单价为元，乙商品的单价为元； (2)此时的盈利率为． 【难度】0.65 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一元一次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系． （1）设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元，根据信息1和信息2中的等量关系，列方程组，求解即可； （2）根据题意，可得乙商品的售价，从而可得乙商品的利润，代入盈利率公式计算即可． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为元，乙商品的单价为元， 根据题意可得，， 解得，， 答：甲商品的单价为元，乙商品的单价为元． （2）解：设盈利率为， 根据题意可得，， 解得，， 答：此时的盈利率为． 33．（24-25六年级下·上海闵行·期末）今年五一假期，学校号召大家开展丰富的小队活动．六（3）班小海团队共16人（包含部分家长及学生）一起到某景区游览，小海负责在网上进行预约，并提前购票． 网络提示购票信息有如下4条： A．成人票：全价票，每张80元； B．学生票：是全价票的一半； C．团体票：20人及以上，按全价票的六折优惠； D．若退票，将扣除购票款的． (1)小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元．问小海团队家长和学生各几名？ (2)小海支付1000元购票价后，碰到还没有购票的乐乐团队，他们是2名家长和4名学生．他们发现退票后所有人都购买团体票更合算，请计算小海团队重新购票能节省多少元． 【答案】(1)家长有9名，学生有7名 (2)132元 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键： （1）设小海团队家长有x名，学生有y名，根据小海团队共16人，以及小海团队若分别购买成人票和学生票，需付款1000元，列出方程组进行求解即可； （2）求出退票需扣除的费用，再求出团队购票所需的总费用，用1000减去退费扣除的费用，以及团队购票费用，即可得出结果． 【详解】（1）解：设小海团队家长有x名，学生有y名， 由题得： 解得：， 答：小海团队家长有9名，学生有7名 （2）小海团队与乐乐团队合并后总人数为（人），满足20人及以上的团体票条件， 因此小海团队的16人可按团体票价购买， （元）， （元）， （元）． 答：重新购票后能节省132元． 【考点10】和差倍分问题（34-36题） ❤ 方法总结 1. 直接根据“比...多/少”、“是...的几倍”等文字列方程。 1. 可设两个未知数，将倍数关系、和差关系转化为方程。 1. 注意单位统一。 34．（2024六年级下·上海·专题练习）学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，学校合唱队原来有多少名同学？ 【答案】学校合唱队原来有11名同学 【难度】0.85 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设学校合唱队原来有名女同学，名男同学，根据学校合唱队男生人数是女生人数的，后来调入3名女生，这时男生人数与女生人数的比是，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设学校合唱队原来有名女同学，名男同学， 由题意得：， 解得：， ， 答：学校合唱队原来有11名同学． 35．（2025七年级下·全国·专题练习）某景点的门票价格如下表： 购票人数 90及以上 门票单价/元 48 45 42 (1)某校七年级（1）（2）两个班共有82人去游览该景点，其中（1）班人数少于40，（2）班人数多于40且少于90．若两班都以班为单位单独购票，则一共支付3807元，两个班各有多少名学生？ (2)该校八、九年级自愿报名浏览该景点，其中八年级的报名人数不超过40，九年级的报名人数超过40，但不超过80．若两个年级分别购票，总计支付门票费4434元；若合在一起作为一个团体购票，总计支付门票费4032元．问八年级、九年级各报名多少人． 【答案】(1)七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生 (2)八年级报名38人，九年级报名58人 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、和差倍分问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用． （1）设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生，由题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况：①若，②若，由题意分别列出方程组，解方程组即可． 【详解】（1）解：设七（1）班有x名学生，七（2）班有y名学生， 由题意，得， 解得， 答：七（1）班有39名学生，七（2）班有43名学生； （2）解：设八年级报名a人，九年级报名b人，分两种情况： ①若，由题意，得， 解得（不合题意，舍去）， ②若，由题意，得， 解得， 答：八年级报名38人，九年级报名58人． 36．（25-26八年级下·甘肃兰州·开学考试）某农场因紧急任务需租用无人机一次性配送种子和化肥等货物．已知1架型无人机和2架型无人机一次可配送货物220千克，2架型无人机和3架型无人机一次可配送货物380千克． (1)求1架型无人机和1架型无人机一次分别可配送货物多少千克； (2)已知1架型无人机的单次租金为150元，1架型无人机的单次租金为100元．现农场要紧急配送840千克货物，计划租用9架型无人机．请聪明的你写出一种租金更少的租用方案，并求出节省了多少元． 【答案】(1)1架A型无人机一次可配送货物100千克，1架B型无人机一次可配送货物60千克 (2)租金更少的租用方案是租用8架A型无人机和1架B型无人机，节省了50元 【难度】0.65 【知识点】和差倍分问题(二元一次方程组的应用)、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、有理数的混合运算的应用等知识点，根据题意正确列出方程组和算式是解题的关键． （1）设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克，再根据题意列出关于x、y的二元一次方程组求解即可； （2）先说明选8架型无人机和1架型无人机配送运的租金更少，再求出节省的费用即可． 【详解】（1）解：设1架型无人机一次可配送千克，1架型无人机一次可配送千克， 根据题意，得，解得：， 答：1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克． （2）解：选择方案：选8架型无人机和1架型无人机配送． 由（1）得1架型无人机一次可配送100千克，1架型无人机一次可配送60千克， 当按原计划租用9架A型无人机的运力为（千克），符合要求；此时，该方案的费用为（元）； 当租用8架A型无人机和1架B型无人机的运力为（千克），符合要求，此时，该方案的费用为（元）． 当租用7架A型无人机和2架B型无人机的运力为（千克），不符合要求； ∵， ∴选8架型无人机和1架型无人机配送的租金更少； ∴该方案节省的费用为（元）． 【考点11】几何问题（37-39题） ❤ 方法总结 1. 通常涉及长方形、正方形等图形的边长、周长、面积关系。 1. 通过不同摆放方式得出两种测量结果，列出方程组。 1. 注意整体相加消元求解。 37．（24-25六年级下·上海徐汇·期末）利用两块形状和大小完全相同的长方体木块测量一张桌子的高度．首先按如图①所示的方式放置，再将两块木块按如图②所示的方式放置．测量的数据如图所示，则桌子的高度是______ ． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设桌子的高度为，长方体的长为，宽为，根据图中两种测量方式测出的数据，可列出二元一次方程组，再利用消元法解之即可得出结论． 【详解】解：设桌子的高度为，长方体的长为，宽为， 根据题意得：， 得：， ∴桌子的高度为 故答案为：． 38．（24-25六年级下·上海奉贤·期中）如图，长方形是由两个相同的长方形、两个相同的正方形及一个小正方形铺成的（既不重叠，又无缝隙），且，，则小正方形的边长是______． 【答案】15 【难度】0.85 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确建立方程组是解题关键．设，则，，再根据，建立方程组，解方程组即可得． 【详解】解：设， 则，， 由题意得：，即， 解得， 所以小正方形的边长是， 故答案为：15． 39．（25-26六年级上·上海普陀·月考）甲、乙两种无盖的长方体小盒如图1所示，它们的各个面是如图2的正方形或长方形的硬纸片．现将150张正方形硬纸片和300张长方形硬纸片全部用于制作这两种小盒，可以做成甲、乙两种小盒各多少个？ 【答案】甲小盒30个，乙小盒60个 【难度】0.65 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，理解题意列出方程组是解题的关键．设可以做成甲、乙小盒各个和y个，由题意可列方程组，再求解即可． 【详解】解：设可以做成甲、乙小盒各个， 根据题意得：， 解得， 则可以做成甲小盒30个，乙小盒60个． 【考点12】图表信息题（40-42题） ❤ 方法总结 1. 从表格或图形中读取已知数据，找出未知量之间的关系。 1. 幻方问题常利用各行、各列、对角线之和相等列方程。 1. 九宫格可设中间量作为辅助。 40．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）如图，是九宫格，在每个格子中填上一个数（圈中没有全部标出）使得每行、每列及对角线上三个数的和都相等，则___________． 1 6 2 【答案】 【难度】0.85 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，找出数量关系列式求解是关键． 通过九宫格中每行、每列及对角线上三个数的和相等，列出方程组求解． 【详解】解：设每行、每列及对角线上三个数的和为， 设第一行第三列的数，则， ∴， 从左上到右下的对角线上数的关系：，即， ∴， 从左下到右上的对角线上数的关系：，即， ∴， 设第三行和第二列的数为，则， ∴， 联立方程组得，， 解得，， 故答案为：． 41．（2025七年级上·上海·专题练习）在下面的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等． (1)如图1，则________，________ (2)如图2，则________（用含b的代数式表示） (3)如图3，则________，________ 【答案】(1)，； (2)； (3)1， 【难度】0.65 【知识点】图表信息题(二元一次方程组的应用)、代入消元法、数字问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等”，得出等式求解． （1）根据每行，对角线上的和都相等，可得m、n的值； （2）设中间的数为x，根据对角线上与第三列的和相等，可得a与b的关系； （3）设中间的数为x，根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得：； ， 解得：； 故答案为：，； （2）解：设中间的数为x，则右上角的数为，如图所示： 由题意得：， 解得：； 故答案为：； （3）解：设中间的数为x，如图所示： 由题意得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：1，． 42．（22-23七年级上·上海静安·月考）在下面的方阵图中每行、每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等． (1)如图1，则________，________ (2)如图2，则________（用含b的代数式表示） (3)如图3，则________，________ 【答案】(1)， (2)； (3)1， 【难度】0.65 【知识点】其他问题(一元一次方程的应用)、图表信息题(二元一次方程组的应用) 【分析】（1）根据每行，对角线上的和都相等，可得m、n的值； （2）设中间的数为x，根据对角线上与第三列的和相等，可得a与b的关系； （3）设中间的数为x，根据第一行与第三列、对角线上与第二行的和相等，可得a与b的值． 【详解】（1）解：由题意，得，， 解得：； ， 解得：； 故答案为：，； （2） 解：设中间的数为x，则右上角的数为，如图所示： 由题意得：， 解得：； 故答案为：； （3）解：设中间的数为x，如图所示： 由题意得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：1，． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是充分利用“每行，每列及对角线上的3个数（或代数式）的和都相等”，得出等式求解，难度一般． 【考点13】古代问题（43-46题） ❤ 方法总结 1. 读懂古文，将“盈不足”“合伙购物”等转化为现代数学语言。 1. 注意古时的度量单位（如钱、两、斤、尺）与现代单位的换算（有时不须换算）。 1. 常见的题型：牛羊值金、分银、买物、幻方等。 43．（23-24九年级下·上海·月考）《九章算术》是我国古代经典数学著作，其中卷第八方程记录了这样一个问题：今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两，问牛羊各直金几何？意为：今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？如果设牛每头值金x两，羊每头值金y两，那么根据题意，得（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的数量关系列出方程组． 根据“牛5头，羊2头，共值金10两”和“牛2头，羊5头，共值金8两”这两个条件，分别列出关于牛、羊每头值金的方程，组成方程组． 【详解】设牛每头值金两，羊每头值金两． 因为牛5头，羊2头，共值金10两，所以可列方程， 因为牛2头，羊5头，共值金8两，所以可列方程， 因此，方程组为， 故选：A． 44．（24-25六年级上·上海·月考）《九章算术》中记载了一个数学问题，其大意为：现有几人合伙买羊，若每人出5钱，则差45钱；若每人出7钱，则差3钱．问：合伙人数是______人，羊的价格是______钱． 【答案】 21 150 【难度】0.65 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意并正确列方程组是解题关键．设合伙人数为人，羊的价格为钱，根据两种出钱情况列出方程组，利用等量关系求解合伙人数和羊的价格即可． 【详解】解：设合伙人数为人，羊的价格为钱， 根据题意，得方程组：， 将两个方程联立，得：， 移项，得：， 合并，得， 解得：， 代入，得：， 即合伙人数为21人，羊的价格为150钱， 故答案为21；150． 45．（24-25六年级下·上海闵行·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示）．观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系．在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可推算出，的值分别为______． 【答案】、 【难度】0.65 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了本题主要考查了二元一次方程组的应用，首先根据图可知：“幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等，再根据图可以得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可求出，的值． 【详解】解：由图可知： , ， ， ， ， ， ， ， “幻方”中各行、各列、各对角线上三个数字之和相等， 由图可知， 解得：， 、的值分别为、． 故答案为：、． 46．（2025·吉林长春·一模）我国明代数学著作《算法统宗》记截：“隔墙听得客分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤”（注：古秤十六两为一斤，故有“半斤八两”这一成语）．其大意是：“隔着墙壁听见客人在分银两，不知人数不知银两的数量，若每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两”．问客人数和银两分别是多少？ 【答案】共有名客人，两银子 【难度】0.65 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，设共有名客人，两银子，根据每人分七两，还多四两；若每人分九两，则还差八两，构建方程组即可．解题的关键是理解题意，正确列出方程组． 【详解】解：设共有名客人，两银子， 由题意可得， 解得， 答：共有名客人，两银子． 【考点14】开放型问题（47题） ❤ 方法总结 1. 条件不足时，可先写出一般解，再补充一个条件使解唯一。 1. 答案不唯一，但需满足实际意义。 47．（25-26七年级上·湖南株洲·期末）甲、乙二人骑自行车同时从相距的两地相向而行，经过相遇． (1)甲、乙两人的速度各是多少？请至少写出满足条件的两组解； (2)请你适当增加题目中的条件，使问题（1）有唯一解，并解答你改编后的问题． 【答案】(1)甲的速度是，乙的速度是；甲的速度是，乙的速度是 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】开放型问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，二元一次方程组的应用．本题是一道开放型题，需要补充一个条件再解二元一次方程组． (1)设甲的速度是，乙的速度是，可列二元一次方程，求出两组满足二元一次方程的条件的解； (2)补充条件已知乙的速度是甲的速度的倍，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：设甲的速度是，乙的速度是， ， 根据题意可得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 甲的速度是，乙的速度是； 甲的速度是，乙的速度是； （2）解：增加条件：已知乙的速度是甲的速度的倍， 根据题意可得：， 解得：， 答：甲的速度是，乙的速度是． 【考点15】其他问题（48-50题） ❤ 方法总结 1. 如车辆租用、拆建校舍、足球联赛积分等，关键是找到题中的两个等量关系。 1. 对于积分问题，胜、平、负场数满足总数和得分方程。 48．（25-26六年级上·上海嘉定·期末）小明在某景区参加志愿者服务时，了解到该景区的观光车辆单日包车收费标准如下： 观光大巴（最多可容纳30人，适配旅行社、团建等团队）：单日包车费为1000元/辆； 观光小车（最多可容纳5人，适配家庭游、小群体结伴游客）：单日包车费为300元/辆． 某天该景区共接到20笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），当日这些订单的总费用为13000元． (1)求当日被租用的观光大巴、观光小车各有多少辆？ (2)当天晚些时候，景区管理员李叔叔和小明核对订单时提到：“今天上午时段，景区共接了15笔大、小型观光车的包车订单（单笔订单对应单辆车），合计收了12500元包车费．”小明听完后，感觉李叔叔的说法有误，请说明小明做出这一判断的原因． 【答案】(1)观光大巴10辆，观光小车10辆 (2)因为车辆数量必须为整数，但根据李叔叔的说法计算出的车辆数量不是整数，所以说法有误 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用． （1）设观光大巴有x辆，观光小车有y辆，根据题意列出x，y的二元一次方程组，求解即可得出答案． （2）设上午观光大巴有a辆，观光小车有b辆， 根据题意列出a，b的二元一次方程组，求解得出a，b不是整数，即可得出答案． 【详解】（1）解：设观光大巴有x辆，观光小车有y辆， 根据题意，有， 解得：， 所以观光大巴10辆，观光小车10辆. （2）解：设上午观光大巴有a辆，观光小车有b辆， 根据李叔叔的说法则， 解得： ∵a，b不是整数，但车辆数量必须为整数，矛盾，所以李叔叔的说法有误． 49．（25-26六年级上·上海闵行·月考）某区投入一笔资金改善某中学办学条件，计划拆除一部分旧校舍，另建一批新校舍．拆除旧校舍每平方米需500元，建造新校舍每平方米需2000元．计划在年内拆除的旧校舍面积与建造的新校舍面积共，在实施中为了扩大绿化面积，拆除的旧校舍的面积比原计划增加了，建造的新校舍的面积为原计划的，结果实际拆除的旧校舍和建造的新校舍的总面积和原计划相等． (1)原计划拆除旧校舍和建造新校舍各多少平方米？ (2)已知绿化需300元，如果将在实际完成的拆、建工程中比原计划节约的资金用来增加绿化面积，那么可增加绿化面积多少平方米？ 【答案】(1)原计划拆除旧校舍400平方米，建造新校舍600平方米 (2)可增加绿化面积300平方米 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解． （1）设原计划拆除旧校舍x平方米，建造新校舍y平方米，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）先算出计划的资金总量和实际所用的资金总量，然后算出节余的钱，然后除以300可求可绿化的面积． 【详解】（1）解：设原计划拆除旧校舍x平方米，建造新校舍y平方米， 根据题意，， 实际拆除旧校舍面积为， 实际建造新校舍面积为， 实际总面积与计划相同，故， 则， 解得：， 答：原计划拆除旧校舍400平方米，建造新校舍600平方米． （2）解：原计划资金：拆除费用（元）， 建造费用（元）， 总资金（元）， 实际拆除面积（平方米），费用（元）， 实际建造面积（平方米），费用（元）， 实际总费用（元）， 节约资金（元）， 绿化每平方米300元，可增加绿化面积（平方米）， 答：可增加绿化面积300平方米． 50．（24-25六年级下·上海杨浦·期末）中国足球超级联赛是中国大陆地区最高级别的职业足球联赛．本联赛的积分规则采用国际通行的胜一场积3分、平局各积1分、负者积0分的标准． (1)A球队以不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分，该球队胜负各多少场； (2)B球队完成了13场比赛，获得了32分，求该球队胜、平、负各多少场． 【答案】(1)A队赢了7场，平了5场 (2)B队赢了10场，平了2场，负了1场 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意找准等量关系列方程或方程组解答即可． （1）设球队赢了场，平了场，根据“不败的成绩完成了12场比赛，获得了26分”列方程组解答即可； （2）设队赢了场，平了场，根据题意列方程，求出，的整数解解答即可． 【详解】（1）解：设球队赢了场，平了场．由题意可列方程组： ，解得： 答：A队赢了7场，平了5场． （2）解：设队赢了场，平了场． 由题意可列方程：， 枚举可得方程的非负整数解为， 因为共踢了13场比赛， 所以， 所以， （场）， 答：B队赢了10场，平了2场，负了1场． 【考点16】三元一次方程组的定义及解（51-54题） ❤ 方法总结 1. 解三元一次方程组的基本策略：消元通过代入或加减消去一个未知数，转化为二元一次方程组。 1. 整体加减法：将三个方程相加或相减，得到整体关系，如求 的值。 1. 对于只有两个方程的三元一次方程组，通常可求出某个整体的值。 51．（24-25七年级下·上海浦东新·月考）解方程组： 【答案】 【难度】0.65 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组．通过将三个方程相加，得到的值，然后分别用各个方程减去该式，逐一求解未知数． 【详解】解： 得， 即 ④ ①④得 即 得 即 ③④得 解得： ∴ 52．（24-25六年级下·上海青浦·期末）（1）解方程组： （2）解方程组： 【答案】（1）；（2） 【难度】0.65 【知识点】代入消元法、加减消元法、三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查解三元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解：（1）， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为； （2）， 得：④， 得：⑤， 得：， 解得：， 将代入⑤得：， 解得：， 将，代入③得：， 解得：， 故原方程组的解为． 53．（24-25六年级下·上海宝山·期末）数学活动：探究不定方程 小川，小渝两位同学在学习方程过程中发现，三元一次方程组，虽然解不出具体数值，但可以解出，的值. (1)小川的方法：整理可得：； 整理可得：；∴ 小渝的方法：：______________________；∴. (2)已知，试求解的值. 【答案】(1)；； (2)3 【难度】0.85 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握方程组的解法和应用是解题关键． （1）根据等式的性质求解即可得； （2）参照小川的方法，利用等式的性质和消元法求解即可得； 【详解】（1）解：依题意，小川的方法：，得：， 整理得：， ，得：， 整理得：， ． 小渝的方法：，得：， ， 故答案为：；；． （2）解：， 由得：， 整理得：， 由得：， 整理得：， 则． 54．（24-25六年级下·上海闵行·期末）小红家需要购一台冰箱、一台洗衣机和一台微波炉，请你来给他们当消费顾问，帮他们做出选择． 信息一、财联社1月19日电，据“上海商务”官方公众号，上海进一步做好国家家电以旧换新补贴工作．2025年1月20日起，对购买二级能效电器给与补贴（不超过1500元），对购买一级能效电器给与的补贴（不超过2000元）（注：电器国补按每一台计算） 信息二、小红家在某商店已经看中三种商品各有两个不同型号（见左表），另有一张该商店的五一促销海报（见右表） 能效等级 标价（元） 冰箱A 1级 6000 冰箱B 2级 5000 洗衣机A 1级 4000 洗衣机B 2级 2400 微波炉A 1级 900 微波炉B 2级 600 五一优惠大促 ☆倡导绿色节能，“国补”不孤单！☆ 活动时间：5月1日－7日 凡在本店购买电器的顾客，给您再“补一补” 国补后  满6000元的再减600元 国补后  满8000元的再减1000元 国补后  满10000元的再减1500元 本店及所有员工为您提供最优质的服务！ (1)5月1日前，如果在该店购置一台价值8000元的一级能效的电器，那么国补后只需要支付多少钱？ (2)小红家如果购买三种电器都选择A型号，问导购还有没有其他优惠，商店导购告诉小红，说她每卖出一台电器，都可以获得一些提成，可以把自己从小红家购买的电器所获得的提成让出当做优惠．导购她前天卖出了1台冰箱A和2台洗衣机A，获得了700元提成，昨天她卖出了1台洗衣机A和3台微波炉A，获得了500元提成，今天已经卖出了2台冰箱A和1台微波炉A，获得了700元提成．请问，导购能让给小红家多少钱的优惠？ (3)小红家如果在商店五一优惠期间购买了三种电器都选择A型号，请问，小红在享受国家补贴后，又享受了商店优惠大促，最后又得到了导购的优惠，最终小红家花了多少钱？ 【答案】(1)国补后只需要支付6400元 (2)导购能让利给小红家的优惠为600元 (3)最终小红家花了7120元 【难度】0.65 【知识点】三元一次方程组的应用、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】本题考查了方程组的应用，有理数混合运算的应用，熟练掌握方程组的应用是解题的关键． （1）根据国补的标准计算即可； （2）设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元，根据题意列方程组并求解即可； （3）先根据国补标准计算三种电器的国补费用，再用总价减去国补、商店优惠、导购优惠的总和即可． 【详解】（1）解：根据题意，购买电器国补元， 国补后只需要支付元， 答：国补后只需要支付6400元． （2）解：设导购卖出1台冰箱，洗衣机，微波炉所得提成分别为a元，b元，c元， 根据题意，得， 解得， （元）， 答：导购能让利给小红家的优惠为600元． （3）解：冰箱A可获得国补（元）， 洗衣机A可获得国补（元）， 微波炉A可获得国补（元）， 则国补后三种电器的总价为（元）， 因为， 所以活动可再减1000元， 所以最终花的钱数为（元）， 答：最终小红家花了7120元． 【考点17】创新及压轴题（1-4题） ❤ 方法总结 1. 综合应用各类知识，常以阅读材料、新定义形式出现。 1. 整体思想、换元法、消元法是解决复杂方程组的有力工具。 1. 对于非负整数解的个数问题，可用枚举或数列求和解决。 1．（24-25六年级下·上海·月考）阅读下列材料： 问题：某饭店工作人员第一次买了13只鸡、5只鸭、9只鹅共用了925元．第二次买了2只鸡、4只鸭、3只鹅共用了320元，试问第三次买了鸡、鸭、鹅各一只共需多少元？（假定三次购买鸡、鸭、鹅单价不变） 解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得： ，即 ． 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需 元． 阅读后，细心的你，可以解决下列问题： (1)上述材料中， ； (2)选择题：上述材料中的解答过程运用了 思想方法来指导解题． A．整体    B．数形结合    C．分类讨论 (3)某校体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的件数和用钱金额如下表： 甲 乙 丙 丁 用钱金额/元 第一次购买件数 5 4 3 1 1882 第二次购买件数 9 7 5 1 2764 根据表格中提供的数据信息填空，如果购买每种体育用品各一件，共需 元． 【答案】(1) (2)A (3) 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组及其应用，熟练掌握整体思想是解此题的关键． （1）按要求补充完整上面求解过程，即可得出； （2）在解题过程中采用的是整体思想方法来解决问题，即可得解； （3）设体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为、、、，根据题意列出方程组，仿照题干所给材料解方程组即可． 【详解】（1）解：设鸡、鸭、鹅的单价分别为x，y，z元．根据题意，得方程组： 上述方程组可变形为： 设，，上述方程组可化为： 得：，即， 答：第三次买鸡、鸭、鹅各一只共需元． 故答案为：； （2）解：上述材料中的解答过程运用了整体思想方法来指导解题， 故选：A； （3）解：设体育组购买体育用品甲、乙、丙、丁的单价分别为、、、， 由题意可得：， 该方程组可变形为， 设，， 上述方程可转化为， 解得：， ∴， ∴购买每种体育用品各一件，共需元． 2．（24-25六年级下·上海松江·期末）根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某体育用品商场销售、两款足球．该商场3月份购进20个款足球和40个款足球共需4400元；4月份购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元．            素材2 该商场决定5月份再购进一批、款足球（、两款足球都需要购买），另购进款足球作为赠品（进价为每个20元），总进货款为4800元．为促进消费，商场给出了如下促销方案：买3个款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球． 问题解决 任务1 （1）求该商场购进款、款足球的单价分别为多少元？ 任务2 （2）如果5月份商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案，那么5月份该商场购进、、款足球各多少个？（写出所有的购买方案） 【答案】（1）该商场购进款、款足球的单价分别为元和元（2）方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个；方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个；方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，正确的列出方程组是解题的关键； （1）设该商场购进款、款足球的单价分别为元和元，根据购进20个款足球和40个款足球共需4400元；购进10个款足球和30个款足球共需花费3000元，列出方程组进行求解即可； （2）设5月该商场购进A款足球个、款足球个，根据“总进货款为4800元，买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球”，即可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，赋值即可得出结论． 【详解】解：（1）设该商场购进款、款足球的单价分别为元和元，由题意，得： ， 解得：， 答：该商场购进款、款足球的单价分别为元和元； （2）设5月该商场购进A款足球个、款足球个， 根据促销方案：买3个A款足球送1个款足球，买3个款足球送2个款足球， ∵5月商场购进的足球数量恰好符合上述促销方案， ∴购进款足球个． 根据题意，得， 化简，得． ∴， ∵A、两款足球都需要购买，、均为正整数， ∴解得，，． 答：方案1该商场购进A、、款足球分别为51、15、27个； 方案2该商场购进A、、款足球分别为30、30、30个； 方案3该商场购进A、、款足球分别为9、45、33个． 3．（24-25七年级下·辽宁大连·期中）如图，A，B两地有公路和铁路相连，在这条路沿线有一家食品公司，它到A地的距离，到B地的距离是．这家公司从A地购买当地特产大货桃运回公司，制成黄桃罐头后全部销售到B地．已知黄桃的进价为每吨2000元，黄桃罐头（含包装）的出厂价为每吨4000元；公路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元：铁路运送水果的运价为元，运送罐头的运价为元．若这两次运输（第一次：A地→公司；第二次：公司→B地）共支付公路运费720元，铁路运费990元． (1)求此次购买的黄桃和制成的罐头分别为多少吨？ (2)求这批产品的销售款比原料费与运输费的和多多少元？ 【答案】(1)购买了10吨黄桃，制成了40吨罐头 (2)这批产品的销售款比原料费与运输费的和多138290元 【难度】0.85 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中的应用，解题的关键是根据公路运费和铁路运费的条件分别列出方程，组成方程组并求解； （1）设购买了吨黄桃，制成了吨罐头，根据题意列出方程组，联立方程组求解得到黄桃和罐头的重量； （2）分别计算销售款、原料费和运输费，进而求出销售款比原料费与运输费的和多的金额； 【详解】（1）解：设购买了吨黄桃，制成了吨罐头． 根据题意得：， 解得：． 答：购买了10吨黄桃，制成了40吨罐头； （2）解：黄桃的收购款为（元）， 罐头的销售款为（元）， 运费支出（元）， 多出（元）． 答：这批产品的销售款比原料费与运输费的和多138290元． 4．（23-24六年级下·上海杨浦·期末）求方程的非负整数解的个数． 【答案】非负整数解个数有个． 【难度】0.4 【知识点】三元一次方程组的定义及解 【分析】本题考查了三元一次不定方程的解，先确定、、的值，再分类讨论即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：当时，，分别取．则取，共组， 当时， ， 分别取则取共组， 依次类推：共有： ， 答：非负整数解个数有． 随堂检测 · 精选练习 1. 题1 古代问题：和尚分馒头（根据人数和馒头数列方程组）。 1. 题2 古代问题：甲乙持钱（根据钱数转移列方程组）。 1. 题3 纸杯叠放高度问题（利用高度与个数的线性关系列方程组）。 1. 题4 商品价格变化问题（根据原价和调价后的总价列方程组）。 1. 题5 盐水混合浓度问题（根据溶质质量不变列方程组）。 1．（2025·上海·模拟预测）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》里有一道著名的算术题：个和尚分个馒头，正好分完，其中，大和尚一人分3个，小和尚三人分1个．设大和尚x人，小和尚y人，则根据问题列出一个关于x和y的方程组： ___________． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了根据实际问题列二元一次方程组，由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个；据此即可求解； 【详解】解：由题意得：大和尚一人分3个，小和尚一人分个； ∵有个和尚， ∴； ∵有个馒头， ∴； 故答案为：； 2．（24-25六年级下·上海普陀·期末）《九章算术》中有一道“甲乙持钱”问题，大意如下：有甲、乙两人各自带了一些钱，如果乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50；如果甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50，问甲、乙原有多少钱？设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为，那么可列出方程组是______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的运用，理解数量关系列式是关键． 根据题意列方程组即可． 【详解】解：设甲原有的钱数为，乙原有的钱数为， 乙把其一半的钱给甲，那么甲的钱数为50， ∴， 甲把其三分之二的钱给乙，那么乙的钱数也为50， ∴， ∴列出方程组是， 故答案为： ． 3．（24-25六年级下·上海金山·期末）小丽在超市帮妈妈买回一袋纸杯，她把纸杯整齐地叠放在一起，如图所示，请你根据图中的信息，若小丽把个纸杯整齐叠放在一起时，它的高度约是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系列出方程组是解题的关键．根据题意可知，单独一个纸杯的高度加三个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于，单独一个纸杯的高度加个纸杯叠放在一起高出单独一个纸杯的高度等于，根据这两个等量关系，可列出方程组，再求解． 【详解】解：设每两个纸杯叠放在一起比单独的一个纸杯增高 ，单独一个纸杯的高度为 由题意得 解得， 则个纸杯叠放在一起时的高度为：， 当时，其高度为：． 故答案为：． 4．（24-25六年级下·上海·期末）原购买3件甲商品和2件乙商品共需100元，因市场变化，甲商品降价，乙商品提价，调整后两种商品的单价和比原来的单价和提高了，则原购买1件甲商品和1件乙商品共需______元． 【答案】45 【难度】0.85 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确建立方程组是解题关键．设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元，根据题意建立方程组，解方程组可得的值，由此即可得． 【详解】解：设原购买1件甲商品需元，原购买1件乙商品需元， 由题意得：， 整理得：， 解得， 则， 即原购买1件甲商品和1件乙商品共需45元， 故答案为：45． 5．（24-25六年级下·上海·期末）甲乙两个杯子中分别装有不同浓度的200克和300克的盐水．第一次将甲杯中的一半盐水倒入乙杯，混合均匀后再将此时乙杯的一半倒回甲杯．此时甲乙两个杯子中的盐水浓度分别为和，则原来甲杯中的盐水浓度为_______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】其他问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确表示出浓度． 设原来甲杯中的盐水浓度为为，乙杯中的盐水浓度为为，首先表示出第一次倒液后，甲杯和乙杯剩余盐量，然后表示出第二次倒液后，甲杯和乙杯的浓度，然后联立方程组求解即可． 【详解】设原来甲杯中的盐水浓度为为，乙杯中的盐水浓度为为， 第一次倒液后，甲杯剩余盐量为x克，乙杯盐量为克 第二次倒液后，甲杯盐量为克，浓度为， 整理得， 乙杯盐量为克，浓度为， 整理得， 联立①②，解得． ∴原来甲杯中的盐水浓度为． 故答案为：． 课后巩固 · 针对性练习 1. 题1 古代“共买物”问题（盈不足模型）。 1. 题2 几何图形拼接求面积比（根据长方形宽列方程）。 1. 题3 幻方中的方程组（利用行和、列和相等）。 1. 题4 大小长方形放置问题（根据图形边长关系列方程组）。 1. 题5 古代“索子量竿”问题（绳长与竿长的二元一次方程组）。 1. 题6 四种练习本购买问题（总本数与总价列方程组）。 1. 题7 头盔采购与利润问题（单价、总价、利润计算）。 1. 题8 面包牛奶价格与折扣问题（原价与折后价列方程组）。 1. 题9 研学租车方案（载客量与租车数量关系，讨论整数解）。 1. 题10 刀鱼馄饨礼盒销售（单价与预算刚好花完的方案）。 1. 题11 长方形由正方形组成（利用边长关系列方程组）。 1. 题12 客车载客与租金方案（三元一次方程组与最优选择）。 1. 题13 烟花采购方案（单价、箱数与燃放时间，求最长时长）。 ※ 复习建议 本专题涵盖大量实际应用，建议先熟练掌握基本题型（配套、行程、工程、数字），再攻克方案设计、图表、古代问题等综合题型。对于三元一次方程组，重点掌握消元技巧和整体求值方法。务必养成检验解的实际意义的习惯。 1．（24-25六年级下·上海嘉定·期末）《九章算术》中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”其大意是：几个人一起去购买物品，如果每人出8钱，那么剩余3钱；如果每人出7钱，那么差4钱．问人数和物品的价格各是多少？如果设有人，物品的价格是元，那么根据题意可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，根据题意，分别列出每人出8钱和7钱时的方程，联立方程组即可． 【详解】解：设有x人，物品价格为y钱： 当每人出8钱时，总钱数为，剩余3钱，故物价y比少3，即； 当每人出7钱时，总钱数为，不足4钱，故物价y比多4，即， 联立方程组得：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·北京·期中）现有如图①的小长方形纸片若干，如图②的图形若干，用3个如图②的图形和8个如图①的小长方形，拼成如图③的大长方形，若大长方形的宽为12，则图③中阴影部分面积与整个图形的面积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意、结合图形可以得到方程组，解出，的值，再表示出阴影面积和整个图形的面积，求出比值即可．关键是看懂图示，找出题目中的等量关系，求出和． 【详解】解：设小长方形的长为，宽为． 大长方形的宽为， ， 根据图③可得， 组成方程组， 解得， 阴影面积为，整个图形的面积为：， 阴影部分面积与整个图形的面积之比为， 故选：C． 3．（2025·天津和平·二模）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一，是一种将数字安排在正方形格子中，使每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的数字和都相等的方法．如图①就是一个幻方，图②是一个未完成的幻方，则可以列出的方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】根据实际问题列二元一次方程组 【分析】本题考查了列二元一次方程组，理解题意是解题的关键；根据第一行与第三列的和相等，斜对角线与第一行的和相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意得：； 故选：A． 4．（25-26八年级上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在大长方形中，放置6个形状、大小都相同的小长方形，设小长方形的长为，宽为，根据题意得到的二元一次方程组为_____． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据几何图形列二元一次方程组 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据图形，找到合适的等量关系列出方程组是解题的关键． 设小长方形的长为，宽为，根据各边之间的关系，可得出关于x，y的二元一次方程组． 【详解】解：小长方形的长为，宽为， 根据题意得：． 故答案为：． 5．（25-26七年级上·安徽合肥·期末）我国明代数学读本《算法统宗》一书中有这样一道题：一支竿子一条索，索比竿子长一托，对折索子来量竿，却比竿子短一托（1托为5尺）．意思是，一支竿子和一根绳子，绳子比竿子长5尺，绳子对折后比竿子短5尺．问，竿子长______尺． 【答案】 15 【难度】0.85 【知识点】古代问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，解题的关键是找到题目中的等量关系．设竿子长为尺，绳子长为尺，根据绳子比竿子长 5 尺和对折后比竿子短 5 尺的条件列出方程组，并求解． 【详解】解：设竿子长为尺，绳子长为尺． 由题意，得， 解得， 则竿子长为 15 尺． 故答案为：． 6．（25-26七年级上·重庆·自主招生）某文具店用16000元购进4种练习本共6400本，每本的单价是：甲种4元，乙种3元，丙种2元，丁种1.4元．如果甲、丙两种本数相同，乙、丁两种本数也相同，那么丁种练习本共买了______本． 【答案】2000 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用，读懂题意，正确列出方程组是做题的关键．先设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本，根据总本数和总花费建立方程组，求解即可． 【详解】解：设购进甲种练习本本，则也购进丙种练习本本；购进乙种练习本本，则也购进丁种练习本本， 由题意得，， 解得， 即丁种练习本共买了2000本． 故答案为：2000． 7．（24-25六年级下·上海普陀·期末）随着对人们交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小店购进A种头盔3个和B种头盔4个共需345元，A种头盔4个和B种头盔3个共需390元． (1)A、B两种头盔的单价各是多少元？ (2)该店计划正好用450元购进A、B两种头盔共12个，销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元．假如这些头盔全部售出，该店共可获利多少元？ 【答案】(1)A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元 (2)这些头盔全部售出，该店共可获利元 【难度】0.85 【知识点】销售盈亏(一元一次方程的应用)、销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元，由此列式求解即可； （2）设购进A种头盔个，则购进B种头盔个，由此列式得到购进A种头盔个，则购进B种头盔个，结合题意即可求解． 【详解】（1）解：设A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元， ∴， 解得，， ∴A种头盔的单价为元，B种头盔的单价为元； （2）解：设购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∴， 解得，， ∴购进A种头盔个，则购进B种头盔个， ∵销售1个A种头盔可获利35元，销售1个B种头盔可获利15元， ∴（元）， ∴这些头盔全部售出，该店共可获利元． 8．（24-25六年级下·上海闵行·期末）乐乐五月份在一家超市买了袋面包和瓶牛奶，共花了元，六月份超市打折促销，面包打七折，一瓶牛奶的价格比五月份降低了，如果乐乐六月份以元的价格购买了袋面包和瓶牛奶，求五月份一个面包和一瓶牛奶的价格． 【答案】五月份一个面包的价格为元/袋，牛奶元/瓶 【难度】0.65 【知识点】销售、利润问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：设五月份一个面包的价格为元/袋，牛奶元/瓶，根据题意得， ， 解得：； 答：五月份一个面包的价格为元/袋，牛奶元/瓶． 9．（24-25七年级下·山东聊城·期中）某校组织350名学生去研学，已知1辆A型车和2辆B型车可以载学生110人；3辆A型车和1辆B型车可以载学生130人． (1)A型、B型车每辆可分别载学生多少人？ (2)如果350名学生一次送完，且每辆车都坐满，请你设计租车方案； (3)若租一辆型车需要1000元，一辆型车需1200元，怎样租车费用最少？ 【答案】(1)A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人 (2)见解析 (3)租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元 【难度】0.65 【知识点】有理数四则混合运算的实际应用、方案问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）设型车每辆载学生人，型车每辆载学生人，根据题意列方程组求解即可； （2）设租用型辆，型辆，根据题意列方程求解即可； （3）根据（1）的方案分别计算即可． 【详解】（1）设A型车每辆载学生人，B型车每辆载学生人， 可得： 解得：， 答：A型车每辆载学生30人，B型车每辆载学生40人． （2）设租用A型辆，B型辆， 可得：， 因为a，b为正整数，所以方程的解为：，， 所以有三种方案： 方案一：A型1辆，B型8辆； 方案二：A型5辆，B型5辆； 方案三：A型9辆，B型2辆． （3）方案一：费用：元； 方案二：费用：元； 方案三：费用：元； 所以租用1辆A型8辆B型车花费最少，为10600元． 10．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）刀鱼馄饨是江苏江阴的特色美食，被誉为“初春第一鲜”．清明节前后是刀鱼馄饨销售的高峰，某电商平台推出，两种型号的刀鱼馄饨礼盒，第一天售出礼盒8个、礼盒5个，总计收入1400元，第二天售出礼盒6个、礼盒10个，总计收入1800元； (1)，两种型号的刀鱼馄饨礼盒每盒的售价分别是多少元？ (2)李叔叔在澄务工，清明假期计划同时购买这两种礼盒赠予亲朋（，都需要购买），预算为1300元．请你帮助他设计预算资金恰好用完时的购买方案． 【答案】(1)型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元 (2)有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题主要考查了二元一次方程组以及二元一次方程的应用． （1）设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案． （2）设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个，根据题意列出关于m，n的二元一次方程，然后根据、为非负整数，得出，或，即可得出两种方案． 【详解】（1）解：设型号礼盒每盒元，型号礼盒每盒元， 根据题意，得 解得 答：型号礼盒每盒100元，型号礼盒每盒120元； （2）解：设购买型号礼盒购买个，型号礼盒购买个， 由题意可得：， ∵、为非负整数， ∴，或，， ∴有两种方案：型号礼盒购买7个，型号礼盒购买5个或型号礼盒购买1个，型号礼盒购买10个． 11．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，长方形由7个正方形组成，正方形的边长为，正方形B的边长为．求此长方形的面积． 【答案】长方形的面积为 【难度】0.85 【知识点】几何问题(二元一次方程组的应用) 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意正确列出方程组是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得到，解得，进而即可求出长方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得到， 解得， 长方形的面积． 答：长方形的面积为． 12．（24-25八年级上·山西运城·月考）综合与实践 为开阔学生视野，某校组织八年级师生开展研学活动，如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人；如果租用甲种客车辆，乙种客车辆，那么每次满载可运送人． (1)请问甲、乙两种客车每次满载分别可运送多少人？ (2)若该校有名师生参加研学活动，研学中心安排了名导游，每名导游都需要安排座位，为保证所租的每辆车均有一名导游，租车方案调整为：同时租甲、乙、丙三种客车，共8辆（每种客车至少辆），丙种客车每次满载可运送人，出发时，所租的三种客车的座位恰好坐满． ①请你设计出所有的租车方案； ②若甲种客车每辆需租金元，乙种客车每辆需租金元，丙种客车每辆需租金元，请选出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1)甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人 (2)①见解析；②最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解、有理数四则混合运算的实际应用 【分析】（）设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人，根据题意列出方程组即可求解； （）①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆，由题意得，即得，可得一定是的倍数，据此即可求解；②根据①的结果求出每一种方案的租金即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，有理数混合运算的实际应用，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人， 由题意得，， 解得， 答：甲种客车每次满载可运送人，乙种客车每次满载可运送人； （2）解：①设租甲、乙、丙三种客车分别为辆，辆，辆， 由题意得，， 整理得，， ， ∵为正整数， ∴一定是正整数， ∴一定是的倍数， ∴或， ∴租车方案有两种： 方案一：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆； 方案二：租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆． ②方案一的费用为（元）， 方案二的费用为1（元）， ∵， ∴最省钱的方案是租甲种客车辆，乙种客车辆，丙种客车辆，最少租金为元． 13．（24-25七年级下·浙江金华·月考）解答： 设计烟花采购方案 为吸引游客，浦江县决定举办烟花节，需考虑如何采购烟花及烟花燃放时长 素材1 已知购买3箱A型和2箱B型烟花需要600元，购买5箱A型和3箱B型烟花需要950元． 素材2 某烟花厂提供产品信息如下： （1）A型烟花每箱8发，B型烟花每箱12发． （2）即将推出新品C型烟花，每箱200元，每箱15发． （3）本厂生产的所有型号烟花每发保持5秒．（例如A型烟花燃放时间为） 素 材 3 （1）浦江县准备支出7800元（全部用完）购买烟花． （2）燃放烟花时逐箱不间断燃放，且每次仅燃放一箱，假设每发烟花均能正常绽放，且间隔时长保持不变，忽略每箱烟花之间的引燃时间． 问题解决 任务1 确定单价 求A、B型烟花每箱多少元？ 任务2 确定方案① 若仅购买A，B型烟花，可以燃放多少秒？ 确定方案② 若同时采购A、B、C三种烟花，A型烟花的箱数是C型的5倍，如何采购使得燃放时间最长？． 【答案】（1）A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元；（2）；（3）分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 【难度】0.65 【知识点】方案问题(二元一次方程组的应用)、二元一次方程的解 【分析】本题考查二元一次方程（组）的应用，解决此类问题的关键是分清题中数量关系，找出等量关系列出方程，求方程组的解或者求整数解即可． 任务1根据条件列出二元一次方程组即可解决． 任务2的第①问设分别购买A，B型烟花a，b箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件得到一个二元一次方程，对方程整理化简，再用a，b表示出烟花的燃放时间，整体代入即可求出燃放时间． 任务2的第②问沿用第①问的思路，设分别购买A，B型烟花a，b箱，表示出购买C型烟花箱，根据“支出7800元购买烟花”这一条件列一个关于a，b的二元一次方程，进而确定a要满足的条件，再用含a的式子表示出时长即可得到结论． 【详解】解：任务1：设A，B型烟花每箱分别为x元，y元， 由题意得 ， 解得 ， 答：A型烟花每箱100元，B型烟花每箱150元． 任务2：①设分别购买A，B型烟花a，b箱， 由题意得， 整理得，， ∴燃放时长为． 答：若仅购买A，B型烟花，可以燃放． ②设分别购买A，B型烟花a，b箱，则购买C型烟花箱， ∴，，整理得，， ∴， ∵a，b，均为正整数， ∴必须是15的倍数， ∴a必须是15的倍数， ∵燃放时长， ∴当a越小时，燃放的时长越长， ∴， ∴， ∴分别购买 A，B，C型烟花各15、38、3箱时，燃放时间最长． 第 1 页 共 78 页 学科网（北京）股份有限公司 $