湖北省部分省级示范高中2025-2026学年下学期中测试高二数学试卷

高二数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上， 1.若n为正整数，则(n+4)(n+5)…(n+2026)等于() A.A42026 B.A24306 C.A24026 D.A22026 2.设1im △x-0 f(2+△)-f(2=-1,则曲线y=f(x)在点(2，(2》处的切线的斜率为（） 2△x A.-1 B.-2 C.1 D.2 3.已知数列{an}是等比数列，Sn为前n项和，若a1+a2+a3=3,a4+a+a。=9,则S,=() A.39 B.36 C.27 D.12 4.2026年泡泡玛特旗下的P“星星人”突然爆火，现有5个不同造型的“星星人”。把这5个 “星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，共有（)种不同的装法 A.180 B.150 C.100 D.90 5.已知函数f(x)=2e+a(x-4),a∈R,若f(x)在[-1，]上不单调，则a的取值范围为() [2 6.某生物兴趣小组在显微镜下拍摄到一种细菌的繁殖轨迹，如图1通过观察发现，该细菌繁殖 符合如下规律：①细菌沿直线繁殖一段距离后，就会以该直线为对称轴分叉（分叉的角度约为 60°)，再沿直线繁殖，…；②每次分叉后沿直线繁殖的距离约为前一段沿直线繁殖的距离的一 半.于是，该组同学将整个繁殖过程抽象为如图2所示的一个数学模型：细菌从圆形培养皿的中 心0开始，沿直线繁殖到A1,然后分叉向A,1与A2方向继续繁殖，其中∠4,14142=60°，且A1421 与44关于04，所在直线对称，41=A4=041若04：=4m,为保证细离在紫殖过 程中不会碰到培养皿壁，则培养皿的半径r(r∈N,单位：Cm)至少为() 高二数学第1页共4页 分叉 培养皿壁 图1 图2 A.6 B.7 C.8 D.9 7.为了迎接即将到来的端午节龙舟赛，某训练组进入备战状态，该队有6名划手，其中有2名 只会划左桨，2名只会划右桨，2名既会划左桨又会划右桨现要从这6名划手中选派4名参加比 赛，并预先选定其中2名划左桨，剩下2名划右桨，则不同的选定方案共有() A.15种 B.19种 C.23种 D.36种 8.定义在R上的函数f(x)的图象是一条连续不断的曲线，且f(-x)+f(x)=0,若x>0时，函 数满足[f(x)+∫'(x】e*>[f()f(】e*,则下列说法正确的是() A.f(x)在(0，+oo)上单调递增 B.f(-2)>f(3) C.xf (x)<0 D.f(x)有且只有一个零点 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知an=2”,Sn为数列{an}的前n项和，则下列结论正确的有() A.ag=512 B.(凸}是递增数列 an C.Sn=21-2 D.{an}中不存在连续三项成等差数列 10.一个正整数，如果将它从左向右读和从右向左读完全相同，就称为回文数，这种对称性质体 现了数学中的数字美学，如22,121,3443,94249等.下列说法正确的是（) A.百位为2的五位回文数有100个 B.十位大于个位的六位回文数有360个 c.2n+1(neN)位回文数有9x10个D.2n(neN）位回文数有10"个 高二数学第2页共4页 11.已知l,2是函数y=ae与y=lnx-lna的图像的两条公切线，记l的倾斜角为a,,的倾斜 角为B,且4,4的夹角为0(0≤0≤受，则下列说法正确的有() A.a+B=π B.tana+tanB<2 2 C.若tang=3, D.4与2的交点一定在第一象限 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分. 12.C8C%-C9=: 13.排球队四名成员进行传球接球训练，要求每个人接球后马上传给别人，开始由小明发球，并 作为第一次传球，第五次传球后，球又回到小明手中，不同的传球方法数为 14.已知函数f(x)=ax-2a,g(x)=e,若f(x)<g(x)恒成立，则a的取值范围为 四、解答题：本小题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(1出分)已知等差数列a,}的首项4=-1，且藏列么}满足6.=，04- (1)求数列{an}的通项公式： (2)求证ab+a2b2+.+abn<2. 16.(15分)已知函数f(x)=&+1nx(aeR). (1)讨论f(x)的极值； (2)求f(x)在[1，e]上的最小值g(a). 高二数学第3页共4页 17.(15分)某Al实验室有6个不同的研究团队，需要对ChatGPT、Sora、GPT-4、Deepseek方 向的4个研发项目进行研究，每个团队只能承担一个项目，且每个项目至少交给一个团队。 (1)若从中选出5个团队去研究，共有多少种不同的研究安排方案？ (2)若6个团队都同时参与调研，且A、B两个团队研究同一个项目，共有多少种不同的安排 方案？ 18.(17分)已知数列{an}满足：4=1，a+1=3an+1;数列{bn}满足：bn=log(2an+1)2-1. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： 2设6，(-l小 4n -,求数列{cn}的前n项和Sn; (3)定义：“若存在常数M,使得对任意正整数n,数列{x}的前n项和Tn都满足T,<M,则称 数列{xn}是和有上界数列'，且和上界'为M”.证明：数列 a 的其中一个和上界为 19.（17分)作为十八世纪数学界的泰斗，拉格朗日对数学发展影响深远。后世众多数学新成 果常以“拉格朗日”冠名。如对一组数据(x,y)=1,2,,n,x互不相等)进行研究时，记L1= =231-1时，4=4 称=+2+…+为这组数据的拉格朗日插值多项式 (1)试求数据(1，-1)，(0，-1)，(2,1)的拉格朗日插值多项式fx)的表达式； (2)对于(1)中求出的fx),若函数g(x)满足g(x)+fx)=logax+x2-2x-1(a>0,a≠1). (1)研究g(x)的单调性； (i)若g(x)有两个零点，求a的取值范围. 高二数学第4页共4页 数学答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D B A B C C B D ACD BC ACD 1．D 【详解】因为. 2. B 【分析】根据导数的概念及导数的几何意义即可求解. 【详解】因为， 所以， 所以曲线在点处的切线的斜率为. 3. A 因为数列是等比数列，设首项为，公比为， 又因为，， 即，解得， 所以 ， 因此， 故选：A. 4.B 【分析】先按和两种方式分组，再排列即可. 【详解】把这5个“星星人”装入3个不同的盒内，每盒至少装一个，分组方式有两种： 按分组：先从个中选个为一组，剩下的个各成一组， 组数；按分组：先从个中选个为一组， 剩下的个中选个为一组，最后个为一组(消除重复分组)， 组数，分配到3个不同的盒内，， 故装法总数. 5．C 6．C 【分析】根据黏菌的繁殖规律可得每次繁殖在方向上前进的距离，结合无穷等比递缩数列的和的计算公式，即可判断答案. 【详解】由题意可知，，只要计算出黏菌沿直线一直繁殖下去，在方向上的距离的范围，即可确定培养皿的半径的范围， 依题意可知黏菌的繁殖规律，由此可得每次繁殖在方向上前进的距离依次为：， 则， 黏菌无限繁殖下去，每次繁殖在方向上前进的距离和即为两个无穷等比递缩数列的和， 即， 综合可得培养皿的半径r（，单位：）至少为8cm， 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题考查了数列的应用问题，背景比较新颖，解答的关键是理解题意，能明确黏菌的繁殖规律，从而求出每次繁殖在方向上前进的距离的和，结合等比数列求和即可. 7．B 【详解】根据题意，记只会划左桨的两人，只会划右桨的两人，既会划左桨又会划右桨的两人； 则不同的选派方法有以下三种： （1）从中选择2人划左桨，划右桨的在中选两人，共有种， （2）从中选择1人划左桨，则从中选1人划左桨，再从剩下的3人中选2人划右桨，共有种； （3）从中选择0人划左桨，则中的两人划右桨，从中选2人划左桨，共有 所以，不同的选派方法共有19种. 故选：B 8．D 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 9．ACD 【详解】对于B，，，是递减数列，B错误； 对于C，C正确； 对于D，假定中存在连续三项成等差数列，分别为， 则，即，整理得，矛盾， 因此中不存在连续三项成等差数列，D正确. 10．BC 【分析】根据回文数的定义，结合排列组合即可求解AB；再用分步计数原理分析和位回文数的数目，即可判断CD. 【详解】对于A，百位为2的五位回文数，此时第一位和倒数第一位数字有9种选法第二位和倒数第二位数字有10种选法，故总的个数为个，A错误； 对于，十位大于个位，有种方法，此时第一位和第二位的数字被确定，第三四位的数字相同，故有10种选择，因此符合条件的六位回文数，有360个，B正确； 对于C，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第个数字，即最中间的数字有10种选法， 则共有种选法，即位回文数有个，故C对； 对于D，对于位回文数，首位和个位数字有9种选法，第二位和倒数第二位数字有10种选法，……，第和第位也有10种，则共有种选法，所以 D错. 故选：BC． 11．ACD 【详解】如图，因为与互为反函数， 故两函数的图象关于直线对称，则，关于对称， 故，故A正确； 由题意，，均为锐角，，，， 当且仅当，即时取等号，故B错误； 设与两个函数图象分别切于，两点，，则， 即，解得或（舍去）， 故， 对于，则，令，解得，所以切点为， 所以曲线的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 同理可得的斜率为的切线方程为， 故曲线的斜率为的切线方程为， 所以，则，则，故C正确； 由图可知点必在第一象限，故D正确.   故选：ACD. 12． 13． 【详解】设第次传球后，球又回到小明手中的传球方法有种，经过次传球后，所有可能的传球方法总数为. 这些方法可分为两类：一类是球在小明手中，有种方法， 另一类是球不在小明手中，有种方法， 第次传球后球要回到小明手中，当且仅当第次传球后球不在小明手中，然后由持球人传给了小明， 因此，，即， 由于小明是发球者，一次传球后球又回到小明手中的传球方法是不存在的，所以． 利用递推关系可以得到：． 这说明经过次传球后，球仍回到小明手中的传球方法有种． 14． 【分析】构造函数，利用导数研究函数的单调性，进而求出的取值范围 【详解】当时 此时，，因为恒成立，所以恒成立，符合题意； 当时 令，要使恒成立，即恒成立， 对求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增。 所以在处取得极小值，也是最小值，， 要使恒成立，则，即，因为，两边同时除以得，即，解得； 当时 因为恒成立，所以在上单调递增， 当时，，，所以； 当时，，，所以， 但是当足够小时，趋近于，为负数且绝对值较大，此时可能小于，不满足恒成立，所以不符合题意. 综合以上三种情况，的取值范围是. 15．详解：（1）设等差数列的公差为d，， ………………3分 由，解得d=1.…………5分…………6分 （2）由（1）得 设， 则 两式相减得………………9分 .………………11分 ………………13分 16．详解（1）由题意知：的定义域为，；……2分 当时，，恒成立，在上单调递增， 无极值；…………4分 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值；…………6分 综上：当时，无极值；当时，的极小值为，无极大值.……7分 （2）当时，在上恒成立，在上单调递增， ； 当时，若，；若，； 在上单调递减，在上单调递增， ； 当时，在上单调递减，； 综上所述：在上的最小值.………………15分 17.详解（1）首先，从6个团队中选5个，有种选法， 接下来将5个团队分配到4种项目，且每个项目至少1个团队负责， 则5个团队分为：2，1，1，1四组，有种方法， 再将这四组对应4种项目进行全排列， 不同的安排方案有种. ………………7分 （2）首先将A、B两个团队视为一个整体（一个元素）， 此时相当于5个元素分配到4种项目,每个项目至少有一人， 即分成元素个数分别为“2，1，1，1”四组，则有种方法， 再将这四组对应4种模型进行全排列，有种方法， 所以，若6个团队都同时参与调研，且A、B两位同学调研同一种项目， 共有种不同的安排方案. ………………15分 18．详解（1）因为，所以， 又，所以是以为首项，3为公比的等比数列， 所以，则.………………4分 则.………………6分 （2）由（1）得， 则，…………9分 所以 ………………12分 （3）由（1）得， 当时，，………………13分 当时，， 所以，则， 所以数列的前n项和 ，………………16分 所以对于任意正整数，数列的其中一个‘和上界’为………………17分 19. 解：对于数据，，，有， ，， 所以， 即，………………4分 由知，所以， ，若，则，，在上单调递减; 若，则，当时，，在上单调递增; 当时，，在上单调递减. 综上所述，时，在上单调递减; 时，在上单调递增，在上单调递减………………10分 因为函数有两个零点，所以关于x的方程，即， 亦即有两个不同实数解. 令，则， 当时，，在上单调递减，且当时， 当时，，在上单调递增，所以当时，取得最大值 作出函数的图象以及直线，如图所示： 由图可见，当且仅当，即时，直线与函数的图象有两个公共点， 所以实数a的取值范围是 ………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $