第十六章 函数及其图象（举一反三讲义）数学新教材华东师大版八年级下册

该初中数学函数及其图象单元复习讲义通过知识框架与对比表格系统梳理知识体系，涵盖常量变量、函数定义、一次函数与反比例函数的概念、图象性质及应用，用表格呈现一次函数k/b符号与象限关系、反比例函数k的几何意义等，清晰展现知识内在联系与重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，培优篇聚焦基础题型如确定一次函数经过象限，拔尖篇突破综合问题如反比例函数动点与存在性问题，通过实际应用题型培养模型意识，结合性质推理提升推理能力，助力不同层次学生巩固基础或拓展思维，为教师精准分层教学提供有力支持。

第十六章 函数及其图象（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【培优篇】 9 【题型1 确定一次函数经过的象限】 9 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 12 【题型3 一次函数与几何变换】 14 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 17 【题型5 确定一次函数解析式】 19 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 25 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 27 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 30 【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 33 【题型10 反比例函数的应用】 39 【拔尖篇】 43 【题型11 根据情景确定函数图象】 43 【题型12 一次函数与三角形的面积综合】 47 【题型13 一次函数与动点最值问题】 52 【题型14 一次函数的图象的应用】 57 【题型15 一次函数的实际应用】 66 【题型16 反比例函数中的动点问题】 72 【题型17 反比例函数中的存在性问题】 79 【题型18 反比例函数中的定值、最值问题】 88 【题型19 反比例函数中的几何变换问题】 97 【题型20 反比例函数与其它知识的交互问题】 104 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点3 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点4 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 知识点5 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是表达式法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 表达式法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 知识点6 一次函数和正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 特别地，当时，，y叫做x的正比例函数． 知识点7 确定一次函数表达式 确定一次函数表达式关键在于确定k和b的值，通常用待定系数法．通过将已知条件代入中，得到方程或方程组，再求出k，b的值，从而确定一次函数表达式． 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设出含有待定系数的函数表达式； （2）把已知条件代入表达式，得到关于k，b的方程(组）； （3）解方程(组)求出待定系数k，b的值； （4）将求得的系数k，b的值代回所设函数表达式． 知识点8 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点9 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点10 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点11 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 知识点12 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点13 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 知识点14 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点15 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 知识点16 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 知识点17 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 知识点18 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点19 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点20 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点21 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点22 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 知识点23 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【培优篇】 【题型1 确定一次函数经过的象限】 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数与一次函数的图象及性质，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题把代入正比例函数，解得：，然后可得，然后即可求解 【详解】解：把代入正比例函数，解得：， 把代入一次函数， ∴一次函数解析式为， ∴一次函数经过第一、二、三象限，不经过第四象限 故选：D 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键．根据一次函数解析式可得一次函数图象不经过第一象限，即可求解． 【详解】解：一次函数的，， 一次函数图象不经过第一象限， 一次函数图象不过点． 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级下·北京延庆·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键．先求出该一次函数解析式为，再根据一次函数的图象和性质，可判断①、②、③，又，随的增大而减小，当时，，即可判断④，即可求解． 【详解】解：根据题意得：当时，，当时，， ∴方程的解为，故③错误； ，解得：， ∴该一次函数解析式为， ∴，随的增大而减小，图像经过一、二、四象限，不经过第三象限，故①错误、②正确； ∵，随的增大而减小，当时，， ∴关于的不等式的解集是，故④正确， 故答案为：②④ 【变式1-3】已知一次函数的图象经过点，且与直线的交点在x轴上． (1)求这个一次函数的解析式． (2)此函数的图象经过哪几个象限？ (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【答案】(1) (2)第一、二、四象限 (3) 【分析】（1）先确定直线与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法求出一次函数解析式； （2）由k、b的符号确定一次函数的图象所经过的象限； （3）求三角形的面积时要先求出一次函数的图象与两坐标轴的交点坐标． 【详解】（1）解：对于，当时，由得，则它与x轴的交点坐标为， 将点和代入中， 得，则， ∴这个一次函数的解析式为； （2）解：由得，， ∴该一次函数的图象经过第一、二、四象限； （3）解：对于， 当时，，当时，， ∴该一次函数的图象与坐标轴的交点坐标为，， ∴该一次函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积为． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式、一次函数图象与坐标轴的交点问题、坐标与图形，熟练掌握一次函数的图象与性质是解答的关键． 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 【例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一次函数与系数的关系，一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）根据当时，，得出关于m的不等式，求出m的取值范围即可． （2）利用一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点，时，． ∴， 解得． （2）解：由（1）可知函数y随x的增大而减小， ∵该函数图象上有三个点，， ∴， 故答案为：． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数（k，b为常数）是一条直线，当时， y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴， 故答案为：． 【变式2-2】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数中，得随的增大而增大，从而求解，掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：由一次函数中， ∴随的增大而增大， ∵， ∴， 故选：． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，解题的关键是熟练掌握一次函数的性质． 根据直线方程及已知条件，结合一次函数的单调性及符号性质进行判断． 【详解】解：已知直线为，其中，，故直线从左向右上升，且与y轴交于负半轴，三点，对应， A、若，则，，但可能为正也可能为负，导致符号不确定，乘积未必正，不符合题意； B、若，则和同号，但可能跨过交点，导致符号与相反，乘积未必正，不符合题意； C、若，则，。因，故也为负数，此时，和中，和均为负数，加上，故，即和均为负数，乘积，选项C正确，符合题意； D、若，则，但可能正或负（取决于是否超过），乘积未必正，不符合题意； 故选：C． 【题型3 一次函数与几何变换】 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】解：将正比例函数向上平移个单位后，得到的新函数为， 联立该函数与得： ，解得交点坐标为， 因交点在第二象限，需满足： 解得：， 的值可以是5． 故选：C． 【变式3-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】设，则，根据点，关于轴对称，得到，解答即可． 本题考查了一次函数的平移，轴对称，熟练掌握平移性质，对称特点是解题的关键． 【详解】解：根据题意，设，则， ∵点，关于轴对称， ∴， 解得． 故． 故答案为：． 【变式3-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据一次函数的定义，得1且，解答即可； （2）根据题意，得，根据一次函数的增减性，解答即可． （3）根据平移确定点代入，确定坐标，根据解析式解答即可． 本题考查了一次函数的定义，平移，一次函数的性质，熟练掌握性质和定义是解题的关键． 【详解】（1）解：由于是一次函数， ∴且， ∴，且， 解得或且， 故． （2）解：根据题意，得， ， 故y随x的增大而减小， 又点均在该一次函数的图象上， 且， 故． （3）解：根据题意，得代入， 得， 解得， ∴，， 设与y轴的交点为E， ∵过定点，且与有交点， ∴，或， ∴或， ∵与有交点的范围是直线高于直线，低于直线 ∴． 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据两条直线的交点求不等式的解集，比较一次函数值的大小，解题关键是掌握根据两条直线的交点求不等式的解集的方法． 先将点的坐标代入，求出的值，再将点的坐标代入，求得，从而可得，再当时，得到不等式，求得不等式的解集即可． 【详解】解：把代入， 得， 解得， 把代入， 得， 即， ， 当时， ， 整理得， 不等式的解集为， ， 解得：． 故选：C． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以为（　　） A． B． C．2 D．5 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，对于一次函数，当时， 随的增大而增大；当时， 随的增大而减小，据此求解即可． 【详解】解∶∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， 观察各选项，只有选项D符合题意， 故选∶D． 【变式4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据已知条件可知y随x的增大而增大，进而得到一次项系数大于零，列出关于m的不等式；再结合函数的图象与y轴相交于正半轴可知常数m大于零，通过解不等式求出m的取值范围，最后求得整数m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一次函数的图象经过点和点，， 当时，， ∴函数值y随x的增大而增大， ∴，解得： ， ∵函数的图象与y轴相交于正半轴， ∴， ∴m的取值范围是， ∵m的值为整数， ∴m的值为1． 故答案为：1． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值，且最小值，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的性质是解题的关键．根据函数与不等式的关系求解． 【详解】解：∵一次函数中， ∴函数值y随x的增大而减小， ∵函数的最大值，且最小值， ∴当时，；当时，； 由题意得：，且， 解得：， 故答案为：． 【题型5 确定一次函数解析式】 【例5】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数和几何综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式．先求出，设点C的坐标为，则，根据直线将分为面积比为的两部分列出方程，求出或，得到点C的坐标，再用待定系数法求出直线的函数表达式即可． 【详解】解：当时，，解得， 当时，， ∴， ∴， 设点C的坐标为，则， ∵直线将分为面积比为的两部分， ∴或 ∴或 ∴或 解得或 当时，点C的坐标为, 设直线的函数表达式为，把，代入得到， 解得 ∴直线的函数表达式为， 当时，点C的坐标为， 同理可得，此时直线的函数表达式为， 综上可知，直线的函数表达式为或， 故选：C 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式及光的反射定律是解题的关键． 求出点关于轴的对应点的坐标，根据光的反射定律，点在所在的直线上，根据待定系数法求出所在的直线对应的函数关系式，将点的坐标代入该函数，从而求出的值即可． 【详解】解：设点关于轴的对应点为，则，根据光的反射定律，点在所在的直线上， 设所在的直线对应的函数关系式为、为常数，且， 将坐标和分别代入， 得， 解得， 所在的直线对应的函数关系式为， 将代入，得， 经整理，得． 故答案为：2． 【变式5-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，直线和直线相交于点，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E． (1)直接写出直线的函数解析式： ； (2)求四边形的面积． 【答案】(1) (2)7 【分析】本题考查一次函数，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）将点代入直线求解即可． （2），求出C，D两点坐标计算即可． 【详解】（1）解：∵直线过点，代入得： ， ， ∴直线的函数解析式为． 故答案为：； （2）过点A作轴于点F， 把代入得，， ∴， ， 把代入得，， ∴， ， ∴， 把代入得，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式5-3】如图，直线，直线经过点，直线与直线交于点N． (1)求n的值； (2)若点N在x轴上，求k的值并在图中画出直线； (3)若点N总在点M的右侧，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)；作图见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，由直线经过点，则，进而计算可以得解； （2）依据题意，由直线为，则当时，，则与轴必定交于，结合（1）可得直线为，又直线与直线交于点，且点在轴上，可得，进而可得，直线，故可作图得解； （3）依据题意，联立方程组，可得，进而，结合点总在点的右侧，，故，从而计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，∵直线经过点， ， ． （2）解：由题意，∵直线为， ∴当时，，则与轴必定交于． 结合（1）可得直线为， 当时，， 又 ∵直线与直线交于点，且点在轴上， ， ， ， 直线，作图如下． （3）解：由题意，联立方程组， ， ， ∵点总在点的右侧，， 或， 或． 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 【例6】已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝ ． 【答案】1 【分析】先根据反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4），利用待定系数法求出反比例函数的解析式为y＝，再由反比例函数图象上点的坐标特征得出y1＝＝，y2＝＝，然后根据y1﹣y2＝4列出方程﹣＝4，解方程即可求出m的值． 【详解】解：设反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（﹣3，﹣4）， ∴k＝﹣3×（﹣4）＝12， ∴反比例函数的解析式为y＝， ∵反比例函数的图象经过点（2m，y1），（6m，y2）， ∴y1＝＝，y2＝＝， ∵y1﹣y2＝4， ∴﹣＝4， ∴m＝1， 经检验，m＝1是原方程的解． 故m的值是1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，正确求出双曲线的解析式是解题的关键． 【变式6-1】已知反比例函数，在每一个象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数性质求出，再根据，逐项判定即可． 【详解】解：∵反比例函数，且在各自象限内，随的增大而增大，, ∴， A.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； B.∵，∴点可能在这个函数图象上，故此选项符合题意； C.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； D.∵，∴点不可能在这个函数图象上，故此选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【变式6-2】如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据点A（-1，1）是反比例函数图象上一点，求出k的值，进而逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵点A（-1，1）是反比例函数图象上一点， ∴， A、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； B、，点在反比例函数图象上，故本选项符合题意； C、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； D、，点不在反比例函数图象上，故本选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上各点的坐标特征，即反比例函数图象上各点坐标符合，且k为定值． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【答案】B 【分析】根据已知条件得到点在第二象限，求得点一定在第三象限，由于反比例函数的图象经过其中两点，于是得到反比例函数的图象经过，，于是得到结论． 【详解】在第二象限，在第一象限，且点、、在三个不同象限， 又点的横坐标为， 在第三象限， 反比例函数的图象经过其中两点， ，两点在该反比例函数图象上， 解得 故选：． 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，推出点C在第三象限是解题的关键． 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 【例7】（2025·吉林长春·二模）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是根据反比例函数的解析式和自变量的取值范围，确定函数值的符号，进而分析选项． 先明确反比例函数的比例系数为负，可知其图象在第二、四象限；再根据，确定点A在第二象限，点B在第四象限，进而得出,；最后根据和的符号分析各选项． 【详解】解：对于反比例函数，比例系数，所以其图象位于第二、四象限． ∵和均在该函数图象上，且， ∴点A在第二象限，点B在第四象限． ∴． A选项：的正负无法确定，因为不知道和的具体数值，此选项不符合题意； B选项：，并非，此选项不符合题意； C选项：，此选项符合题意； D选项：的正负无法确定，此选项不符合题意． 故选：C． 【变式7-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数的性质可得，再解不等式即可．解题的关键是掌握反比例函数的性质：（1），反比例函数图象在一、三象限，在每一象限内随的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每一象限内随的增大而增大． 【详解】解：∵当时，随的增大而增大， ∴， 解得：， ∴的取值可能为． 故选：A． 【变式7-2】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【答案】 【分析】本题考查反比例函数图像与性质，由图可知图像在第三象限，；，图像在第四象限，、；再取，如图所示，即可比较，的大小，熟记反比例函数图像与性质，数形结合是解决问题的关键． 【详解】解：由图可知，图像在第三象限，；，图像在第四象限，、； 取，如图所示： ； 综上所述，， 故答案为：． 【变式7-3】已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，明确图象上点的坐标适合解析式是解题的关键．根据图象上点的坐标特征得到，，变形为，，由得到，即可得到，由，可得，再求解即可． 【详解】解：点，，，为反比例函数图象上的两点， ，， ，， ， ， ， ， ， 解得：或， 反比例函数的图象经过第一、三象限， ， 故答案为2． 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 【例8】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数以及正比例函数的性质，利用正比例函数以及反比例函数图象分布规律进而分析得出即可． 【详解】解：A、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项符合题意； B、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； C、当正比例函数图象正确，则，则，故中，符号不确定，则其图象分布在第二、四象限或第一、三象限，故此选项不合题意； D、当正比例函数图象正确，则，则，故中，，则其图象分布在第二、四象限，故此选项不符合题意； 故选：A． 【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的综合判断，根据一次函数图象所在象限判断a，b的正负，进而判断的正负，得出反比例函数图象应该所在的象限，逐项判断可得答案． 【详解】解：A，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； B，由一次函数图象在第二、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第一、三象限，而不是第二、四象限，不合题意； C，由一次函数图象在第一、三、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，符合题意； D，由一次函数图象在第一、二、四象限，可得，，进而可得，则的图象应该在第二、四象限，而不是第一、三象限，不合题意； 故选C． 【变式8-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了正比例函数图象与反比例函数图象综合，根据函数图象分别求出反比例函数比例系数的符号以及正比例函数一次项系数的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：∵当时，的图象经过第一、第三象限，反比例函数的图象位于第二、第四象限， 当时，的图象经过第二、第四象限，反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴D选项符合题意． 故选：D． 【变式8-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 【例9】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【答案】A 【分析】设反比例函数解析式为，根据，设，得到，故，，， 分别表示面积，解答即可． 本题考查了反比例函数的k的几何意义，熟练掌握定义和意义是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 根据，设， 得到， 故，，， ， 解得， 故，，， 故，， 故， 故，， 故；， 故； 故选：A． 【变式9-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数与k的几何意义，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据矩形的性质证明，故，因为矩形的面积为14，即，因为点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．进行列式计算，即可作答． 【详解】解：分别过点作轴，轴，如图所示： ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵轴，作轴， ∴， ∴， 即， ∵矩形的面积为14， 则， 即， ∴， ∵点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上． ∴， ∴， ∵函数图象在第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式9-2】如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义，矩形的判定等知识，掌握反比例函数比例系数k的几何意义是解题的关键． （1）过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E，则四边形、四边形、四边形都是矩形，由反比例函数比例系数k的几何意义、矩形与的面积关系即可求得结果； （2）根据平行线间距离处处相等和同底等高的三角形面积相等即可得到答案． 【详解】（1）解：过点B作轴于D，如图，设交x轴于点E， ∵轴， ， ∴轴， 即， ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， 由反比例函数比例系数k的几何意义知：，， ∴， ∵， ∴． （2）如图， ∵且两平行线间的距离处处相等， ∴ 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【答案】(1)2 (2)3 (3)见详解 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的判定、面积的计算等，综合性强，难度适中． （1）设点，则点，则； （2）的面积的面积，即可求解； （3）确定直线的表达式为：，令，则，故点，即可求解． 【详解】（1）解：设点，则点， 则， 故答案为： 2 ； （2）解：连接， 则 的面积 的面积； （3）解：设点，则点， ∵点与点关于点对称，故点， 则点， 设直线的表达式为：， 将点的坐标代入上式得， 解得， 直线的表达式为：， 令，则， 故点， 故，而， 又 ∵， 故四边形为平行四边形． 【题型10 反比例函数的应用】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，结合实际含义理解图象上点的坐标含义是解题的关键． 依据题意，的值即为乙醇质量，再根据图象即可确定甲瓶乙醇质量最多，丙瓶乙醇质量最少，乙、丁两瓶乙醇质量相同． 【详解】解：根据题意，可知的值即为乙醇质量， 描述乙、丁两瓶情况的点恰好在同一个反比例函数的图象上， 乙、丁两瓶乙醇质量相同． 点甲在反比例函数图象上面，点丙在反比例函数图象下面， 甲瓶的的值最大，即乙醇质量最多，丙瓶的的值最小，即乙醇质量最少， 故答案为：甲． 【变式10-1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意可得反比例函数的解析式，再列不等式即可解答，熟练求得反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ， 设反比例函数段的解析式为， ， ∴反比例函数段的解析式为 ， 的高度不高于3m，即 ， ， 解得， ， Q到的距离至少为． 故答案为：． 【变式10-2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【答案】(1) (2)小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【分析】此题主要考查了一次函数以及反比例函数的应用，根据题意得出正确的函数解析式是解题关键． （1）求出反比例函数解析式进而得出t的值 （2）利用待定系数法求出当时的函数解析式，进一步求解即可． 【详解】（1）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为， 把点代入得：， 解得：， ∴当时，水温与开机时间（分）的函数关系为， 当时，， ∴； （2）解：当时，设水温与开机时间（分）的函数关系为：， 依据题意，得， 解得：， 所以当时，函数解析式为：， ∵， 当时， ， 即小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为． 【变式10-3】在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线 过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 【拔尖篇】 【题型11 根据情景确定函数图象】 【例11】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大，且增加速度较快；注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，y随x的增大而减小；当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同，即y减小至0后，y随x的增大而增大，且增加速度比第一段慢，据此解答即可． 【详解】解：分三段： 先向小圆柱形器皿内匀速注水，y随x的增大而增大； 注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水；y随x的增大而减小， 当大圆柱形器皿的水位高度与小圆柱形器皿的高度相同时即y减小至0后，y随x的增大而增大且增加速度比第一段慢． 故选项B的图象符合题意． 故选：B． 【变式11-1】（2025·福建龙岩·一模）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据题意，分三个阶段分析即可得出答案，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：在铁块接触水面前，， ∴此过程中弹簧测力计的读数不变， ∵， ∴从铁块慢慢浸入水面开始，浮力增大，拉力减小， 当铁块完全浸入水面后，浮力不变，拉力不变， ∴符合题意是选项， 故选：C． 【变式11-2】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查长度和时间之间的图象描述，根据题意可知货车进入隧道的长度和时间的关系具体可描述为：货车前期进入、完全进入和驶离隧道三个阶段，第一阶段随时间的增加长度逐渐增加，第二间阶段随时间增加但是长度不变，第三阶段随时间的增加长度逐渐减小，由题意知货车匀速通过一条隧道，则增加或减小的长度随时间均匀变化． 【详解】解：当货车开始进入时c长度逐渐变长，当货车完全进入隧道，由于隧道长大于货车长，此时长度达到最大，当货车开始出来时长度逐渐变小．另外是匀速运动，长度随时间的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型． 故选：C． 【变式11-3】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段：甲水面上升，乙水面上升，甲、乙水面一起上升，再根据甲、乙底面积的关系求出的关系即可得到结论． 【详解】解：由连通器的原理可知，整个过程分为三个阶段，第一阶段为甲水箱中的水面随着时间的推移逐渐上升，直至到达连通器的入口，第二阶段为甲水箱中的水面不上升，注入的水通过连通器流入乙中，使乙水箱中的水面上升，直至到达连通器的入口，第三阶段为甲、乙两个水箱中的水以相同的速度上升（上升速度比第一阶段慢）， 设单位时间内注水体积为，甲水箱的底面积为，则乙水箱的底面积为，则连通器的高度为， ∴， ∴， ∴四个选项中，只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． 【题型12 一次函数与三角形的面积综合】 【例12】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【答案】 10 1或 【分析】本题考查一次函数解析式，三角形的面积，正确理解题意是解题的关键： （1）联立，求出，再求出，进而可求出面积； （2）求出，再得出的面积是，设，得出，即，求出或，再利用待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：联立， 解得：， 所以， 令，则0， 解得， 所以， 所以的面积是； （2）因为点在直线上， 所以， 所以， 因为的面积是面积的， 所以的面积是， 设， 因为， 所以 ． 因为，即， 则或， 当时，解得，所以； 当时，解得，所以． 当时， 得出， 解得； 当时， 得出， 解得； 所以的值为1或， 故答案为：10；1或． 【变式12-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质与三角形面积计算，分别求出阴影三角形的直角边是解决本题的关键． 分别求出点A、B、C的纵坐标，计算每个点向x轴和y轴作垂线形成的直角三角形的面积，再求和即可． 【详解】解：∵直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2， 点A横坐标为，代入直线方程得纵坐标； 点B横坐标为1，代入得； 点C横坐标为2，代入得； 记直线与y轴的交点为，如图， 点A形成的三角形面积：； 点B形成的三角形面积：； 点C形成的三角形面积：， ∴这三个三角形的面积之和为3． 故选：B． 【变式12-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，七个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数的几何应用，过点作轴于，设直线与轴交于，由题意可得，，据此求出点的坐标，再利用待定系数法即可求解，求出点的坐标是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作轴于，设直线与轴交于， 由题意可得，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设经过点的这条直线的解析式为，把、代入得， ， 解得， ∴该直线对应的函数表达式为， 故答案为：． 【变式12-3】（24-25八年级上·全国·期末）长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 【答案】2或5 【分析】本题考查了一次函数与几何图形综合，解决本题的关键是熟练掌握一次函数的平移及一次函数的性质，分为当直线在的下方时及当直线在的上方时，两种情况进行分类讨论，根据一次函数平移的性质结合几何图形求解即可． 【详解】解：长方形的边在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为， ， ， 设将直线沿y轴向上平移个单位后与轴交于点D，与轴交于点E， 如图，当直线在的下方时， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， 令，得， ， ， ， （负值舍去）， 如图，当直线在的上方时，设直线交于点M，交于点N， 平移后的直线将长方形的面积分成的两部分， ， 平移后的函数关系式为， 令，得，解得：， ， ， 令，得， ， ， ， 或9（舍去）， 故答案为：2或5． 【题型13 一次函数与动点最值问题】 【例13】（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求交点的坐标是解题的关键．分别求出直线，直线或与直线的交点，从而确定m的最大值与最小值，计算其差即可． 【详解】解：直线过点， 则，解得， ∴， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 令，则， ∴直线与轴的交点为， 由题意得， 解得或， ∵直线过点， ∴或， ∴直线或， 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为4，最小值为1， ∴m的最大值与最小值之差为； 若直线和直线时， 当时，，， ∴m的最大值为1，最小值为， ∴m的最大值与最小值之差为； 综上，m的最大值与最小值之差为3， 故选：A． 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点是解题的关键．作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选：A． 【变式13-2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图①，已知动点P在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点P的运动时间为t（秒），的面积为S．图②是S关于t的函数图像，则线段的长为 ，a的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据图象上点的坐标和图象的特点，利用长方形的性质可求出答案． 【详解】解：∵P在上时，的面积S随t的增大而增大， ∴根据点可以得到，， ∴，即， ∴， 当P在上时，S不变， ∴， ∵为长方形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 【变式13-3】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为 ．    【答案】 【分析】根据动点最值问题的“两点之间线段最短”模型，作直线交直线于点，此时最小，由待定系数法求出直线表达式，联立方程组求解即可得到点的坐标． 【详解】解：作直线交直线于点，此时最小，最小值为线段，如图所示：    设直线的表达式为， 将点 ，点 代入得到， 解得， 直线表达式为， 联立， 解得， 点的坐标为． 【点睛】本题考查根据动点最值问题求直线交点坐标，涉及待定系数法求函数解析式、两点之间线段最短、求直线交点等知识，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，联立方程组求交点坐标是解决问题的关键． 【题型14 一次函数的图象的应用】 【例14】五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸．    【答案】 【分析】先根据已知图中路程中千米可知：两家没出发时，距西人工岛的路程之和为千米，即香港口岸距西人工岛的路程千米，千米，设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分，千米，分别根据时间相等列方程可解决问题． 【详解】解：如图1，    由题意得：， ， 设穿梭巴士的速度为千米/分，跨境出租车的速度为千米/分， 当时，两家同时到达西人工岛，则，解得：， 设千米，则， ， ∴，即， 解得：， ∴， ， ， ，， 检验：当时，无意义，故舍去；当时，左边，右边，左边右边， 故原方程的解是． ∴， ∴穿梭巴士的时间， 答：穿梭巴士出发分钟到达澳门口岸． 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解分式方程，解一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答，注意本题的轴表示两车距人工岛的路程和，容易被忽略，本题较难． 【变式14-1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是___________分钟，点的坐标是___________ (2)请求出图2中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象． 【答案】(1)120；5； (2)；见解析 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由图象获取正确的信息，利用待定系数法求一次函数解析式是解题关键． （1）先求出小明步行的速度，然后即可求出妈妈骑车的速度；先求出妈妈回家用的时间，然后根据小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟， 即可求出装货时间；根据题意和图象可得妈妈在点时开始返回商店，然后即可求出的坐标； （2）待定系数法求得出的解析式；进而分①当时，②当时，③当时， 三段，求出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数解析式，根据解析式画图即可； 【详解】（1）由题图2知，小明步行的速度为（米/分钟）． 由题图1知，10分钟时，小明和妈妈相遇， 妈妈骑车的速度为（米/分钟）． 妈妈回家用时为（分钟）． 小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟， 妈妈在35分钟时返回商店． 装货时间为（分钟）． 由题图1知，点表示妈妈装完货要从家返回商店时，小明和妈妈之间的距离． 点的横坐标为． 点的纵坐标为． 点的坐标为． 故答案为：120；5； （2）设与之间的函数关系式为． 将点，代入，得 解得， ①当时，； ②当时，； ③当时，设此段函数解析式为， 将点，代入得， 解得， 此段函数解析式为． （米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象如下： 【变式14-2】（24-25七年级下·重庆·期中）周末，小文和小华相约一起去重庆动物园看大熊猫，小文家、小华家、动物园在同一直线上，且小华家在小文家和动物园之间，小文骑自行车出发8分钟后，小华从家出发步行去动物园，几分钟后两人相遇，同时小华发现自己忘了带手机，于是马上掉头原路原速返回家，拿到手机后立即乘出租车原路追赶小文（掉头和拿手机、等车的时间忽略不计），最终他们同时到达动物园．在运动过程中，小文、小华两人距离小华家的路程之和与小文出发的时间为之间的关系如图所示． (1)小文的速度是__________米／分钟；小华家到动物园的距离是_________米； (2)求小华步行和出租车的速度分别是多少米／分钟； (3)当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为多少米？ 【答案】(1)150；2000 (2)小华步行的速度是，出租车的速度是 (3)当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为或或 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题．熟练掌握函数图象信息，一次函数性质，路程与速度和时间有关系，是解题的关键． （1）根据10分钟时小文到小华家可得小文的速度，根据两人到终点距小华家的路程和4000m，可得小华家到动物园的路程为2000m；（2）设小华步行的速度为，乘出租车的速度为，两人相遇的时间为t，则，小华出发到相遇行程为，小文从小华家到相遇行程为，得，解得，得，∵得小华回到家的步行时间为，，根据 ，得，根据小文家到动物园的路程为3500m，行驶时间为,得出租车行驶时间为，； （3）根据小文的速度为150，得行驶的解析式为，设小华行走的解析式为，当时，得，得，解得，得；当时，得，得，解得，得；当时，得，得，解得，得． 【详解】（1）解：∵时小文、小华两人到小华家的路程之和为， ∴小文、小华两人的家相距， ∵时，小华从家出发，到这段时间两人的距离减少， ∴两人向着小华家走的方向相反，小文的速度大于小华的速度， ∴时小文到达小华家， ∴小文的速度：（） ∵同时到动物园后两人到小华家的路程和为， ∴小华家到动物园的路程为（m）， 故答案为：150，2000； （2）解：设小华步行的速度为，乘出租车的速度为，两人相遇的时间为t， 则，如图， 小华时出发，到相遇行程为， 时小文到达小华家，到相遇的行程为， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵小华从家到相遇，再从相遇回到家步行时间相等， ∴，， 在小华回家这段时间内，小文距小华家的路程增加了，小华距离自己家的路程减小了， ∴， ∴， ∵小文家到动物园的路程为（m）， ∴小文行驶时间为, ∴出租车行驶时间为， ∴： 故小华步行的速度是，出租车的速度是： （3）∵小文的速度为150， ∴解析式为， 设小华行走的解析式为， 当时， 把代入， 得， 解得，， ∴， 当时， 得， ∴； 当时， 把代入， 得, 解得， ∴， 当时， 得， ∴； 当时， 把代入， 得， 解得， ∴， 当时， 得， ∴． 故当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为或或． 【变式14-3】一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：    (1)学校与劳动基地之间的距离为________千米； (2)________，B点的坐标是________． (3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围． 【答案】(1)15 (2)2.7； (3)和 【分析】（1）根据函数图象求出学生队伍的速度，即可求出距离； （2）根据通讯员比学生队伍早18分钟到达基地建立等式求解； （3）先求出通讯员的函数解析式，然后求学生的函数解析式，然后进行分类讨论，分两种情况进行讨论即可解答． 【详解】（1）解：学生队伍的速度是（千米小时）， 所以（千米）， 故答案为：15； （2）解：由图（小时）， 由题意得，通讯员返回时的速度是（千米小时）， 所以点即； 故答案为：2.7；； （3）解：当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系为， 把代入可得， ； 当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为， 把、两点代入得，， 解得，， ； 当时，设通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系式为， 把、两点代入得，， 解得，， ； 综上，与的关系式为． 设的关系式为， 由题意得，， ①当时，， 解得，即； ②当时，，解得， 此时通讯员与学生队伍相遇，相遇点坐标为，即相遇后他们的距离小于3千米， ∵，解得，即； 综上：和． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是求出解析式，然后分类讨论求解． 【题型15 一次函数的实际应用】 【例15】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【答案】(1)，最少总运费为10040元； (2)城运往乡200吨，总运费最少． 【分析】（1）先求出x的取值范围，在求出y与x的函数解析式，最后根据一次函数的性质，求出最小值； （2）先列出城运往乡的运费每吨减少元时，总费w用关于x的函数关系式，再分类讨论，分别求出最小值． 【详解】（1）设从城运往乡肥料吨，则运往乡， 从城运往乡肥料吨，则运往乡吨， 设总运费为元，根据题意， 则：． ， 随的增大而增大， 当时，总运费最少，且最少的总运费为10040元． 答：与的函数关系式为， 最少总运费为10040元； （2）设减少运费后，总运费为元， 则： ， 分以下三种情况进行讨论： ①当时，， 此时随的增大而增大， 当时，；． ②当时，， 不管怎样调运，费用一样多，均为10040元； ③当时，， 此时随的增大而减小， 当时，； 综上可得： 当时，城运往乡0吨，总运费最少； 当时，无论从城运往乡多少吨肥料（不超过200吨），总运费都是10040元； 当时，城运往乡200吨，总运费最少． 【点睛】本题考差了一次函数解析式的求法，一次函数的性质，分类讨论思想是解题的关键． 【变式15-1】（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【答案】(1) (2)小米家应缴2024年水费元 (3)小乐家2024年全年用水量为 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次方程的应用，列代数式以及有理数的混合运算，关键是根据图表中的数量关系，列出算式和方程． （1）分，及三种情况，利用含的代数式表示出这户居民的水费即可； （2）由于小米家2024年全年用水量为120，则按第一阶梯交费，根据总价=单价×数量列式计算即可； （3）先判断出小乐家2024年的用水量到达第二阶梯，再根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：由题意知， 当时，， 当时，， 当时，， ； （2）解：（元）， 小米家应缴2024年水费元； （3）解：设小乐家2024年全年用水量为， ，， ， ， 解得， 小乐家2024年全年用水量为 ． 【变式15-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． 【答案】(1) (2)甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1600元钱 (3)a的值为10 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元一次不等式的应用； （1）①当时，②当时，分别列出不等式，即可求解； （2）根据不等关系求出，结合一次函数的性质，即可求解； （3）根据不等关系求出，表示出，根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵甲团队人数为x人，乙团队人数不超过50人， ∴， 解得：． ①当时， ； ②当时， ； 综上所述，； （2）解：当时，根据题意得 解得， ∵当时，W随x的增大而减小， ∴当时，W取最大值， 最大值为：（元）， 当时，根据题意得 解得，这种情况不成立． 答：甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约1600元钱． （3）解：当时， 解得， 又， ． 当时， 解得，这种情况不成立． ． “五一”小黄金周之后： ， ， ∴W随x的增大而减小， ∴当时，W取最小值，最小值为： ， 解得， ∴a的值为10． 【变式15-3】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【答案】(1)每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元 (2)该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台 (3)方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台；方案二：当时，A型打印机满足的整数即可；方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【分析】本题考查一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数a值的增大而确定W值的增减情况，同时注意自变量的取值范围． （1）设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元，根据题意可列出关于x和y的二元一次方程组，求解即可； （2）根据题意可列出W和a的一次函数关系，关于a的一元一次不等式，再结合一次函数的性质求解即可； （3）由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变，则可列出W、a和m的关系式为，又可知．分类讨论：①当，②当和③当，结合一次函数的性质分别求解即可． 【详解】（1）解：设每台A型和B型打印机的销售利润分别为x元和y元， 根据题意有：， 解得：， 答：每台A型和B型打印机的销售利润分别为80元和160元； （2）解：设购进A型打印机a台，则购进B型打印机台， 根据题意有：， ∴． ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W有最大值． 台． 答：该商店购进A、B两种型号的打印机分别为40台和80台； （3）解：由题意可知A型打印机利润为元，B形打印机利润不变， ∴． 分类讨论：①当，即时，W随a的增大而增大， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台； ②当，即时，， ∴当a满足的整数时，W最大； ③当，即时，W随a的增大而减小， ∴当时，W最大，此时B型打印机为台． 综上所述，商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案为： 方案一：当时，A型打印机进货50台，B型打印机都进货70台； 方案二：当时，A型打印机满足的整数即可； 方案三：当时，A型打印机都进货40台，B型打印机都进货80台． 【题型16 反比例函数中的动点问题】 【例16】如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出点C的坐标，根据点D的运动路线，分析得到k的取值范围公共部分是，再对选项进行分析即可得到答案．此题考查了反比例函数的图象和性质，数形结合是解题的关键． 【详解】解：∵等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，， ∴轴，轴， ∴点C的坐标为， 当点D在线段上运动时，点D的横坐标是1，纵坐标的范围为， 此时k的取值范围为， 当点D在线段上运动时，点D的纵坐标是2，横坐标的范围为， 此时k的取值范围为， ∴k的取值范围公共部分是， ∴点B是线段和的公共端点，点C是线段的端点， ∴和只会被经过一次， ∵，6不在在内， ∴图象L不可能经过两次， ∵，4在内，且不是线段和的端点， ∴图象L经过两次的是， 故选：C 【变式16-1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，勾股定理，求反比例函数的解析式，利用数形结合思想解答是解题的关键． 连接交于点O，过点C作于点G，连接，根据菱形的性质以及，可得到为定值，从而得到y关于x的函数是反比例函数关系，结合图2可得，，然后在中，利用勾股定理可得，从而得到，进而得到关于的函数图象过点，即可求解． 【详解】解：如图，连接交于点O，过点C作于点G，连接， ∵四边形是菱形， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∴为定值， ∴y关于x的函数是反比例函数关系， 根据题意得：当时，点E与点A重合，此时点F与点G重合， 当时，点E与点B重合，点F与点O重合， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴关于的函数图象过点， 设关于的函数表达式为， 把点代入得：， ∴关于的函数表达式为． 故答案为：． 【变式16-2】如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质以及反比例函数的综合应用，熟练掌握相关知识，正确作出辅助线是解题关键．连接，作轴于，轴于，利用反比例函数的性质和等腰直角三角形的性质，根据“”可判定，设点坐标为），得出，，最后根据反比例函数图象上点的坐标特征确定函数解析式． 【详解】解：如图，连接，作轴于，轴于， ∵点、点是正比例函数图象与双曲线的交点， ∴点与点关于原点对称， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， 设点坐标为，则，， ∴点坐标为， ∵， ∴点在反比例函数（）图象上． 故答案为：（）． 【变式16-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【答案】(1)见解析， (2)①见解析；② (3)当时，；当时， 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法，反比例函数的图象和性质，一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数与不等式的关系，平行四边形的判定和性质等，熟练掌握并能够灵活运用相关知识，应用方程思想和分类讨论思想是解题关键． （1）运用待定系数法得出直线的解析式，得出点M的坐标即可； （2）①根据中心对称得出点的坐标，再求得点D的坐标，运用待定系数法可得直线的解析式； ②由平行四边形性质可得，即，建立方程求解即可； （3）先求得点G的坐标，再求得直线平移后的直线解析式，联立方程求得两个交点的横坐标即可求得答案． 【详解】（1）证明：由题意得：， 设直线的解析式为，则 解得：，则直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为，即线段经过一定点； （2）①证明：由（1）知：， ∵点与点关于原点对称． ∴， ∵双曲线为常数，经过点， ∴, ∵双曲线与交于点， ∴， 设直线的解析式为，则。 解得：，则直线的解析式为， 令，得， 解得：， ∴， 轴， 轴， ； ②解：四边形是平行四边形， ，即， 即； （3）解：由（2）②知，轴，， ∵将直线沿轴向下平移经过点得到直线， ∴，把的坐标代入得：， 解得：， 联立得：， 解得：， 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为． 【题型17 反比例函数中的存在性问题】 【例17】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)或 (3)点P的坐标为或 【分析】此题考查了反比例函数综合题，涉及的知识有：菱形的性质，待定系数法求函数解析式，反比例函数与一次函数的交点，坐标与图形性质，利用函数图象解不等式，利用了数形结合的思想，熟练掌握反比例函数性质是解本题的关键． （1）由菱形的性质可知A、D关于x轴对称，可求得A点坐标，把A点坐标分别代入两函数解析式可求得和值； （2）先联立直线和双曲线求得点的坐标，根据图象求解即可； （3）根据菱形的性质可求得C点坐标，可求得菱形面积，设P点坐标为，根据条件可得到关于a的方程，可求得P点坐标． 【详解】（1）如图，连接，交x轴于点E，    ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将代入直线可得， 解得， 将代入反比例函数可得， 解得：； ∴一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为； （2）联立， 解得：，， ∴， 由图象可知，反比例函数值大于一次函数值时的取值范围为或； （3）∵， ∴， ∵， ∴， 设P点坐标为， 则， ∴， ∵， 当P在A的左侧时，， ∴， ∴， 当P在A的右侧时，， ∴， ∴， 综上所述，点P的坐标为或． 【变式17-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)存在，点的坐标为 (3)和 【分析】本题考查一次函数与反比例函数图象的交点问题，反比例函数与几何的综合应用，熟练掌握数形结合和分类讨论的思想，是解题的关键： （1）联立解析式，进行求解即可； （2）作点的关于轴的对称点，连接，得到当点在线段上时，的周长最小，求出直线的解析式，进而求出点的坐标即可； （3）分点在点左侧和点在点右侧，两种方法进行求解即可． 【详解】（1）解：联立，解得：或， ∴点的坐标为，点的坐标为； （2）作点的关于轴的对称点，连接， 设直线的解析式为，将点，代入， 得：，解得：，， ∴直线的解析式为，使直线与轴的交点为， ∴当点的坐标为时，有最小值，此时的周长最小． （3）设点坐标为， ①如图2，当点在点左侧时，过点作轴垂线，垂足为点， 过点作轴的垂线，与相交于点，则：，点的横坐标为3， ∵为等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：， ∴点坐标为； ②如图3，当点在点右侧时，过点，作轴的平行线与过点作轴的垂线交于点，； 同理可证：，可得：， 即：，解得：． ∴点坐标为； 综上所述：点坐标为和． 【变式17-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． 【变式17-3】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)的面积为； (3)，此时的周长最小为． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，轴对称性质，两点之间线段最短，割补法求面积，解题的关键在于熟练掌握一次函数与反比例函数的图象与性质． （）先求出，然后通过待定系数法即可求解； （）求出，过作轴于点，过作轴于点，由，然后求出即可； （）求出，如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点，则有，根据两点之间线段最短可知即为所求，直线解析式为，当时，，从而得出，最后通过距离公式即可求出周长的最小值． 【详解】（1）解：∵直线图象上点的横坐标为， ∴， ∵点在双曲线图象上， ∴； （2）解：由（）得， ∴反比例解析式为， ∵双曲线上一点纵坐标为， ∴， 如图，过作轴于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为； （3）解：∵是反比例函数图象上的点， ∴， ∴， 如图，作关于轴对称点，连接，交轴于点， ∴，， ∴根据两点之间线段最短可知即为所求， ∵， 设直线解析式为， ∴，解得， ∴直线解析式为， 当时，， ∴， 此时的周长最小为． 【题型18 反比例函数中的定值、最值问题】 【例18】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【答案】B 【分析】由正方形的边长是3，得到点的横坐标和点的纵坐标为3，求得，，，根据三角形的面积列方程得到，，作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】正方形的边长是3， 点的横坐标和点的纵坐标为3， ，，， ，， 的面积为， ， 或（舍去）， ，， 作关于轴的对称点，连接交轴于，则的长的最小值， ， ，， ， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数的系数的几何意义，轴对称中最小距离问题，勾股定理，正方形的性质，正确的作出图形是解题的关键． 【变式18-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是 ． 【答案】①④ 【分析】①由轴得到，结合，得到四边形是平行四边形，设点，则，得到的长，再表示的长，利用菱形的性质列出方程求得的值，即可判断结论； ②当时，求得点的坐标，然后判断四边形是否为正方形； ③任取两个点的坐标，求得和的长，然后判断四边形的周长是否为定值； ④过点作轴于点，过点作轴于点，将四边形的面积转化为四边形的面积，进而利用反比例系数的几何意义判断四边形的面积是否为定值． 【详解】①如图，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵点在函数图像上，点在函数图像上， 设，则， ∴， 又∵点的坐标是， 在中，， 当时，，， 此时，， ∴四边形可能是菱形， ∴①符合题意； ②由①得，当时，，， ∴， 此时， ∵点的坐标是， ∴轴， ∴， 由①知，四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形，但， ∴四边形不为正方形， ∴②不符合题意； ③由①得，当点的横坐标为时，，， ∴四边形的周长为：， 当点的横坐标为时，，则， ∴，， ∴四边形的周长为：， ∴四边形的周长不为定值， ∴③不符合题意； ④如图，过点作轴于点， 又∵， ∴ ∵轴， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴四边形的面积为定值， ∴④符合题意． 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征． 【变式18-2】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析；②是定值， 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上的点一定满足反比例函数解析式是解题的关键． （1）设 ，得到即可得到； （2）①根据题意得到，求出，得到，即可得到结论； ②是定值，由题得，继而得到，即，由（1）知，得到． 【详解】（1）解：设 ． 轴， ． ， ， ． ， ． （2）①证明：设 ． 点在直线上， ． ． 当时，， ． ． ． ． ②解：是定值． 设 ． 轴， ∴在中，， ，， ， ． ∴． 由（1）知， ． 【变式18-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点P的坐标为． 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用．正确的求出反比例函数的解析式，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键． （1）利用菱形的性质结合勾股定理求得点，再利用待定系数法求解即可； （2）作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为，再利用勾股定理求解即可； （3）过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G，设，求得，由求得，据此列式计算求解即可． 【详解】（1）解：∵的边在x轴上，点B坐标为， 如图1，过点B作轴于点H，过点A作轴于点D， ∴，， ∵点C坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∵轴，轴， ∴， ∴， ∴点， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图2，作点A关于y轴的对称点，连接交y轴于G，此时的值最小，最小为， ∵点B坐标为， ∴直线解析式为， ∵反比例函数的图象与交于点E， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：反比例函数图象上存在点P（点P与点E不重合），使得，理由如下： 如图3，过点E作轴于点F，过点A作轴于点D，过点P作轴于点G， ∴，，，， ∴， 设， ∴ ， ∵ ， ∴， 整理得：， ∴或（舍去）， ∴点P的坐标为． 【题型19 反比例函数中的几何变换问题】 【例19】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，分析图形可得，当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值，设PB＝a，则Q（k，1+a），根据四边形APQM是矩形，可得M（1，1+a），而M在y＝上，可得1+a＝k，根据AP＝MQ，可得2﹣a＝k﹣1，进而求出k的值，即可判断． 【详解】解：分析图形可知： 当函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点为M时，k取得最大值， ∵P在y＝上且yP＝1， ∴P（k，1）， 设PB＝a，则Q（k，1+a）， ∵四边形APQM是矩形， ∴M（1，1+a）， 而M在y＝上， ∴1+a＝k， ∵AP＝MQ， ∴2﹣a＝k﹣1， 由， 解得， ∴0＜k≤2， ∴k＝不符合条件． 故答案为：A． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何图形的结合，矩形的性质，解决本题的关键是正确理解题意，能够判断出当反比例函数图像和矩形在公共点M处时k取最大值． 【变式19-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在以为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴的正半轴上，将反比例函数的图像向下平移个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点，且图像与边交于点，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，矩形的性质． 设，，则对角线交点的坐标为，反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为，分别将，点的坐标代入上面解析式，即可求出，的代数式，再将的坐标代入即可求出点的横坐标，最后代入即可得出答案． 【详解】解：设，， 则对角线交点的坐标为， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， ∴， 解得：， 反比例函数的图象向下平移个单位长度后的表达式为， 设， 则， ， ， ． 故答案为： 【变式19-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点（点位于第三象限），且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)当时，求线段的长； (2)将双曲线沿直线进行翻折，翻折后的图形与轴和轴分别相交于两点，若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象的交点问题，两点间距离公式，折叠的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）先求出点坐标，然后求出一次函数图象与反比例函数图象的交点，再由两点间距离公式即可求解； （2）先确定是等腰直角三角形，设点Q的对应点为点，连接，由翻折得：，，可得，则，代入得，求出，则同理可得：，由建立方程求解即可． 【详解】（1）解：当时，一次函数解析式为， 当时，， ， 联立方程组， 解得或， ， ； （2）解：如图，一次函数， 当； 当， 解得：， ∴， ∵， ∴， 设点Q的对应点为点，连接， 由翻折得：，， ∴， ∴， ∴， 代入得， ∴， ∴ 同理可得：， ∴， ∴， 解得：． 【变式19-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 【答案】(1) (2)4 (3)点坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，两点距离计算公式，熟知一次函数与反比例函数的相关知识是解题的关键． （1）把点A坐标代入中求出点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数解析式中求出反比例函数解析式即可； （2）求出B、C的坐标，根据列式求解即可； （3）求出，，则可得到直线的解析式为，进而可得，，证明，得到，则；连接，可证明，得到，则，故点即为点N的一个位置，在轴上取点满足，则此时，则满足题意． 【详解】（1）解：在中，当时，， ， 当时，， ， 将代入中，解得， ∴反比例函数的表达式为 （2）解：在中，当时，，当时，， ，， ∴； （3）解：在中，当时，， ， 当时，， ， 设直线为，将代入中，得， 直线的解析式为， 在中，当，， ∵轴， ， ∴， ∴， 又∵， ， 连接， ∵， ∴， ， ， 点即为点N的一个位置， 在轴上取点满足， 则此时， ∴满足题意， 综上，点坐标为或． 【题型20 反比例函数与其它知识的交互问题】 【例20】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数的图形和性质，矩形的性质，熟练掌握反比例函数图象的性质是解题的关键．根据矩形的性质结合反比例函数的意义即可判断①②，根据等边三角形和反比例函数的对称性即可判断④，根据是反比例函数图象上的动点，可得或为钝角，即可判断③，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ 又∵是反比例函数图象上的动点，轴，轴， ∴ ∴，即与的面积一定相等；故①正确， 由①可得 当与的面积相等时，如图，连接， ∴ ∴在直线上，则重合， ∴与的面积不可能相等，故②不正确， ∵等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，故④正确, 如图 当在的同侧时，可能是钝角三角形，故③错误 综上，①④正确、②③错误. 故选：B． 【变式20-1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题是对反比例函数的综合考查，包括待定系数法求反比例函数解析式，等边三角形的性质，解一元二次方程，作出辅助线，表示出点C、D的坐标是解题的关键． 过点作于点，根据等边三角形的性质求出的长度，从而得到点的坐标，再利用待定系数法求反比例函数解析式；再过点D作F于点，设，，根据等边三角形的性质表示出的长度，然后表示出点的坐标，再把点的坐标代入反比例函数解析式，解方程得到的值，进而得出点的坐标． 【详解】解：过点作于点， ∵点是等边的边的中点， ，， ，， ∴点C的坐标是 由 得：   ∴该双曲线所表示的函数解析式为 过点作于点，设，则， ∴点的坐标为 ∵点D是双曲线上的点， 由 ，得 即：   解得： ， (舍去)， ， ∵， ∴， ∴ ∴点的坐标为． 故答案为． 【变式20-2】（2025·广东深圳·三模）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【答案】12 【分析】过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，根据菱形的性质，得到为等边三角形，均为含30度角的直角三角形，根据含30度角的直角三角形的性质，结合勾股定理求出的长，进而求出的长，旋转求出的长，得到为含30度角的直角三角形，求出的长，再利用分割法求出的面积即可． 【详解】解：过点作轴，垂足为，过点作轴于点，过点作轴于点，如图： ∵菱形，， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ∴， ∵反比例函数经过其对角线的交点M，， ∴， ∴（负值舍去）； ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∵将线段绕点O顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 故答案为：12． 【点睛】本题考查反比例函数与几何的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，添加辅助线，构造特殊图形，是解题的关键． 【变式20-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 【答案】(1)①4；②1，3 (2)，理由见解析 (3)6 【分析】本题主要考查了正方形的性质，反比例函数的图象和性质，求函数解析式，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． （1）①利用待定系数法进行求解即可； ②过点D作轴于点M，根据条件证明，得出，然后利用点坐标列出方程组进行求解即可； （2）过点C作轴于点N，同（1）证明，得出对应边相等，然后列出，求解即可； （3）过点E作轴于点H，得出是等腰直角三角形，设，得出，得出即可求解． 【详解】（1）解：①将点代入反比例函数解析式， ∴； 即的值为4； ②如图，过点D作轴于点M， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． ∴m，n的值为1，3； （2）解：当时，，理由如下： 如图，过点C作轴于点N， 同（1）可得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴， 即当时，； （3）解：如图，过点E作轴于点H， 由（2）得，当时，， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， ∴， ∵点G是的中点， ∴； ∵， ∴， ∵点在上， ∴， 整理得，， 故答案为：6． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章 函数及其图象（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材华东师大版】 【培优篇】 9 【题型1 确定一次函数经过的象限】 9 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 10 【题型3 一次函数与几何变换】 10 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 11 【题型5 确定一次函数解析式】 11 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 13 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 13 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 14 【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 15 【题型10 反比例函数的应用】 17 【拔尖篇】 18 【题型11 根据情景确定函数图象】 18 【题型12 一次函数与三角形的面积综合】 20 【题型13 一次函数与动点最值问题】 21 【题型14 一次函数的图象的应用】 22 【题型15 一次函数的实际应用】 24 【题型16 反比例函数中的动点问题】 26 【题型17 反比例函数中的存在性问题】 27 【题型18 反比例函数中的定值、最值问题】 29 【题型19 反比例函数中的几何变换问题】 31 【题型20 反比例函数与其它知识的交互问题】 32 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点3 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点4 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 知识点5 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是表达式法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 表达式法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 知识点6 一次函数和正比例函数的概念 一般地，形如的函数叫做一次函数，其中x是自变量，y是x的函数. 特别地，当时，，y叫做x的正比例函数． 知识点7 确定一次函数表达式 确定一次函数表达式关键在于确定k和b的值，通常用待定系数法．通过将已知条件代入中，得到方程或方程组，再求出k，b的值，从而确定一次函数表达式． 用待定系数法确定一次函数表达式的步骤： （1）设出含有待定系数的函数表达式； （2）把已知条件代入表达式，得到关于k，b的方程(组）； （3）解方程(组)求出待定系数k，b的值； （4）将求得的系数k，b的值代回所设函数表达式． 知识点8 用描点法画函数图象 在直角坐标系中用描点法画函数图象的一般步骤： （1）列表：恰当地选取自变量x的几个值，计算对应的函数值y； （2）描点：以表中各对x，y的值为点的坐标，在平面直角坐标系中描出相应的点； （3）连线：顺次连接描出的各点． 知识点9 一次函数的图象 （1）一次函数的图象是一条直线．由于两点确定一条直线，画一次函数的图象时，只要先确定这个图象上两个点的位置，再过这两点画直线就可以了．为了方便，常取图象与坐标轴的两个交点(0,b)和． （2）正比例函数的图象是经过原点(0,0)的一条直线．画正比例函数的图象时，只需取一点(1,k)，再过原点和这一点画直线即可． 知识点10 一次函数的性质 一次函数的性质： （1）当时，一次函数的图象从左到右呈上升趋势，函数值y随自变量x的增大而增大． （2）当时，一次函数的图象从左到右呈下降趋势，函数值y随自变量x的增大而减小．反之亦成立． k，b的符号与一次函数图象的关系： 图象经过的象限 一、二、三 一、三 一、三、四 图象经过的象限 一、二、四 二、四 二、三、四 知识点11 正比例函数y=kx与一次函数y=kx+b的图象的关系 一般地，一次函数的图象可以由正比例函数的图象沿y轴向上()或向下()平移个单位长度得到． 一次函数图象平移的规律：将直线向上或向下或向左或向右平移n()个单位长度，则所得直线的表达式如下： 知识点12 一次函数的应用 在运用一次函数解决实际问题时，首先要判断问题中的两个变量之间是不是一次函数关系，当确定是一次函数关系时，可求出函数表达式，并运用一次函数的图象和性质进一步求得所需要的结果． 在解决现实生活中的数量关系的问题时，可以应用函数知识，解题的关键是建立函数表达式． 在具体数学问题中，数据较多，反映的内容也比较多，把众多的信息有机地组合在一起是解题的关键，要认真读题，分析题意，理顺关系，寻求解题途径． 知识点13 用图象法解决实际问题 在解决有关“选择方案”问题时，可以采用图象法，这种方法是解决许多实际问题的重要手段．读图时，一定要明确横、纵坐标所代表的意义． 从两个相交的一次函数图象中获取信息 看图象 获取信息 两个一次函数，，当自变量的值为时，函数值都为或当函数值为时，自变量的值都为 当自变量的值时，函数值，即对同一自变量x的值，图象在上面的函数值大 当自变量的值时，函数值，即对同一自变 量x的值，图象在下面的函数值小 知识点14 一次函数与二元一次方程（组）的关系 1. 一次函数与二元一次方程的关系 一般地，一次函数的图象上任意一点的坐标都是二元一次方程的解；以二元一次方程的解为坐标的点都在一次函数的图象上． 2. 一次函数与二元一次方程组的关系 一般地，每个二元一次方程组都对应两个一次函数（两条直线）． 二元一次方程组的解为两直线；和的交点坐标；反过来,两直线，和的交点坐标就是对应的二元一次方程组的解． （1）两直线平行（无交点），方程组无解； （2）两直线交于一点，方程组有唯一解； （3）两直线重合，方程组有无数组解． 知识点15 二元一次方程组的图象解法 1. 二元一次方程组的图象解法的含义 用一次函数的图象求二元一次方程组的解的方法称为二元一次方程组的图象解法． 2. 用图象法求二元一次方程组的解的一般步骤 （1）把方程组中的两个二元一次方程化成一次函数的形式：,和． （2）建立平面直角坐标系，画出这两个一次函数的图象． （3）求出这两条直线交点的横、纵坐标，这两个数值就是二元一次方程组的解中的两个数值，横坐标是x的值，纵坐标是y的值． 知识点16 一次函数与一元一次方程 任何一个一元一次方程都可化简为的形式． （1）一元一次方程是一次函数的函数值为0时的特殊情形． （2）直线与x轴交点的横坐标就是一元一次方程的解，即． 知识点17 一次函数与一元一次不等式 名称 叙述 从“数”上看 从“形”上看 一次函数与一元一次不等式的关系 由于任何一元一次不等式都可以转化为或 (a，b为常数，且a≠0)的形式，所以解一元一次不等式可以看作当一次函数的函数值大（小）于0时，求自变量的取值范围 的解集 中时x 的取值范围； 的解集 中时x 的取值范围 的解集直线位于x轴上方的部分对应的x的取值范围； 的解集直线位于x轴下方的部分对应的x的取值范围 知识点18 反比例函数的概念 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 知识点19 求反比例函数的表达式 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点20 反比例函数的图像与性质 1.描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2.反比例函数的性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 知识点21 比例系数k的几何意义 1. 过图象上任意一点向两坐标轴作垂线，与两坐标轴围成的矩形的面积等于. 2. 连接图象上任意一点与原点，并从该点向x轴，y轴作垂线，可得两个直角三角形，这两个直角三角形的面积都等于. 3. 若过反比例函数图象上的点向两坐标轴作垂线，已知两条垂线与两坐标轴围成图形的面积，则可得到的值，进而确定函数表达式. 知识点22 反比例函数与一次函数图象的交点问题 1. 反比例函数与正比例函数图象的交点： 当时，两函数图象有两个关于原点对称的交点；当时，两函数图象无交点． 2. 反比例函数与一次函数图象的交点： 联立两函数的表达式，转化为一个一元二次方程．判别式两函数图象有2个交点；两函数图象有1个交点；两函数图象没有交点． 3. 观察反比例函数与一次函数的图象解不等式或： （1）联立两函数表达式，解一元二次方程求得交点横坐标，； （2）观察图象，图象在上面的函数值大；图象在下面的函数值小，对应x的取值范围即为相应不等式的解集． 如图所示，当，时，的解集为或，的解集为或． 知识点23 利用反比例函数解决实际问题 1. 反比例函数中，自变量x的取值范围是非零实数，但是在实际问题中要根据具体情况与实际意义来确定自变量的取值范围． 2. 常见反比例关系举例 （1）矩形面积S一定时，长y与宽x的函数表达式为； （2）菱形面积S一定时，一条对角线长y与另一条对角线长x的函数表达式为； （3）压力F一定时，压强p与受力面积S的函数表达式为； （4）电压U一定时，电流I与电阻R的函数表达式为； （5）汽车油箱内汽油量L一定时，行驶时间t与平均油耗n的函数表达式为． 【培优篇】 【题型1 确定一次函数经过的象限】 【例1】（2025·陕西榆林·模拟预测）正比例函数的图象经过点，则一次函数的图象不经过的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式1-1】（24-25八年级下·福建厦门·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数的图象一定不经过点 ．(填“”或“”或“”或“”) 【变式1-2】（24-25八年级下·北京延庆·期末）一次函数中变量与的部分对应值如下表所示． ．．． ．．． ．．． ．．． 给出下面四个结论： ①； ②一次函数的图象不经过第三象限； ③关于的方程的解是； ④关于的不等式的解集是； 上述结论中，所有正确结论的序号是 ． 【变式1-3】已知一次函数的图象经过点，且与直线的交点在x轴上． (1)求这个一次函数的解析式． (2)此函数的图象经过哪几个象限？ (3)求此函数的图象与坐标轴围成的三角形的面积． 【题型2 根据一次函数的性质比较大小】 【例2】（24-25八年级下·湖北宜昌·期中）若正比例函数的图象经过点，时，． (1)求m的取值范围； (2)若该函数图象上有三个点，则从小到大排列为______． 【变式2-1】（24-25八年级下·吉林四平·期末）在平面直角坐标系中，若点是一次函数图象上的两个点，则与的大小关系为： （填“”，“”或“”）． 【变式2-2】（24-25八年级下·山西忻州·阶段练习）已知点，，都在直线上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25八年级下·浙江台州·期末）已知，，三点均在直线为常数，，上，且，则下列判断正确的是（     ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 一次函数与几何变换】 【例3】（2025·陕西西安·模拟预测）已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）在平面直角坐标系中，将正比例函数的图象向上平移m个单位长度，平移后的图象与一次函数的图象的交点在第二象限，则m的值可以为（    ） A．1 B．4 C．5 D．6 【变式3-2】（24-25八年级下·云南红河·期末）在平面直角坐标系中，点是函数的图象上的一点，将函数的图象向左平移4个单位长度，平移后，点的对应点为点，若点，关于轴对称，则点的坐标为 ． 【变式3-3】（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）已知是一次函数， (1)求的值； (2)若点均在该一次函数的图象上，试比较，的大小关系，并说明理由． (3)将点向下平移3个单位长度，得到点，恰好点在该一次函数图象上，求一次函数的图象与线段有交点时的取值范围． 【题型4 根据一次函数的性质求参数的值或取值范围】 【例4】（24-25八年级下·安徽合肥·阶段练习）已知直线和直线相交于点，且当时，总有成立，则实数b的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·安徽合肥·三模）若一次函数的函数值随的增大而减小，则的值可以为（　　） A． B． C．2 D．5 【变式4-2】（24-25八年级下·山东济宁·期末）若关于的一次函数的图象经过点和点，当时，，且与轴相交于正半轴，则整数的值为 ． 【变式4-3】（24-25八年级下·江苏南通·阶段练习）已知函数的最大值，且最小值，则的取值范围为 ． 【题型5 确定一次函数解析式】 【例5】（24-25八年级上·甘肃白银·阶段练习）如图，函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，若直线将分为面积比为的两部分，则直线的函数表达式为（   ） A．或 B． C．或 D． 【变式5-1】（24-25八年级下·安徽阜阳·期末）如图，一束光线从点出发，经过轴上的点反射后经过点，则的值是 ． 【变式5-2】（24-25八年级下·陕西安康·期末）如图，直线和直线相交于点，分别与x轴相交于点B和点C，与y轴相交于点D和点E． (1)直接写出直线的函数解析式： ； (2)求四边形的面积． 【变式5-3】如图，直线，直线经过点，直线与直线交于点N． (1)求n的值； (2)若点N在x轴上，求k的值并在图中画出直线； (3)若点N总在点M的右侧，直接写出k的取值范围． 【题型6 反比例函数图象上点的坐标特征】 【例6】已知反比例函数的图象经过三个点（﹣3，﹣4）、（2m，y1）、（6m，y2），其中m＞0，当y1﹣y2＝4时，则m＝ ． 【变式6-1】已知反比例函数，在每一个象限内，随的增大而增大，则下列点可能在这个函数图象上的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，点A是反比例函数图象上一点，则下列各点在该函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】在平面直角坐标系中，点，，分别在三个不同的象限，若反比例函数的图象经过其中两点则的值为（　　） A．1 B．-1 C．-6 D．6 【题型7 反比例函数的图像与性质的运用】 【例7】（2025·吉林长春·二模）已知和均在反比例函数的图象上，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25九年级上·吉林松原·期末）已知反比例函数的图象，当时，随的增大而增大，则的取值可能为（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】反比例函数，，在同一坐标系中的图像如图所示，则，，的大小关系为 ．（用“<”连接） 【变式7-3】已知反比例函数的图象经过第一、三象限，与是反比例函数图象上的两个点，若且，则的值为 ． 【题型8 反比例函数与一次函数图象的综合判断】 【例8】（24-25八年级上·上海杨浦·阶段练习）在同一坐标系中，与的图象的大致位置不可能的是（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】在同一平面直角坐标系中，一次函数（a，b为常数，且）的图象与反比例函数 的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（24-25九年级上·河北沧州·期末）函数与 在同一平面直角坐系内的图象可能是（ ） A． B． C． D． 【变式8-3】（24-25九年级上·湖南永州·期中）函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【题型9 反比例函数k的几何意义与面积间的关系】 【例9】（24-25八年级下·江苏苏州·期中）如图，点为反比例函数图象上从左到右的三个点，分别过这三个点作轴，轴的垂线，与轴的交点分别为点，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次记为，其中，若，则（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 【变式9-1】（2025·陕西咸阳·模拟预测）如图，A是y轴正半轴上一点，以为对角线作矩形，且点B，C分别在反比例函数、反比例函数的图象上．若矩形的面积为14，则k的值为 ． 【变式9-2】如图，B、C分别是反比例函数与的图象上的点，且轴，过点C作的垂线交y轴于点A， (1)若B点的横坐标为2，求的面积； (2)点P是x轴上一点，连接，且，连接． 求的面积． 【变式9-3】（24-25九年级上·江苏南通·期末）如图，点B是反比例函数图象上一点，过点B分别向坐标轴作垂线，垂足为A，C．反比例函数的图象经过的中点M，与，分别相交于点D，E．连接并延长交x轴于点F，点G与点O关于点C对称，连接，． (1)填空： ； (2)求的面积； (3)求证：四边形为平行四边形． 【题型10 反比例函数的应用】 【例10】（24-25九年级上·湖南岳阳·阶段练习）化学实验中常使用的酒精是由乙醇溶于水所制得的．如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四瓶酒精的浓度（瓶中乙醇的质量与酒精质量的比值）y与酒精的质量x的情况，其中乙、丁两点恰好在同一反比例函数的图象上，则这四瓶酒精中含乙醇质量最多的是（　　） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【变式10-1】（2025·安徽蚌埠·三模）图是新星幼儿园滑梯的侧面图，建立平面直角坐标系．其中段可看成是反比例函数图象的一段，矩形为向上攀爬的梯子，梯子高，宽，出口点C到的距离为 ．若滑梯上有一个小球Q，Q的高度不高于，则Q到的距离至少为 ． 【变式10-2】（2025·宁夏吴忠·二模）小明家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始加热[此过程中水温与开机时间x（分）满足一次函数关系]，当加热到时自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温与开机时间x（分）成反比例关系]，当水温降至时，饮水机又自动开始加热，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： (1)求图中t的值； (2)若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步45分钟回到家时，饮水机内的温度约为多少摄氏度？ 【变式10-3】在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【拔尖篇】 【题型11 根据情景确定函数图象】 【例11】（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，在一个透明的大圆柱形器皿底部放置一个透明的小圆柱形器皿，现先向小圆柱形器皿内匀速注水，注满后，再向大圆柱形器皿内以同样的速度注水，直到注满大圆柱形器皿，设注水时间为x，大、小圆柱形器皿中的水位高度差为y（），则下列图象适合y与x之间关系的是（　　） A．B． C． D． 【变式11-1】（2025·福建龙岩·一模）如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中（不考虑水的阻力），在铁块接触杯底前停止下降．则能反映弹簧测力计的读数（单位：）与铁块下降的高度（单位：）之间的函数关系的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】如图，一辆货车匀速通过一条隧道（隧道长大于货车长），从货车头刚进入隧道开始，货车在隧道内的长度与行驶的时间之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25八年级上·山东济南·期末）坎儿井是新疆吐鲁番盆地的一种特殊灌溉系统，主要是利用了连通器原理．如图是一个型连通器模型，甲水箱、乙水箱是两个等高的圆柱体，甲水箱的底面面积是乙水箱底面面积的2倍，连接管在两个水箱的中间处（体积忽略不计），现用水管往甲水箱中持续匀速注水，直到连通器中水恰好不溢出为止．设甲水箱中水面的高度为，注水时间为，则与的函数图象大致为（   ）    A．   B．   C．   D．   【题型12 一次函数与三角形的面积综合】 【例12】（24-25八年级下·天津西青·期末）如图，直线与轴交于点，与直线交于点． （1）的面积是 ； （2）点在直线上，直线经过点，且与轴交于点，若的面积是面积的，则的值为 ． 【变式12-1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）如图，直线上三点A，B，C的横坐标依次为，1，2，分别过点A、B，C作x轴与y轴的垂线，形成了阴影的三角形，则这三个三角形的面积之和为（   ） A． B．3 C． D． 【变式12-2】（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，七个边长为的正方形如图摆放在平面直角坐标系中，经过点的一条直线将这七个正方形分成面积相等的两部分，则该直线对应的函数表达式为 ． 【变式12-3】（24-25八年级上·全国·期末）长方形的边OA在x轴的正半轴上，A、C两点的坐标分别为，点B在第一象限，将直线沿y轴向上平移个单位，若平移后的直线将长方形的面积分成的两部分，则m的值为 ． 【题型13 一次函数与动点最值问题】 【例13】（24-25八年级上·陕西西安·期中）直线与相交于点，且两直线与轴围成的三角形面积为6，点是三角形内部（包括边上）的一点，则的最大值与最小值之差为（    ） A．3 B． C．3或 D．3或6 【变式13-1】如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式13-2】（24-25八年级下·河北邯郸·期中）如图①，已知动点P在长方形的边上沿的顺序运动，其运动速度为每秒1个单位长度．连接，记点P的运动时间为t（秒），的面积为S．图②是S关于t的函数图像，则线段的长为 ，a的值为 ． 【变式13-3】如图，已知点的坐标为，点的坐标为，点在直线上运动，当最小时，点的坐标为 ．    【题型14 一次函数的图象的应用】 【例14】五一期间小辉与小亮两家人在港澳旅游，某日两家人从香港口岸前往澳门口岸，当小辉一家乘坐穿梭巴士出发分钟后，小亮一家乘坐跨境出租车出发，两车在全程中均保持匀速行驶，跨境出租车比穿梭巴士早到分钟，过海关时间不考虑在内，两车距西人工岛的路程之和（千米）与小辉家出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，穿梭巴士出发 分钟到达澳门口岸．    【变式14-1】（24-25九年级下·辽宁抚顺·阶段练习）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早5分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图1表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图2中的线段表示小明和商店之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分． 请根据所给信息，解答下列问题： (1)妈妈骑车的速度是___________米/分钟，妈妈在家装载货物所用时间是___________分钟，点的坐标是___________ (2)请求出图2中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图2中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）之间的函数关系的图象． 【变式14-2】（24-25七年级下·重庆·期中）周末，小文和小华相约一起去重庆动物园看大熊猫，小文家、小华家、动物园在同一直线上，且小华家在小文家和动物园之间，小文骑自行车出发8分钟后，小华从家出发步行去动物园，几分钟后两人相遇，同时小华发现自己忘了带手机，于是马上掉头原路原速返回家，拿到手机后立即乘出租车原路追赶小文（掉头和拿手机、等车的时间忽略不计），最终他们同时到达动物园．在运动过程中，小文、小华两人距离小华家的路程之和与小文出发的时间为之间的关系如图所示． (1)小文的速度是__________米／分钟；小华家到动物园的距离是_________米； (2)求小华步行和出租车的速度分别是多少米／分钟； (3)当小文、小华相距200米时，小华与动物园的距离为多少米？ 【变式14-3】一队学生从学校出发去劳动基地，行进的路程与时间的函数图象如图所示，队伍走了0.8小时后，队伍中的通讯员按原路加快速度返回学校取材料．通讯员经过一段时间回到学校，取到材料后立即按返校时加快的速度追赶队伍，并比学生队伍早18分钟到达基地．如图，线段OD表示学生队伍距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，折线OABC表示通讯员距学校的路程y（千米）与时间x（小时）之间的函数关系，请你根据图象信息，解答下列问题：    (1)学校与劳动基地之间的距离为________千米； (2)________，B点的坐标是________． (3)若通讯员与学生队伍的距离不超过3千米时能用无线对讲机保持联系，请你直接写出通讯员离开队伍后他们能用对讲机保持联系的时间的取值范围． 【题型15 一次函数的实际应用】 【例15】为了落实“乡村振兴”政策，两城决定向两乡运送水泥建设美丽乡村，已知两城分别有水泥200吨和300吨，从城往两乡运送水泥的费用分别为20元/吨和25元/吨；从城往两乡运送水泥的费用分别为15元/吨和24元/吨，现乡需要水泥240吨，乡需要水泥260吨． (1)设从城运往乡的水泥吨．设总运费为元，写出与的函数关系式并求出最少总运费． (2)为了更好地支援乡村建设，城运往乡的运费每吨减少元，这时城运往乡的水泥多少吨时总运费最少？ 【变式15-1】（24-25八年级下·新疆喀什·期末）我国是一个缺水国家，节约用水，是我们每一个公民的基本素养之一．为鼓励居民节约用水，某市对居民用水收费实行“阶梯价”，2022年起年具体收费标准如下表（阶梯价的含义：用水量不超过144，每立方米收费3.15元，用水量在144~240，前144按 3.15元/，144~240之间按4.05元/收费，以此类推）． 供水类型 阶梯分类 年用水量 （） 价格 （元/） 居民生活用水 第一阶梯 0~144（含） 3.15 第二阶梯 144~240（含） 4.05 第三阶梯 240以上 6.75 (1)设某户居民的年用水量为 ，请按阶梯分类求用水年费用（元）关于年用水量（）的函数解析式． (2)若小米家2024年全年用水量为120，则小米家应缴2024年水费多少元？ (3)若小乐家2024年缴水费814.05元，求小乐家2024年全年用水量． 【变式15-2】（2025·湖北襄阳·模拟预测）某风景区门票价格如图所示，百姓旅行社有甲、乙两个旅行团队，计划在“五一”小黄金周期间到该景点游玩，两团队游客人数之和为120人，乙团队人数不超过50人．设甲团队人数为x人，甲、乙两团队联合购票比分别购票可节约W元． (1)求W关于x的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)如果甲、乙两团队联合购票比分别购票节约的钱不少于乙队单独购票所需钱数的一半，那么甲、乙两团队联合购票比分别购票最多可节约多少元； (3)“五一”小黄金周之后，该风景区对门票价格作如下调整：人数不超过50人时，门票价格不变，人数超过50人但不超过100人时，每张门票降价a（）元；人数超过100人时，每张门票降价2a元．若甲、乙两个旅行团在“五一”小黄金周期间去游玩联合购票比分别购票最少可节约1500元，若这两个旅行团在“五一”小黄金周之后去游玩联合购票比分别购票最少可节约3000元，求a的值． 【变式15-3】（24-25八年级上·江西上饶·阶段练习）某商店销售A、B两种型号的打印机，销售3台A型和2台B型打印机的利润和为560元，销售1台A型和4台B型打印机的利润和为720元． (1)求每台A型和B型打印机的销售利润： (2)商店计划购进A、B两种型号的打印机共120台，其中A型打印机数量不少于B型打印机数量的一半，设购进A型打印机a台，这120台打印机的销售总利润为W元，求该商店购进A、B两种型号的打印机各多少台，才能使销售总利润最大？ (3)在（2）的条件下，厂家为了给商家优惠让利，将A型打印机的出厂价下调m元，但限定商店最多购进A型打印机50台，且A、B两种型号的打印机的销售价均不变，请写出商店销售这120台打印机总利润最大的进货方案． 【题型16 反比例函数中的动点问题】 【例16】如图，等腰直角三角形在第一象限，点A，B的坐标分别为，．动点D从点A出发，沿运动到点C，反比例函数（）的图象L经过点D，则在点D的运动过程中，下列各点中，图象L经过两次的是（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在菱形中，为边上一动点，于点，设．当点从点运动到点时，关于的函数图象如图2所示，则关于的函数表达式为 ． 【变式16-2】如图，点是双曲线在第一象限上的一动点，连接并延长交另一分支于点，以为斜边作等腰，点在第二象限，随着点的运动，点的位置也不断的变化，但始终在一函数图象上运动，则这个函数的解析式为 ． 【变式16-3】（24-25八年级下·江苏泰州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，正方形的边长为，点分别在轴、轴的正半轴上两点从点处同时出发，分别沿着和的方向运动个单位长度，运动到两点处同时停止运动，连接．其中均为常数且。 (1)求证：在运动过程中线段经过一定点，记作M，并直接写出点M的坐标；用含有m的代数式表示 (2)如图2，点与点关于原点对称．过点作双曲线为常数，与交于点，作直线＇与轴、轴分别交于两点，连接。 ①求证： ②若四边形是平行四边形，求出a与m之间的函数关系式； (3)当时，在（2）中②的条件下，延长交双曲线于，将直线沿轴向下平移经过点得到直线．结合图象，直接写出不等式的解集． 【题型17 反比例函数中的存在性问题】 【例17】（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，点在轴正半轴上，点，连接、、、、，四边形为菱形． (1)求一次函数与反比例函数的解析式； (2)根据图象，直接写出反比例函数值大于一次函数值时的取值范围； (3)设点是直线上一动点，是否存在点，使，若存在，请直接写出满足条件点的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式17-1】（24-25九年级上·湖南益阳·期中）如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，，点是轴上一动点，连接，． (1)求点，的坐标； (2)当点运动时，的周长是否存在最小值，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点在轴正半轴上，点是反比例函数（）的图象上的一个点，若是以点为直角顶点的等腰直角三角形时，求所有满足条件的点的坐标． 【变式17-2】（24-25九年级下·广东广州·阶段练习）已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式17-3】（24-25八年级下·四川乐山·阶段练习）如图，已知直线与双曲线交于两点，且点的横坐标为． (1)求的值； (2)若双曲线上一点，纵坐标为，求的面积； (3)若是反比例函数图象上的点，在轴上是否存在点使得的周长最小？若存在，求出点的坐标，并求出该周长的最小值；若不存在，请说明理由． 【题型18 反比例函数中的定值、最值问题】 【例18】如图，在平面直角坐标系中，点A，C分别在坐标轴上，且四边形是边长为3的正方形，反比例函数的图像与边分别交于两点，的面积为4，点P为y轴上一点，则的最小值为（    ） A．3 B． C． D．5 【变式18-1】如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是函数图像上的一个动点，过点作轴交函数的图像于点，点在轴上（在的左侧），且，连接，．有如下四个结论：①四边形可能是菱形；②四边形可能是正方形；③四边形的周长是定值；④四边形的面积是定值．所有正确结论的序号是 ． 【变式18-2】（2025·江西·模拟预测）如图1，点是反比例函数 图象上任意一点，过点作轴的垂线，垂足为，已知的面积为． (1)求的值． (2)若过点的直线 与轴交于点，如图2． ①求证：． ②与的平方差是不是定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【变式18-3】（24-25八年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在x轴上，点B坐标为，点C坐标为，反比例函数的图象经过点A，与交于点E． (1)求该反比例函数的表达式； (2)点G是y轴上的动点，连接，，求的最小值； (3)连接，在反比例函数图象上是否存在点P（点P与点E不重合），使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型19 反比例函数中的几何变换问题】 【例19】如图，在平面直角坐标系中，线段AB的端点为A(1，1)、B(3，1)．当函数y＝（x＞0）的图象与线段AB有交点时，设交点为P（点P不与点A、B重合），将线段PB绕点P逆时针方向旋转90°得到线段PQ，以PA、PQ为边作矩形APQM，若函数y＝（x＞0）的图象与矩形APQM的边AM有公共点，则k的值不可能为（　　） A． B．2 C． D． 【变式19-1】（24-25八年级下·江苏扬州·期末）如图，在以为坐标原点的直角坐标系中，矩形的两边、分别在轴和轴的正半轴上，将反比例函数的图像向下平移个单位长度后，恰好同时经过矩形对角线交点和顶点，且图像与边交于点，则的值是 ． 【变式19-2】（2025·湖北武汉·三模）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点（点位于第三象限），且一次函数与轴、轴分别交于点． (1)当时，求线段的长； (2)将双曲线沿直线进行翻折，翻折后的图形与轴和轴分别相交于两点，若，求的值． 【变式19-3】（24-25八年级下·重庆黔江·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，直线与y轴交于点C，与x轴交于点D，连接． (1)求反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)如图2，将直线向上平移，过y轴上的点G且经过反比例函数图象上的点，，过点E作轴于点M，连接，动点N为y轴上一点，若，请求出所有满足条件的N点的坐标． 【题型20 反比例函数与其它知识的交互问题】 【例20】（2025·北京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（，不重合）．给出下面四个结论： ①与的面积一定相等； ②与的面积可能相等； ③一定是锐角三角形； ④可能是等边三角形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【变式20-1】（24-25九年级上·湖南永州·阶段练习）如图，等边和等边的一边都在轴上，双曲线经过的中点和的中点，已知，则点的坐标为 ． 【变式20-2】（2025·广东深圳·三模）如图，平面直角坐标系中，菱形的顶点A在x轴上，，反比例函数经过其对角线的交点M，将线段绕点O顺时针旋转得到线段，连接，若，则的面积为 ． 【变式20-3】（24-25八年级下·江苏泰州·阶段练习）在平面直角坐标系中，正方形的顶点A、B分别为，顶点C在反比例函数上，顶点D在反比例函数上． (1)如图1，当D点坐标为时， ①求的值； ②求的值； (2)如图2，当满足什么关系时，，并说明理由； (3)如图3，当时，在的延长线上取一点，过点E作交x轴于点F，交反比例函数图象于点G，当G为的中点，则代数式值为 ．（直接写出结果） 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $