2.2025年河北真题·新素材新考法变式卷(一)-【一战成名新中考】2026河北数学·真题与拓展

班级： 姓名： 学号： 2025年河北真题·新素材新考法变式卷（一） (本试卷总分120分 考试时间120分钟) 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题意） 1.如图，两支温度计的读数分别是某地当天的最高气温和最低气温，那么该地当天的温差是 () A.-12℃ B.-2℃ C.2℃ D.12℃ 10 10 116 0 -5 5 50 (单位：mm) -10 10 图① 图② 第1题图 第2题图 2.“榫卯”为我国古代建筑中经常使用的构件，小星在学习3D打印技术后，准备打印一个“卯”，尺寸如图 ①所示，建模过程中，在主视图平面建立如图②所示的平面直角坐标系.若坐标轴的单位长度取1mm, 则图②中点P的坐标为 A.(16,10) B.(34,10) C.(16,34) D.(10,34) 3.甲、乙两人各在黑板上写了一个算式，则其中计算结果为有理数的算式 ( 甲：√2（√8-√2）； 乙：(5-√3)(W5+√3) A.只有甲是 B.只有乙是 C.甲和乙都是 D.甲和乙都不是 4.如图是某景区大门部分建筑示意图，已知ADBE∥CF,AC=16m,当DF:DE=4:3时，AB的长是() A.10m B.11m C.12m D.13m 图① 图② 第4题图 第5题图 5.一个正方体的六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6，图①所示为3种不同摆放方式看到的情形，图②为这 个正方体的侧面展开图，则图中的x表示的数字是 A.1 B.3 C.4 D.5 11 6.若m,n是关于x的方程2x2-4x+1=0的两个根，则二+二的值为 ( m n 1 1 A.4 B.-4 C.4 D.4 7.现要设计一个转盘游戏，使得随机转动转盘一次，指针落在阴影部分的概率为二，则下列被等分的转盘 中最符合要求的是 A B C D 真题与拓展 版权归一战成名新中考所有，盗版盗印举报电话：029-85424032 8若m-n=2,则代数式m-心.2的值是 mm+n A.-2 B.2 C.-4 D.4 9.如图，在△ABC纸片中，∠C=90°，BC=5,AC=7,将该纸片沿虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形 不相似的是 B 1 10.已知点A(-1,y1),B(a,y2)在反比例函数y=二的图象上，若y2>y1,则a的取值范围是 A.a<-1或a>0 B.-1<a<0 C.a>0 D.a<-1 11.如图，E,F是矩形纸片ABCD边上的两点，作四边形ABFE关于直线EF的对称图形A'B'FE,A'B'交AD 边于点G,若∠GEF=a,有如下结论：①∠AEF=180°-a;②∠EFB=ax;③∠1=180°-2a;④∠A'ED= ∠1=∠2；⑤∠1+∠2=90°.其中正确的结论有 () A.①②④⑤ B.①②③⑤ C.①②③④ D.①②③④⑤ 第11题图 第12题图 12.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形OABC的边长为2，OC边在y轴上，B(2,2).若将正方形OABC 绕点O逆时针旋转a(0°<a<90°)，得到正方形OA'B'C',若正方形OA'B'C'在第二象限内的部分有且 只有一个整点（不包含边）.侧旋转的度数a可以是(am2634 () A.30° B.45° C.50° D.60° 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13.若2=3，则22x1的值为 14.开放性试题如图，三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，已知它们的长度均为整数.若三根小 棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是 .(写出一个即可) 10 cm x cm ycm 第14题图 第15题图 15.如图，10块完全相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，则小长方形的面积为 cm" ·河北数学 16.中国魏晋时期的数学家刘徽首创“割圆术”，奠定了中国圆周率计算在世界上的领先地位.刘微提出： “割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”由此求得圆周率π的近 似值.设圆的半径为，圆内接正n边形的周长为C,圆的直径为d如图@，当n=6时，行一C-64,1。 d 2r 12r·sin30 =3:如图2，当n=12时，m≈C .(结果精确到0.01；参考数据：sinl5°≈0.259， sin75°≈0.966) A 图① 图② 第16题图 三、解答题（本大题共8小题，共72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17.(本小题满分7分) 6-3x>2(x-2), 解不等式组： 2x-1 通过计算判断该不等式组的解集表示在如图所示的数轴上是否正确. 2 -3x≤4， 0 第17题图 18.(本小题满分8分) 在数学课上，老师出了一道题，随机选择一组同学进行合作完成“接力游戏”.规则如下：每位同学可以 完成解分式方程的一步，即前一位同学完成一步后，后一个同学接着前一个同学的步骤进行下一步运 算，直至完成分式方程的求解过程 问题情境： 接力游戏 请根据图中的“接力游戏”回答问题： (1)在“接力游戏”中，从 同学开始出现错误， 解方程：1-2x 2x+4x+2 你的判断依据是 甲同学：去分母，得2x+4-x-2=-2x; (2)写出正确的解答过程. 乙同学：移项，得2x-x+2x=2-4; 丙同学：合并同类项，得3x=-2; 丁同学：系数化为1，得x=2 3 真题与拓展· 19.(本小题满分8分) 如图，点C在线段AB上，AD∥EB,AC=BE,AD=BC,CF平分∠DCE. (1)证明：△ADC≌△BCE; (2)若CF=3,DF=4,求△DCE的面积 第19题图 20.(本小题满分8分) 甲、乙两校参加区教育局举办的学生英语口语竞赛，两校参赛人数相等.比赛结束后，发现学生成绩分 别为7分、8分、9分、10分（满分为10分）.依据统计数据绘制了如下尚不完整的统计图表. (1)在图①中，“7分”所在扇形的圆心角等于 °； (2)请你将图②的统计图补充完整； (3)经计算，乙校的平均分是8.3分，中位数是8分，请写出甲校的平均分、中位数，并从平均分和中位 数的角度分析哪个学校成绩较好； (4)如果该教育局要组织8人的代表队参加市级英语口语团体赛，为便于管理，决定从这两所学校中 的一所挑选参赛选手，请你分析，应选哪所学校？ 乙校成绩扇形统计图 乙校成绩条形统计图 人数 甲校成绩统计表 P 10分 7分 6 分数 7分 8分 9分 10分 724 9分/54ò 2 人数 11 0 8 /8分 7分8分9分10分成绩/分 图① 图② 第20题图 可北数学 21.（本小题满分9分) 综合与实践 如图①，边长为6的正方形纸片ABCD上有一个圆，圆心在正方形的中心 操作：①将纸片对折，然后打开，得到折痕MN,折痕与圆交于点E,F,如图②： ②再将纸片折叠，使点B,C分别落在AB,DC边上，然后打开后，折痕PQ恰好经过点F,连接 PE,与圆交于点G,如图8，∠EPQ=54(注：an54°取3， 4 发现：直线PQ与圆的位置关系是 ； 探究：(1)求FG的长； (2)求线段PG的长； 拓展：连接AG,直接写出tan∠PAG的值. 图① 图② 图③ 第21题图 真题与拓展 版权归-战成名新中考所有，盗版盗印举报电话：029-85424032 22.（本小题满分9分) 学科融合数学项目小组为解决弹簧拉力计设计问题，经调研，获得如下信息： 信息1：已知花30元购买弹簧A的数量是花30元购买弹簧B数量的一半，其中弹簧B的单价比弹簧 A的单价少3元 信息2：几根等长弹簧并联时，拉力计拉力等于每根弹簧拉力之和，如图①，y=y,+y2,测得弹簧A的拉 力y1(N)与弹簧长度x(cm)之间有关系式y1=1.4x-7;测得弹簧B的拉力y,(N)与弹簧长度x(cm)的 数据如下表： 弹簧长度x/cm 10 15 20 25 拉力y2/N 5 10 15 20 信息3：在弹性限度内，弹簧A,B伸长后最大长度均为30cm. 如果你是项目小组成员，请根据以上信息，解答下列问题： (1)求弹簧A和弹簧B的单价； (2)①在图②中描出表格中以x与y,的对应值为坐标的各点，并判断这些点 (填“是”或“不 是”)在同一直线上； ②y2关于x的函数表达式为 弹簧B在弹性限度内的最大拉力为 N. 2/N 25 20 15 10 y O510152025x/cm 图① 图② 第22题图 7 ·河北数学 23.（本小题满分11分) 综合与实践 折纸中的数学折纸是我国传统的民间艺术，也是同学们喜欢的手工活动之一，幸运星、纸飞机、千纸 鹤、密信等折纸活动在生活中广为流传，通过折纸我们既可以得到许多美丽的图形，同时折纸的过程 还蕴含着丰富的数学知识，折纸往往从矩形纸片开始，下面就让我们带着数学的眼光来探究一下有关 矩形纸片的折叠问题，看看折叠矩形纸片蕴含着哪些丰富的数学知识 (1)折纸1：如图①，在一张矩形纸片上任意画一条线段AB,将纸片沿线段AB折叠 问题1：重叠部分的△ABC的形状 (填“是”或“不是”)等腰三角形； 问题2：如果AB=4cm,BC=5cm,那么重叠部分△ABC的面积为 cm; (2)折纸2：如图②，矩形纸片ABCD,点E为边CD上一点，将△BCE沿着直线BE折叠，使点C的对应 点F落在边AD上，请用无刻度直尺和圆规在图②中找出点E的位置；（保留画图痕迹，不写作法） (3)折纸3：如图③，矩形纸片ABCD,AB=5,BC=6,若点M为射线BC上一点，将△ABM沿着直线AM 折叠，折叠后点B的对应点为B',当点B'恰好落在BC的垂直平分线上时，求BM的长. D 图① 图② 图③ 备用图 第23题图 8 真题与拓展· 24.(本小题满分12分) 如图①，抛物线L:y=-x2+bx+1(b为常数)与y轴交于点D. (1)求证：抛物线L,一定与x轴有两个交点，并且这两个交点分别在原点的两侧； (2)抛物线L,经过点(-3，n),(1,n) ①求抛物线L,的顶点坐标； ②若a≤x≤0，函数y=-x2+bx+1的最大值与最小值的差总为1，求a的取值范围； (3)在(2)的条件下，将抛物线L1平移得到抛物线L2:y=-(x-1)2+4,L2与x轴相交于A,C两点（点C 在A的左侧)，与y轴相交于B点，如图② ①直接写出平移前后两个抛物线上一组对应点之间的最小距离； ②过点C作直线l∥AB,M是抛物线L2上对称轴右侧的一点，过点M作MN∥y轴交直线AB于 点N,分别过点M,N作L2的对称轴的垂线，垂足分别为P,Q.当以点M,N,P,Q为顶点的四边 形在直线AB,l之间的部分的面积恰好是这个四边形面积的一半时，直接写出点M的横坐标m 的值. L 图① 图② 第24题图 河北数学(2)不能，理由：：点D在L,(第一象限)上，到x轴的距离 ②k=6-√I5.【解法提示】直线AE:y=x+n(k>0)交L,于点 为3 E,A(0,3),.直线AE的解析式为y=kx+3,y=a(x-3)2+d 则% (a<0)经过点c(,2)2=2 4a+dd=2-25 a,..y=a(x 4 2 当r23 =-x2+6x+3. 4 -3)2+225 ,联立 a(-3)+225 ,消去y得，ax2-(6a y=kx+3, 解得宁减宁 均1-0+场=：点州为直线与五的 4 宁学号学. 唯-公共点d=(+6a户-4a(告-1)=0①.wr 抛物线)=a(-3)+d(a<0)经过点c(,2),对你轴为直 6ak++3),解法1：点M的横坐标是点￡横坐标的一半， 2a 线x=3, 6经过点C(宁2)和号2). 则点E的坐标（66,6a++3》,将E代人)=-x+6r+3 aa .L,不能经过点D: 6k+E+3=-(6a+)+6(6a++32,联立①②得 a a2 (3)①A(0,3),P(3,12), a=-l, 当E,P重合时，则E(3,12), 当k=6+√5时，交点不在第一 (k=6-√15(k=6+√I5 点M的横坐标是点E横坐标的一半，点M在线段AE上， 象限，不符合题意，k=6-√15 点M是线段AE的中点， 将(35 y=x+3, 1 (22),C(22)代入L解析式中， ?一题多解解法2：联立 y=-x2+6x+3, 易得E(6-k,6k- 解得a=8 11 号).则6些得1将a 22a 得 -1代入①中得k=6±√15，同解法1得k=6-√5. 2.2025年河北真题·新素材新考法变式卷（一） 《快速对答案 一、选择题（每小题3分，共36分） 1.D2.B3.C4.C5.C6.A7.C8.C9.D10.A11.B12.C 二、填空题（每小题3分，共12分） 13.1814.4(或5)15.67516.3.11 三、解答题（共72分） 9 17.(7分)原不等式组的解集为4≤x<2;在数轴上表示是正确的. 18.(8分)(1)甲，去括号法则：(2)原分式方程无解，过程略 19.(8分)(1)证明略：(2)△DCE的面积为12. 20.(8分)(1)144；(2)解图略；(3)甲校平均分为8.3分，中位数为7分，乙校成绩较好，理由略：(4)应选甲校，理由略 2L(9分)发现：相切：探究：(1)元的长为号2)PG号拓展：m∠PG=测 89 22.(9分)(1)弹簧A的单价为6元，弹簧B的单价为3元；(2)①描点连线略，是：②2=x-5;25. 23.（1分)(1)是；2W;(2)解图略：(3)BM=15或BM= 5 24.(12分)(1)证明略；(2)①顶点坐标为(-1,2)：②-2≤a≤-1；(3)①22；②m的值为2+1或√10+1. 详解详析> 3C【0折1a区5A24G【折小A0/E/c光器可岩=12m 2,故甲的算式符合题意：(5-√3)(5+3)=5-3=2，故乙的 5.C【解析】由题图①可知，与1相邻的面的数字有2,3,4,6， 算式符合题意. 1的对面数字是5：与4相邻的面的数字有1,3,5,6，.4对 4 参考答案及重难题解析·河北数学 面的数字是2，由题图②可知，2对面的数字是x,∴.x的值为4. 在第二象限没有整点，经过点Q(-1,2)时，正方形OA'B'C 6.A【解析】根据根与系数的关系得m+n=2,mm=2心 111 (即正方形OA"B"C")在第二象限有且只有一个整点（不包含 m 边界)，易得过点P时，旋转度数为45°，经过点Q时，如解图 _m+n-2=4 ①，过点Q作QD⊥x轴于点D,连接0Q,可简化为解图②，此 mn 1 时旋转角为∠C"0C,易得△QD0兰△0C"Q,.∠C"0Q= ∠0QD,QC"=D0=1,C"0=QD=2,.∠C"0C=90°-∠D0C"= 8.C【解析】原式=-(m+n)m-m）.2m:-2(m-m）,当m-n m m+n ∠C"00+00D=2∠C00.an∠C00=c7=2,∴.∠C"0Q≈ 2时，原式=-2×2=-4. 2634'.∠C"0C≈5308'，综上，当45°<a≤5308'时，正方 9.D【解析】如解图①，CD⊥AB于点D,.∠ADC=90°， 形OAB'C'在第二象限内的部分有且只有一个整点（不包含 ∠ACB=90°，.∠ADC=∠ACB,:∠A=∠A,.△ACD∽ 边界) △ABC,故A不符合题意：如解图②，：EF⊥AC,.∠AFE= 90°，.∠C=90°，∴.∠AFE=∠C,.EF∥BC,.△AEF∽ △ABC,故B不符合题意：如解图③，：BC=5,AC=7,HC=2.5, cs5光53能4an =∠ACB,.△GHC∽△ABC,故C不符合题意：如解图④，：BC D:OA -5-70-203二号瓷-C0 图① 图② 第12题解图 -号侣子产告△NC与△批不帽似放D符 13.18【解析】2=3，.22=2×2=(2)2×2=32×2=9× 2=18. 合题意. 14.4(或5)【解析】设第三根小棒的长度是x,若三根小棒可以 围成三角形，则由三角形三边关系可知10-7<x<10+7,即3<x <17,再由图中挡板高度为5，则3<x≤5，第三根小棒的长 度可以是4或5 解得/45， 图 图② 15675【解析】根据图形可知+2=7 （x+3y=2x =15,小长方 形的面积为45×15=675(cm). 16.3.11【解析】当n=12时，∠4,0A,=360 12 =30°，∴.A5A7= 3.5 2r·sin15°，∴.正十二边形的周长为C=12A,A,=24rsin15°， &m=C=24r·sinl5 =12sin15°≈12x0.259≈3.11. d 2r 图③ 图④ 第9题解图 16-3x>2(ax-2),① 17.解：2x-1 3x≤4.② 10.A【解析】由条件可知1=-1，六=。 y>y1 2 -1,:在各象限内y随x的增大而减小，当a>0时，解得a> 0得x<2,由②得x≥9 4 -1,∴a>0;当a<0时，解得a<-1.综上所述，a的取值范围是 a<-1或a>0. 不等式组的解第为}≤2。 11.B【解析】：∠GEF=a,.∠AEF=180°-∠GEF=180°-a,故 该不等式组的解集在数轴上表示是正确的. 结论①正确：：四边形ABCD是矩形，：.AD∥BC,.∠EFB=18.解：(1)甲，去括号法则：【解法提示】当括号前是负数时，去括 ∠GEF=a,故结论②正确；：∠EFB=a,由对称得∠EFB'= 号后括号内的每一项都要变号 ∠EFB=a,∴.∠BFB'=∠EFB'+∠EFB=2a,.∠1=180°- ?答题规范 ∠BFB'=180°-2a,故结论③正确；∠AEF=180°-a,由对称 (2)原方程去分母得2x+4-x+2=-2x, 得∠A'EF=∠AEF=180°-a,∠A'=∠A=90°，.∠A'ED= 移项得2x-x+2x=-2-4, ∠A'EF-∠GEF=180°-2a,.∠1=180°-2a,∴.∠A'ED=∠1 合并同类项得3x=-6, =180°-2a,∠2=∠A'GE,∠A'ED+∠A'GE=90°，.∠2+ 系数化为1得x=-2, ∠A'ED=90°，假设∠A'ED=∠2，则∠A'ED=∠2=45°，根据 检验：当x=-2时2x+4=0, 已知条件无法判定∠AED=45°，.∠A'ED=∠2不一定成 .原分式方程无解 立，故结论④不正确：：∠2+∠A'ED=90°，∠A'ED=∠1，∴. 19.(1)证明：AD∥BE,∠A=∠B, ∠1+∠2=90°，故结论⑤正确，综上所述，正确的结论有①② AC=BE, ③⑤. 在△ADC和△BCE中 ∠A=∠B, 12.C【解析】如解图①，当正方形OA'B'C'经过点P(-1,1)时 AD=BC, 参考答案及重难题解析·河北数学 5 .△ADC≌△BCE(SAS): (2)如解图②，连接FG, (2)解：由(1)知△ADC≌△BCE,∴.DC=CE, 又·CF平分∠DCE CF⊥DE,DF=EF, CF=3,DF=4...DE=2DF=8, ∴.S△E DE.CP_8x3=-12, 22 第21题解图② 即△DCE的面积是12. :EF为圆的直径， 20.解：(1)144：【解法提示】“7分”所在扇形的圆心角为360°- ∴.∠EGF=90°， 90°-72°-54°=144° (2)统计图补充如解图：【解法提示】由扇形图得，10分所占 由(1)知PF=3,EF=4,∠PFE=90°， 的百分比是0 PE=√EF2+PF=5, 0×100%=25%,则总人数为5÷25%=20（人）， .∴.cos∠EPF= PF 3 PG 3（人 得8分的人数为20x54 PE5PF 3 3 9 PG=- 乙校成绩条形统计图 *3 人数 2 拓展：tan∠PAG= 8 9【解法提示】如解图3，过点G作GH1 6 1 AB于点H,GH⊥AB,PQ⊥AB∴GH∥PQ,.LHGP=∠EPQ 3 2 0 =54,由(2)得cos∠HGP=cos54=G2_G1_3 PG-9-5,·.GH=2。 7分8分9分10分成绩/分 第20题解图 (3):两校参赛人数相等， m∠0r=54器亭m-治由超意，因边形 .甲校得9分的人数是20-8-11=1（人）. .甲校的平均分为(7×11+9×1+10×8)÷20=8.3分，中位数 PBNF为矩形，且由对称性得，ME=NF-MN-EF_6:4=1, 2 2 为7分. 36 89 .两校平均分相等，乙校成绩的中位数大于甲校的中位数， PB=NF-1,AH=AB-PU-PB=6-25-1-25 tan PAC= 从平均分和中位数角度上判断，乙校的成绩较好； 27 (4)由题意得甲校得10分的有8人，而乙校得10分的只有5 GH2527 An8989 人，应选甲校 25 2L.解：发现：相切；【解法提示】由操作①知MN⊥BC,EF为圆的 直径，由操作②知PQ∥BC,.EF⊥PO,.直线PO与圆的位 置关系是相切. 探究：(1)如解图①，取EF的中点O,则点O为圆心，连 接0G, M 第21题解图③ 22.解：(1)设弹簧A的单价为x元，则弹簧B的单价为(x-3)元， x-3 解得x=6, B 经检验，x=6是原分式方程的解，且符合题意， 第21题解图① .x-3=3 :PQ是⊙0的切线，OF⊥PQ 答：弹簧A的单价为6元，弹簧B的单价为3元： ∠EPQ=54°，∴.∠FEG=36°.∠F0G=72, (2)①描点并连线如解图，是： 又：mLE0=子 ,/N 25引 由折叠的性质可知P=子C=3。 20 15 4 1 EF=3x3=40F=2EF=2, 5 元的长为72m…2.4 0510152025x/cm 180=5π； 第22题解图 6 参考答案及重难题解析·河北数学 ②y2=x-5,25.【解法提示】由①可知，y2与x之间是一次函数 HMHM 在Rt△B'HM中，tan∠HB'M B'H 9 =tan∠B'AW=4 关系，设y2关于x的函数表达式为y2=+b,则 (10k+b=5, k=1, 解得M=12,则BM=BH+HM=3+12=15. 6=-5,为关于x的函数表达式为为=x 解得 (15k+b=10, 如解图④，当点B'落在矩形内部时，同理可得，BM= 3 5;由题意可知，在弹性限度内，弹簧B伸长后最大长度为 30cm,当x=30时，y2=30-5=25,则弹簧B在弹性限度内的 综上，BM=15或BM=5 3 最大拉力为25N. D 23.解：(1)是：2√21：【解法提示】问题1：如解图①，设点G是纸 片下边位于A点右侧的点，纸片为矩形，则BC∥AG, ∠CBA=∠BAG,由折叠的性质知∠GAB=∠CAB,∴.∠CBA= ∠CAB,..CA=CB,.△ABC的形状是等腰三角形；问题2：如 B MH 第23题解图④ 解图①，过点C作CHLAB于点，则AM=BM=4B=2,“ 24.(1)证明：令y=-x2+bx+1=0,4=b2-4×(-1)×1=b2+4>0, CA=CB=5,则CH=√CA-AT=√5-2=√2I,则SAc= 抛物线L与x轴一定有两个交点； 24B·CH= 设抛物线L,与x轴的交点的横坐标分别为x1,x2, 2×4x√2T=2W2I(cm'). ,x1·x2=-1<0, 这两个交点分别在原点的两侧： (2)解：①抛物线L,经过点(-3，n),(1,n), ∴抛物线L,的对称轴为直线x=3+-1, 2 A 第23题解图① b (2)如解图②，点E即为所求；【解法提示】以点B为圆心，以 六2x(-1)-1,解得6=-2， BC长度为半径作弧交AD于点F,作∠FBC的平分线BE,交 L,的函数表达式为y=-x2-2x+1, CD于点E. 当x=-1时，y=-(-1)2-2×(-1)+1=2, 抛物线L,的顶点坐标为(-1,2)； ②：y=-x2+bx+1与y轴交于点D(0,1), 点D关于直线x=-1的对称点为(-2,1)， :抛物线L,的开口向下， B 当-2≤x≤0时，抛物线L上的最高点是顶点(-1,2)， 第23题解图② (3)如解图③，当点B'落在矩形外部时，过点B'作B'H⊥BC 最低点是(0,1)和(-2,1)， 于点H,交AD于点N, 最高点与最低点的竖直距离为1， B' 结合图象得-2≤a≤-1： (3)解：①2√2：【解法提示】由(2)知，抛物线L,的表达式为 y=-x2-2x+1=-(x+1)2+2,顶点为(-1,2)，又：抛物线L2的 N 0 表达式为y=-(x-1)2+4,顶点为(1,4)，.最小距离为 √1-(-1)J+(4-2)7=22. ②m的值为√2+1或√⑥+1.【解法提示】在抛物线y=-(x- H M 1)2+4=-x2+2x+3中，令y=0,得-x2+2x+3=0,解得x1=-1, 第23题解图③ 由题意得AB=AB'=NH=5,∠AB'M=∠B=90°， 2=3,A(3,0),C(-1,0),令x=0,得y=3,B(0,3),设直 线AB的表达式为y='x+n,将点A,B的坐标代入得 .点B'恰好落在BC的垂直平分线上， (3k'+n=0, k'=-1, 1 .AN =BH=- 2AD=2BC=3, 解得 直线AB的表达式为y=-x+3, n=3, n=3, 在Rt△AB'N中，B'N=√AB-AN=4. 直线1∥AB,且直线1经过点C,.直线I的表达式为y=-x-1, tan∠BAN=B'N4 设直线1与抛物线L,的对称轴交于点K,当x=1时，y=-1-1 AW3,B'"H=4+5=9. =-2,.K(1,-2),易得四边形MNQP是矩形，设M(m,-m+ .∠B'AN+∠AB'N=90°，∠AB'N+∠HB'M=90°， 2m+3),则N(m,-m+3),∴.P(1,-m2+2m+3),Q(1,-m+3), ∴.∠HB'M=∠B'AN. 当1<m<3时，若点P在直线AB上，即点P为直线AB与直线 参考答案及重难题解析·河北数学 7 1 x=1的交点，：Sa0=25元p-m+2mt3=-1+3,解得 √/10+1. m1=-√2+1（舍去），m2=√2+1，此时Q(1,2-√2)，点Q在点 K的上方，m=2+1; 当3<m<4时，如解图①，点V的纵坐标-1<-m+3<0,∴.点Q 在点K的上方，四边形MWQP夹在直线AB与直线l之间 的部分的面积大于四边形MWQP面积的一半： 当4<m<5时，-2<-m+3<-1,∴.点Q在点K的上方，如解图 ②，设直线1与MN交于点S,则S(m,-m-1),.MS=-m-1- (-m2+2m+3)=m2-3m-4,QK=-m+3-(-2)=-m+5,由题意 得MS=QK,.m2-3m-4=-m+5,解得m1=1-√10（舍去）， m,=1+√10.当m>5时，易得点Q在点K的下方，则四边形 MWQP夹在直线AB与直线1之间的部分面积小于四边形 图① 图② MNQP面积的一半.综上，点M的横坐标m的值为2+1或 第24题解图 3.2025年河北真题·新素材新考法变式卷（二） 快速对答案 、选择题（每小题3分，共36分） 1.B2.D3.D4.D5.C6.A7.C8.B9.B10.D11.D12.B 二、填空题（每小题3分，共12分） 13.114.7015.516.23 三、解答题（共72分） 17.(7分)(1)原式=2025：(2)原方程无解. 18.(8分)(1)计算结果为-3：(2)所指区域的数是3：(3)5. 19.(8分)(1)大树AB的高度为6.4m:(2)影子AD的长度约为6.9m. 20.(8分)(1)D的人数错误，理由略：(2)众数为5，中位数为5； (3)①第一步：②正确的平均数为5.3.估计这260名学生共植树1378棵 21.(9分)(1)3x+4y+5z的值为18：(2)共需要450元. 2(0分)1)证明略：(2)©0的半径为3cm:(3)N-号历cm 23.(11分)a.是；b.(1)=,是；(2)四边形ABEH是“筝形”，理由略：(3)至少需要2400cm2的筝形纸面： (4)作图略：内切：筝形；筝形的内切圆与对角线相交，四个交点形成的图形仍为筝形. 24(12分)(1)P(0.1),抛物线C最高点的坐标为(4.5)：(2)①接鞋点坐标为(8，)：2G,的解折式为=子(x-6)+2: (3)平移过程略；最短距离为√3；(4)3≤0A≤4. 详解详析> 2.D【解析】：∠A+∠2=180°，ABFD(同旁内角互补，两直E,对应点C与点F的两直线交于点O,.直线AD一定经过点 线平行)，.A能判定：.·∠A=∠3，.AB∥FD(同位角相等，两 O,故A选项正确，不符合题意：由题意知△ABC∽△DEF,无法 直线平行)，.B能判定；：∠1=∠4，AB∥FD(内错角相等， 判定△ABC∽△DFE,故B选项不一定正确，符合题意：由题意 两直线平行)，C能判定；：∠1=∠A,AC∥ED,不能证出 知，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，.BC∥ AB∥FD,.D不能判定 EF,△OBC△OEF,OB:OE=BC:EF.DE=2AB, 6.A【解析】根据题意得△=22-4m>0,解得m<1. △ABC与△DEF的相似比为1：2，.BC:EF=1:2,.OB:OE 7.C【解析】根据题意，该点落入圆内的概率为”：1°.云 =1:2,△OBC与△OEF的相似比为1：2，∴.OB=BE,△OBC与 2=4 △OEF的面积比为1：4，.S阳边形BcFE=3S△0c,故C,D选项正 &B【解析1由题意得3：2x:2y=,12-6如果把分式 确，不符合题意 2x+2y2(x+y)x+y1 3中的x,y同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原 1L.D【解析】四边形ABCD是矩形，.AD∥BC,.∠CAD= x+y ∠ACB,:∠ACB=m°，.∠CAE=∠ACE=m°，∴.∠DCE=90° 来的2倍 2∠ACE=90°-2m°，将三角形CDE沿BC再次折叠后，∠ACD 9.B【解析】：·△ABC与△DEF是位似图形，经过对应点B与点 =∠DCE-∠ACE=90°-2m°-m°=90°-3m°. 8 参考答案及重难题解析·河北数学