11 2024年唐山市路北区中考二模数学试题改编-【一战成名新中考】2025河北中考数学·真题与拓展训练

真题与拓展·河北数学 班级:　 　 　 　 　 　 　 姓名:　 　 　 　 　 　 　 学号:　 　 　 　 　 　 41　 　 11 2024 年唐山市路北区中考二模数学试题改编 (本试卷总分 120 分　 考试时间 120 分钟) 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 3 分,共 36 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1. 在22 7 ,3. 14, 3 ,-6, 3 -8 , π 2 这 6 个数中,无理数共有 ( C ) A. 4 个 B. 3 个 C. 2 个 D. 1 个 2. 某人想通过跑步锻炼身体. 第一周计划每天跑 5 000 m,按照计划第一周跑步的总路程用科学记数法表 示为 ( B ) A. 3. 5×103 m B. 3. 5×104 m C. 3. 5×105 m D. 5. 0×104 m 3. 若 5 + 5 = M ,则 M= ( C ) A. 5 B. 10 C. 20 D. 25 4. 如图是某街道的局部图,小刚从 A 处走往 B 处(街道宽度忽略),下列描述错误的是 ( D ) A. 向西走 150 m,再向南走 80 m B. 向西走 150 m,再向左走 80 m C. 向南走 80 m,再向西走 150 m D. 向南走 80 m,再向左走 150 m 第 4 题图 　 　 第 6 题图 　 　 第 7 题图 　 　 第 8 题图 5. 对比 4x2 -4x+1 和 8x-4 因式分解的结果,共同的整式部分为 ( C ) A. 2x B. 2x+1 C. 2x-1 D. 4(2x-1) 6. 如图,两张透明纸上分别画有∠AOB 和直线 l 及直线 l 外一点 P,能通过折叠透明纸实现的是 ( C ) ①∠AOB 的平分线; ②过点 P 垂直于直线 l 的垂线 A. ① B. ② C. ①② D. 都无法实现 7. 如图,数轴上点 A,B,C,D 表示四个连续的整数,分别用 a,b,c,d 来表示. 若 d= 2,则下列结论不正确的 是 ( D ) A. b= 0 B. | a | = | c | C. a+b+c+d= 2 D. a+b+c>0 8. 如图,在等边三角形 ABC 中,AB= 4,BD∥AC,BD⊥CD,则 BD= ( B ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 3 9. 淇淇准备完成题目:“解方程: 2 + 1 x+2 = 0”时发现分母的位置印刷不清,查阅答案后发现标准答案是 x= -1,请你帮助淇淇推断印刷不清的位置可能是 ( A ) A. x-1 B. -x-1 C. x+1 D. x2 -1 10. 已知下列选项中图形均为菱形,所标数据有误的是 ( D ) A B C D 11. 若点 Q(m,n)在抛物线 y=ax2(a≠0)上,则下列各点在抛物线 y=a(x-1) 2 上的是 ( B ) A. (m,n+1) B. (m+1,n) C. (m,n-1) D. (m-1,n) 第 12 题图 12. 如图,正六边形 ABCDEF 的边长为 6 3 ,连接 BE,CF,点 M,N 分别在 BE 和 CF 上,若 △DMN 是等边三角形,且边长为整数,则满足上述条件的△DMN 有 ( D ) A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 3 个以上 二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 3 分,共 12 分. 其中第 15 小题第一空 1 分,第二空 2 分) 13. 已知 am·a2 =an,若 n= -1,则 m= . 14. 将△ABC 的各边按如图所示的方式向内等距缩 1 cm,得到△DEF,则△ABC 和△DEF (填 “是”或“不是”)位似三角形. 第 14 题图 　 　 　 　 　 第 16 题图 15. 阅读以下材料:将分母中的根号化去,叫做分母有理化. 分母有理化的方法,一般是把分子分母都乘同 一个适当的代数式,使分母不含根号. 例如: 1 2 = 1· 2 2 · 2 = 2 ( 2 ) 2 = 2 2 , (1)将 1 2 +1 分母有理化可得 ; (2)关于 x 的方程 3x- 1 2 = 1 1+ 3 + 1 3 + 5 + 1 5 + 7 +…+ 1 97 + 99 的解是 x= . 16. 某公园对一片圆形空地进行绿化改建,空地中心为 O,点 A,B 为空地边缘上两个固定位置,计划将线 段 AB 及优弧 AB 围成的区域修建为草坪,其余部分为活动场所. 若在 A 处安装某种喷水装置,其可喷 洒面积如图①阴影所示,为使喷洒范围覆盖所有草坪,并提高喷洒效率,可在 B 处再安装同款喷水装 置,喷洒面积如图②阴影所示. 若将喷水装置设置在如图③所示的 M,N 或 P 处,则下列方案:①在 M,N 处各安装一个喷水装置;②在 P 处安装两个喷水装置;③在 M 处安装两个喷水装置. 喷洒范围可 以覆盖所有草坪的方案为 . (填序号即可) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 42　 三、解答题(本大题共 8 个小题,共 72 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本小题满分 7 分) 嘉嘉一家在某餐厅用餐,账单总额为 145 元. 用餐过程中,他们又额外点了一些菜品,使得账单增加了 33 元. 之后,他们发现有一道菜没有上,于是从账单中减去了 18 元. (1)求此次用餐花了多少钱; (2)餐厅为了吸引顾客,推出优惠活动:满 100 元先减 10 元,并再享折扣. 嘉嘉结账时,账单总额为 135 元,求优惠活动中打几折. 解:(1)由题意知 145+33-18=160(元), ∴此次用餐花了 160 元; (2)设优惠活动中打 x 折,依题意得(160-10)· x 10 =135, 解得 x=9, ∴优惠活动中打 9 折. 18. (本小题满分 8 分) 置换反应是一种单质与一种化合物反应,生成另一种单质和另一种化合物的反应,包括金属与金属盐 的反应,金属与酸的反应等. 某次化学实验课上,老师带来了 Al,Zn,Cu,Ag 四种金属. 这四种金属分 别用四个相同的不透明的容器装着,让同学们随机选择一种金属与盐酸反应来制取氢气. (根据金属 活动顺序可知,Al,Zn 可以置换出氢气,而 Cu,Ag 不能置换出氢气) (1)“从四种金属中随机选择一种,选到 Mg”是 事件;(填“必然”“不可能”或“随机”) (2)甲,乙两位同学分别从四种金属中随机选择一种金属进行实验,请用画树状图法或列表法,求两 人所选金属均能置换出氢气的概率. 解:(1)不可能; (2)列表如下, Al Zn Cu Ag Al (Al,Al) (Al,Zn) (Al,Cu) (Al,Ag) Zn (Zn,Al) (Zn,Zn) (Zn,Cu) (Zn,Ag) Cu (Cu,Al) (Cu,Zn) (Cu,Cu) (Cu,Ag) Ag (Ag,Al) (Ag,Zn) (Ag,Cu) (Ag,Ag) 共有 16 种等可能的结果,其中两人所选金属均能置换出氢气的结果有(Al,Al),(Al,Zn),(Zn, Al),(Zn,Zn)共 4 种,∴两人所选金属均能置换出氢气的概率为 4 16 = 1 4 . 19. (本小题满分 8 分) 观察下列图形与等式的关系: 第 1 个图 →22 -12 = 2+1 = 3 第 2 个图 →32 -22 = 3+2 = 5 第 3 个图 →42 -32 = 4+3 = 7 第 4 个图 →52 -42 = 5+4 = 9 … 第 19 题图 根据图形及等式的关系,解决下列问题: (1)第 5 个图中空白部分小正方形的个数是 ,第 6 个图中空白部分小正方形的个数满足的算 式是 ; (2)用含 n 的等式表示第 n 个图中空白部分小正方形的个数反映的规律: 　 ; (3)运用上述规律计算:(2 0242 -2 0232 +2 0222 -2 0212 +2 0202 -2 0192 +…+22 -12) × 1 1 012 . 解:(1)11,72-62 =7+6=13;【解法提示】由题图知第 5 个图中空白部分小正方形的个数为 62-52 = 6+ 5=11,第 6 个图中空白部分小正方形的个数算式应为 72-62 =7+6=13. (2)(n+1) 2-n2 =n+1+n=2n+1;【解法提示】由题图知,第 1 个图中空白部分小正方形的个数是 22- 12 =2+1;第 2 个图中空白部分小正方形的个数是 32-22 = 3+2;第 3 个图中空白部分小正方形的个数 是 42-32 =4+3;…,所以第 n个图中空白部分小正方形的个数是(n+1) 2-n2 =n+1+n=2n+1. (3)(2 0242-2 0232+2 0222-2 0212+2 0202-2 0192+…+22-12)× 1 1 012 =(2 024+2 023+2 022+2 021+2 020+2 019+…+2+1)× 1 1 012 = 2 024×(2 024+1) 2 × 1 1 012 =2 025. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 43　 　 20. (本小题满分 8 分) 如图,图②是图①中长方体的三视图,用 S 表示面积,且 S主 = 2n3 +2n(n>1) . (1)求 S左 和 S俯; (2)推断以该长方体的长、宽、高为边能否围成直角三角形. 第 20 题图 21. (本小题满分 9 分) 某班 13 位同学参加每周一次的卫生大扫除,按学校的卫生要求需要完成总面积为 80 m2 的三个项目 的任务,三个项目的面积比例和每人每分钟完成各项目的工作量如图所示. (1)从上述统计图可知:每人每分钟能擦课桌椅 m2;擦玻璃,擦课桌椅,扫地拖地的面积分别 是 m2, m2, m2; (2)如果 x 人每分钟擦玻璃的面积是 y m2,那么 y 关于 x 的函数关系式是 ; (3)他们一起完成扫地拖地的任务后,把这 13 人分成两组,一组去擦玻璃,一组去擦课桌椅. 如果你 是卫生委员,该如何分配这两组的人数,才能使他们同时完成任务? 第 21 题图 22. (本小题满分 9 分) 如图①是某住宅单元楼的人脸识别系统(整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别),其示意图如 图②,摄像头 A 的仰角、俯角均为 15°,摄像头高度 OA= 160 cm,识别的最远水平距离 OB= 150 cm. (1)如图②,嘉嘉站在摄像头前水平距离 100 cm 的点 G 处,恰好能被识别(头的顶部在仰角线 AD),求嘉嘉的身高约是多少厘米; (2)淇淇身高 136 cm,头部高度为 18 cm,踮起脚尖可以增高 3 cm,此时淇淇能被识别吗? 请计算说明. (精确到 0. 1 cm,参考数据:sin15°≈0. 26,cos15°≈0. 97,tan15°≈0. 27) 第 22 题图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 真题与拓展·河北数学 44　 23. (本小题满分 11 分) 根据以下素材,探索完成任务. 如何设置“绿波带”? 素材 1:某市为新路段设置“绿波带”,车辆驶入绿波带后,若以一定速度行驶,到达下个路口时会遇到 绿灯,可节约能源. 如图,A,B 两路口停车线之间距离为 900 米,两个交通信号灯的绿灯持续时间均为 a 秒,A 处绿灯亮起 53 秒后 B 处绿灯第一次亮起. 第 23 题图 素材 2:第 1 辆车的车头与停车线平齐,后面相邻两车的车头相距 5 米,绿灯亮起时第一辆车立即启 动,后面每一辆车在前一辆车启动 2 秒后再启动,车辆启动后,先加速,到一定速度后匀速行驶,在加 速阶段,汽车的速度(v)与时间( t)的关系如下表所示,行驶路程( s)与速度、时间的关系满足 s= vt 2 . t(秒) … 1 2 3 4 … v(米 / 秒) … 3 6 9 12 … 素材 3:A 路口车流量显示:绿灯持续时间 a 应少于 25 秒(a 为整数),每一次绿灯一个车道内能通过 的等候车辆数为 10 辆(车头超过停车线即为通过),且每辆车加速通过 A 路口. (1)用含 t 的代数式表示 v,并求 s 关于 t 的函数表达式; (2)求第 10 辆车从启动到车头到达停车线 1 的时间以及绿灯持续时间 a 的值; (3)A 路口绿灯亮起后,第一辆车的匀速车速处于什么范围时,可在 B 路口绿灯第一次亮起期间通过 停车线 2? 24. (本小题满分 12 分) 如图,在正方形 ABCD 中,AB = 3,以点 C 为圆心,1 为半径作圆,交 CD 于点 E,P 是☉C 上的任意一 点,将点 P 绕点 D 顺时针方向旋转 90°,得到点 Q,连接 DP,DQ,AQ,QP. (1)连接 CP,求证:AQ=CP; (2)当 DP 与☉C 相切于正方形外部时,求线段 PQ 被☉C 所截弦的长; (3)当 DP= 13时,求劣弧 EP 的长度. 第 24 题图 　 　 备用图 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 即 2(2t-6)= 3 5 (14-2t), 解得 t= 51 13 , 综上所述,当 t = 15 7 或 51 13 时,平行四边形 MNPQ 为 菱形. 24.解:(1)当 b= 2,c= -3 时,y= x2 +2x-3 = (x+1) 2 -4, ∴ 顶点 C 的坐标为(-1,-4), 当 y= 0 时,x2 +2x-3 = 0,即(x+3)(x-1)= 0, 解得 x1 = -3,x2 = 1, ∴ A(-3,0),B(1,0); (2)①抛物线恰好经过 P,Q 两点, 则 1-b+c= 10, 16+4b+c= 0,{ 解得 b= -5, c= 4;{ ②b 的取值范围为 b≤-10 或 b≥- 15 4 . 【解法提示】当 c= -1 时,y = x2 +bx-1,当 x = 0 时,y = - 1,∴ 抛物线过 (0,-1),当 x= -1 时,y= 1-b-1 = -b,当点( -1,-b)在 点 P 上方,或与点 P 重合时,拋物线与线段 PQ 有公 共点,即-b≥10,解得 b≤-10;当 x = 4 时,y = 16+4b- 1 = 4b+15,当点(4,15+4b)在点 Q 上方,或与点 Q 重 合时,拋物线与线段 PQ 有公共点,即 15+ 4b≥0,b≥ -15 4 ;综上,b 的取值范围为 b≤-10 或 b≥-15 4 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11. 2024 年唐山市路北区中考二模数学试题改编 1. C　 2. B　 3. C　 4. D　 5. C　 6. C　 7. D　 8. B　 9. A 10. D　 11. B 12. D　 【解析】如解图①,设 BE 与 CF 交于点 O,当点 M 在点 B 处,点 N 在点 F 处时,此时△DMN 为等边三角 形,∵ 正六边形 ABCDEF 的边长为 6 3 ,∴ BF = 2AB· cos30° = 18,满足边长为整数,符合题意,此时∠BDF = 60°已为最大张角,故除此种情况外,不存在 M,N 在 OB,OF 上且使△DMN 为等边三角形的情况;如解图 ②,当 DM′⊥BE,DN′⊥CF 时,易得△CDN′≌△EDM′, ∴ DN′=DM′,∠CDN′ = ∠EDM′ = 30°,∴ ∠M′DN′ = 60°, ∴ △DM′N′为等边三角形,此时 DN′ = CD· sin60° = 9,满足边长为整数,符合题意;如解图③,设 BE 与 CF 交于点 O,连接 OD,过点 D 作 DP⊥CF 于点 P,DQ⊥ BE 于点 Q,当 M,N 在 OE,OC 上时,存在无数个等边 三角形 DMN, ∵ DP = CD · sin60° = 9, OD = CD = 6 3 ,∴ 9<DM<6 3 = 108 ,又∵ △DMN 的边长为整 数,∴ DM = 10,由题意易得 △DOE 为等边三角形, ∴ 在 OE 上存在两个点 M 使得 DM 的长度为 10,即此 时符合条件的△DMN 有 2 个. 综上所述,满足上述条 件的△DMN 有 4 个. 图① 图② 图③ 第 12 题解图 13. -3　 14. 是　 15. (1) 2 -1;(2) 11 2 16. ①③　 【解析】①在 M,N 处各放置一个该型号的喷水 装置,如解图①,∵ ∠CMB=∠CAB,∠ANC=∠ABC,∴ 在 M,N 处各放置一个该型号的喷水装置,能使喷洒范围 覆盖所有草坪;③在 M 处放置两个该型号的喷水装 置,如解图 ②, ∵ ∠CAB = ∠CMB, ∠AMC = ∠CBA, ∴ 在 M 处放置两个该型号的喷水装置,能使喷洒范围 覆盖所有草坪;②在 P 处放置两个该型号的喷水装 置,如解图③,∵ ∠CPB = ∠CAB,∴ 在 P 处放置两个 该型号的喷水装置,不能使喷洒范围覆盖所有草坪. 第 16 题解图 17.解:(1)由题意知 145+33-18 = 160(元), ∴ 此次用餐花了 160 元; (2)设优惠活动中打 x 折, 依题意得(160-10)· x 10 = 135, 解得 x= 9, ∴ 优惠活动中打 9 折. 18.解:(1)不可能; (2)列表如下, Al Zn Cu Ag Al (Al,Al) (Al,Zn) (Al,Cu) (Al,Ag) Zn (Zn,Al) (Zn,Zn) (Zn,Cu) (Zn,Ag) Cu (Cu,Al) (Cu,Zn) (Cu,Cu) (Cu,Ag) Ag (Ag,Al) (Ag,Zn) (Ag,Cu) (Ag,Ag) 共有 16 种等可能的结果,其中两人所选金属均能置 换出氢气的结果有 ( Al, Al), ( Al, Zn), ( Zn, Al), (Zn,Zn)共 4 种, ∴ 两人所选金属均能置换出氢气的概率为 4 16 = 1 4 . 19.解:(1)11,72 -62 = 7+6 = 13;【解法提示】由题图知第 5 个图中空白部分小正方形的个数为 62 - 52 = 6 + 5 = 11,第 6 个图中空白部分小正方形的个数算式应为 72 -62 = 7+6 = 13. (2)(n+1) 2 -n2 = n+ 1+n = 2n+ 1;【解法提示】由题图 知,第 1 个图中空白部分小正方形的个数是 22 - 12 = 2+1;第 2 个图中空白部分小正方形的个数是 32 -22 = 3+2;第 3 个图中空白部分小正方形的个数是 42 -32 = 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 62 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 4+3;…,所以第 n 个图中空白部分小正方形的个数是 (n+1) 2 -n2 =n+1+n= 2n+1. (3) ( 2 0242 - 2 0232 + 2 0222 - 2 0212 + 2 0202 - 2 0192 +…+22 -12 )× 1 1 012 = (2 024+2 023+ 2 022+ 2 021+ 2 020+ 2 019+…+ 2+ 1)× 1 1 012 = 2 024×(2 024+1) 2 × 1 1 012 = 2 025. 20.解:(1)S左 = (n 2 -1)·2n= 2n3 -2n, 俯视图矩形的长为 2n3 +2n 2n =n2 +1, S俯 = (n 2 +1)(n2 -1)= n4 -1; (2)∵ ( n2 + 1) 2 = n4 + 2n2 + 1,( n2 - 1) 2 = n4 - 2n2 + 1, (2n) 2 = 4n2 , ∴ (n2 -1) 2 +(2n) 2 =n4 +2n2 +1 = (n2 +1) 2 , ∴ 以该长方体的长、宽、高为边能围成直角三角形. 21.解:(1) 1 2 ,16,20,44;【解法提示】由统计图可得,每 人每分钟能擦课桌椅 1 2 m2 ,擦玻璃,擦课桌椅,扫地 拖地的面积分别是 80 × 20% = 16 ( m2 ), 80 × 25% = 20(m2 ),80×55% = 44(m2 ) . (2)y= 1 4 x; (3)设擦玻璃的有 x 人,则擦课桌椅的有(13-x)人, 16 1 4 x = 20 1 2 (13-x) , 解得 x= 8, 经检验,x= 8 是原分式方程的解,且符合题意, 则 13-8 = 5, 即当擦玻璃的有 8 人,擦课桌椅的有 5 人时,才能使 他们同时完成任务. 22.解:(1)过点 G 作 OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点 H,K,交水平线于点 F,如解图①所示, 第 22 题解图① 则∠AOB= ∠OGF= ∠AFG= 90°, ∴ 四边形 AOGF 是矩形, ∴ OG=AF= 100 cm,OA=GF= 160 cm, 在 Rt△AHF 中,tan∠HAF=HF AF , ∴ HF=AF·tan15°≈100×0. 27 = 27(cm), ∴ GH=GF+HF= 160+27 = 187(cm), ∴ 嘉嘉的身高约为 187 cm; (2)淇淇能被识别,理由如下: 过点 B 作 OB 的垂线分别交仰角、俯角线于点 M, N,交水平线于点 P,如解图②所示, 第 22 题解图② 由(1)同理知,四边形 AOBP 是矩形, ∴ AP=OB= 150 cm,PB=OA= 160 cm, ∴ PN=AP·tan15°≈150×0. 27 = 40. 5(cm), ∴ BN= 160-40. 5 = 119. 5(cm),136+3-18 = 121(cm), ∵ 119. 5<121, ∴ 淇淇能被识别. 23.解:(1)由表格可知 v= 3t, ∴ s= vt 2 = 3 2 t2 ; (2) s= 3 2 t2 = 5×9, ∴ 加速时间 t= 30秒( t>0), ∵ a 为整数, 30 <6, ∴ 总时间为 6+9×2 = 24<25(秒), ∴ a= 24; (3)由题意可知,第一辆车启动至到达 B 绿灯所需的 时间 t 满足 53≤t<77, 设加速阶段用时为 x 秒,则匀速阶段速度为 3x 米 /秒, 令 3 2 x2 +3x(53-x)= 900, 解得 x1 = 100(舍去),x2 = 6, 3x= 18, 令 3 2 x2 +3x(77-x)= 900, 解得 x1 = 150(舍去),x2 = 4, 匀速阶段速度为 12 米 /秒, ∴ 当 12<v≤18 时,可在 B 路口绿灯第一次亮起期间 通过停车线 2. 24. (1)证明:在正方形 ABCD 中,DA=DC,∠ADC= 90°, ∵ ∠PDQ= 90°,DP=DQ, ∴ ∠ADQ= 90°-∠CDQ= ∠CDP, ∴ △ADQ≌△CDP, ∴ AQ=CP; (2)解:如解图①,设 PQ 与☉C 交于点 F,连接 CF, 第 24 题解图① ∵ DP 与☉C 相切于点 P, ∴ CP⊥DP, ∴ ∠DPC= 90°, ∵ ∠PDQ= 90°,DP=DQ, ∴ ∠DPQ= ∠DQP= 45°, ∴ ∠CPF= 90°-45° = 45°, ∵ CP=CF, ∴ ∠PCF= 180°-2×45° = 90°, 第 24 题解图② 在 Rt△CPF 中,CP=CF= 1, ∴ PF= 12 +12 = 2 ; (3)解:如解图②,过点 P 作 PH⊥ CD 交 DC 的延长线于点 H, 设 CH= x,则 DH= 3+x, 在 Rt△PCH 中,PC= 1, ∴ PH2 = 12 -x2 = 1-x2 , 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 72 参考答案与重难题解析·河北数学 第 二 部 分 在 Rt△DPH 中,PD= 13 , PH2 +DH2 =PD2 , ∴ (1-x2 )+(3+x) 2 = ( 13 ) 2 , 解得 x= 1 2 ,∴ CH= 1 2 , ∴ cos∠PCH=CH CP = 1 2 , ∴ ∠PCH= 60°, ∴ ∠PCE= 180°-60° = 120°, ∴ 劣弧 EP 的长度为120π ×1 180 = 2π 3 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12. 2024 年秦皇岛市海港区中考一模数学试题改编 1. B　 2. D　 3. A　 4. B　 5. D　 6. B　 7. A　 8. B　 9. D　 10. D 11. C　 【解析】 方法一: 如解图 ①, ∵ AE 平分 ∠CAB, ∴ ∠CAE= ∠BAE, ∵ AD ⊥ BC, ∴ ∠ADC = ∠ADB = 90°, ∴ ∠CAD + ∠C = 90°, ∠DAB + ∠B = 90°, ∵ ∠CAD= ∠CAE - ∠DAE, ∠DAB = ∠BAE + ∠DAE, ∴ ∠C = 90° - ∠CAE + ∠DAE, ∠B = 90° - ∠BAE - ∠DAE,∴ ∠B < ∠C; 方法二: 如解图 ②, 连接 CN, ∵ MN 垂直平分 BC, ∴ CN = BN, ∴ ∠B = ∠NCB, ∵ ∠ACB>∠NCB,∴ ∠ACB>∠B;综上所述,两种方法 都可行. 图① 　 　 图② 第 11 题解图 12. C　 【解析】∵ 抛物线 y=a(x-1)(x-3)(a≠0)与 x 轴 交于点 A,B(A 在 B 左侧),∴ A(1,0),B(3,0),∴ AB= 2,∵ y=a(x-1)(x-3)= a(x-2) 2 -a,∴ 当内心与外心 重合时,顶点 C(2,-a),∵ A、B 两点与抛物线的顶点 构成的三角形的内心与外心重合,∴ △ABC 是等边三 角形,∴ C 到 x 轴的距离为 22 -12 = 3 ,∵ 拋物线的 顶点到 x 轴的距离比点 C 到 x 轴的距离大,∴ | -a | > 3 ,解得 a> 3或 a<- 3 . 13. 2 2 (答案不唯一) 14. 30　 15. -a +1 a 16. ②③　 【解析】∵ ∠ADC = ∠B+∠BAD,∴ ∠ADC 的度 数大于∠BAD,由题图②可知,y 始终大于 x,∴ 纵轴 y 表示∠ADC 的度数,横轴 x 表示∠BAD 的度数,故① 错误;设函数解析式为 y = kx+ b( k≠0),将( 0,40), (a,120)代入解析式得 b = 40, ka+b= 120,{ 解得 b= 40, k= 80 a ,{ ∴ y = 80 a x+40,∵ ∠ADC= ∠B+∠BAD,∴ y = x+∠B,∴ ∠B = 40 度,k= 80 a = 1,故②正确;∴ a= 80,故③正确;综上所 述,正确的是②③. 17.解:(1)乘法的分配律; (2)一,去分母时常数项 1 没有乘以最小公倍数; (3)1-x +1 2 ≤x -1 3 , 去分母,得 6-3(x+1)≤2(x-1), 去括号,得 6-3x-3≤2x-2, 移项,得-3x-2x≤-2-6+3, 合并同类项,得-5x≤-5, 系数化为 1,得 x≥1. 18.解:(1)如解图,△AB1C1 即为所求; 第 18 题解图 (2)如解图,点 D 即为所求, C1D 的长为 6 5 5 . 【解法提示】取格点 M,N,使 B1M ∶ C1N= 3 ∶ 2,且 B1M∥C1N,连接 MN 交 B1C1 于点 D,此 时△B1MD∽△C1ND,则 B1D ∶ C1D =B1M ∶ C1N = 3 ∶ 2,则点 D 即为所求. 易知 B1C1 = 3 5 , ∵ B1D ∶ C1D= 3 ∶ 2,∴ C1D= 2 5 B1C1 = 6 5 5 . 19. (1)解:B; (2)解:a +m b+m > a b ; (3)证明:∵ b>a>0,m>0, ∴ a +m b+m - a b = b(a+m)-a(b+m) b(b+m) = m(b-a) b(b+m) >0, ∴ a +m b+m > a b . 20.解:(1)5(2x2 +5x-1)-(6x+5x2 +2) = 10x2 +25x-5-6x-5x2 -2 = 5x2 +19x-7; (2)嘉琪的说法正确; 证明:A = 2(2x2 +5x-1)-(6x+5x2 +2) = 4x2 +10x-2-6x-5x2 -2 = -x2 +4x-4 = -(x-2) 2 . ∵ 无论 x 取何值时,(x-2) 2 ≥0, ∴ -(x-2) 2 ≤0,即 A≤0, ∴ 无论 x 取何值时,A 总是非正数. 21.解:(1)完成表格如下; 组别 平均数 中位数 众数 方差 合格率 优秀率 甲 6. 7 6 6 3. 41 90% 20% 乙 7. 1 7. 5 8 1. 69 80% 10% 【解法提示】根据题意,甲组,乙组都是 10 人,具体如 下:甲组:3 分 1 人,6 分 5 人,7 分 1 人,8 分 1 人,9 分 1 人,10 分 1 人,乙组: 5 分 2 人, 6 分 1 人, 7 分 2 人,8 分 4 人,9 分 1 人,甲组的中位数是6 +6 2 = 6(分); 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 82