16.5 实践与探索 教学设计 2025--2026学年华东师大版八年级数学下册

第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024) 16.5 实践与探索（课时2） 一、教学目标 1.经历结合一次函数图象探究一元一次方程、一元一次不等式解的过程，理解一次函数与一元一次方程及一元一次不等式的内在联系，能说出函数图象与方程、不等式解的对应关系. 2.能通过函数图象求解一元一次方程、一元一次不等式的解，会利用一次函数图象分析实际问题中的近似函数关系，解决数据拟合类问题. 3.体会数形结合的数学思想，提升从函数图象中获取信息、分析和解决问题的能力，感受一次函数在实际问题中的应用价值. 二、教学重点及难点 重点：理解一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的联系；利用一次函数图象解一元一次方程和一元一次不等式. 难点：从实际数据中抽象出近似一次函数模型，用待定系数法建立近似函数关系式并解决问题. 三、教学过程 【知识回顾】 教师提问：上节课我们学习了一次函数与二元一次方程组的关系，谁能说一说它们之间的联系？ 一次函数 y=kx+b 的图象是什么？它与 x 轴的交点坐标是什么？ 【师生活动】学生回忆并回答：两个一次函数图象的交点坐标，就是对应二元一次方程组的解；一次函数的图象是一条直线，它与 x 轴的交点坐标是 (，0)． 教师顺势引出课题：我们知道，二元一次方程组的解可以通过一次函数图象的交点找到，那一元一次方程、一元一次不等式的解，能不能也通过一次函数的图象来找到呢？ 今天我们就来探索一次函数与一元一次方程、一元一次不等式之间的关系，并用它解决实际问题． 设计意图：通过回顾上节课的知识，搭建新旧知识之间的桥梁，为新知识的学习做好铺垫．同时，通过设问引发学生的认知冲突和探究兴趣，自然地导入新课． 【探究新知】 探究：一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系. 教师提问：问题2 画出函数 的图象，根据图象，说明： （1） 取什么值时，函数值 等于 0 ？ （2） 取什么值时，函数值 大于 0 ？ 【学生活动】学生独立画出函数的图象，观察图象，获取信息． 答案预设：如下图， （1）当 x = 2 时，函数值 y 等于 0； （2）当 x > 2 时，函数值 y 大于 0． 教师提问：同学们，由问题 2想一想：一元一次方程 的解、不等式 的解集与函数 的图象有什么关系？ 【师生活动】学生以小组为单位展开讨论： 一元一次方程的解，就是函数的图象与 x 轴交点的横坐标； 一元一次不等式的解集，就是函数的图象在 x 轴上方部分对应的 x 的取值范围． 小组代表分享讨论结果，教师适时点拨，引导学生归纳出一般规律． 教师讲解：一次函数与一元一次方程的关系 数的角度：在一次函数 y=kx+b 中，当 y=0 时求 x 的值，等价于解一元一次方程 kx+b=0． 形的角度：直线 y=kx+b 与 x 轴交点的横坐标，就是一元一次方程 kx+b=0 的解． 一次函数与一元一次不等式的关系 同样从两个角度理解二者的联系： 数的角度：在一次函数 y=kx+b 中，当 y>0（或 y<0）时求 x 的取值范围，等价于解一元一次不等式 kx+b>0（或 kx+b<0）． 形的角度：直线 y=kx+b 在 x 轴上方（或下方）的部分所对应的 x 的取值范围，就是一元一次不等式 kx+b>0（或 kx+b<0）的解集． 设计意图：通过具体的例子，让学生经历探究的过程，自主探究一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的内在联系，渗透数形结合的数学思想，突破本节课的重点和难点． 教师归纳：利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤 （1）转化：将一元一次方程转化为 的形式． （2）画图象：画出一次函数 的图象． （3）找交点：找出一次函数图象与 轴的交点，则交点的横坐标即一元一次方程的解． 【探究新知】 探究：利用一次函数的图象解决实际问题. 教师提问：问题 3 为了研究某合金材料的体积 V cm3 随温度 t ℃ 变化的规律，对一个用这种合金制成的圆球测得相关数据如下： -40 -20 -10 0 10 20 40 60 998.3 999.2 999.6 1000 1000.3 1000.7 1001.6 1002.3 能否据此寻求 V 与 t 之间的函数关系式？ 教师点拨：请大家根据这些数据，在平面直角坐标系中描出对应的点，观察这些点的分布，思考：这些点大致分布在什么形状的曲线上？ 【学生活动】学生根据表格中的数据，在平面直角坐标系中描出各点． 学生观察图象，发现这些点大致位于同一条直线上，因此可以近似认为 V 与 t 之间是一次函数关系． 教师：我们可以用一条直线去尽可能地与这些点相贴近，求出近似的函数关系式． 如图所示的就是一条这样的直线，试一试，求出近似的函数关系式． 【师生活动】学生选取两个较接近的点，如 (10，1000.3) 和 (60，1002.3)，用待定系数法求出近似的函数关系式． 小组内交流计算过程和结果，互相检查，教师巡视指导． 答案预设： 解：设 和 之间的函数关系式是 ，把 和 分别代入，得 解得 所以 和 之间的函数关系式是 （ 有一定的取值范围）． 教师提问：我们以前学习的都是精确的一次函数关系式，为什么这里要说是“近似”的？在实际问题中，我们应该如何处理这类数据？ 【师生活动】学生讨论后，教师进行概括：现实生活中的数量关系是错综复杂的，在实践中得到的一些变量的对应值，有时很难精确地判断它们有怎样的函数关系，需要我们根据经验分析，进行近似计算和修正，列出比较接近的函数关系式． 设计意图：通过这个实际问题，让学生体验用一次函数模型拟合实际数据的过程，理解近似函数关系式的意义，提升从实际问题中抽象数学模型的能力，感受一次函数的广泛应用． 教师拓展：求实际问题中的近似函数关系式的具体做法 描点：把实践中得到的一些变量的对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系中描出各点； 判断：根据描出的点在平面直角坐标系中的位置和变化趋势等判断变量之间近似地符合哪一种函数关系； 确定：设出函数表达式，用待定系数法确定近似函数关系式． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一次函数与一次方程的关系． 2.一次函数与一元一次不等式的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 函数及其图象 华东师大版(2024) 16.5 实践与探索（课时1） 一、教学目标 1.结合具体情境，经历从实际问题中抽象出一次函数模型的过程，理解一次函数与二元一次方程（组）的内在联系，能说出一次函数图象交点与二元一次方程组解的对应关系. 2.能根据一次函数的图象，求出二元一次方程组的解，会利用一次函数图象分析实际问题中的数量关系，解决收费、方案选择等简单实际问题. 3.体会数形结合的数学思想，提升从函数图象中获取信息、分析问题和解决问题的能力，感受一次函数的应用价值. 二、教学重点及难点 重点：一次函数与二元一次方程（组）的联系；利用一次函数图象求二元一次方程组的解. 难点：理解一次函数图象交点的几何意义与代数意义的对应关系；从实际问题中抽象出一次函数模型，利用图象信息分析和解决方案选择类问题. 三、教学过程 【复习导入】 教师提问：我们之前学过一次函数，谁能说一说一次函数的一般形式是什么？ 二元一次方程组的解法有哪些？ 一次函数和二元一次方程（组）之间会不会有什么联系呢？ 【师生活动】学生回忆并回答：一次函数的一般形式是y=kx+b（k≠0）；二元一次方程组的解法有代入消元法和加减消元法； 学生对一次函数和二元一次方程（组）的联系进行猜测，引发探究兴趣． 教师顺势引出课题：今天我们就来探索一次函数与二元一次方程（组）的联系，并利用它们解决实际问题． 设计意图：通过回顾旧知，搭建知识桥梁，引发认知冲突，激发学生的探究兴趣，明确本节课的学习方向． 【探究新知】 探究：一次函数与二元一次方程组的关系. 教师提问： 问题1 某单位准备印制一批证书．当地有甲、乙两个印刷厂，它们的印制质量都很好．甲厂收费分为制版费和印刷费两部分；乙厂不收制版费，直接按印刷数量收费，当印刷证书超过 2 千本时单价有优惠．甲、乙两厂的收费 y（千元）关于印制的证书数量 x（千本）的函数图象如图所示． （1）根据图象回答： ①甲厂的制版费及印刷费单价各是多少？ ②印制证书多少本时，两厂实际收费相同？ ③当印制证书 8 千本时，选择哪个印刷厂比较划算？ 【学生活动】学生独立观察图象，分析获取信息： ①由图象与 y 轴交点 (0，1)，得出甲厂制版费为 1 千元； 再根据图象计算，当 x=2 时，y=2，算出印刷费单价为 (2−1)÷2=0.5千元/千本． ②观察两函数图象的交点，发现交点横坐标为 1 和 6，得出印制 1 千本或 6 千本时，两厂收费相同． ③观察 x=8 时的图象位置，发现乙厂图象更低，因此印 8 千本时选乙厂更划算． （2）如果甲厂想把 8 千本证书印制的订单争取到手，在不降低制版费的前提下，印刷费部分的单价至少应降低多少？ 【学生活动】学生读题分析题意，小组交流解题关键，建立方程求解，梳理建模思路． 答案预设： 解：当印刷证书 6 千本时，甲厂收费 （千元），此时乙厂也收费 4 千元，当印刷证书超过 2 千本时， 设乙厂收费 （千元）关于印制的证书数量 （千本）的关系式为 ． 将 分别代入 ，得 解得 ∴，∴当 时，． 甲厂想把 8 千本印制订单争取到手，则收费应不高于乙厂， 则单价应不高于（千元／千本）， ∴印刷部分的单价至少应降低 （千元／千本）． 教师提问：大家思考：（1）“收费相同”在图象上怎样反映出来？ （2）如何在图象上看出收费的多少？ 学生讨论后回答：“收费相同”对应两个函数图象的交点； 在图象上，点的位置越高，对应的函数值就越大，收费就越多；反之，点的位置越低，对应的函数值就越小，收费就越少． 教师讲解一次函数与二元一次方程组的关系： 我们看到，两个一次函数图象的交点处，自变量和对应的函数值同时满足两个函数关系式．而这两个函数关系式可以看成关于 x、y 的两个方程，所以交点的坐标就是这两个方程组成的方程组的解． 教师：例如，图中的两条直线 和 ，同学们，它们的交点坐标是多少？ 学生：(2，−1)． 教师：方程组 的解是多少？ 学生思考后回答： 教师：所以这两个函数图象交点的坐标就是这个方程组的解. 教师归纳：一次函数与二元一次方程组的关系可以梳理为以下对应关系： 相互转化关系：两个一次函数 y=k1x+b1，y=k2x+b2，可以与二元一次方程组 相互转化． 一一对应关系：两个一次函数图象的交点坐标，与对应二元一次方程组的解一一对应． 设计意图：通过具体的例子，让学生经历“观察—猜想—验证—归纳”的过程，抽象出一次函数与二元一次方程组的核心关系，突破本节课的重点，渗透数形结合的数学思想． 教师拓展：一次函数与二元一次方程的关系 相互转化关系：一次函数 y=kx+b 与二元一次方程 y−kx=b 可以相互转化． 一一对应关系：一次函数 y=kx+b 图象上点的坐标，与二元一次方程 y−kx=b 的解一一对应． 【典型例题】 例 利用一次函数的图象，求二元一次方程组 的解． 教师点拨：方程组中第一个方程已经是一次函数的形式，第二个方程可变形为一次函数的形式：． 解：如图，分别作出一次函数 和的图象，得到它们的交点坐标 ，即方程组的解为 设计意图：通过例题让学生掌握利用图象法解二元一次方程组的方法，规范解题步骤，落实基本技能，同时让学生体会到数形结合思想在解决数学问题中的应用． 教师归纳：用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）变函数：把方程组 中的方程化为一次函数 ． （2）画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象． （3）找交点：由图象确定两直线交点的坐标． （4）写结果：依据点的坐标写出方程组的解． 四、当堂检测 通过课件展示练习题，教师带着学生进行练习，进一步巩固新知. 五、课堂小结 今天我们学习了哪些知识？ 1.一次函数与二元一次方程组的关系． 2.一次函数与二元一次方程的关系． 学科网（北京）股份有限公司 $