17.1平行四边形的性质 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

第十七章 平行四边形 华东师大版(2024) 17.1 平行四边形的性质（课时2） 一、教学目标 1.经历通过中心对称变换、动手测量等方式探索平行四边形对角线性质的过程，理解并掌握平行四边形的性质定理3，能运用该性质解决与对角线相关的线段计算和证明问题. 2.能综合运用平行四边形的对边相等、对角相等、对角线互相平分等性质，解决与平行四边形相关的周长差、线段相等证明、面积计算等综合问题，提升几何推理和问题解决能力. 3.体会几何图形性质探索中“观察—猜想—验证—证明”的研究方法，进一步感受转化与对称思想在几何学习中的应用. 二、教学重点及难点 重点：平行四边形的性质定理 3 （对角线互相平分）的理解与证明；运用该性质进行线段计算和简单证明. 难点：综合运用平行四边形的所有性质解决复杂的几何计算与证明问题. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问： 上一节课我们学习了平行四边形的哪些性质？ 我们是如何证明平行四边形的对边相等、对角相等的？ 【师生活动】学生回忆并回答：平行四边形的对边相等、对角相等、邻角互补；证明的方法是连接对角线，构造全等三角形进行证明． 教师顺势引出课题：今天我们继续来探索平行四边形的另一个重要性质——对角线的性质． 【探究新知】 探究：平行四边形对角线的性质. 教师提问：在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 O．请大家观察并思考：OA 与 OC、OB 与 OD 各有什么数量关系？请大家任意画几个平行四边形，量一量对角线被交点分成的两段长度，验证你的猜想． 【学生活动】学生与同伴交流思考，结合上节课▱ABCD 是一个中心对称图形的知识，猜想：OA=OC，OB=OD． 学生动手操作：任意画几个不同形状的平行四边形，测量对角线被交点分成的线段长度，验证猜想．小组交流测量结果，发现结论一致． 教师归纳平行四边形的性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分． 符号表示：性质定理3 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA=OC，OB=OD． 教师：刚才我们通过测量得出了平行四边形的对角线互相平分，我们可以用演绎推理来证明这个结论． 已知：如图，▱ABCD 的对角线 与 相交于点 ． 求证：． 教师提问：OA 与OC、OB 与 OD 分别属于哪两个三角形？我们可以通过证明这两个三角形全等来证明线段相等．请大家写出完整的证明过程． 学生：要证明的相等的 OA 与 OC 以及 OB 与 OD 分别属于 △AOB 与 △COD，只需证明这两个三角形全等． 【师生活动】学生独立思考，尝试写出证明过程，然后小组内交流讨论． 教师请一名学生板演证明过程，并进行点评和规范． 答案预设： 设计意图：通过演绎推理，让学生经历探究的完整过程，培养学生的逻辑推理能力和严谨的科学态度，突破本节课的重点和难点． 教师归纳：平行四边形的面积和周长 1. 面积：平行四边形的面积=底×高 (底为平行四边形的任意一条边，高为这条边与其对边间的距离) 示例 平行四边形的面积 S▱ ABCD=BC·AE=CD·AF 2. 周长：根据平行四边形的对边相等，可知平行四边形的周长等于两邻边和的 2 倍. 示例 平行四边形的周长 C▱ ABCD=2(AB+BC) 【典型例题】 例5. 如图，▱ABCD 的对角线 与 相交于点 的周长为 ，那么对角线 与 的和是多少？ 例6. 如图，▱ABCD 的对角线 与 相交于点 过点 且与边 分别相交于点 和点 ．求证：． 教师提问：观察图形，OE 与 OF分别属于哪两个三角形？ 学生：OE 属于△AOE 和△BOE，OF 属于 △COF 和 △DOF． 例7. 如图，▱ABCD 的对角线 与 相交于点 ，其周长为 16，且 的周长比 的周长小 2．求边 和 的长． 解： 四边形 是平行四边形， （平行四边形的对角线互相平分）． 的周长 的周长， ， 即 ． 又 的周长等于 16， ， 即 ． ． 例8. 如图，在 ▱ABCD 中，对角线 ，垂足为点 ，且 ．求 与 之间的距离． 即 与 之间的距离为 15 cm． 教师提问：你知道其中的理由吗？ 【学生活动】学生独立思考，分析平行四边形面积的两种计算方式，交流讨论后明确：用不同的底和对应的高计算，平行四边形的面积相等，以此为关键思路，尝试建立等式求解距离． 答案预设： 的理由如下： 和 之间的距离为 ， 在 ▱ABCD 中， 边上的高是 ， 根据平行四边形的面积公式，有 ， 设计意图：这组例题从不同角度、由浅入深地巩固平行四边形对角线互相平分的性质：例 5 侧重线段和的整体计算，训练学生的转化思想；例 6 通过全等三角形证明线段相等，强化逻辑推理与规范书写；例 7 结合周长差建立方程，提升几何与代数的综合应用能力；例 8 引入面积法，拓展学生解决问题的思路，整体帮助学生构建完整的知识应用体系． 教师总结：平行四边形的性质 平行四边形的对边平行且相等：ABCD，ADBC；AB=CD，AD=BC； 平行四边形的对角相等：∠BAD=∠BCD，∠ABC=∠ADC； 平行四边形的邻角互补：∠BAD+∠ABC=180°； 平行四边形的对角线互相平分：AO=CO，BO=DO． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.平行四边形的性质定理 3：平行四边形的对角线互相平分． 2.平行四边形的面积和周长． 3.综合运用平行四边形的性质解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十七章 平行四边形 华东师大版(2024) 17.1 平行四边形的性质（课时1） 一、教学目标 1.经历从生活实例中抽象出平行四边形的过程，认识平行四边形，理解并掌握其“两组对边分别平行”的基本特征，能准确识别平行四边形. 2.经历通过动手操作、中心对称变换探究平行四边形边角关系的过程，探索并证明平行四边形的性质定理 1、2，能运用这些性质解决简单的计算和证明问题. 3.结合方格图的实践操作，理解平行线之间距离的概念，掌握“平行线之间的距离处处相等”的性质，能度量两条平行线之间的距离，体会转化与数形结合的数学思想. 二、教学重点及难点 重点：平行四边形的定义；平行四边形的性质定理1、2；平行线之间距离的概念与性质. 难点：平行四边形性质定理的探索与证明过程；利用平行四边形的性质解决相关的证明与计算问题. 三、教学过程 【探究新知】 探究：平行四边形的概念. 教师提问：同学们，在我们的生活中，很多物体的表面都呈现出平行四边形的形状，比如教室里的讲台面、课桌面、教科书面、书柜面，甚至小区里的停车区域． 大家回忆一下，根据平行四边形的特征，从下面这些图形中找出平行四边形． 学生观察后指出：图②和图⑤是平行四边形，图①只有一组对边平行，另一组不平行，这种四边形叫做梯形． 教师讲解平行四边形的定义：有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形． 平行四边形用“▱”表示，如图，平行四边形 ABCD 记作“▱ABCD”． 注：平行四边形的定义既可作平行四边形的性质定理，又可作平行四边形的判定定理． 教师引导学生明确：根据定义，平行四边形的一个基本性质是两组对边分别平行，由此可推出相邻两个内角互补． 教师：“除此之外，平行四边形还有什么性质呢？”引出本节课的探究主题． 大家根据定义，按照下列步骤，动手尝试作一个平行四边形． 【师生活动】教师出示教材中的作图步骤，边讲解边示范： 作法： （1）任意作一条直线 m； （2）在直线 m 上任取点 A，在直线 m 外任取点 B，连结 AB； （3）过点 B 作直线 m 的平行线 n，在直线 n 上任取点 C； （4）过点 C 作直线 AB 的平行线，交直线 m 于点 D． 四边形 ABCD 即为所要求作的平行四边形． 学生按步骤动手作图，教师巡视指导，纠正作图中的问题． 设计意图：通过动手作图，让学生直观感受平行四边形的定义，加深对“两组对边分别平行”的理解，为后续性质探究奠定基础． 【探究新知】 探究：平行四边形的性质. 教师：如图，用剪刀把 ▱ABCD 剪下，放在另一张纸上，并沿 ▱ABCD 的边沿，画出一个四边形，记为 EFGH．则四边形 EFGH 和 ▱ABCD 完全一样，也是平行四边形．它们的对应边、对应角分别相等． 在 ▱ABCD 中，连结 AC，BD，它们的交点记为点 O．用一枚图钉穿过点 O，将 ▱ABCD 绕点 O 旋转 180°．观察旋转后的 ▱ABCD 和纸上所画的 ▱EFGH 是否重合． 【学生活动】学生动手操作，观察发现：旋转180°后两个平行四边形完全重合． 教师提问：思考一下，你能从中得出 ▱ABCD 的一些边角关系吗？ 学生猜想：AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D． 教师讲解： 我们发现，旋转180°之后两个平行四边形完全重合，即平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心． 由此可以得到 AB=CD，AD=CB，∠A=∠C，∠B=∠D． 教师追问：“我们能不能用演绎推理来证明这些结论呢？” 教师引导学生分析：我们已经知道，证明边相等或角相等的一种重要方法是找出它们分别所属的三角形，然后证明这两个三角形全等．从上面旋转纸片的探索过程中，可以发现一条对角线恰好将平行四边形分成两个全等的三角形． 【学生活动】学生在教师引导下，尝试通过添加对角线构造全等三角形，完成平行四边形对边、对角相等的证明，明确演绎推理的思路与步骤． 已知：如图，▱ABCD． 求证：，． 答案预设： 证明：如图，连结 ． 由 和 ，得 即 ． 教师归纳：以上的相等关系可以概括为平行四边形的性质定理： 平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等． 平行四边形的性质定理 2：平行四边形的对角相等． 符号表示：性质定理1 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AD=BC. 符号表示：性质定理2 ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠ABC=∠ADC，∠DCB=∠BAD. 设计意图：通过动手操作、中心对称变换，让学生先直观猜想性质，再通过演绎推理进行证明，经历“操作—猜想—证明”的完整探究过程，渗透转化思想，突破性质定理的证明难点． 【典型例题】 例1. 如图，在 ▱ABCD 中，．求其他各内角的度数． 教师点拨：平行四边形的邻角互补． 例2. 如图，在 ▱ABCD 中，，周长等于24．求其余三条边的长． 【探究新知】 探究：平行线间的距离. 教师提问：如图，在方格图上画两条互相平行的直线，在其中一条直线上任取若干点，过这些点作另一条直线的垂线，用刻度尺量出这两条平行线之间这些垂线段的长度．你能发现什么结论？能用平行四边形的性质说明吗？ 【师生活动】学生动手操作，测量后发现：这些垂线段的长度都相等． 教师讲解平行线之间距离的概念：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 师生共同归纳得出：平行线之间的距离处处相等． 符号表示： ∵直线 a // b，AB⟂b，CD⟂b， ∴AB=CD. 教师引导学生结合平行四边形的性质理解：这些垂线段构成了平行四边形的对边，根据对边相等，可知它们的长度相等． 设计意图：通过实践操作，让学生直观感知平行线之间距离的性质，结合平行四边形的性质进行理解，突破概念难点，体会几何知识的内在联系． 教师拓展：三种距离之间的区别与联系 类别 两点间的距离 点到直线的距离 两条平行线间的距离 示意图 区别 连结两点的线段的长度 点到直线的垂线段的长度 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的垂线段的长度 联系 最后都归结为两点间的一条线段的长度 【典型例题】 例3. 已知平行四边形的周长是 24，相邻两边的长相差 4．求该平行四边形相邻两边的长． 解：如图，设边 的长为 ，则边 的长为 ． 根据已知，可得 解得 ． ． 所以，该平行四边形相邻两边的长分别为 4 和 8． 例4. 如图，在 ▱ABCD 中， 的平分线与 相交于点 ．求证：． 证明： 四边形 是平行四边形， （平行四边形的对边相等）， （平行四边形的对边平行）． 设计意图：通过不同类型的例题，巩固平行四边形的对边相等、对角相等的性质，同时训练学生运用性质解决角度计算、边长计算和简单证明问题的能力，强化知识应用． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.平行四边形：有两组对边分别平行的四边形． 2.平行四边形的对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点 O 就是对称中心． 3.平行四边形的性质： 平行四边形的性质定理 1：平行四边形的对边相等． 平行四边形的性质定理 2：平行四边形的对角相等． 4.两条平行线之间的距离：两条直线平行，其中一条直线上的任一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离． 平行线之间的距离处处相等． 学科网（北京）股份有限公司 $