8.1平方根 导学案2025-2026学年人教版数学七年级下册

姓名: 学科: 日期: 8.1 平方根（2课时）导学案（教用版） （ 制作：许 鸥 日期：2026年4月28日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解平方根与算术平方根的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握开平方的概念与运算技巧，以及算术平方根的性质和估值，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） 【学习过程】 一、复习导入：同学们，从小学一年级开始到现在，我们都学习了哪些逆运算？ 1.加法与减法 逆运算 2.乘法与除法 逆运算 2、 平方根 （一）问题探究 1.问题 我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ 2.探究 ∵,∴这个数可以是; 又∵,所以过个数也可以是. 除以外,任何一个数的平方都不等于9. 因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是3或-3. 3.填写下表: 1 16 36 49 0 0.09 0 （二）平方根的概念 1.平方根的定义 一般地,如果一个数的平方等于,即,那么这个数叫作的平方根(square root)或二次方根，记作：，读作：等于正、负根号. 其中符号“”称为“二次根号”，叫做“被开方数”. 特别地，∵,∴0的平方根为0，记作. 例如,∵,，∴9的平方根为3和-3. 通常把3和-3合在一起简记为“”,则是9的平方根,记作. 2.开平方的定义 求一个数的平方根的运算,叫作开平方. 注：∵，∴9的平方根为，记作. 可以发现,平方与开平方互为逆运算(图8.1-1).根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根. （3） 实例运用 例1 求下列各数的平方根： （1）；（2）；（3）. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根．解题关键是掌握平方根的定义．注意一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根．根据平方根的定义计算即可． （1）由可得答案； （2）由可得答案； （3）由可得答案； 【详解】（1）解：， ∴的平方根是，记作； （2）解：∵， ∴的平方根是，记作； （3）解：∵， ∴的平方根是记作； （四）问题探究 1. 问题 正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?负数有平方根吗? 2.探究 填写下表 0 0.01 0.25 1 4 9 ··· 的平方根 0 可以看出,正数有两个平方根,它们互为相反数. ∵,并且任何一个不为0的数的平方都不等于0,∴0的平方根是0. 正数的平方是正数,负数的平方也是正数,0的平方是0,即在我们所认识的数中,任何一个数的平方都不是负数,所以负数没有平方根. （五）平方根的性质 1.一个正数有两个平方根,它们互为相反数，记作； 2.0的平方根是0，记作； 3.负数没有平方根. （六）平方根有意义的条件 由平方根的性质可知， 只有非负数才有平方根，即 1.当被开方数时,有意义; 2.当被开方数时,没有意义; （七）实例运用 例2．下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1)0.36； (2)； (3)． 【答案】(1)； (2)没有平方根，理由见解析 (3)； 【难度】0.85 【知识点】平方根概念理解、求一个数的平方根 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是熟练掌握平方根的定义进行解题． （1）根据正数有两个平方根可得答案； （2）根据负数没有平方根可得答案； （3）根据正数有两个平方根可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴0.36有平方根，平方根为； （2）没有平方根，理由如下： ∵没有实数的平方等于， ∴没有平方根； （3）∵， ∴有平方根，平方根为． 例3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， ， 或． 三、算术平方根 （一）情境问题 如图，一个正方形的边长为，如果它的面积为 3，那么究竟是多少呢? 探究： ∵由正方形的面积公式,得 ∴据平方根的定义可得 又∵正方形的边长, ∴ 故这个正方形的边长为. （二）算术平方根的定义 我们知道,正数有两个平方根,其中正的平方根叫作的算术平方根.正数的算术平方根用来表示，读作“根号”. 规定:0的算术平方根是0.0的算术平方根记为. （三）算术平方根的性质 1. 性质1：双重非负数性 由算术平方根的定义可知 算术平方根具有双重非负性. （1）被开方数一定是非负数,即； （2）算术平方根也是一个非负数,即. 注：非负数问题 截止本节课，我们数学中的非负数有——一个实数的绝对值，一个实数的平方，以及一个非负数的算术平方根. 我们不难得出如下的结论， 如果， 那么. 即：“如果两个及两个以上的非负数相加和为0，那么每个非负数都为0” 2. 性质2 ∵ 而 ∴满足 由上可以看出： 被开方数越大,对应的算术平方根就越大,这个结论对所有非负数都成立.即 如果已知 , 那么 . （四）算术平方根的估值 1.问题探究 （1）问题1：怎样用两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 探究1： 如图8.1-2,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为的大正方形. 设大正方形的边长为,则 由边长的实际意义可知 所以大正方形的边长是. （2）问题2：有多大呢？ 探究： ∵ 而, ∴，即 又∵, ∴，即 又∵, ∴，即 又∵, ∴，即 …… 如此进行下去,可以得到的更精确的估计范围.事实上, ，它是一个无限不循环小数. 实际上,很多正有理数的算术平方根(例如等)都是无限不循环小数. 2.算术平方根的估值 像上面这样，结合平方表，不断利用算术平方根的性质2——“被开方数越大,对应的算术平方根就越大”,可以求解出一个算术平方根的近似值. 注：， ， （五）实例运用 例4．求下列各数的算术平方根： （1）100；（2）；（3）0.0001． 【答案】（1）10；（2）；（3）0.01 【难度】0.85 【知识点】求一个数的算术平方根 【分析】根据算术平方根的定义逐个解答即可． 【详解】解：（1）因为，所以100的算术平方根是10，即； （2）因为，所以的算术平方根是，即； （3）因为，所以0.0001的算术平方根是0.01，即． 【点睛】本题考查了算术平方根的定义，熟记算术平方根的定义是解决本题的关键． 例5 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 解:设长方形纸片的长为,宽为，且， 根据长方形的面积公式可得 又由边长的实际意义可知,得 因此长方形纸片的长为. ∵,∴,即 ∴，即长方形纸片的长应该大于 又∵,∴正方形纸片的边长只有. 这样,长方形纸片的长将大于正方形纸片的边长. 答:不同意小明的说法,小丽不能用这块纸片裁出想要的纸片. 四、达标检测 1．填空： 【答案】见解析 【难度】0.85 【知识点】有理数的乘方运算、求一个数的平方根 【分析】本题主要考查了平方根的定义，以及平方计算，如果一个数的平方等于，那么这个数叫做的平方根，解题的关键是熟练掌握平方根的定义． 根据平方根的定义计算填空即可． 【详解】解：（1），则； ，则， ； ； ，则 （2）； ； ； ； ， 故填空为： 2．求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.94 【知识点】求一个数的平方根 【分析】本题考查了求一个数的平方根，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据，即可得出81的平方根是； （2）根据，即可得出的平方根是； （3）根据，即可得出的平方根是； 【详解】（1）解：∵ ∴81的平方根是； （2）解：∵ ∴的平方根是； （3）解：∵ ∴的平方根是； 3．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1)算术平方根：；平方根：； (2)算术平方根：；平方根：； (3)算术平方根：；平方根：； (4)算术平方根：；平方根：； (5)算术平方根：；平方根：； (6)算术平方根：；平方根：． 【难度】0.94 【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根 【分析】本题考查了算术平方根与平方根的概念及运算，明确两者的定义与运算规则是解答本题的关键． （1）针对，根据算术平方根（非负数的正平方根）和平方根（数的正负两个平方根）的定义，直接计算对应结果； （2）针对，结合小数的开方规则，分别求出其算术平方根与平方根； （3）针对，利用分数的开方运算方法，计算出它的算术平方根与平方根； （4）针对，依据质数的开方性质，确定其算术平方根与平方根的表达式； （5）针对，通过二次根式化简的方法，得到它的算术平方根与平方根； （6）针对，先计算乘方结果，再结合开方定义求出对应的算术平方根与平方根． 【详解】（1）解：算术平方根：；平方根：； （2）解：算术平方根：；平方根：； （3）解：算术平方根：；平方根：； （4）解：算术平方根：；平方根：； （5）解：算术平方根：；平方根：； （6）解：算术平方根：；平方根：． 4．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【难度】0.85 【知识点】利用平方根解方程 【分析】本题主要考查利用平方根解方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）两边同时除以2，进而得出答案； （2）先移项，进而得出答案； （3）先移项，两边同时除以9，进而得出答案； （4）先移项，两边同时除以4，进而得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： （3）解： ， ， ； （4）解： ， ， ， 解得或． 5．某农场有一块长、宽的长方形场地，要在这块场地上建一个正方形的鱼池，使它的面积为场地面积的一半，能否建成？若能建成，鱼池的边长为多少米？ 【答案】能建成，鱼池的边长为 【难度】0.65 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】设鱼池的边长为，根据题意列出方程进行求解即可. 【详解】解：能建成，设鱼池的边长为，则，即， ∵， ∴， ∵鱼池的边长小于长方形的长，等于长方形的宽， ∴能建成； 答：能建成，鱼池的边长为． 6．已知一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求一个数的平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】（1）根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，解方程即可得到答案； （2）根据平方根的概念和（1）所求求出，则，据此根据平方根的定义可得答案． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个平方根分别是和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得， ∴， ∵4的平方根是， ∴的平方根是． 7．刺绣又称“丝绣”或“针绣”，是用针线在织物上绣制图案的古老手工艺，它不仅是装饰艺术，更是承载着数千年文化记忆的活态遗产．现有一块长、宽比为的长方形绣布，绣布面积是． (1)求绣布的长和宽的值； (2)刺绣师傅想要在这块绣布上绣一幅面积为的圆形花鸟图，试通过计算说明，她能够完整地绣出来吗？（取3） 【答案】(1)绣布的长为，宽为； (2)不能够绣出来，理由见解析． 【难度】0.77 【知识点】算术平方根的实际应用 【分析】（1）设绣布的长为，则宽为，根据绣布面积是列出方程求解即可； （2）设完整的圆形绣布的半径为，根据圆面积公式列式，进行计算得，结合，即可作答． 【详解】（1）解：设绣布的长为，宽为， 根据题意，得，即， ∴， ∵， ∴， 答：绣布的长为，宽为； （2）解：不能够绣出来，理由如下： 设完整的圆形绣布的半径为， 则， ∵取3， ∴， 解得（负值已舍去）， ∵， ∴， ∴不能够绣出来． 8．汽车在行驶到拐弯路段时，若速度超过某一临界值则会产生离心运动，从而造成安全事故的发生．汽车在弯道上临界速度的计算公式为，其中是汽车行驶的速度单位：，已知某弯道的路面摩擦系数为，弯道半径为，当一辆汽车以的速度驶入该弯道时，是否会发生侧滑事故？请通过计算说明． 【答案】会发生侧滑事故，见解析 【难度】0.85 【知识点】算术平方根的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】先计算汽车在弯道上临界速度，比较求解即可． 【详解】解：该辆汽车会发生侧滑事故． 根据题意得，， ． ， 以的速度驶入该弯道时，会发生侧滑事故． 9．小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 【答案】(1)示意图见解析， (2)①得出近似值的精确度更高，理由见解析 【难度】0.57 【知识点】估计算术平方根的取值范围 【分析】（1）根据，其中忽略不计，可得答案； （2）两种方法的近似值进行平方，与52比较即可判断． 【详解】（1）解：如图， ， 即， 因为比较小，将忽略不计， 所以， 即， 所以； （2）解：因为，， 且，， 所以①得出近似值的精确度更高． 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了平方根与算术平方根的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了开平方的概念与运算技巧，以及算术平方根的性质和估值，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $ 姓名: 学科: 日期: 8.1 平方根（2课时）导学案（学生版） （ 制作：许 鸥 日期：2026年4月28日 地区：云南省昆明市 ） 【学习目标】 1.经历问题探究，认识与理解平方根与算术平方根的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握开平方的概念与运算技巧，以及算术平方根的性质和估值，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） 【学习过程】 一、复习导入：同学们，从小学一年级开始到现在，我们都学习了哪些逆运算？ 1.加法与减法 逆运算 2.乘法与除法 逆运算 2、 平方根 （一）问题探究 1.问题 我们知道，已知一个数，通过平方运算可以求这个数的平方.反过来，如果已知一个数的平方，那么怎样求这个数呢？ 2.探究 ∵,∴这个数可以是 ; 又∵,所以过个数也可以是 ; 除 以外,任何一个数的平方都不等于9. 因此,如果一个数的平方等于9,那么这个数是 ; 3.填写下表: 1 16 36 49 0 0.09 （二）平方根的概念 1.平方根的定义 一般地,如果一个数的 等于,即 ,那么这个数叫作的 (square root)或 ，记作： ，读作：等于正、负 . 其中符号“”称为“ ”，叫做“ ”. 特别地，∵,∴0的平方根为 ，记作 . 例如,∵,，∴9的平方根为3和-3. 通常把3和-3合在一起简记为“ ”,则 是9的平方根,记作 . 2.开平方的定义 求一个数的 的运算,叫作开平方. 注：∵，∴9的平方根为 ，记作 . 可以发现,平方与开平方互为 运算(图8.1-1).根据这种互逆关系,可以求一个数的平方根. （3） 实例运用 例1 求下列各数的平方根： （1）；（2）；（3）. （四）问题探究 1. 问题 正数的平方根有什么特点?0的平方根是多少?负数有平方根吗? 2.探究 填写下表 0 0.01 0.25 1 4 9 ··· 的平方根 可以看出,正数有 平方根,它们互为 . ∵,并且任何一个不为0的数的平方都 0,∴0的平方根是 . 正数的平方是 ,负数的平方也是 ,0的平方是 ,即在我们所认识的数中,任何一个数的平方都不是 ,所以 没有平方根. （五）平方根的性质 1.一个正数有 平方根,它们互为 ，记作 ； 2.0的平方根是 ，记作 ； 3. 没有平方根. 只有 才有平方根，即 1.当被开方数时, 意义; 2.当被开方数时, 意义; （六）平方根有意义的条件 由平方根的性质可知， （七）实例运用 例2．下列各数有平方根吗？如果有，求它的平方根；如果没有，说明理由． (1)0.36； (2)； (3)． 例3．求下列各式中的值： (1)； (2)． 三、算术平方根 （一）情境问题 如图，一个正方形的边长为，如果它的面积为 3，那么究竟是多少呢? 探究： ∵由正方形的面积公式,得 ， ∴据平方根的定义可得 又∵正方形的边长, ∴ ， 故这个正方形的边长为 . （二）算术平方根的定义 我们知道,正数有两个平方根,其中 的平方根 叫作的算术平方根.正数的算术平方根用 来表示，读作“ ”. 规定:0的算术平方根是 .0的算术平方根记为 . （三）算术平方根的性质 1. 性质1：双重非负数性 由算术平方根的定义可知 算术平方根具有双重 . （1）被开方数一定是 ,即 ； （2）算术平方根也是一个 ,即 . 注：非负数问题 截止本节课，我们数学中的非负数有——一个实数的 ，一个实数的平方 ，以及一个非负数的 . 我们不难得出如下的结论， 如果， 那么 . 即：“如果两个及两个以上的 相加和为0，那么每个非负数都为 ” 2. 性质2 ∵ 而 ∴满足 由上可以看出： 被开方数越 ,对应的算术平方根就越 ,这个结论对所有 都成立.即 如果已知 , 那么 . （四）算术平方根的估值 1.问题探究 （1）问题1：怎样用两个面积为的小正方形拼成一个面积为的大正方形？这个大正方形的边长是多少？ 探究1： 如图8.1-2,把两个小正方形分别沿对角线剪开,将所得的4个直角三角形拼在一起,就得到一个面积为的大正方形. 设大正方形的边长为,则 由边长的实际意义可知 所以大正方形的边长是. （2）问题2：有多大呢？ 探究： ∵ 而, ∴ ，即 . 又∵, ∴ ，即 . 又∵, ∴ ，即 . 又∵, ∴ ，即 . …… 如此进行下去,可以得到的更精确的估计范围.事实上, ，它是一个 小数. 实际上,很多正有理数的算术平方根(例如等)都是 小数. 2.算术平方根的估值 像上面这样，结合平方表，不断利用算术平方根的性质2——“被开方数越 ,对应的算术平方根就越 ”,可以求解出一个算术平方根的近似值. 注：， ， （五）实例运用 例4．求下列各数的算术平方根： （1）100；（2）；（3）0.0001． 例5 小丽想用一块面积为的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长与宽的比为.但她不知道能否裁得出来，正在发愁，小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片！” 你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出想要的纸片吗？ 解:设长方形纸片的长为,宽为，且， 根据长方形的面积公式可得 又由边长的实际意义可知,得 因此长方形纸片的长为. ∵, ∴ ，即 . ∴ ，即长方形纸片的长应该 又∵,∴正方形纸片的边长只有. 这样,长方形纸片的长将 正方形纸片的边长. 答: 小明的说法,小丽 用这块纸片裁出想要的纸片. 四、达标检测 1．填空： 2．求下列各数的平方根： (1)81； (2)； (3)． 3．求下列各数的算术平方根和平方根： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 4．求下列各式中x的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 5．某农场有一块长、宽的长方形场地，要在这块场地上建一个正方形的鱼池，使它的面积为场地面积的一半，能否建成？若能建成，鱼池的边长为多少米？ 6．已知一个正数a的两个平方根分别是和． (1)求x的值； (2)求的平方根． 7．刺绣又称“丝绣”或“针绣”，是用针线在织物上绣制图案的古老手工艺，它不仅是装饰艺术，更是承载着数千年文化记忆的活态遗产．现有一块长、宽比为的长方形绣布，绣布面积是． (1)求绣布的长和宽的值； (2)刺绣师傅想要在这块绣布上绣一幅面积为的圆形花鸟图，试通过计算说明，她能够完整地绣出来吗？（取3） 8．汽车在行驶到拐弯路段时，若速度超过某一临界值则会产生离心运动，从而造成安全事故的发生．汽车在弯道上临界速度的计算公式为，其中是汽车行驶的速度单位：，已知某弯道的路面摩擦系数为，弯道半径为，当一辆汽车以的速度驶入该弯道时，是否会发生侧滑事故？请通过计算说明． 9．小兴同学探索的近似值的过程如下： 面积为52的正方形的边长是，且， 则可以设成以下两种形式： ①，其中； ②，其中． 小兴用①的形式求的近似值的过程如下： 因为，通过数形结合，可画出正方形的面积示意图：   ，因为比较小，将忽略不计， 所以，即， 得．所以． 【尝试探究】 (1)类比上述方法，用②的形式探究的近似值，并画出示意图．（结果保留2位小数）”； 【比较分析】 (2)请你判断：用哪种形式求的近似值的精确度更高，所得的结果更接近？并说明理由． 六、课堂小结：今天我们都学习了哪些知识？ 1.经历问题探究，认识与理解了平方根与算术平方根的概念；（数学抽象•重点） 2.经历问题探究，理解与掌握了开平方的概念与运算技巧，以及算术平方根的性质和估值，并能运用其求解相关的实际问题.（数学抽象、数学运算•重难点） - 1 - - 1 - 学科网（北京）股份有限公司 $