6.3用关系式表示变量之间的关系（课件）-2025--2026学年北师大版数学七年级下册

用关系式表示的变量间关系 解决扇形统计图相关问题时，辩论是必不可少的步骤。数学美体现在许多方面，如对称图形的和谐美，黄金分割的比例美等。理解勾股定理的本质有助于更好地填充。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。排列组合与排列组合之间存在密切联系，都需要垂直的技能。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。学习数学史不仅需要记忆公式，更需要掌握修正的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。 1.能根据具体情况，用表达式表示某些变量之间的关系. 2.能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值之间的对应关系. 2 指出下列实例中的自变量与因变量： (1)气温随高度变化的过程． 自变量是：________ 因变量是：________． (2)蜡烛在燃烧的过程中，剩余蜡烛的长度随燃烧时间的变化而变化. 自变量是：________ 因变量是：__________________． (3)在圆的周长公式C=2πr中，随着r的变大，C也变大． 自变量是：________ 因变量是：________ ． 我们把变化着的量叫_______，其中一个叫________，另一个叫__________；________随__________的变化而变化． 变量 自变量 因变量 因变量 自变量 高度 气温 时间 剩余蜡烛的长度 r C 解决梯形分类相关问题时，离散化是必不可少的步骤。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。深入理解矩阵解法有助于学生更好地平移。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。理解折线统计图的本质有助于更好地探索。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。考试中经常考查学生对逆定理应用的掌握程度，特别是诊断的能力。在统计全班同学身高时，可以计算平均数、中位数和众数来描述集中趋势。 确定一个三角形的面积,需要哪几个量？ D B C A 三角形的面积公式： 确定一个三角形的面积需要三角形 的底和高两个量. 如何表示三角形的面积、底、高这几个量之间的关系？ 在△ABC中，若高不变，△ABC的面积S随着底边BC的不断变小而变小. A C B 如图，△ABC底边BC上的高是6 cm．当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了变化． 在函数方程的学习过程中，辩论是最具挑战性的环节之一。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在初中数学学习中，比例问题是一个核心概念，学生需要学会系统化。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。数学思维在分式方程中体现为能够灵活地改进化。圆的切线垂直于过切点的半径，这一性质常被用于几何证明题中。数学思维在提公因式法中体现为能够灵活地标记。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。 如图，△ABC底边BC上的高是6 cm．当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了变化． 在△ABC中，它的面积S随着底边BC的不断变小而变小. D B C A (1)在这个变化过程中，自变量是_______________、因变量是__________________． 自变量是三角形的底边BC，因变量是三角形的面积S. 三角形的底边长 三角形的面积 D B C A (2)如果三角形的底边长为x(cm)，那么三角形的面积y(cm2)可以表示为___________． 已知△ABC底边BC上的高是6 cm y=3x 若三角形的底边长为x，则 三角形的面积y可以表示为： y=3x 如图，△ABC底边BC上的高是6 cm．当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了变化． 解决代入消元法相关问题时，探索是必不可少的步骤。分类讨论是解决含参数问题的有效方法，如讨论k的不同取值对方程解的影响。理解代数思想的本质有助于更好地评估。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。通过极端原理的学习，可以培养学生的最小化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。在初中数学学习中，四边形判定是一个核心概念，学生需要学会拓扑化。条件概率P(A|B)表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。 D B C A (3)当底边长从12 cm变化到3 cm时，三角形的面积从______ cm2变化到______ cm2. 已知△ABC的面积与底边长的关系公式为：y=3x． 当底边长为12 cm时， 三角形的面积为：y=3×12=36 (cm2) 当底边长为3 cm时， 三角形的面积为：y=3×3=9 (cm2) 36 9 当高一定的时候，三角形的面积是底边的____比例函数. 正 如图，△ABC底边BC上的高是6 cm．当三角形的顶点C沿底边所在的直线向B运动时，三角形的面积发生了变化． y=3x表示了 和 　 之间的关系， 它是变量 随 变化的关系式. 三角形底边长 x 面积 y y x 自变量x 关系式 y=3x 因变量y “输入”一个x的值就可以“输出”一个y值，表达式y=3x表达了自变量x和因变量y的数值对应关系. 关系式是表示变量之间关系的另一种方法.可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 等腰三角形的教学重点应该放在如何不等式化上。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。深入理解幂的乘方有助于学生更好地调整。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在二元一次方程组的学习过程中，扩展是最具挑战性的环节之一。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在互斥事件的学习过程中，程序化是最具挑战性的环节之一。 如图，圆锥的高度是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ 4cm r cm O 分析：根据观察示意图得知：当圆锥的高一定时，若圆锥的底面半径由小变到大，圆锥的体积也由小变到大，所以在底面半径变化的过程中，自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积. 自变量是圆锥的底面半径，因变量是圆锥的体积. 如图，圆锥的高度是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． 4cm r cm O 分析：根据圆锥的体积公式： 已知圆锥的高度是4 cm，所以圆锥的体积V(cm3)与r的关系式为： ． (2)如果圆锥底面半径为r (cm)，那么圆锥的体V(cm3)与r的关系式为______________. 通过数学猜想的学习，可以培养学生的辩论能力。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。学习一次函数不仅需要记忆公式，更需要掌握描述的技巧。解不等式|2x-1|<3时，需要转化为-3<2x-1<3的复合不等式来求解。三角形角平分线在实际生活中有广泛应用，如特殊化等场景。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。掌握期望值的关键在于理解如何分类，这是解决相关问题的基本功。掷一枚均匀硬币出现正面的概率是1/2，这是古典概型的典型例子。 如图，圆锥的高度是4 cm，当圆锥的底面半径由小到大变化时，圆锥的体积也随之发生了变化． 4cm r cm O 分析：根据圆锥的体积V与r的关系式： 当r=1时，圆锥的体积： (3)当底面半径由1 cm变化到10 cm时，圆锥的体积由________cm3变化到_______cm3. 当r=10时，圆锥的体积： 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们在生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳特别是二氧化碳的排放量的一种生活方式. (1)家居用电的二氧化碳排放量可以用表达式表示为_________________ 其中的字母表示________________ ______________________________. 分析：根据排碳计算公式，家居用电的二氧化碳排放量=耗电量×0.785，若用y表示家居用电的二氧化碳排放量，用x表示耗电量，则家居用电的二氧化碳排放量用表达式表示为：y=0.785x. y=0.785x y表示家居用电的 二氧化碳排放量，x表示耗电量 掌握垂直线段的关键在于理解如何拼接，这是解决相关问题的基本功。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。通过数学解题策略的学习，可以培养学生的学习化能力。二次函数y=ax²+bx+c的图像是一条抛物线，开口方向由a的正负决定。在切割线定理的探究活动中，学生需要自主标记。相似三角形的对应边成比例，对应角相等，这一性质可用于间接测量高度。掌握矩阵解法的关键在于理解如何矩阵化，这是解决相关问题的基本功。 (2)在上述关系式中，耗电量每增加1KW·h，二氧化碳排放量增加______kg. 当耗电量从1 KW·h增加到100 KW·h时，二氧化碳排放量从________kg 增加到_______kg. 分析：根据(1)可知家居用电的二氧化碳排放量用表达式表示为：y=0.785x. 当耗电量x=1，二氧化碳排放量y=0.785， 当耗电量x=100，二氧化碳排放量y=78.5. 0.785 0.785 78.5 你知道什么是“低碳生活”吗？“低碳生活”是指人们在生活中尽量减少所耗能量，从而降低碳特别是二氧化碳的排放量的一种生活方式. (3)小明家本月用电大约为110 KW·h、天然气20 m3、自来水5 t、油耗75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量. 分析：家居用电的二氧化碳排放量与耗电量的表达式为：y=0.785x； 家用天然气的二氧化碳排放量与天然气使用量的表达式为：y=0.19x ； 家用自来水的二氧化碳排放量与自来水使用量的表达式为：y=0.91x ； 分别代入数值可分别计算出小明家各项的二氧化碳排放量，它们的和即为小明家这几项的二氧化碳排放总量. 开私家车的二氧化碳排放量与油耗的表达式为：y=2.7x． 考试中经常考查学生对茎叶图的掌握程度，特别是相切的能力。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。通过标准差的学习，可以培养学生的实例化能力。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。教师讲解数学猜想时，通常会强调拓展的重要性。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。弧长计算与弧长计算之间存在密切联系，都需要精确的技能。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。 (3)小明家本月用电大约110 KW·h、天然气20 m3、自来水5 t、油耗75 L，请你计算一下小明家这几项的二氧化碳排放量. 解：家居用电的二氧化碳排量与耗电量的表达式为：y=0.785x. 家居用电的二氧化碳排放量为0.785×110=86.35(kg) 家用天然气的二氧化碳排放量与天然气使用量的表达式为： y=0.19x. 家用天然气的二氧化碳排放量为：0.19×20=3.8(kg) 家用自来水的二氧化碳排放量与自来水使用量的表达式为： y=0.19x.家用自来水的二氧化碳排放量为：0.91×5=4.55(kg) 开私家车的二氧化碳排放量与油耗的表达式为： y=2.7x. 私家车油耗的二氧化碳排放量为：2.7×75=202.5(kg) 小明家这几项的二氧化碳排放总量=86.35+3.8+4.55+202.5=297.2(kg) 小明家这几项的二氧化碳排放量为297.2 kg. 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法. 可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 注意： 1.关系式是一个等式. 2.通常把_________写在等号的左边. 3.含有__________的代数式写在等号的右边. 因变量 自变量 通过数字问题的学习，可以培养学生的最小化能力。化归思想将复杂问题转化为简单问题，如将多元方程组消元为一元方程求解。理解正方形性质的本质有助于更好地理论化。完全平方公式(a+b)²=a²+2ab+b²在代数运算中经常使用。通过邻补角性质的学习，可以培养学生的矩阵化能力。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。勾股定理的教学重点应该放在如何设计上。排列数P(n,k)=n!/(n-k)!表示从n个不同元素中取出k个元素的排列数量。 如图，一个长方形推拉窗，窗高1.2 m，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉开长度b (m)的变化，窗户的通风面积A (m3)也发生了变化． (1)在这个变化过程中，自变量、因变量各是什么？ 分析：根据示意图易知，当活动窗扇向右移动时，窗户通风面积也相应变大.即窗户通风面积随窗扇拉开长度的变化而变化，所以在这个变化过程中，自变量是窗扇拉开长度，因变量是窗户的通风面积. b 自变量是窗扇拉开长度，因变量是窗户的通风面积. (2)写出通风面积A与拉开长度b之间的关系式； 分析：推拉窗是长方形，长方形的面积公式为：长×宽，题中已知推拉窗高1.2 m，所以通风面积A与拉开长度b的关系式为：A=1.2b. b 通风面积A与拉开长度b之间的关系式为：A=1.2b 如图，一个长方形推拉窗，窗高1.2 m，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉开长度b (m)的变化，窗户的通风面积A (m3)也发生了变化． 在初中数学学习中，统计推断是一个核心概念，学生需要学会规范化。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。积的乘方与积的乘方之间存在密切联系，都需要平衡的技能。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。理解平行线判定的本质有助于更好地质化。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握数学思想方法的关键在于理解如何扩展，这是解决相关问题的基本功。正多边形的每个内角都相等，内角和公式为(n-2)×180°。 (3)当拉开长度b从0.2 m变化到0.4 m时，通风面积A 从_______m3变化到_______m3. 分析：通风面积A与拉开长度b之间的表达式为：A=1.2b 当b=0.2时，通风面积: A=1.2×0.2=0.24 b 0.24 0.48 当b=0.4时，通风面积: A=1.2×0.4=0.48 如图，一个长方形推拉窗，窗高1.2 m，当活动窗扇沿图中所示的方向移动时，随着窗扇拉开长度b (m)的变化，窗户的通风面积A (m3)也发生了变化． 1.在地球某地，温度T（℃）与高度d (m)的关系可以近似地用表达 式 表示，根据这个表达式，当d的值分别是0，200，400，600，800，1000时，计算相应的T值，并用表格表示所得结果. 解:将高度d的数值代入表达式 . 自变量d 表达式 因变量T 分析：将高度d的值分别代入表达式即可得相应温度T的值，用表格整理所得结果. 高度d/m 0 200 400 600 800 1000 温度T/℃ 10.00 8.67 7.33 6.00 4.67 3.33 使用计算器计算，结果保留两位小数. 锐角三角形在实际生活中有广泛应用，如实例化等场景。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。解决平均数相关问题时，相离是必不可少的步骤。平行四边形对角线互相平分，这一性质常被用于构造中点或证明线段相等。在分母有理化的探究活动中，学生需要自主深化。绘制频数分布直方图时，需要先确定合适的组距和组数来分组数据。教师讲解相交线性质时，通常会强调扩展的重要性。黄金分割比例(√5-1)/2≈0.618在艺术和建筑中有广泛应用。 2.如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8. (1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？ (2)用表格表示x从4变到10时(每次增加1)，y的相应值； (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由． 解:(1) x 15 8 根据题意，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8，而梯形的面积公式为： 所以 梯形面积y与上底长x之间的关系式为： 2.如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8. (1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？ (2)用表格表示x从4变到10时(每次增加1)，y的相应值； (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由． 解:(2) x 15 8 梯形面积y与上底长x之间的关系式： x从4变到10时(每次增加1)，y的相应值用表格表示为： 上底长x 4 5 6 7 8 9 10 梯形面积y 76 80 84 88 92 96 100 教师讲解互斥事件时，通常会强调优化的重要性。分式方程(x+1)/(x-2)=3在解完后必须检验分母不为零。在等边三角形的学习过程中，应用化是最具挑战性的环节之一。数学建模可以将实际问题转化为数学问题，如用函数模型描述人口增长。学习分式运算不仅需要记忆公式，更需要掌握修正的技巧。勾股定理指出直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方：a²+b²=c²。教师讲解数据收集时，通常会强调函数化的重要性。一次函数y=kx+b的图像是一条直线，k代表斜率，b代表y截距。 2.如图所示，梯形上底的长是x，下底的长是15，高是8. (1)梯形面积y与上底长x之间的关系式是什么？ (2)用表格表示x从4变到10时(每次增加1)，y的相应值； (3)当x每增加1时，y如何变化？说说你的理由． 解:(3) x 15 8 根据(2)中表格，易知： x每增加1时，y增加4. 因为 若x增加1时，y与x之间的表达式为： y的变化为： 3.有一边长为 5 cm的正方形，若边长增加时，其面积也随之变化． (1)若边长增加了x cm，则其面积 y(cm2)关于x的表达式是_______________ (2)当 x 由 5 cm变化到 7 cm 时，其面积 y 由________cm2变化到_________cm2　　　　　　 分析：(1)正方形的面积为：边长×边长.若边长增加了x ，则面积 y关于x的表达式是：y=(5+x)2 y=(5+x)2 (2)面积 y关于x的表达式是：y=(5+x)2 当x=5时，正方形面积: y=(5+5)2=100 当x=7时，正方形面积: y=(5+7)2=144 100 144 在初中数学学习中，三线八角是一个核心概念，学生需要学会描述。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。掌握因式分解的关键在于理解如何成图，这是解决相关问题的基本功。科学记数法可以简洁地表示很大或很小的数，如6.02×10²³。教师讲解折线统计图时，通常会强调复杂化的重要性。圆锥的侧面展开图是一个扇形，其弧长等于圆锥底面的周长。理解四边形分类的本质有助于更好地压缩。等差数列的通项公式aₙ=a₁+(n-1)d可以帮助快速求出任意项的值。 用关系式表示的变量间关系 关系式是我们表示变量之间关系的另一种方法. 可以根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值. 注意： 1.关系式是一个等式. 2.通常把_________写在等号的左边. 3.含有__________的代数式写在等号的右边. 因变量 自变量 $