广西贵港市2026届高三下学期自主检测练习数学试题

高三自主检测练习 数学 参考答案 (考试时间：120分钟满分：150分) 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的。 题号 1 2 3 5 6 7 8 答案 C A D A B C B D 1.解：易得A=[-1,2],A∩B={0,1,2},选C. 2解：当-0号-1+2，日=，越A 3.解：展开式的通项 In=C2(岁=(y2Cr片，令6-多=0，得=4， 则展开式的常数项为I,=2C。=60,选D. 4.解：原点0到直线的距离d-方万，则弦长H=2--2万，选4. 5.解：由三角函数的定义可得，sina=25 cosa=⑤ m孕-号ma-cau-，选B. 10 6.解：由正态分布密度曲线的对称性得，a+b=2,即b=2-1,根据基本不等式， a+b=a+2-1≥2√2-1，当且仅当a=√2，b=√2-1时等号成立，选C. 7.解：按照每个元素除以3的余数，将集合划分为3个子集： A。={3,6,9,12,15,18,A1={1,4,7,10,13,16,A={2,5,8,11,14,17}, 则三数之和为3的倍数的取法共有C+C+C+CCC=276种： 当三个数可构成等差数列时，对等差数列的公差d进行分类统计：当d=1时，有16种；d=2时， 有14种；d=3时，有12种；：d=8时，有2种：共有2+1O×8=72种不同的等差数列， 由于三数构成等差数列是三数之和为3的倍数的充分不必要条件，所以对应的概率为76=3， 选B 高三数学第1页共9页 8.解：取AB的中点C(-1,),由极化恒等式得：APB=PC-BC=PC-2. 设N,n）,则点P的轨迹方程为：y2=x-受，即2-2y-h血x-+2-0, 2 此时pcln=x-2 2V2 设函数g()=lnx-x-2,g()=1-1,易得函数g(w)在区间(0，)上单调递增，在区间1，+∞) 上单调递诚，所以g9≤0=-3，即PC血32 2W2 4 AP历=Pc-2≥是-2=8选D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BCD ABD BC 9.解：f6)=2 sinxo0sx-2cos2x+1=sin2x-c0s2x=V2s(2x-平)， 最小正周期T=2T=π，A选项错误； 2 令2x-牙=k红+受，得x=+否，kZ.当k=-1时，x=-及，B选项正确： 8 8 f(x+贺)=V22(x+)-平]=V反sin2x,显然是奇函数，C选项正确： 令2r-牙<2x-牙<2π+受，解得：k红-晋<x<机+怒，太e2,当k=0时， 函数f()在区间（号，）上单调递增，D选项正确： 正确选项：BCD, 10.解：易得EF与CD平行，且EF不在平面ACD内，所以EF与平面ACD,平行，A选项正确： 联结AB,DB,因为EF⊥AB,AD⊥面ABBA,EF⊥AD,AB,∩AD=A, 所以EF⊥面AB,D,即EF⊥BD,B选项正确： 假设EF⊥面AB,C,则EF⊥BC,因为B,C⊥AB,EF∩AB=F, 则B,C⊥面ABBA,产生矛盾，所以假设不成立，C选项错误： 显然四边形EFD,C为等腰梯形，易得EF=√2，D,C=2√2，EC=FD=√5， 高三数学第2页共9页 等腰梯形的高A-5-(号今-兰，其面积8-52②)9-号D选项正确： 2 正确选项：ABD. 11.解：问题转化为椭圆上存在一点B到点A(t,O)的距离最短，且点B不在x轴上. 设，)，则答+空=1. 1a4=x-0+=-2x++4-号5=5，-20+4-f 由于-2W2≤x。≤2W2,当21≥2W2,即1≥√2时，只有当点B与右顶点重合时，BA达到最小 值，不符合题意； 若0<t<√2，当x=2t时，BA达到最小值，符合题意，A选项错误： r=BAn=V4-t,A=2+t,AF=2-t,所以AEAF=r2，B选项正确： 要使得四边形ABC为菱形，只需1,21,2构成等差数列，即+2=4，解得1=号， C选项正确； 点B坐标(2t,V4-2),SA4ac=tW4-2P=√-2+4=V-2(t2-1)2+2,当t=1时，SAaC 取到最大值√2，D选项错误。 正确选项：BC. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.解：由题意得：49+(-3)+m+6+7=m,即m-5+6=0,解得m=2或m=3,经检验， m=3不符合题意，所以=2. 13.解：由等比中项的性质可得：T,=4444,=G=4=28, 所以1og2T,=1og2218=18. 4.解：)=，易得函数/)在区间0,9上单调递增，在区间e,+四)上单调递减， 当x>1时，f)>0,当x=e时，函数取到最大值f(e)=。,简图如下： y=b A B D 高三数学第3页共9页 设C(,0),D(k,0,则0<x<e<,b=h生_血-血-血五， x x2 x-x SAaDc=(xx)b=Inx -In=In(2)=In3, 即=35，则有s==3),解得5=5，此时b=53。 Xx 3x 6 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.(13分) 解： (L)由正弦定理得：5cosA+5cosB_2sinC sin A Sin B sin B …………………2分 即√5sin(4+)-2sinC sin Asin B sin B' …………3分 即3sinC-2sinc sin Asin B sin B 因为sinB≠0，sinC≠0所以2sinA=√3， .5分 解得nA=,又因为A为钝角，所以A=子 2 …………6分 (2)由余弦定理得： a2=b2+c2-2bccosA =b2+c2+bc ……7分 a2=(b+c)2-bc=64-bc, 8分 由基本不等式得bc≤(b生)=16，：=64-bc≥48， 10分 因为a<b+c=8,即43≤a<8, ………………… 11分 又因为a为正整数，所以a=7, 12分 此时bc=64-a=15,Sec=号besin d=分×15x9-155 4 ...13分 16.(15分) 解： (1)函数f(x)的定义域(0，+∞)， …………,1分 当a=2时，f(x)=xnx-2(x-1),f(x)=l1nx-1, .2分 f(①)=0，切点坐标(1,0)， 3分 切线的斜率k=()=-1, 4分 高三数学第4页共9页 由点斜式得，切线方程为：y=-(x-1),即x+y-1=0. 6分 (2)f(x)=x+1-a, 7分 令f(x)=0,解得x=ea-l, 8分 易得函数f(x)在区间(0，ea-)上单调递减，在区间(ea-1,+o)上单调递增， ....10分 若e-1≤1，即a≤1时，函数f(x)在区间[1，+o)上单调递增，此时f(x)≥fI)=0, 符合题意： .12分 若ea1>1,即a>1时，函数f(x)在区间(1，ea-1)上单调递减，此时f(x)<fI)=0, 不符合题意； ...............14分 综上所述，a的取值范围为（∞，]. 15分 17.(15分) (1)证明：设AB的中点为O,联结OP,OE. 因为三角形PAB为等边三角形，所以AB⊥OP, .1分 又因为AB⊥AC,OE∥AC,所以AB⊥OE, 2分 OP∩OE=O,AB⊥面OPE, 3分 PEc面OPE,所以AB⊥PE. 4分 (2)过点P作OE的垂线，设垂足为M, 由(I)得，AB⊥面OPE,则AB⊥PM,而PM⊥OE,AB∩OE=O, 所以PML面ABC,以O为坐标原点建立空间直角坐标系， …5分 ∠P0M=a=号，21=P0sma=号，oM-0-cosa-号，即r0,号3， 2 11.00,80.0.0.c1,25,,-a.39多： 店=(2,0,0，严=，，多，设平面AB法向量n=(,少，) ..7分 n4B=0 「2x=0 即 .8分 nAP=0 +9+多：=0得i=0,3,-少， 设直线CP与平面PAB夹角为0，则sin0 n.CP 3W10 10 ….9分 (3)过点M作BC的垂线，设垂足为F,连接PF, 易得PF⊥BC,即∠PFM=B. ………………10分 PM=√3sin,OM=√3cosa,ME=OE-OM=√5-√3cos, 高三数学第5页共9页 Mw-=支ME-5-o,mB-器-2a 2 …11分 1+ 1 cosa1-cosa2-cosa 4tana'tan B 4sina 2sina 4sina …12分 因为V5na+cosw=2sin(a+爱≤2，所以2-cosa≥5sna, ····…。。。 13分 又因为a∈(0，，sina>0,2-cosL≥5， 14分 sin a 1 1- 所以4g中amB4in。之生，当且仅当a=罗时等号成立 15分 A 18.(17分) 解： (1)易得a=1,c=2,b2=c2-a2=3, …………………2分 所以双曲线的标准方程为：x2_父=1. 3 3分 回设P,),则-号=1 当Ap-号时，将无=2代入-苦-1得，%=3， 比时监线的率为之司1 ………5分 当∠APF=牙时，亚=(x+1,),P=(。-2,), 6分 APFP=x6-x。-2+y6=0, 7分 x6-x0-2+6=0 联立方程： ，即45-x-5=0,解得= ……··。，,。 8分 高三数学第6页共9页 3W5 代入得：为=35，此时直线4P的斜率为 4 3 9分 4 (1) 5 3, 综上所述，直线AP的斜率为1或 3 ………………………10分 ®)易得直线4方程为：。产+0，令=宁符@哈， ....11分 设三角形OAF外接圆圆心M的坐标为（号，m,则有AM=Mg,即 9 3yo 2x+2川 …12分 化简得： 33_9(x-)33x,-6 x+14(x。+1)244(x。+1)242(+)' 即：为m咨-3， ……………14分 币=(x-2,),丽=号，-m, ”··…”··”·············， 15分 F2M证=(x-2)-m=0,即FPLM, 16分 即直线PF与三角形QAF的外接圆相切. ……17分 Q 0 M 19.(17分) 解： a 12 3 6 lazb ()①当n=1时，a,+G=回3=方，根据向量三角形加法法则，画出a, 高三数学第7页共9页 此时6，=号，可=1. 当=2时，a-a,=ab=五，沿着方的正方向再构造一个b,根据向量三角形减法法则画出a,, 此时0，-云 …………………………4分 ② 当n为奇数时 当n为偶数时 din+a=dnib dimtdn =dznb 2n-1 (2n d2n l2m+1 02n 02m 02n+1净 a2n-1b aznb 02m-1+202n=元 02m=202m+1 ....6分 易得：0+40，m=元，即01=0十军 ...7分 因为0号号号否￥0，所以数列{01}提首项为否，公比为号的等比数列， 即8，苦-斧(，得4号+（号+学（早川： 根据81+20。=7得：4.引2-号（←宁门. .9分 -号() n为奇数 综上所述，8n的通项公式为：8n= 10分 23(可 n为偶数 (2)依据相同的推理过程，可得02m关于日，的通项表达式为： 8.=8-， 11分 由正弦定理得： sin 2n-1 sin(π-82n)_ sinen, 即对任意的n∈N, a2n-1 sin e2n sin日2m+l sinn+ a+1 siθn 易得 a sine 13分 sin a sin e 即a= 品可-m品 sin 当a=1时， 8=1,即8=8，得8=答-号Q-罗X-,解得： sin e2n 高三数学第8页共9页 a-可6 ....15分 1+ 显然<，6> 51 64+b.=22+0 ....16分 当加为偶数时，8<督号； 当m为奇数时，<誓"6<誓”晋-2 综上所述，对任意n∈N,S<2匹 5 ………………………17分 高三数学第9页共9页高三自主检测练习 数学 (考试时间：120分钟满分：150分) 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改 动，用橡皮擦千净后，再选涂其他答案标号。 3,回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的 1.已知集合A={xx2-x-2≤0}，B={0,1,2,3},则A∩B=() A.{0, B.{1,2 C.{0,1,2 D.{0,1,2,3} 2.若复数z满足z1-)=3+i,=() A.5 B.2 C.5 D.1 3.(2x-二)展开式中的常数项为() A.-15 B.15 C.-60 D.60 4.直线1：x+y-2=0与圆0：x2+y2=4相交于A,B两点，则AB=() A.2√2 B.2 C.√ D.1 5.若角c的终边经过点（Q,2),则sin(a-孕)=() A.-0 10 B把 C.-3o D.30 10 10 6.已知随机变量X服从正态分布X~N1,o),若P(X≤a)+P(X≤ab)=1,其中a>0,则a+b的 最小值为() A.2 B.√2+1 C.22-1 D.2W2 7.从集合1,2，·，18任取三个不同的数，当三数之和为3的倍数时，这三个数可构成等差数 列的概率为() A者 B.8 c.8 D. 数学第1页共4页 8.已知A(-2,0),B(0,2),点M是直线AB上的任意一点，点N在曲线f(x)=nx上，点P是线 段MN的中点，则PA·PB的最小值为() A多 B.-1 C. D.名 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题 目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.已知函数f(x)=2 sinxcosx-2cos2x+1,则下列说法正确的是() A.最小正周期为2元 B。X=-受是对称轴 C.函数f(+)是奇函数 D.函数心)在区间（晋，爱）上单调递增 10.正方体ABCD-AB,CD,的棱长为2，点E,F分别为棱AB,AA1的中点，则有() D A.EF与平面ACD,平行 A B.EF⊥B,D C.EF⊥面AB,C D.四边形FD,C的面积为号 A 山.精酒号+号-1的左右焦点分别为R,名，圆4：《-+少=户0>0与椭圆相切于两个不 同点B,C则() A.1的取值范围为(0,2) B.4FIAF=r2 C.若四边形ABRC为菱形，则1=号 D.三角形ABC面积的最大值为√5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.一组按照从小到大排列的数据-4，-3，m2,6,7,其平均数为m,则m=一 13.等比数列{a,}的前n项之积为T。,若a,=4,则1og,T,=一 14.直线y=b与函数f田)=的图像交于A,B两点，过点A,B分别作x轴的垂线，垂足为C, D,当矩形ABDC的面积为h3时，b=一 数学第2页共4页 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15,(13分) 在△MBC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,5cos4+5c0sB_2si血C,且A为钝角， a b b (1)求角A的大小： (2)若b+c=8,a为正整数，求△ABC的面积， 16.(15分) 已知函数f(x)=xlnx-a(x-1). (1)当a=2时，求函数f(x)在x=1处的切线方程： (2)当x≥1时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围. 17.(15分) 在三棱锥P-ABC中，等边三角形PAB的边长为2，BC-4,AB⊥AC,点E为BC的中点， 设二面角P-AB-C,P-BC-A的平面角分别为a,B,a∈0，受， (1)证明：AB⊥PE: (2)当a=号时，求直线CP与平面PMB夹角的正弦值： (3)求ma+过的最小值， 数学第3页共4页 18.(17分) 双曲线x2y2 言1(a>0,b>0)的左顶点为4-l,0),右焦点为F2,0),点P是双曲线右支 上的任意一点，且在第一象限，设直线4AP与直线x=号的交点为2， (1)求双曲线的标准方程： (2)当三角形APF为直角三角形时，求直线AP的斜率： (3)证明：直线PF与三角形OAF的外接圆相切. 19.(17分) 向量列{an}满足：对任意的neN,都有a-(-1)a。=a,b,其中i为单位向量，问=1.记 向量a,与b的夹角为0， (1)当8=号时， ①在右图中画出a2，a,并直接写出62,6的值： ②求0n的通项公式。 (2)当8∈(0，)时，对任意的neN',将a=1所对应日的值依次排列形成数列{亿，}，记 数列6，)的前n项和为S证明：三，<2。 数学第4页共4页